精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市第一中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：张宏波 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 2. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 6. 角终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 8. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 10. 设函数的最小正周期为，曲线记为，若，且为的零点，则（ ） A. B. 曲线关于点中心对称 C. 在区间内的最大值为 D 曲线向右平移个单位长度后与重合 11. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 点是图象的一个对称中心 C. 的单调递减区间为 D. 在内恰有6个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数x，y满足，则的最小值是__________. 13. 函数且的图象过定点，则___________． 14. 不等式的解集为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 16 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. （1）若，，并且，，且，求的值； （2）已知，且，求． 18. （1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 19. 化简求值： （1） （2）化简 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：张宏波 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算法则可得，继而利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由题意得，，且，. 因为，所以， 所以，则,当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 故选：C 2. 已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数图象变换得出，由求出的取值范围，由求得，结合题意得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由三角函数图象变换可得， 当时，，则， 因为，则， 因为，总存在唯一实数，使得， 当时，， 由题意可知，解得， 故实数的取值范围是. 故选：B. 3. 设线段，点从点出发沿线段向点运动，其任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离，已知与运动时间满足，其中为常数，为自然对数的底数.点从点出发沿射线作匀速运动，两点同时出发且初始速度相同.当的长度分别为与时，的长度分别为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别表示出即可解出答案. 【详解】设，则. 当时，点在点处，其尚未经过的距离为线段的总长度， 即，解得，即. 因为点在任意时刻的速度值等于它尚未经过的距离， 设点在时刻的速度为，即， 所以点的初始速度为. 又两点同时出发且初始速度相同， 故点的速度，则. 当的长度为时，时间为，代入中，得，即，两边取自然对数，得. 同理，当的长度为时，时间为，得. 当时，点走过的距离为， 同理，当时，点走过的距离为， 故， 故选：C. 4. 若是关于的一元二次方程的两个实根，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】由是关于的方程的两个实根， 所以， 所以， 当时，方程为，解得，； 反之，当时，，即，解得或， 当时方程为，判别式，方程无实数根，不合题意，所以. 综上：“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 6. 角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的定义，即可得到结果. 【详解】因为角的终边经过点， 则. 所以 故选：B 7. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D. 8. 正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为对任意实数x恒有求解. 【详解】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 10. 设函数的最小正周期为，曲线记为，若，且为的零点，则（ ） A. B. 曲线关于点中心对称 C. 在区间内的最大值为 D. 曲线向右平移个单位长度后与重合 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意先确定函数，再利用代入法、整体法、图象变换判断选项. 【详解】因为函数的最小正周期为，且， 因为，则， 则或，而，所以，A正确； 又为的零点，则， 所以，则， 又，所以，则， 当时，， 所以点是的对称中心，故B正确； 当时，，所以，C错误； 曲线向右平移个单位长度后得： ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 点是图象一个对称中心 C. 的单调递减区间为 D. 在内恰有6个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的周期性、对称性、单调性及零点等性质逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，，所以，. 选项A：结合余弦函数的图象及性质可知，的对称轴为，， 当时，，故A正确； 选项B：结合余弦函数的图象及性质可知，的对称中心为，，故B错误； 选项C：令，，解得，， 所以单调递减区间为，故C正确； 选项D：令，即，即， 解得，，即，， 所以在内的解为：，共6个零点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 正实数x，y满足，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的运算性质，结合代换、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正实数x，y满足， 所以， 因为x，y是正数， 所以，当且仅当时取等号， 即当且仅当时取等号， 因此， 因此当时，有最小值， 故答案为： 13. 函数且的图象过定点，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数型函数定点问题，当指数求解即可． 【详解】令，则，故的图象过定点， 则，故． 故答案为：3． 14. 不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】， 解得：， 即不等式的解集为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过代入求 （2）先计算定义域，定义域关于原点对称且判断是奇函数 （3）将不等式化简，凑出符合基本不等式的形式求最值，结合恒成立要求得范围 【小问1详解】 解得： 【小问2详解】 的定义域为 ，所以是奇函数. 【小问3详解】 ，即 整理得：， 两边同乘以，得 当时，， 所以上式等价于 因为 当且仅当，即时等号成立 所以的取值范围是. 16. 设. （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【小问1详解】 不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. （1）若，，并且，，且，求的值； （2）已知，且，求． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果. （2）先由的值，求出的值，根据，展开求解. 【详解】（1）由，，且，得， 又，所以， 因为，则，，所以， 所以， 而，则，所以； （2）由，则，又，则， 而． 18. （1）若“，使得”是假命题，求实数m的取值范围； （2）设集合，若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）先求出真命题，然后根据二次函数性质求解即可； （2）分和两种情况讨论，分别求出对应的的范围，然后取并集即可. 【详解】（1）因为“，使得”是假命题， 所以其否定为“，使得”是真命题， 所以，解得， （2）若，当时，有，解得; 当时，如图， 或 有或， 解得或， 综上可得，或 19. 化简求值： （1） （2）化简 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用和将整理得到，利用二倍角的正弦公式和辅助角公式得解. （2）利用和将整理即可得解. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $