精品解析：四川省阆中中学校2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

四川省阆中中学校高2025级2025年秋月考 数学试题 （考试时间：120分 满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且它在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 有2个单调递增区间，2个单调递减区间 B. 的图象有3条对称轴 C. 的图象有1个对称中心 D. 的最大值是2，最小值是 10. 已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 已知函数，方程有4个不同实根，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数在区间上单调递增，则______. 13. 计算的值为______. 14. 设函数，若关于的方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是_____． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 16. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）解不等式：. 17. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 18. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. （1）求的值； （2）证明：在上单调递增； （3）解不等式：. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省阆中中学校高2025级2025年秋月考 数学试题 （考试时间：120分 满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A，集合B中代表元素的取值范围，再根据交集的定义求出． 【详解】集合　 故选：D 【点睛】本题考查集合的表示法，交集的求法，考查运算能力，属于基础题． 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 4. 已知函数的图象恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出点的坐标，代入直线方程可得到一个关于的等式，利用“1”的代换，结合基本不等式可得最小值. 【详解】由指数函数的图象恒过定点可知 函数的图象恒过定点. 又点在直线上， 所以，所以. 则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：D. 5. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，， ，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 6. 已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定单调性，再利用分段函数单调性，结合一次函数、二次函数单调性列式求出范围. 【详解】由对任意，都有成立，可得函数在R上单调递减， 要使函数在R上单调递减， 需使， 解得，即实数的取值范围为. 故选：D 7. 若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】因为， ， ， 所以比较可得. 故选：C. 8. 若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上也是单调递减，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或 解得或， 所以满足的的取值范围是， 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数是定义在区间上的偶函数，且它在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 有2个单调递增区间，2个单调递减区间 B. 的图象有3条对称轴 C. 的图象有1个对称中心 D. 的最大值是2，最小值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由图形，结合偶函数的性质可逐一判断. 【详解】由图可知，在上单调递减，在上单调递增， 且在上的最大值为，最小值为， 因函数是定义在区间上的偶函数， 则在上单调递减，在上单调递增， 且在上的最大值为，最小值为，故AD正确； 因函数是定义在区间上的偶函数，若有对称轴，则对称轴条数必为偶数，故B错误； 由题意结合图形可知，无对称中心，故C错误. 故选：AD 10. 已知正实数a，b满足，且，则的值可以为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】CD 【解析】 【分析】指数式化为对数式得到，利用对数运算法则和换底公式得到，从而求出可得答案. 【详解】由得到，则，即， 整理得，解得或， 当时，，，则； 当时，，，则． 故选：CD． 11. 已知函数，方程有4个不同实根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出给定函数的图象，利用图象并结合函数性质逐项分析得答案. 【详解】当时，，当且仅当时取等号，则， 函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 对于A，观察图象，当且仅当时，方程有4个不同实根，A错误； 观察图象得， 对于B，由，得，B正确； 对于C，由，得，C正确； 对于D，是方程的两个根，即方程的两个根， 则，因此， 由，得，于是，D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若幂函数在区间上单调递增，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故答案为： 13. 计算的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数幂的运算性质、对数恒等式以及对数换底公式计算可得结果. 【详解】原式. 故答案为：. 14. 设函数，若关于的方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数解析式画出函数图象，根据题设方程根的个数，结合函数图象可得有三个根，有四个实数根，即可确定的取值范围． 【详解】由题设可得：，且， 作图象如图所示， 由得：， ∴，如上图，有三个根， ∴有四个实数根，如上图可得：． 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合. （1）求； （2）已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由指数函数、对数函数的性质确定集合，然后由集合的运算法则计算． （2）由集合的包含关系得不等关系，求得参数范围． 【详解】解：（1），，， . （2）当时，，即成立； 当时，成立. 综上所述，． 【点睛】易错点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的包含关系示参数范围．在中，要注意的情形，空集是任何集合的子集．这是易错点． 16. 已知函数是奇函数． （1）求的值； （2）解不等式：. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数满足求出，再进行验证即可； （2）将变形可得指数不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 因为的定义域为， 又函数是奇函数， 所以，即，解得． 所以， 所以，满足题意， 所以． 【小问2详解】 ，即， 不等式两边同乘以得， 整理得，解得， 即不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围. （3）设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. 【小问2详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得， 当时，不等式成立， 当时， 参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，则， 即， 综上可知，实数的取值范围是. 18. 已知函数的定义域为，对任意实数x，y，都有，且当时，. （1）求的值； （2）证明：在上单调递增； （3）解不等式：. 【答案】（1） （2） 设，且，则. 当时，，所以. ， 所以，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法代入求值即可. （2）利用单调性的定义证明函数单调递增； （3）将条件不等式按照函数关系转换成利用单调性求解自变量的范围不等式即可. 【小问1详解】 令，，代入中得，， 解得； 令，代入原式中得，，取，则； 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以原不等式可化为，即， 又，所以， 又在上单调递增，所以，即， 解得或. 所以该不等式的解集为. 19. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． （1）求的值; （2）若不等式在上有解,求实数k的取值范围; （3）若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. 【小问1详解】 解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则, 即, 解得; 【小问2详解】 由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因为, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; 【小问3详解】 因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记, 当,时, 只需, 解得, 当,, 只需, 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $