16.5 实践与探索课件2025-2026学年 华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一次函数与方程、不等式的关系及实际应用，通过“复印社收费”“气球上升”等生活情境导入，搭建从具体问题到抽象关系的学习支架，帮助学生逐步理解函数与方程、不等式的内在联系。 其亮点在于以“问题链”驱动探究，通过数与形结合（如图像交点对应方程组解）培养数学思维中的推理能力，用“指距与身高”“杠杆原理”等实例渗透模型意识，助力学生用数学语言表达现实问题。学生能提升解决实际问题的能力，教师可依托结构化资源实施探究式教学，提高课堂效率。

16.5 实践与探索 16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组) 1.认识一次函数与二元一次方程（组）之间的联系.(重点、难点) 2.会用函数观点解释方程及其解的意义. 学 习 目 标 学校每个月都有一些复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费.现在乙复印社表示:若学校先按月付给一定数额的承包费,则可按每100页15元收费.两复印社每月收费情况如图所示. 问题1 根据图象回答: (1)乙复印社的每月承包费是多少? (2)当每月复印多少页时,两复印社实际收费相同? (3)如果每月复印页数在1200页左右,那么选择哪个复印社比较合算? 请同学们交流并解答以下问题. 合 作 探 究 答:(1)乙复印社的每月承包费是200 元. (2)当每月复印800页时,两复印社实际收费相同. (3)如果每月复印页数在1200页左右,那么选择乙复印社比较合算. 合 作 探 究 答:(1)“收费相同”在图象上通过两个函数图象的交点反映出来. (2)在图象上,点的位置越高,对应的函数值就越大,复印费就越多;反之,点的位置越低,对应的函数值就越小,复印费就越少. (1)“收费相同”在图象上怎样反映出来? (2)如何在图象上看出复印费的多少? 思 考 1号探测气球从海拔5m处出发，以1 m/min 的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升．两个气球都上升了一段时间． (1)请用解析式分别表示两个气球所在 位置的海拔y(m)与气球上升时间x(min) 的函数关系． h1 h2 气球1 海拔高度：y =x+5. 气球2 海拔高度：y =0.5x+15． 知识点1 一次函数与二元一次方程（组）的关系 问题2 合 作 探 究 一次函数 二元一次方程 一次函数 y =0.5x+15 二元一次方程 y -0.5x =15 二元一次方程 y =0.5x+15 用方程观点看 用函数观点看 从式子（数）角度看： 一次函数与二元一次方程有什么关系？ 探究1 合 作 探 究 由函数图象的定义可知： 直线y =0.5x+15上的每个点的坐标(x，y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y =0.5x+15上的每个点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解. 15 10 5 -5 5 10 O x y y =0.5x+15 从形的角度看,一次函数与二元一次方程有什么关系? 探究2 合 作 探 究 从数的角度看： 就是求自变量为何值时，两个一次函数 y =x+5，y =0.5x+15 的函数值相等，并求出函数值． 解方程组 y =x+5 y =0.5x+15 h1 h2 (2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究. 气球1 海拔高度：y =x+5 气球2 海拔高度：y =0.5x+15 合 作 探 究 　　二元一次方程 组的解就是相应的 两个一次函数图象 的交点坐标． A（20，25） 30 25 20 15 10 5 10 20 y =x+5 y =0.5x+15 15 5 O x y 　从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关系？ 合 作 探 究 一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．即 方程组的解 对应两条直线交点的坐标. ★一次函数与二元一次方程组的关系 讲 授 新 课 知识点2 利用函数图象解方程组 例1 利用一次函数的图象,求二元一次方程组的解. 分析 方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：y= 典 例 精 析 如图，分别作出一次函数和y= 的图象，得到它们交点的坐标（-4，1），即方程组的解为 y= 典 例 精 析 例2 如图，求直线l1与l2 的交点坐标. 分析：由函数图象可以求直线l1与l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标. 典 例 精 析 解方程组 y =2x+2 y =-x+3 解：因为直线l1过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线l1的解析式为y =2x+2.同理 可求得直线l2的解析式为 y =-x+3. 得 x= y= 即直线l1与l2 的交点坐标为 . 典 例 精 析 如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y P y=ax+b y=cx+d 针 对 练 习 1.若方程组 的解为 ，则一次函数y=2x+1与 y=3x-1的图象交点坐标为______. (2,5) 2.小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标 系内作出了相应的两个一次函数的图象 l1、l2如图 ，他解的 这个方程组是 ( ) D 随 堂 检 测 3. 用图象法解方程组： 1 1 2 2 3 3 -3 -3 -2 -2 -1 -1 解：画出函数 y = -x+3与 y = x+1的图象，可知这 两条直线的交点坐标为 (1，2)， ∴ 原方程组的解为 （1，2） 随 堂 检 测 4. 如图，直线l1:y =x+1与直线l2:y =mx+n相交于点 P（1，b）. （1）求 b 的值； （2）直接写出方程组 的解： ； （3）直线l3: y =nx +m是否经过点 P？请说明理由. 解:(1)把P(1，b)代入y=x+1，得b = 1+1=2. (3)由(1)可知,P(1，2)在直线y=mx+n上， ∴m + n = 2. ∵把P(1，2)代入l3:y=nx+m的左右两边， 即当x=1时，y=n+m= 2， ∴ 直线y=nx+m经过点P. 随 堂 检 测 解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标 一次函数与二元一次方程组的关系 一次函数与二元一次方程 一次函数 二元一次方程 课 堂 总 结 16.5 第2课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 1.认识一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系.(重点) 2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义. （重点） 3.能利用图像直接写出不等式的解集.（难点） 学 习 目 标 知识点1 一次函数与一元一次方程的关系 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个 方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=－1． 用函数的观点看： 解一元一次方程 kx +b =a 就是求当函 数（y=kx +b）值为a 时对应的自变量的值． 2x +1=3 的解 y =2x+1 2x +1=0 的解 2x +1=－1 的解 合 作 探 究 一般地，一元一次方程 ax+b=c (a、b、c为常数，a≠0)的解就是当函数 y=ax+b 的函数值为 c 时的自变量 x 的值. 如:求4x+5=9的解 求一次函数y=4x+5的函数值为9时，自变量的值. 讲 授 新 课 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数y= kx+b 中，y=0时x的值. 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 一次函数与一元一次方程的关系 讲 授 新 课 1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____. -10 0 -10 2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋2与x轴交点坐标为（____,_____）. 5 0 针 对 练 习 例1 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意,得2x+5=17. 解得 x=6 即再过6秒它的速度为17米/秒. 典 例 精 析 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，即y=2x+5. 由2x+5=17 ，得 2x－12=0. 由右图看出直线 y=2x－12与x轴的交点为（6，0）,得x=6. 即再过6秒它的速度为17米/秒. O x y 6 －12 y=2x－12 典 例 精 析 解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数，即y=2x+5. 由右图可以看出当 y =17时，x=6. 即再过6秒它的速度为17米/秒. y=2x+5 x y O 6 17 5 －2.5 典 例 精 析 问题2 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？ （1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1． 知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系 合 作 探 究 　　不等式ax+b＞c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值大于c时对应的自变量取值范围. 　　不等式ax+b＜c的解集就是使函数y =ax+b 的函数值小于c时对应的自变量取值范围． 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 y =3x+2 y =2 y =0 y =-1 合 作 探 究 例2 画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求： （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0). x O B(2,0) A(0,6) y 典 例 精 析 解：（1）由图象可知，不等式 -3x+6>0 的解集是图象位于x轴上方的x的取值范围,即x<2； 不等式0-3x+6<0的解集是图象位于 x轴下方的x的取值范围，即x>2. x O B(2,0) A(0,6) 3 1 (1,3) y （2）由图象可知，当x>1时，y<3. （1）不等式-3x+6>0 和-3x+6<0的解集; （2）当x取何值时，y<3? 典 例 精 析 如图，已知直线y=kx+b与x轴交于点(- 4,0)，则当y>0时，x的取值范围是（ ） A.x>-4 B.x>0 C.x<-4 D.x<0 C 针 对 练 习 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围 从“函数值”看 求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集 确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 的取值范围 从“函数图象”看 ★一次函数与一元一次不等式的关系 新 知 小 结 1．一次函数y=kx+3的图象如图所示， 则方程kx+3=0的解为 . −3 y=kx+3 O y x 3 x=-3 2.一次函数y1=4x+5与y2=3x+10的图象如 图所示,则4x+5>3x+10的解集是( ) A.x<5 B.x>5 C.x>-5 D.x>25 B y2 y1 y x 随 堂 检 测 3.利用图象解不等式 (1)2x－5＞－x＋1， (2)2x－5＜－x＋1． (2)2x－5＜－x＋1的解集是y1＜y2时x的取值范围为x＜2． (1)2x－5＞－x＋1的解集是y1＞y2时x的取值范围为x＞2； 两条直线的交点坐标是(2,－1)，由图可知： 在直角坐标系中画出这两条直线，如图所示． 解：设y1=2x－5，y2=－x＋1， 随 堂 检 测 4.如图，直线y=kx+b经过点A（-1，-2）和点B（-2，0），直线y=2x过点A，则不等式2x＜kx+b＜0的解集是什么？ B x A y O 故答案为：−2＜x＜−1． 即不等式2x＜kx＋b＜0的解集为：−2＜x＜−1． 又因为B(−2,0),此时自变量x的取值范围是−2＜x＜−1． 解不等式2x＜kx＋b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分， 解:根据题意得到y＝kx＋b与y＝2x的交点为A(-1,-2), 随 堂 检 测 一次函数与方程、不等式 解一元一次方程 对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标. 解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围 . 课 堂 总 结 16.5 第3课时 函数在实际生活中的应用 1. 巩固函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题. 2. 把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.（重点） 3. 认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．（难点） 学 习 目 标 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思 考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦. 情 境 导 入 43 10 cm 9 cm 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？ 情 境 导 入 问题1 为了研究某合金材料的体积V()随温度t(℃)变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下: t(℃) -40 -20 -10 0 10 20 40 60 V() 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 能否据此寻求V 和t 之间的函数关系式？ 合 作 探 究 分析 在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点,我们发现,这些点大致位于同一条直线上,可知V 和t 之间近似地符合一次函数关系.我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近,求出近似的函数关系式.如图所示的就是一条这样的直线,较接近的点可考虑取(10，1000.3) 和(60，1002.3). 你也可以将直线稍稍挪动一下,换上其他适当的两点,试一试. 合 作 探 究 概括 我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式.但是现实生活中的数量关系是错综复杂的,在实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系,需要我们根据经验分析,进行近似计算和修正,列出比较接近的函数表达式. 讲 授 新 课 知识点1 一次函数的应用 例1 伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系： 指距x（cm） 19 20 21 身高y（cm） 151 160 169 (1)求身高y与指距x之间的函数表达式； (2)当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？ 典 例 精 析 解：设身高y与指距x之间的函数表达式为y = kx + b.将x=19， y=151与x = 20，y=160代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. （1） 求身高y与指距x之间的函数表达式； 解得k = 9， b = -20. 于是y = 9x -20. ① 将x = 21，y = 169代入①式也符合. 公式①就是身高y与指距x之间的函数表达式. 典 例 精 析 解 :当x = 22时， y = 9×22-20 = 178. 因此，李华的身高大约是178 cm. （2）当李华的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？ 典 例 精 析 小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据： x(厘米) … 22 25 23 26 24 … y(码) … 34 40 36 42 38 … （1）根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？ 针 对 练 习 51 30 32 38 36 34 42 40 23 25 24 21 22 27 26 y (码) x(厘米) （2）据说篮球巨人姚明的鞋子长31cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？ 解：这些点在一条直 线上，如图所示. O 针 对 练 习 解：选取点（22，34）及点 25，40）的坐标代入 y=kx+b中,得 22k+b=34, 25k+b=40. 解得k=2, b=-10 所以，一次函数的解析式为y=2x-10. 把x=31代入上式，得y=2×31-10=52. 因此，可以得到姚明穿52码的鞋子. 针 对 练 习 知识点2 反比例函数的应用 例2 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室. (1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m) 有怎样的函数关系? 解：根据圆柱体的体积公式，得Sd =104， ∴ S 关于d 的函数解析式为 典 例 精 析 (2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向下掘进多深? 解得 d = 20. 如果把储存室的底面积定为 500 m²，施工时应 向地下掘进 20 m 深. 解：把 S = 500 代入 ，得 典 例 精 析 55 (3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，储存室的底面积应改为多少 (结果保留小数点后两位)? 解得 S≈666.67. 当储存室的深度为15 m 时，底面积应改为 666.67 m². 解：根据题意，把 d =15 代入 ，得 典 例 精 析 56 想一想： 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方 程和求代数式的值的问题有何联系？ 第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反． 思 考 长方形面积为 6，它的长 y 与宽 x 之间的函数关系用图象可表示为 ( ) B A. B. C. D. x y x y x y x y 针 对 练 习 58 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m. (1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系? 当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力? 解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5， ∴ F 关于l 的函数解析式为 当 l=1.5m 时， 因此撬动石头至少需要400N的力. 典 例 精 析 (2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少? 解：当F=400× =200 时，由200 = 得 3－1.5 =1.5 (m). 对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F越小. 因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m. 典 例 精 析 在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？ 思 考 假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？ 由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032， 当 F =500时，l =2.4×1029 米， 解： 2000 千米 = 2×106 米， 变形得： 故用2.4×1029 米长的动力臂的杠杆才能把地球撬动. 针 对 练 习 1. 面积为 2 的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为( ) A. x y 1 O 2 x y 4 O 4 B. x y 1 O 4 C. x y 1 O 4 1 4 D. C 随 堂 检 测 2. (1) 体积为 20 cm3 的面团做成拉面，面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 (横截面积) S (单位：cm2)的函数关系为 . (2) 某家面馆的师傅手艺精湛，他拉的面条粗 1 mm2，则面条的总长度是 cm. 2000 随 堂 检 测 3.下图是用棋子摆成的“上”字 ，则第n个图共有多少枚棋子？ 图1 图2 图3 图4 解：先列表： x 1 2 3 … y 6 10 14 … 描点：如图所示 随 堂 检 测 我们发现图形的变化规律为一条直线，我们可设该直线为y=kx+b. 选取点（1，6）及点（2，10）的坐标代入y=kx+b中,得 k+b=6, 2k+b=10. 解得k=4,b=2. 所以，一次函数的解析式为y=4x+2. 把x=n 代入上式，得y=4n+2. 因此，可以得到第n个图形有（4n+2）枚棋子. 随 堂 检 测 4. 世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但 美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(℉)计量 法．两种计量法之间有如下的对应关系： x/℃ 0 10 20 30 40 50 y/℉ 32 50 68 86 104 122 (1) 在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的 分布情况，并猜想y与x之间的函数关系； (2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验； (3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？ (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ 随 堂 检 测 (1)在平面直角坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想y与x之间的函数关系； 解：如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数. 随 堂 检 测 (2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验； 解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入，得 解得 经检验，点(20，68)，(30，86)， (40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式， 所以y与x之间的函数表达式为 随 堂 检 测 (3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？ 解：当y＝0时， 解得 ∴华氏0度时的摄氏温度应是 摄氏度. 随 堂 检 测 (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ 解：把y＝x代入得， 解得 ∴华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40. 随 堂 检 测 5. 蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流 I (A) 是电阻 R (Ω) 的反比例函数，其图象如图所示． (1) 求这个反比例函数的表达式； 解：(1)设 ，把 M (4，9) 代入得 k =4×9=36. ∴ 这个反比例函数的表达式为 . O 9 I(A) 4 R(Ω) M (4，9) (2)当R=10Ω时,电流能是4A吗？为什么？ (2)当 R=10Ω 时，I = 3.6 ≠ 4， ∴当 R=10Ω 时，电流不可能是4A． 随 堂 检 测 函数的应用 ①将实验得到的数据在直角坐标系中描出 ②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式 ③进行检验 ④应用这个函数模型解决问题 课 堂 总 结 A. B. C. D. $