1.2等腰三角形（题型专练）数学新教材北师大版八年级下册

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.2等腰三角形 题型一 等边对等角 题型二三线合 基础达标题 题型三 等边三角形的性质 题型四反证法证明中的假设 题型五用反证法证明命题 题型一根据等角对等边证明边相等 题型二格点图中画等腰三角形 题型三找出图中的等腰三角形 等腰三角形 题型四直线上与已知两点组成等腰三角形的点 能力提升题 题型五求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型六 等腰三角形的性质与判定 题型七等边三角形的性质与判定 题型八含30°角的直角三角形 拓展培优题 题型一等腰三角形的综合应用 A 基础达标题 题型一等边对等角 1.(25-26八年级上全国·期末)等腰三角形的一个角是50°，则它的底角是() A.50° B.65° C.80 D.50°或65° 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的底角相等，结合给定角可能是顶角或底角，分 类讨论进行计算即可求解 【详解】解：~等腰三角形有两个相等的底角，且三角形内角和为180°， 若50°为底角，则底角为50°： 1/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 若50°为顶角，则底角为180°-50÷2=65° ∴底角为50°或65°. 故选：D 2.(25-26八年级上·天津西青·月考)等腰三角形有一个角是100°，则它的底角是() A.40° B.50° C.80° D.100° 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质 根据等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，判断100°角为顶角，进而计算底角. 【详解】解：等腰三角形两底角相等，且内角和为180°， 又100°角若为底角，则两底角之和为200°>180°，不符合题意， ∴100°角为顶角， 两底角之和为180°-100°=80°， 每个底角为80°÷2=40°. 故选A. 3.(25-26八年级上·安徽马鞍山月考)如图，若AB,CD相交于点E,若△ABC≌△ADE,∠BAC=28°， 则∠ACD的度数是() B A.56° B.60° C.88 D.76° 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是 解题的关键 根据全等三角形的性质得到AC=AE，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出LACD的度 数 【详解】解：△ABC≌△ADE, .AC AE, .∠ACD=∠AEC, 2/88 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAC=28°， ∴∠4CD=180°-∠BAC-180°-280 =76° 2 2 故选：D 4.(25-26八年级上江苏扬州期末)如图，在ABC中，∠BAC=114°，点D在BC上，连接AD,若 BA=BD,DA=DC,则∠B的度数为 D 【答案】2828度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理；设∠C=y,由三角形 外角的性质得∠ADB=∠C+∠DAC=2y,由等腰三角形的性质得∠ADB=∠BAD=2y,结合∠BAC=114°， 即可求解 【详解】解：设∠C=y, DA=DC, :ZDAC=ZC=y, ∴.∠ADB=∠C+∠DAC=2y, BA=BD, ∴.∠ADB=∠BAD=2y, .∠BAD+∠DAC=2y+y=3y=114°， .y=38°， ∠C=38°， ∠B=180°-114°-38°=28°， 故答案为：28°. 5.(25-26八年级上湖南衡阳月考)如图，在ABC中，∠C=90°，沿直线DE翻折，使得点A与点B重 合，若∠A=35°，则∠CBD的度数是 3/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】20° 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，由三角形内角和定理求出LABC=55°， 由折叠的性质可得AD=BD,再由等边对等角可得∠ABD=∠A=35°，即可得解，熟练掌握以上知识点并 灵活运用是解此题的关键. 【详解】解：在ABC中，∠C=90°，∠A=35°， LABC=90°-∠A=55°， 沿直线DE翻折，使得点A与点B重合， :.AD BD, 六LABD=LA=35°， ∠CBD=∠ABC-∠ABD=20°. 故答案为：20°. 6.(25-26八年级上·山西忻州月考)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,在AC上取一点F,使 FC=BC,过点F作FD⊥BC交BC于点D,过点C作CE⊥AB交AB于点E,CE交DF于点O,若 ∠AFD=152°，则∠E0F= E B 【答案】62 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角， 先求出∠CFD=28°，进而求出∠ACB=62°，再根据等边对等角得LABC=∠ACB=62°，即可得 ∠FC0=34°然后根据三角形外角的性质得出答案， 【详解】解：~∠AFD=152°， ∠CFD=180°-152°=28°， .∠ACB=90°-28°=62°. AB=AC, ÷LABC=∠ACB=62°， .∠BCE=90°-62°=28°， ∠FC0=62°-28°=34°. 4/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ~∠E0F是△COF的外角， ∴.∠E0F=∠CF0+∠FC0=28°+34°=62°. 故答案为：62. 7.(25-26八年级上全国课后作业)如图，在ABC中，AB=AC,点D为BC边的中点，连接AD,E为 AD上一点，连接BE,若∠ABE=25°，BE=AE,求∠BAC的度数. 【答案】50° 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得∠BAD=∠ABE=25°，根据等腰三角形三线合一性质，可 求得∠BAC=2LBAD. 【详解】：BE=AE, ∠BAD=∠ABE=25°. :AB=AC,点D为BC边的中点， .AD平分∠BAC, ∠BAC=2∠BAD=50°. 题型二三线合一 1.(25-26八年级上·全国期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，若∠BAD=30°， 则∠BAC的度数为() B D A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据AB=AC，AD是BC边上的中线，得 ∠CAD=∠BAD=30°，故∠BAC=∠CAD+∠BAD=60°，即可作答. 【详解】解：AB=AC,AD是BC边上的中线， 5/88 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠CAD=∠BAD=30°， 即∠BAC=∠CAD+∠BAD=30°+30°=60°， 故选：C. 2.(25-26八年级上·全国期末)如图，在ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=8Cm,则BD的 长为() B D A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三线合一，由题可得点D是BC的中点，即可求解 【详解】解：~AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=8cm BD DC=BC=4cm 故选：B 3.(25-26八年级上福建莆田·期中)如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°，则 ∠CAD的大小为 A B 【答案】20°20度 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键。 根据等腰三角形的性质得∠CAD=LBAD,∠B=∠C=70°，再根据三角形内角和定理，计算即可. 【详解】解：~AB=AC,D是BC的中点，∠B=70°， LCAD=LBAD,LB=LC=70°， ∠CAD=∠BAD=180°-∠B-∠C 2 20°， 故答案为：20°. b/6 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级上·山西忻州月考)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=BC=AD,AC⊥CD,若 CD=1,则AC的长为 B 【答案】2 【分析】本题主要考查三角形的全等证明、等腰三角形的性质，余角的性质，垂线定义理解，掌握相关知 识并正确画出辅助线是解题的关键， 作BE⊥AC,由AC⊥CD,LEBA+LBAE=LBAE+∠CAD=∠CAD+∠D=90°，证△EBA≌△CAD(ASA), 再结合等腰三角形的性质即可求解， 【详解】解：如图，作BE⊥AC, AB=BC, 六AE=CE, AC⊥CD,∠BAD=90°， ∠EBA+∠BAE=∠BAE+∠CAD=∠CAD+∠D=90°， ·LEBA=LCAD,∠BAE=LD, AB=AD, △EBA≌△CAD(ASA), ..AE =CD=1, AB=BC, AC =2CE =2CD =2. 故答案为：2 5.(2025八年级上·全国.专题练习)如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,∠ABC=∠AED, 7/88 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点F是CD的中点，求证：AF⊥CD, D 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明以及等腰三角形三线合一，连接AC,AD,由题中己知条件可证明 △ABC≌△AED,即可得到AC=AD,则△ACD为等腰三角形，又因为F为CD中点，根据三线合一可得 AF⊥CD 【详解】证明：连接AC,AD, B R D 在ABC和△AED中， AB=AE ∠ABC=∠AED」 BC=DE △ABC≌△AED(SAS. :AC=AD. :点F是CD的中点， AF⊥CD. 6.(25-26八年级上浙江温州月考)如图，在ABC中，AD⊥BC,E是边BC上的一点，且 AE=AC,∠BAC=80°，∠C=60°. B E D (I)求证：DE=DC; 8/88 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求∠BAE的大小. 【答案】（①）见解析 (2)20° 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角的和差。 (1)先由AE=AC得△ACE是等腰三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论： (2)先由已知得LAEC=LC=60°，则LCAE=60°，再根据LBAE=∠BAC-∠CAE计算即可. 【详解】(1)证明：AE=AC, ∴△ACE是等腰三角形， ~AD⊥BC,即AD⊥EC, .DE=DC; (2)解：AE=AC,∠C=60°， LAEC=∠C=60°， ∠CAE=60°， ∠BAC=80°， .∠BAE=∠BAC-∠CAE=20° 7.(25-26八年级上·湖北孝感期中)证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”.（要求：画出 图形，写出已知、求证，并证明) B 己知：如图，在ABC中， 求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，正确画出图形、写出已 知和求证是解题的关键， 先根据题意画出图形，再根据图形写出已知和求证；证明：连接AD,根据等腰三角形的性质以及AAS证明 ADE≌ADF,再根据全等三角形的性质即可证明结论. 9/88 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】已知：如图，在ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE LAB于E,DF⊥AC于F. 求证：DE=DF, D 证明：连接AD, :AB=AC,D是BC中点， ·.AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质）， 又：DE⊥AB,DF⊥AC, ∠AED=∠AFD=90°， AD=AD, △ADE≌△ADF(AAS, :DE=DF 题型三等边三角形的性质 1.(24-25七年级下·全国·期末)如图，将边长为5cm的等边ABC沿边BC向右平移4cm得到aA'B'C',则 四边形AA'CB的周长为() B'C A.22cm B.23cm C.24cm D.25cm 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，理解平移的性质是解题的关键， 根据平移的性质得到A'C'=AC=5cm,AA'=BB'=4cm,B'C'=BC=5cm,结合图形计算，得到答案. 【详解】解：将边长为5cm的等边ABC沿边BC向右平移4cm得到aA'B'C', .A'C'=AC 5cm,AA'=BB'=4cm,B'C'=BC 5cm, ∴四边形AA'CB的周长=AB+BC'+A'C'+A'A 10/88 1.2等腰三角形 题型一 等边对等角 1．（25-26八年级上·全国·期末）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级上·天津西青·月考）等腰三角形有一个角是，则它的底角是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，若相交于点E，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D在上，连接，若，，则的度数为 ． 5．（25-26八年级上·湖南衡阳·月考）如图，在中，，沿直线翻折，使得点与点重合，若，则的度数是 ． 6．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，等腰三角形中，，在上取一点，使，过点作交于点，过点作交于点E，交于点．若，则 °． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 题型二 三线合一 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在 中，于点D，若，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，D是的中点，，则的大小为 ． 4．（25-26八年级上·山西忻州·月考）如图，在四边形中，，若，则的长为 ． 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在五边形中，，，，点是的中点，求证：． 6．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，在中，是边上的一点，且． (1)求证：； (2)求的大小． 7．（25-26八年级上·湖北孝感·期中）证明命题“等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等”．（要求：画出图形，写出已知、求证，并证明） 已知：如图，在中，______． 求证：______． 题型三 等边三角形的性质 1．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将边长为的等边沿边向右平移得到，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，将两个含角的全等的三角尺摆放在一起，于是我们得到一个等边三角形，，则的面积为 ． 4．（25-26八年级上·广东·期末）等边三角形的面积为，则其边长为 ． 5．（25-26八年级上·天津津南·月考）如图，等边三角形，，，求证：． 6．（25-26八年级上·广西南宁·期中）如图，点D，E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F． (1)求证． (2)求的度数． 题型四 反证法证明中的假设 1．（25-26九年级上·福建福州·月考）用反证法证明：中，，则，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设（ ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）用反证法证明命题“在中，，则”时，首先应该假设（    ） A． B． C．且 D．且 4．（25-26九年级上·江西南昌·月考）用反证法证明“同弧所对的圆心角相等”时，首先应假设（   ） A．同弧所对的圆周角不相等 B．同弧所对的圆心角互余 C．同弧所对的圆心角互补 D．同弧所对的圆心角不相等 5．（25-26八年级上·河南南阳·月考）用反证法证明命题“若，则”时应先假设（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西宜春·月考）用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在的内部”时，首先应假设（    ） A． B．点P在内部 C．点P在上 D．点P在上或点P在外部 7．（25-26八年级上·河南周口·月考）用反证法证明“已知，，则”时，应假设： ． 8．（25-26九年级上·山西朔州·月考）牛顿高度评价反证法在数学证明中的关键作用，认为“反证法是数学家最精良的武器之一”．如图，用反证法证明命题“如果，那么”，首先应假设 ． 题型五 用反证法证明命题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）填空： 小明尝试用反证法证明“一个三角形中不能含有两个直角”，他写出了以下三个步骤： ①假设在中，和都是直角； ②则， ； ③假设不成立，所以一个三角形中 含有两个直角．（填“能”或“不能”） 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：一个三角形中最大的内角不小于． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）用反证法证明：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 5．（25-26八年级上·山东聊城·月考）用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 6．（25-26八年级上·福建泉州·期中）华东师大版八年级上册数学课本第12—13页的“阅读与思考”：为什么说不是有理数． (1)【阅读与思考】假设是有理数，那么存在两个互质的正整数p和q，使得，由的意义可得，即______．① 显然，是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数． 设（s是正整数），代入①，得______． 显然，q也是偶数，则p和q都是偶数，不互质，这与假设p和q互质矛盾． 这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数． (2)【方法类比】类比上述说理过程，推理说明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．将下面的过程补充完整． 已知：如图，是的一个外角． 求证：． 证明：假设______________． 在中，， ∴______． ∵______， ∴______， ∴______， ∴与假设相矛盾， ∴假设不成立， ∴原命题成立，即． (3)【迁移与应用】小明有一张长方形彩纸，面积为，长与宽之比为．他想用这张彩纸剪出一个半径为的圆形卡片作为生日贺卡，他能做到吗？ 题型一 根据等角对等边证明边相等 1．（25-26七年级上·湖南·期末）如图，平行四边形中，平分交边于点，则线段的长度分别为（　　） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 2．（25-26八年级上·江西赣州·月考）如图，已知平分，平分，且，设，，，则的周长是 ． 3．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，将三等分，点D，在上． (1)求的度数； (2)写出图中所有的等腰三角形． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，是的外角． (1)尺规作图：作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 5．（25-26八年级上·全国·期中）如图，B，E，C，F是直线l上的四点，相交于点G，，，．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 6．（25-26八年级上·重庆合川·期中）如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 7．（25-26八年级上·云南红河·期中）如图，是的角平分线，交于点，求证：是等腰三角形． 8．（25-26八年级上·河北衡水·期中）在中，D是边上的一点，，，． (1)求的度数； (2)若，，试用a、b表示的周长． 题型二 格点图中画等腰三角形 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，在的正方形网格中，A，B是两个格点，连接，在网格中找到一个格点C，使得是以为腰的等腰三角形，则满足条件的格点C有 个． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中，两个格点，请在图中再寻找另一个格点，使成为等腰三角形，则满足条件的点有 个． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）在如图所示的的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位． (1)请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为8个平方单位的等腰三角形； (2)请你在图2中画一个以格点为顶点，一条斜边长为的直角三角形． 4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图在网格中，点，为格点，按要求画出格点三角形． (1)在图①中画出以为腰的等腰三角形，则你画的等腰三角形的周长为______． (2)在图②中画出以为底的等腰三角形，则你画的等腰三角形的面积为______． 5．（25-26八年级上·广东江门·期中）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②给定网格中按要求作图，使所作图形的顶点均在格点上．      (1)在图①中以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中以为底边画一个等腰三角形． 6．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、E、H均在格点上．只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为腰画一个等腰三角形； (2)在图②中，以为边画一个三角形，使； (3)在图③中，画的高线． 题型三 找出图中的等腰三角形 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分交于点，交于点，则图中共有等腰三角形（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 4．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，在中，点D在边上，． (1)写出以点B为顶点的三角形； (2)写出以为边的三角形； (3)找出图中的等腰三角形和等边三角形． 5．（25-26八年级上·贵州黔西·月考）如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 6．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北荆门·期中）平面直角坐标系中，已知点和，若动点在轴上运动，则使为等腰三角形的点有（   ）个． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知AOB，在x轴上确定点C，使ABC为等腰三角形，若，则符合条件的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，若点P为直线上一点，且为等腰三角形，则符合条件的点P有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在中，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线相交形成的夹角中，锐角为，交点为，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有 个． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题： (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有 个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有 个． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在直线上能否找到点A，使以为一边的是等腰三角形，如果能的话，试着把它找出，并把它画出来． 题型五 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点C在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．5个 D．7个 2．（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（21-22八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（24-25八年级上·全国·期中）点是等边三角形所在平面上一点，若和的三个顶点所组成的、、都是等腰三角形，则这样的点的个数为 5．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．      (1)请画出关于轴对称的 (2)直接写出，，三点的坐标； (3)在轴上找出点，使得点到点、点的距离之和最短（保留作图痕迹） (4)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，符合条件的点有 个． 6．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 题型六 等腰三角形的性质与判定 1．（24-25八年级上·湖南邵阳·期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若线段，则 ． 2．（25-26八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，点、在边上，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 3．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，D是的中点，E、F分别在上，且． (1)求证： (2)若，求的长 (3)求证： 4．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在四边形中，，平分，且，过点作于点，连接并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求四边形面积． 5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，点是边上一点，于点，与交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，请判断的形状，并说明理由． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图1，，， (1)求证：； (2)若，设，求的值； (3)如图2，若，延长交于，设，，猜想，满足的关系式并证明． 题型七 等边三角形的性质与判定 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，点D为边上一点，连接，，过点C在的右侧作，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西商洛·月考）如图，在中，，，．将沿BC所在直线向右平移得到，连接．若，则线段的长为 ． 3．（25-26八年级上·天津·月考）如图，在中，，，点在边上，，射线，垂足为点，点是射线上的一动点，点在线段上，当的值最小时，则 ． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，若，，求的长． 5．（25-26八年级上·天津西青·月考）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？ ．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，D是延长线上一点，平分，且． 求证：是等边三角形． 7．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 8．（25-26八年级上·天津·月考）如图，等腰中，，，，点D在线段上运动（不与，重合），将与分别沿直线，翻折得到与． (1)的长度为_______； (2)求的度数； (3)当点D是的中点时，判断是何种三角形，并说明理由． 题型八 含30°角的直角三角形 1．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，已知中，，，平分，且交于点D，，那么的长是（    ） A． B．2 C．1 D． 3．（25-26九年级上·福建泉州·月考）如图，在中，，是边上的高，，，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为等边三角形，过点B作，过点A作，垂足为D，已知的周长是24，则的长为 ． 5．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，在中，，平分交于点，过点作交于点，，．点是边上的一个动点，当时，则的度数为 ． 6．（2026九年级·全国·专题练习）如图，运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得米，仰角为，3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．（结果精确到1米/秒，参考数据：） 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，是等边三角形，是边上一点，以为一边向上作等边，连接． (1)求证： (2)若，求的度数 (3)在（2）的条件下，若，求的长 8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点； (1)求的度数； (2)若，求的长． 题型一 等腰三角形的综合应用 1．（25-26八年级上·山西忻州·月考）高效路径规划中的转化策略 在数学与实际问题解决中，我们常常通过转化，将陌生情境转化为熟悉模型．“最短路径”问题便是经典范例，其核心思想在物流规划、电路设计、交通优化等领域有着广泛应用． 情境导入 某新建社区计划在主干道上设立一个便民配送中心，用于同时服务位于同侧的居民区和商业区．为保证配送效率，需确定点的位置，使得从到，再从到的总路程最短．该问题可抽象为以下几何模型： 问题一：基础模型构建 （1）如图1，已知直线外有两点和位于异侧．请你在直线上确定一个点，使最短（保留作图痕迹，不写作法），这其中的道理是_____________． 问题二：实际应用作图 （2）已知直线及同侧两点A，B的位置如图2所示．请使用尺规作图，在上标出使最短的点的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 问题三：拓展情境探究 （3）如图3，该社区进一步优化服务，在两条交叉的道路与旁分别设立了“智能快递柜”与“便民缴费点”．居民王阿姨需要从家出发，先到道路上的快递柜取件，再到道路上的缴费点办理业务，最后回到家． ①请分别在边，上各找一点E，F，使得走过的路程最短．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示） ②若，，求的周长的最小值． 2．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）在和中，，射线相交于点． (1)如图1，当时，则与的数量关系为：___________，____________； (2)如图2，当时，请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； (3)如图3，当时，连接，当三点刚好在同一直线上时，请直接写出的度数． 3．（25-26八年级上·北京海淀·月考）如图，是等边三角形，D，E两点是边和上的动点（点D不与点B重合），满足，与交于点F． (1)直接写出的度数； (2)作点B关于直线的对称点M，连接，点N为的中点，连接． ①依题意补全图形： ②请写出一个k的值，使得对于满足上述条件的任意一点F，总有成立，并证明． ③设等边三角形的边长为2，直接写出周长的最小值为__________． 4．（25-26八年级上·福建南平·期中）如图1，在等边三角形中，于D，于E，与相交于点O． (1)求证：； (2)如图2，若点G是线段上一点，平分，，交所在直线于点F．求证：； (3)如图3，若点G是线段上一点（不与点O重合），连接，在下方作，边交所在直线于点F．猜想：、、三条线段之间的数量关系，并证明． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $