精品解析：江苏省南师附中·新城初级中学2025-2026学年上学期八年级数学·12月月考试卷

江苏省南师附中·新城初级中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A. （4，3） B. （4，﹣3） C. （﹣4，﹣3） D. 无法确定 2. 以下各组数为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 6，8，10 D. 5，12，20 3. 点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A. 28 B. 14 C. 21 D. 7 6. 如图，在直角坐标系中，等腰的O点是坐标原点，A的坐标是，直角顶点B在第二象限，等腰的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题：（每题2分，共20分） 7. 5的平方根是__________． 8. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 9. 已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是______． 10. 在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为______． 11. 若点在直线上，则代数式的值是______． 12. 如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 _____． 13. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是____________． 14. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________． 16. 如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 19. 已知，如图，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； （1）上的中线为． （2）上的高为． 21. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点为直线上一点，当时，求点的坐标． （3）若点为直线上一点，当时，点的坐标为__________． 23. 某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共200束，设购进种鲜花束，销售完这200束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 24. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象． （1）求B、C两地之间的距离； （2）什么时候乙追上甲； （3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 25. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 26. 函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南师附中·新城初级中学2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试卷 一、选择题：（每题2分，共12分） 1. 点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（　　） A. （4，3） B. （4，﹣3） C. （﹣4，﹣3） D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】点（﹣4，3）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣3）． 故选C． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 2. 以下各组数为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 1，1， B. 2，3，4 C. 6，8，10 D. 5，12，20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故此选项错误； B、，故不是直角三角形，故此选项错误； C、，故是直角三角形，故此选项正确； D、，故不是直角三角形，故此选项错误． 故选：C． 3. 点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据第四象限点的横坐标为正数，纵坐标为负数，进行作答即可． 【详解】解：∵点在第四象限内，距离轴5个单位长度，距离轴3个单位长度， ∴点的坐标是， 故选：A 4. 若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分别即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 5. 如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（　　） A. 28 B. 14 C. 21 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA，过点O作于点E，作于点F，则由角平分线的性质定理得：OE=OF=OD=2，再由即可求得结果． 【详解】解：连接OA，过点O作于点E，作于点F，如图 ∵BO平分，，， 在和中， ， ∴， ∴OE=OD=2 同理：OF=OD=2 ∴OE=OF=OD=2 ∵ = =28 ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件构造适合角平分线性质定理条件的辅助线． 6. 如图，在直角坐标系中，等腰的O点是坐标原点，A的坐标是，直角顶点B在第二象限，等腰的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当轴平行时，过B作轴于点E，过D作轴于点F，交于点G，根据O点是坐标原点，A的坐标是，得到，推出，，推出，推出；当C与原点重合时，D在y轴上，推出，设所求直线解析式为，将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式． 【详解】当轴时，过B作轴于点E，过D作轴于点F，交于点G，如图1所示． ∵等腰直角的O点在坐标原点，A的坐标是， ∴， ∴，，， ∴D坐标为； 当C与原点O重合时，D在y轴上，如图2所示． 此时，即． 设所求直线解析式为， 将点D两位置坐标代入得：，解得． 则这条直线解析式为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，一次函数．熟练掌握待定系数法确定一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，是解答本题的关键． 二、填空题：（每题2分，共20分） 7. 5的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． 8. 比较大小：________（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题可利用无理数的大小估算，根据，从而比较实数的大小． 【详解】解：∵，， ∴． 9. 已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 10. 在平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，则平移后点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移．根据点的平移规则：横坐标左减右，纵坐标上加下减，求解即可． 【详解】解：平面直角坐标系中有一点，将点先向上平移2个单位，再向右平移3个单位， ∴平移后点的坐标为，即：； 故答案为：． 11. 若点在直线上，则代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，已知△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝98°，∠EAB＝20°，则∠BAD的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是能熟记全等三角形的性质． 13. 已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数图象经过的象限，求参数的范围，根据图象经过第一、二、四象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 14. 如图，函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察一次函数图像，可知当y>3时，x的取值范围是，则的解集亦同． 【详解】由一次函数图像得，当y>3时，， 则y=kx+b>3的解集是． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式结合，深入理解函数与不等式的关系是解题的关键． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是_________． 【答案】4或3 【解析】 【分析】分类讨论分别当∠AA′C=90°时，当∠ACA′=90°时，根据折叠的性质函数直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当∠AA′C=90°时， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴AP=A′P， ∴∠PAA′=∠AA′P， ∵∠ACA′+∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P=90°， ∴∠PCA′=∠PA′C， ∴PC=PA′， ∴PC=AC=4， 如图2，当∠ACA′=90°时， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=8，BC=6． ∴AB=10， ∵以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处， ∴A′B=AB=10，PA=PA′， ∴A′C=4， 设PC=x， ∴AP=8-x， ∵A′C2+PC2=PA′2， ∴42+x2=（8-x）2， 解得：x=3， ∴PC=3， 综上所述：当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是4或3， 故答案为：4或3． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 16. 如图，为锐角，，点在射线上（点与点不重合），点到射线的距离为，若取某一确定值时，的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是______． 【答案】或 【解析】 【分析】先找出点D的位置，再画出符合的所有情况即可． 【详解】解：过B作于D， ∵点B到射线的距离为d， ∴， ①如图， 当C点和D点重合时，，此时是一个直角三角形； ②如图， 当时，此时C点的位置有两个，即有两个； ③如图， 当时，此时是一个三角形； 所以x的范围是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了考查全等三角形的判定，点到直线的距离等知识点，注意：能求出符合的所有情况是解此题的关键． 三、解答题： 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先开方，去绝对值，再进行加减运算即可； （2）先去括号，进行零指数幂，负整数指数幂，开方运算，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了立方根、平方根的意义，解题的关键是掌握平方根、立方根的意义是正确解答的关键． （1）根据平方根的意义进行计算即可； （2）根据立方根的意义进行计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 19. 已知，如图，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： ，是的中点， ，， ； （2） 证明：如图所示： 由（1）知，， 在中，点是的中点，即是底边上的中线， 又， 由等腰三角形“三线合一”性质可得，． 【解析】 【分析】本题考查三角形相关性质证明，涉及直角三角形性质、等腰三角形性质，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）连接，如图所示，在和中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，等量代换即可得证； （2）由（1）知，，在中，点是的中点，即是底边上的中线，由等腰三角形“三线合一”性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； （1）上的中线为． （2）上的高为． 【答案】（1） 解：如图1，即为所求， （2） 解：如图2，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图； （1）作线段，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，延长到点，使得，连接，即为所求； （2）作射线，并截取，过作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，与的垂线交于点，以为圆心，在的垂线上截取，连接，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图， 中，E为边上的一点，连接并延长，过点A作垂足为D，若，，，． （1）试说明为直角； （2）记 的面积为，的面积为，则的值为 ． 【答案】（1） 解： ， ， ，， ∴， ，，， ， 是直角三角形，且为直角； （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的面积． （1）根据勾股定理求出，进而推出，据此即可得解； （2）根据题意推出，根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ，， ， ，， ， 故答案为：． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，直线交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）若点为直线上一点，当时，求点的坐标． （3）若点为直线上一点，当时，点的坐标为__________． 【答案】（1） （2）点的坐标为或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求解函数解析式，轴对称的性质，一次函数图象平行的问题等知识点． （1）运用待定系数法即可求解函数解析式； （2）先求出，然后分两种情况讨论求解； （3）分两种情况讨论，根据一次函数图象平行则k相同以及轴对称的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴ 解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线交于点， ∴， 解得 ∴点， 对于，当时， ∴， ∴， ∴， ①当点在点上方时， ∵， ∴， ∴与重合， ∴； 当点在点下方时，如图： ∵， ∴， ∴点E为中点， ∴， ∴， 综上：点的坐标为或； 【小问3详解】 解： ①当点P在点B上方时，如图， ∵， ∴， ∴直线的函数解析式为， ∴ ∴ ∴ ∴ ②当点P在点B的下方时，设点P关于y轴的对称点为Q，连接交于点， ∴，， 设直线， ∴， 解得 ∴直线的解析式为： ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述：当时，点的坐标为或， 故答案为：或． 23. 某鲜花经销商计划购进、两种类型的鲜花共200束，设购进种鲜花束，销售完这200束鲜花的总利润为元．鲜花的进价和售价如表所示： A B 进价（元/束） 45 60 售价（元/束） 80 100 （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）购进100束A种鲜花，最大利润为7500元 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． （1）设购进种鲜花束，则购进种鲜花束，根据总利润，两种鲜花所得利润之和列出函数解析式； （2）先根据最多投入元用于购进这两种鲜花求出的取值范围，再根据函数的性质求出最大值． 【小问1详解】 解：设购进种鲜花束，则购进种鲜花束， 根据题意得：， 与之间的函数关系式（，且整数）； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 解得：， ∴ 对于， ， ∴随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：购进束种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是元． 24. 一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象． （1）求B、C两地之间的距离； （2）什么时候乙追上甲； （3）当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 【答案】（1）60千米 （2）出发后4.5小时 （3）或3.5或小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系． （1）根据题意，结合图象列式计算即可； （2）设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程，列出方程解答便可； （3）利用待定系数法分别求出时甲行驶的距离与x的关系式以及时，乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【小问1详解】 乙前面的速度为：（千米/小时）， 乙后来的速度为：（千米/小时）， （千米）， 答：B、C两地之间的距离为60千米； 【小问2详解】 甲的速度为：（千米/小时）， 设乙t小时追上甲， 根据题意得， 解得， 答：出发后4.5小时乙追上甲； 【小问3详解】 当时，两车距离小于40， ①当时， 设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为， 代入可得， ， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和 得， 解得， ， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得． 答：当两车相距40千米时，甲车行驶了或3.5或小时． 25. 如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图，过点E作于G，于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ∴，即：， 解得，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 26. 函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． （1）关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； （2）当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； （3）当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】（1）①；2；2；②点P坐标为或或； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． 【小问2详解】 解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得， 解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $