吉林省长春市九台区九台31中、九台3中、九台行知等2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

九年级数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ) A B C D 二、填空题（每小题3分，共18分） 9.y轴（或直线x=0): 10.-2; 11.3cm; 12.23(或2)： 13. 0 20 14.①②③ 三、解答题（共10小题，共78分） 15.解：，a=2,b=1,c=-2 ∴.b2-4ac=12-4×2X(-2)=17 :x=b±Vb2-4ac=-1±V17 2a 4 x11V17 4 x21-1☑ (6分) 16.解：树状图如下所示： 开始 小明 B C D 小聪ABCD ABCD AB CD ABCD 由上可得，所有机会均等的结果有16种，其中小明和小聪随机选择选到同一种 体育活动的结果有4种 ∴P(小明和小聪随机选择选到同一种体育活动)=生=上 164 (6分) 17.解：(1)证明：，∠ABD=∠C,∠A=∠A .△ABD∽△ACB (2分) (2)解：，'△ABD∽△ACB .AD=AB AB AC ,AB=6,AD=4 C=AB2-62 =9 AD4 ∴.CD=AC-AD=9-4=5 ∴.CD的长是5 (6分) 18.图①2分，图②2分，图③3分，共7分（画图痕迹不唯一） B B B 图① 图② 图③ 19.解：(1)53°≤a≤72°，当a=72°时，A0取最大值 在Rt△AOB中，sin∠ABO=A如 AB ∴.AO=ABsin∠ABO=4Xsin72°≈4×0.95=3.8（米） ∴.梯子项端A与地面的距离的最大值为3.8米 (3分) (2)在Rt△40B中，c0s∠4B0=B0=1.64÷4=0.41 AB .c0s66°≈0.41 .∠ABO≈66° ,53°≤≤72 ∴·人能安全使用这架梯子 (7分) 20.解：（1)25% (2分) 2 (2)设该款吉祥物降价m元，则每件的利润为（68-45-)元，月销售量为 (400+20m)件，根据题意得： (68-45-m)(400+202)=8400 整理得：m2-3m-40=0 解得：=8,2=-5（不符合题意，舍去） 答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达8400元. (7分) 21.解：(1)由题意知，所在抛物线的顶点为(2， 》,且过40,2) :设其表达式为ya(x-2)2+号 2=a(0-2)2号 解得a3 所在抛物线的题数表达式为y是（x-2)2号 8 (4分) (2),点M1,M2到OA的距离均为3米 把=3代入y是（x2)2分 得y=Z 9 把x=3代入y=- 得=、 16 23 23 ∴.M2W2=M1N1= ∴这两条灯带的总长为 米 (8分) 6 8 22.【探究1】AC=CD=BD所依据的基本事实是：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例：或平行线分线段成比例 (2分) (2)①解：如图，点N即为所求： (4分) B 【探究2】证明：如图，O,M分别是BC,AB中点，连接OM, ∴.OM为△ABC中位线 0∥c,o-号4C .△OMM∽△ANC 0N-0I-1 AN AC 2 ∴AO=3ON (7分) 【应用】线段AB的三等分点C的坐标为(4， )或(6，) (9分) 23.解：(1)AC=6 (1分) (2)证明：如图1，连接CE C ,四边形DEFC是矩形 ∴.CE和DF互相平分，设交点为O D '0 ,D是CP的中点，O是CE的中点 ∴.OD是△PCE的中位线 B .OD∥EP 图1 ,F、O、D共线，A、E、P、B共线 ∴.DF∥AB (证法不唯一) (4分) (3)解：分两种情况： ①∠FCE=∠A,如图2 ,四边形CDEF是矩形 ∴.CF∥DE,CF=DE ∴.∠FCE=∠CED B ∴.∠A=∠CED 图2 .DE∥AP ,DE⊥CP .CP⊥AB SAABC=1X6X8=1X10CP 2 4 Cp-24 由勾股定理得：AP= 62-哈)2=8 5 ,DE∥AP,D为CP的中点 E为AC的中点 ∴.DE是△CAP的中位线 ∴DB=1AP=9 2 5 ..cF-DE-9 (6分) ②∠FCE=∠B,如图3 ,∠A+∠B=90°，∠FCE+∠DCE=90° ∴.∠A=∠DCE D ..AP=CP ,'∠FCE+∠DCE=90°，∠BCP+∠DCE=90 图3 ∴.∠BCP=∠FCE=∠B “PB=CP=AP=1AB=5 2 D为CP的中点 :.CD-1cP-5 22 ,∠ACP=∠A ∴.tan∠ACP=tanA .DE_BC DE_3 ∴.DE= CD AC 3 .CF=DE=10 综上，C℉的长是9或 5 3 (8分) (4)DB= 22欧25 5 (10分) 24.解：(1)将A(1,0),B(-5,0)代入y=-x2+bx+c,得 -1+b+c=0 -25-5b+c=0 解得b-4 1b=5 ∴.抛物线的解析式为y=-x2-4x+5 (2分) 在y=-x2-4x+5中，令x=0,则y=5, ∴.C(0,5) (3分) (2)当-3<x≤2时，y的取值范围是-7≤y≤9 (5分) （3),y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9 ∴.抛物线的顶点为（-2,9) 当y=5时，-x2-4x+5=5 ∴x=0或x=-4 当m≤-4时，图象G的最大值为9，最小值为-2-4+5 ∴.9-（-2-4+5)=4 解得=0或m=-4 m=-4时，图象G的最大值与最小值的差为4： 当-4<m≤-2时，图象G的最大值为9，最小值为5 .图象G的最大值与最小值的差为4： 当-2<<0时，图象G的最大值为-m2-4叶5，最小值为5 ∴.-2-4叶5-5=4， 解得=-2（舍去)： 当>0时，图象G的最大值为5，最小值为-m2-4叶5 ∴.5-(-m2-4+5)=4,解得m=2V2-2或m=-2W2-2(舍去) 综上所述：-4≤m≤-2或m=2W2-2时，图象G的最大值与最小值的差为4； (9分) (4)当m=-3或-√3-1<m≤-1时，图象G与直线y=-2+3有且只有一个 公共点. (12分) 62025一2026学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共8页。满分120分，考试时间为120分钟。 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条形码准确粘 贴在条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、 试卷上答题无效。 一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分) 1.式子√a-5在实数范围内有意义，则a的值可以是 A.-3 B.0 C.4 D.6 2.用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是 A.( x+1)2=3 B.(x+1)2=6 C.(x-1)2=3 D.(x-1)2=6 3.下列计算中正确的是 A.V8-V2=W2 B.V(-3)2=-3 C.V24÷V6=4 D.V3w2=V5 4.如图，已知△ABC,∠B=60°，AB=6,BC=8.将△ABC沿图中的DE剪开，剪 下的阴影三角形与△ABC不相似的是 3 E 560° 人60°660 60 660° D C B D B D 5 B A. B. D. 5.己知A（-2,1),B(1,2),C(2,3)三点都在二次函数y=-2(x-1)2 的图象上，则y1,2,3的大小关系为 A.y1<y2<3 B.y1<y3<2 C.2<y1<3 D.y3<y1<2 力.年级数学试颗 第1而共8面 6.某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率， 该事件可能是 A.掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B.掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2 C.从只有2张黑桃和1张红桃（除花色外都相同）的扑克牌中随机抽取一张，抽 出的牌是红桃 D.同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上 频率 0.40 0.30 0.20 0.10 0 2000 4000 6000 8000 10000 次数 7.某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构， 则保持不变的是 A.AB的长度 B.六边形ABCDEF的周长 C.六边形ABCDEF的面积 D.∠ECD=30° D (第7题图) (第8题图) 2 8.如图，平行于y轴的直线与函数y,=二(x>0)和y2=二(x>0)的图象分别交 于4、B两点，OM交双曲线，-2于点C,连接CD,若△0CD的面积为2.则 k的值为 A.4 B.6 C.8 D.10 力.年级数学试颗 第2页共8页 二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分） 9.抛物线y=2x2-1的对称轴是 10.关于x的方程(m-2)x网+x-2=0是一元二次方程，则m的值为 11.如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A、D、B对应的刻度分别为 1、4、7(单位：cm),则CD的长度为 2.如图，△MBC与△DEF位似，位似中心为点O,且化=则△4BC与△DBE所 的周长之比为 M D A B D (第11题图) (第12题图) (第13题图) 13.如图，一张等腰三角形纸片ABC,底边BC=12,高AD=10.若用这张等腰三角 形纸片制作一个正方体的纸盒，阴影部分为正方体展开图，点M、N均落在腰上， 则正方体的棱长为 14.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中，y与x的部分对应值如下表： 下列结论： 0 3 ①抛物线开口向下； 2 4 22 ②当x>4时，y随x的增大而减小： ③抛物线一定经过点（-1，-2)； ④当y>2时，x<0或x>3; ⑤对称轴是直线x=1.其中正确的结论有 (只填序号) 三、解答题（本大题共78分） 15.(6分)解方程2x2+x-2=0 m.业n 16.(6分)某校在大课间有4种体育类活动供学生选择：A.羽毛球，B.乒乓球， C.花样跳绳，D.踢键子，每名学生只能选择其中一种体育活动。请用画树状 图的方法，求小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率. 17.(6分)如图，在△ABC中.过点B作∠ABD=∠C,使边BD交AC于点D. (1)求证：△ABD∽△ACB; (2)若AB=6,AD=4,求线段CD的长. 18.(7分)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点.△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图， 并保留适当的作图痕迹 (1)在图①中的BC边上确定一点D,连结AD,使得an∠DAB= 3 【2)在图②中的4C边上确定一点E,连结BE,使得c0S∠EBC、√2 2 (3)在图③中的4C边上确定一点R,连结Bn,使得sin∠FBC=3 图① 图② 图③ 19.(7分)知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地 面所成的角a一般要满足53°≤a≤72°.（参考数据：sin53°≈0.80，cos539 ≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin669 ≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在 一竖直的墙AO上. (1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值； (2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，∠AB0约为多少度？ 并判断此时人是否能安全使用这架梯子？ B 20.（7分)某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物，以每件68元的价格出 售，经统计，2025年3月份的销售量为256件，2025年5月份的销售量为400件. (1)直接写出该款吉祥物2025年3月份到5月份销售量的月平均增长率为一· (2)从5月末起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，经测试，发现该款吉 祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该款吉祥物降价多少元时，月 销售利润能达到8400元？ 21.(8分)某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L,钢缆 L1,L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC,OA=2米， L1,L2关于OA所在直线对称.L1的最低点到BC的距离为0.5米，到OA的距离 为2米.以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面 直角坐标系. (1)求L,所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带MN1,MN来增加夜景效果，M1M1,MW均与BC垂直， 点M1,M分别在L1,L2上，点N,M在L上，点M1,M饭到OA的距离均 为3米.已知L所在抛物线的函数表达式为y=- ,求这两条灯带的总 16 长 M2L2 B N2 九年级数学试题 第5页共8页 22.(9分)【探究1】利用尺规作图，可以把线段三等分， 已知：线段AB,如图1. 求作：点C、点D,使点C、D在线段AB上，且AC=CD=BD 作法：①作射线AO.(如图2)②在射线AO上依次截取线段AM、MN、NL使 AM=MN=NL,连接LB.③分别过点M、N作平行于LB的直线交AB于 点C、D.则点C、D为所求的点 请写出此时AC=CD=BD所依据的基本事实是 【探究2】已知：如图3，AO是△ABC的一条中线. 求作：点N,使点N在线段AO上，且AO=3ON. 作法：①作AB边的垂直平分线交AB于点M.②连接MC交AO于N.则点N 为所求的点.请利用无刻度直尺和圆规按照“探究二”的作法，在图3中 作出点N,并证明AO=3ON, 【应用】已知，如图4，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点分别为 A(2,3)和B(8,-1)·请直接写出线段AB的三等分点C的坐 标 0 图1 图2 图3 23.（10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8.点P在边AB 上，当点P不与点A重合时，连结CP,取CP的中点D,过点D在CP左侧作 DE⊥CP交折线CA一AB于点E,以CD,DE为边作矩形CDEF. (1)AC的长为 (2)当点E在边AB上时，连结DF,求证：DF∥AB; (3)当点E在边AC上，且∠FCE与△ABC的某一个锐角相等时，求FC的长； (4)当矩形CDEF是正方形时，直接写出DE的长， F E D P B 九年级数学试题 第7页共8页 24.(12分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-5,0)两点， 与y轴交于点C.P是抛物线上的任意一点（不与点C重合），点P的横坐标为 m,抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G, (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当-3<x≤2时，y的取值范围是 (3)当m符合什么条件时，图象G的最大值与最小值的差为4； (4)当m<0时，若图象G与平行于x轴的直线y=-2m+3有且只有一个公共 点，直接写出m的取值范围. y y B A B 备用图