精品解析：江苏省苏州实验中学2025-2026学年高二上学期12月学情调研数学试卷

江苏省苏州实验中学 2025-2026学年第一学期12月学情调研 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 4. 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. B. -16 C. -25 D. -36 6. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，，设为大于的质数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 单调递增 C. D. 10. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ） A. 对任意三点，都有 B. 点满足，则点组成的图形面积为4 C. 定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D. 点.到直线的“切比雪夫距离” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上． 12. 在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 13. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 14. 已知无穷数列的首项，对任意正整数，满足，记，若对集合是闭区间，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 16. 设正项数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求的前项和． 17. 在平面直角坐标系中， （1）求点所在的曲线的方程； （2）设点在直线上，若过点存在直线交曲线于两点，使得为线段的中点，求点的横坐标的取值范围． 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 19. 已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线． （1）求双曲线的标准方程； （2）如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． ①求证：在一条直线上，并求该直线的方程； ②对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州实验中学 2025-2026学年第一学期12月学情调研 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D. 考点：抛物线的标准方程及其几何性质. 2. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把直线方程化为斜截式，根据直线方向公式进行判断即可. 【详解】，所以该直线的一个方向向量为， 因为，所以向量与向量是共线向量， 其他选项的向量与向量不是共线向量. 故选：B 3. 样本数据32、22、42、29、34、47、37、38、45、51、49、53的下四分位数（25%分位数）为（ ） A. 32 B. 33 C. 48 D. 49 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数定义计算求解. 【详解】样本数据从小到大排列为22、29、32、34、37、38、42、45、47、49、51、53， 因为，所以下四分位数（25%分位数）为第三个数和第四个数的平均数. 故选：B. 4. 如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 5. 记为等差数列的前项和．若，则（ ） A. B. -16 C. -25 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式列出关于首项和公差的方程组，求出和即可求出. 【详解】设等差数列的公差为， 则由题意，得，解得， 所以. 故选：C 6. 在平面直角坐标系中，直线与圆交于两点，且的面积为1，已知是圆上的动点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再根据的面积求出圆心到直线的距离，最后利用向量的运算和圆的性质求出的最大值. 【详解】圆的方程可化为， 所以圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，根据的面积为1， 得，即，所以，即. 设的中点为，则，， 因为，所以 . 由，得, 的最大值为圆心到直线的距离加上圆的半径， 即，所以的最大值为. 故选：B 7. 已知点是椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，满足，则该椭圆的离心率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆左焦点为，连接，由题设易得，设，可得，，，进而结合勾股定理及余弦定理建立方程得到，，进而求解即可. 【详解】设椭圆左焦点为，连接， 由，则为直角三角形，且， 设，由，得， 由椭圆定义可得，，， 在中，由， 则，即， 由，且， 在中，， 所以，则， 所以，则， 即，则，即， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 8. 已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，分别交抛物线于两点，则直线的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线方程，设切线方程，利用点到直线距离公式求出切线斜率的关系，联立切线与抛物线方程，利用韦达定理求出交点坐标关系，进而求出直线的斜率． 【详解】 点为抛物线上一点， ， 抛物线方程为， 圆的圆心为，半径， 设过的切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径， ， 设两条切线的斜率为，满足， 联立切线与抛物线方程得， 由韦达定理得切线与抛物线的另一交点或的纵坐标为，则， 设点， 则，， ，故A正确． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9. 欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数，例如，，，设为大于的质数，则下列结论正确的是（ ） A. B. 单调递增 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的定义，通过列举法可确定AC正确；通过反例可说明B错误；根据与互素的数不是的倍数的特征可求得D正确. 【详解】对于A，与互素的不超过的正整数有，，A正确； 对于B，，，不是单调递增的，B错误； 对于C，为大于的质数，与互素的不超过的正整数有， ，C正确； 对于D，的倍数与不互素，不超过的共有个，，D正确. 故选：ACD. 10. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，若，记椭圆与双曲线的离心率分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意和椭圆、双曲线的定义联立关于方程，得到，在中由余弦定理得，再根据选项逐一分析. 【详解】设，椭圆长轴长为，短轴长为，双曲线实轴长为，虚轴长为， 根据题意和椭圆、双曲线的定义得， 解得 ， 在中由余弦定理可得， 代入可得， 整理得； 对于选项A，，故错误； 对于选项B，在椭圆中①，在双曲线中②，因为，代入①， 所以，即，故正确； 对于选项C，离心率，，则， 显然不等于，故错误； 对于选项D，，由①②可知，， 即得， 又由B选项结论，得，， 即知，故正确； 故选：BD. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列选项正确的是（ ） A. 对任意三点，都有 B. 点满足，则点组成的图形面积为4 C. 定点，动点满足，则存在常数使得点的轨迹与直线有且仅有1个公共点 D. 点.到直线的“切比雪夫距离” 【答案】ABD 【解析】 【分析】讨论三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断A；运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断B；讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断C；分同号和异号利用距离新定义可得D. 【详解】对于A，对任意三点，若它们共线，设、、， 如下图，结合三角形相似可得或，或，或， 若，则，， 若，则，， 所以； 若、或、对调，可得； 若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形， ； 则对任意的三点、、，都有，故A正确； 对于B，到原点的“切比雪夫距离”等于1的点，即为，若，则； 若，则，故所求轨迹是正方形，面积为4，故B正确； 对于C，定点、，动点，满足， 可得不在上，在线段间成立，可得，解得. 由对称性可得也成立，即有两点满足条件； 若在第一象限内，满足，即为，为射线， 由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线， 则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，故C错误. 对于D，对于直线，若同号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以； 同理，若异号，对于直线上的点，即为时，的值， 联立直线方程， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案写在答题卡相应的位置上． 12. 在直角坐标系中，线段的长为3，其中端点分别位于轴、轴上，点为线段上靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出端点及点的坐标，并求出坐标之间的关系，结合两点间距离公式即可求解. 【详解】设，，. 由可得，，即. 又点为线段上靠近点的三等分点，所以， 即，所以，. 所以，整理得. 故答案为：. 13. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，满足，设线段的中点为，则到轴的最小距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，且到轴的距离为，再根据抛物线定义及三角形性质求解即可. 【详解】由抛物线，得焦点为，准线方程为， 设， 因为线段的中点为，所以，且到轴的距离为， 由抛物线定义及三角形三边关系定理，可知， 当且仅当三点共线时等号成立， 则，即到轴的最小距离为. 故答案为：. 14. 已知无穷数列的首项，对任意正整数，满足，记，若对集合是闭区间，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证得数列为等比数列，得出，再分、两种情况讨论，当时，不妨设，则，再分两种情况讨论，结合为闭区间可得对任意的恒成立，则可求的取值范围. 【详解】因为对任意正整数，满足，所以当时有， 又，所以由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，以为公比的等比数列，即， 因为，所以数列为递增数列，即，故， 当时，，故，此时为闭区间； 当时，不妨设， 若，则， 若，则， 若，则， 综上，， 故为闭区间等价于为闭区间， 若，则，此时为闭区间； 若，则， 又，故需对任意恒成立即可， 故， 即对任意恒成立， 故对任意恒成立， 又当时，，且，故即， 则的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应证明过程或演算步骤． 15. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数、平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】（1） （2）众数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1， 得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以， 总方差为. 16. 设正项数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列，进而可得数列的通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为，且， 当时，则，可得； 当时，则，即， 整理可得，解得或（舍去）； 当时，则， 可得， 则，可得， 两式相减得，整理可得， 且，可得； 且，可知数列是以首项为2，公差为2的等差数列， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以. 17. 在平面直角坐标系中， （1）求点所在的曲线的方程； （2）设点在直线上，若过点存在直线交曲线于两点，使得为线段的中点，求点的横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）假设，根据题意和两点间的距离公式联立关于的方程求解； （2）假设，，根据题意易得点的轨迹方程 ，将问题转化为的轨迹和曲线的轨迹有交点的问题，即两圆相交或相切，进而求的取值范围. 【小问1详解】 设，由题知，根据两点间的距离公式可得，整理得， 等式两边同时平方可得， 即得点所在的曲线的方程为. 【小问2详解】 由题知点在直线上，可设，，由为线段的中点可知，因为在曲线上， 所以，整理可得， 即知点也在以为圆心，1为半径的圆上，设圆心为，半径为，因为点为圆和圆的交点，所以两圆相交或相切， 则，即； 因为，整理得， 所以由不等式可得，即， 解得，故点的横坐标的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，该椭圆的左右顶点分别为，过作直线交椭圆上的另一点，过作直线交椭圆上的另一点，两条直线的斜率为． （1）求椭圆的方程； （2）若，则直线是否过定点，若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由； （3）设直线过点，分别记和的面积为，求的取值范围． 【答案】（1） （2）直线过定点 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得，结合短轴长可得，，即可得椭圆方程； （2）设直线，与椭圆方程联立可得韦达定理，可得，，代入结合韦达定理分析求解即可； （3）可得，，整理可得，进而求的取值范围即可. 【小问1详解】 由题意可知：，可得， 且，即，可得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知：，， 因为直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，，， 联立方程，消去x可得， 则， 可得， 因为点在椭圆上，则，即 设直线的斜率为，则， 即， 又因为，即，可得， 即，可得， 整理可得， 即， 因为，则， 可得，整理可得， 则直线过定点， 且点在椭圆内，直线与椭圆必相交，符合题意， 所以直线过定点. 【小问3详解】 若直线过点，点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 因为， 则，可得， 则，整理可得， 设，则，解得， 即，则，可得， 所以的取值范围为. 19. 已知双曲线过点，且直线为其一条渐近线． （1）求双曲线的标准方程； （2）如图，由作双曲线的切线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线交两条渐近线于，过分别作两条渐近线的平行线交于点，重复以上操作，得到一串点列． ①求证：在一条直线上，并求该直线的方程； ②对任意，设为的面积，的前项和记为，求证：． 【答案】（1） （2） ①显然过且与双曲线相切的直线的斜率存在，设为，则直线的方程为 ，即. 联立，得， 所以， 解得， 所以直线的方程为. 双曲线的渐近线方程为，分别联立和， 得和， 所以，. ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②因为，因为，设直线的方程为， 又过点，所以，得， 所以的方程为， 到直线的距离为，则， 因为共线，且，所以， ， 所以， 所以. 设，直线， 由和，得和 所以交点， . 即， ， 又 所以，. 因为， 所以.  . 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，再根据双曲线经过点，求出双曲线方程. （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0，即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立，即可得到交点坐标，最后根据三点共线，即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立，即可得到的坐标，再利用等比数列求和公式得到，最后再通过裂项求和的方法，即可证明. 【小问1详解】 因为直线为双曲线的一条渐近线，所以设双曲线的方程为， 又双曲线经过点，所以，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $