山东省新泰市第一中学北校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2024级高二上学期阶段性考试 数学试卷 考试时间：120分钟：命题人：赵玉良审核人：李成金 2026.01 注意事项： 1。答题前填写好自已的姓名、班级、考号等信息 2。请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每个小题5分，共40分，每个题目有且只有一个答案） 1.已知空间向量a=(-2,x,3),b=3,-1,x),若a16,则x=() A.-2 B.-3 C.2 D.3 2,已知双曲线C+,1经过点M-46,则c的虚轴长为() A.42 B.2V5 C.2 D.2 3。已知等差数列a中，4=山，公差d-,则4与a的等比中项是（) A.3 B. C.5 D.±5 4.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于1位置时，拱顶离水面的高度为 2.5m,水面宽度为10m,当水面下降0.7m后，水面的宽度为() 2.5m 10m A.6√3m B.8√2m C.4√2m D.43m 5.圆C1:(x-2)2+y2=4,圆C2:x2+y2-4y=0,则圆C与C2（) A.相离 B.有3条公切线 C.关于直线x-y=0对称 D.公共弦所在直线方程为x+y+1=0 6.已知M(0,4),N(a,2)两点到直线1：x+y-3=0的距离相等，则a=() A.0 B.2 C.0或2 D.-2或2 已知数列a的首项a山，且满足4：0子，则此数列的道项公式a等 1 于() 试卷第1页，共4页 A.2n B.n(n+1) C. D.v(n+1) 20 8.已如椭圆C言+若=a>6>0的左右焦点分别为R,至，点4在C上，点s在y 轴上，后L丽，A=号，则c的离心率为() A. B. 5 6 C. 2-3 D. 二、多选题（每个小题都有多个答案，全部答对得6分，部分选对得部分分） 9.已知直线：x-y+4=0,动直线l2:(m+1)x+y+2m=0∈R),则（) A.当=2时，1，不经过第一象限 B.4经过定点(-2,2) C.对任意的，直线与1都不重合 D.对任意的m,直线4与l,都不垂直 10.记等差数列{a}的前n项和为S.,若4。=9，S0=200,则（) A.a1=1 B.{an}是递增数列 C.当n=4时，Sn取得最小值 D.若S.>0,则n的最小值为11 山，已知递增等比数列a}的前”项和为$，若41：号，则（> A4 B.S<15 C.a}是公差为lm等差数列 D.{Sn+2}是等比数列 试卷第2页，共4页 第II卷（非选择题） 三、填空题（每个小题5分，共15分，请把正确答案填到答题卡上) 12.如图，已知矩形ABCD中，AB=2,BC=√2，现将△BCD沿对角线BD折成二 面角C-BD-A,使AC⊥BC,则异面直线AB和CD所成角为 D C A B 13. 已知双曲线C仁1(a>0.b>0)的右焦点为瓜，一条渐近线被以点F为圆 心，2a为半径的圆截得的弦长为2a,则双曲线C的离心率为 14.已知过点P(2,1)的直线1交圆O:x2+y2=9于A,B两点，且AP=3PB,则满足 条件的所有直线的斜率之和为 四、解答题（本题共5个小题，共计77分，解答时要写现必要的过程或步骤） 15.（本题13分)已知以点A(1,2)为圆心的圆A与直线4：3x-4y-20=0相切， 直线4：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0. (I)求圆A的标准方程，并求直线所过的定点坐标： (2)求直线被圆A截得的最短弦长及此时直线1，的方程. 16.(本题15分)已知数列{a}满足a+3a2+5%++(2n-1)an=(n-1)3”+1. (1)求{a}的通项公式： (2)已知d.=0:, n+1 求数列宁的前n项和 17.（本题15分)已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且a=4a,S=42. (1)求数列{a}的通项公式： 1 (2)若b2= 求数列b}的前n项和T. log2an·log2an+1 试卷第3页，共4页 18.（本题17分)如图，在四棱锥P-ABCD中， 4B1AD,CDLAD.AB=AD=PD-CD=12A=5.C=5,点Q为棱Pc上一点. B (I)证明：PD⊥平面ABCD; (②)当点Q为棱PC的中点时，求直线PA与平面BD0所成角的正弦值： 3)当二面角P-BD-Q的余弦值为5时，求 3 PC 19.(本题17分)已知椭圆C:千+云-a>6>0的离心率为9，其四个顶点 构成的四边形面积为2√2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若P是C上异于A,B的一点，不垂直于x轴的直线1交椭圆C于M,N两点， AP/IOM,BP/ION ①证明：kavkoN为定值： ②△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由. 试卷第4页，共4页 《2024级高二上学期阶段性考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B C ⊙ AB BD 题号 11 答案 BCD 12.60° 13.2 14.12 15.(1)依题意，点A(1,2)到直线4：3x-4y-20=0的距离即为圆A的半径 =13-8-201 V32+(-4)2 -5,所以圆4的标准方程为x-1)2+0-2=25；-3分 直线2：(x+y+4)+(2x+y-7)=0,由 x+y-4=0 x=3 2x+y-7=0' 解得 y=1' 所以直线过定点M(3,1).-- -----6分 (2)由(1)知|MA=√5<5，点M在圆A内， 当直线2⊥AM时，直线1，被圆A截得的弦长最短，最短弦长为2√F2-AM=45, -9分 因直线AM的斜率kw=,则直线马的斜率为2，方程为y-1=2(x-3列，即 2x-y-5=0 -13分 16.【详解】(1)数列{a}中，a+3a,+5a,++(2n-1)a=(n-1)3”+1, 当n22时，4+3a+5a+.+(21-3)a-1=(n-2)3-+1,----3分 两式相减得(2n-1)a.=(21-)31,解得a=3-1, ------5分 当n=1时，4=1，满足上式， -6分 所以{a}的通项公式为a,=3-1 -7分 (2)由(1)知，4=3,1-n+1 n+1’d=30, 234 T= 32+ ,2+1 234 n.n+1 0+ +,则子++++写 31+ 3，-10分 两式相减得红=2+ 11 11 32+… 1n+1 2=1+3n+1521+ 33 1-13223,13分 3 答案第1页，共4页 z只 -15分 17.（1)设{a}的公比为9，由4=4a4,得q=4,----- -2分 由，=42，得41-4) =42,解得4=2- .-4分 1-4 所以an=4q1=2.4-1=22-1 -6分 (2)由a,=221,得 ea8n-可品》-1分 1 1 1 所以x=-》非动0单1s分 18.（1)在四棱锥P-ABCD中，由PD=AD=1,CD=2,PC=√5，PA=√2， 得PD2+CD2=PC2,PD+AD:=PA,则CD⊥PD,AD⊥PD,--2分 又CD∩AD=D,且CD,ADC平面ABCD,所以PD1平面ABCD.---4分 (2)由(I)知PD,AD,DC两两垂直，以D为原点，直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴 建立空间直角坐标系，--- ---5分 则D0Q0.4.00,a.L0PQ,oD.C0,20,由2为棱心的中点，得o01, pA=1,0,-10,DB=4,1,0,D0=(0,1, -6分 设平面BD0的法向量m=(Ky,), DB.m=xo+o=0 则 0m==0取6，得m-0-12,…8分 设直线PA与平面BD0所成角为6，则sn6=cosm,APAl 1√3 mll PAl6x√261 所以直线PA与平面BDQ所成角的正弦值为5 -10分 6 (3)由(2)知DP=(0,0,1),DB=1,1,0),P℃=(0,2，-1)， 设P0=PC=(0,2元，-2)(0≤≤1)，则D0=DP+P0=(0,22,1-), 答案第2页，共4页 设平面BD0的法向量？=(：，片，)，则 DB=x+=0 D西%=2+0-5=0’令y=元-1，得 2=1-元，1-1,22)，-- ---13分 设平面BDP的法向量为n,=(x,,二)，由 DB2=x2+y2=0 丽%=0，令为=-1，得 2=0,-1,0), -----------15分 由二面角PBD-Q的余弦值为5，得1cos |2-2 V6元-42+2√53’ 3 3,整理得22-1=0，解得元三之，所以P云- -17分 V322-21+1 19.【详解】1)由题意可知椭园的四个顶点构成的四边形面积为；2a2力-2， 且e=c=2 Γa2 所以a=√2，b=c=1, 椭圆的方程是号+1： --2分 (2)①由题意可得A(-2.0,B(N2.0), 设P(飞)，可得三+g=1, 即+2=2，则kk=,。。=片 1 x。-V2x。+V2x6-22’ -7分 因为AP/1OM,BPI1ON, 则akan=kowkow=- 2 -9分 ②易知直线1的斜率存在，设直线1：y=a+n,M(乃)，N(x,), 联立直线y=x+n和x2+2y2=2,可得(1+2k2)x2+4和m+2n2-2=0, 可得名是 -11分 =(+n)(2+n)=k2xx2+nk(s+x2)+n2, 由点akaw==k2+4+(2k+11 2n2-2212-2-2’ 答案第3页，共4页 可得n=k+2 1 -14分 由弦长公式可得wW=1+k2k,-x,=M+k2.,+x,)2-4x2 =1+k2 (2 4k12-4 2n2-2 M+k2 1+2k2 1+2k2 1+2k2 16kf-8e-1)k+1于2+ -16分 V2k2+1 点(Q,0)到直线1的距离为d=M Vk2+1Vk2+1 所以5aewa马， 综上可知，△OW的面积为定值 -17分 2 答案第4页，共4页