16.1 变量与函数 课件 2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“变量与函数”核心内容，涵盖变量常量、函数概念及表示方法，自变量取值范围与函数值等知识点。通过行星位置、气温海拔等生活情境导入，以热气球、用电负荷等实例为支架，衔接从具体变化现象到抽象数学概念的认知过程。 亮点在于以生活情境培养数学眼光，如刹车距离公式让学生抽象数量关系，通过合作探究（如热气球高度与时间关系推理）发展数学思维，用解析法等多种形式训练数学语言表达。分层设计和典例精析助学生夯实基础，教师可直接用于教学，提升课堂效率。

16.1 变量与函数 16.1 第1课时 变量与函数 1．联系自己的学习、生活实际，通过具体情境领悟函数的概念，了解常量、变量，知道自变量与函数，能写出简单的函数表达式；(重点) 2．探究变量的发现和函数概念的形成，以及表示方法.(难点) 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间而变化 情 境 导 入 气温随海拔而变化 情 境 导 入 汽车行驶里程随行驶时间而变化 情 境 导 入 为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律. 情 境 导 入 知识点1 变量与常量 我们生活在一个变化的世界，通常会 看到在同一变化过程中，有两个相关 的量，其中一个量往往随着另一个量 的变化而变化，那我们如何来研究各 种运动变化呢? 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 讲 授 新 课 如图，用热气球探测高空气象. 当t=3 min，h为650 m 设热气球从海拔500 m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 … 当t=2 min，h为600 m 当t=1 min，h为550 m 当t=0 min，h为500 m 问题1 合 作 探 究 （1）计时一开始，热气球的高度是多少？ （2）热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？ （3）你能总结出h与t的关系吗？ 500 m 50 m×1＝50 m 50 m×2=100 m 50 m×3=150 m 50 m×4=200 m … 50 m×t=50t m h=500+50t 合 作 探 究 气球升空的高度h m 保持不变的量 （常量） 热气球原先所在的高度500 m 热气球上升的速度50 m/min 不断变化的量　　　　　　 热气球升空的时间t min （变量） （4）哪些量没有发生变化？哪些量发生了变化？ 结论：在一个变化的过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量. 合 作 探 究 例1 指出下列事件过程中的常量与变量： (1) 某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是 ，变量是 ； (2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是 ，变量是 ； (3)三角形的一边长5 cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式为 ，其中常量是 ，变量是 . 5 a，m 2，π C， r 注意：π是一个确定的数，是常量. S， h 典 例 精 析 例2 阅读并完成下面一段叙述： ⒈ 某人持续以a米／分的速度用t分钟跑了s米，其中常量 是 ,变量是 . ⒉ s米的路程，某人以a米／分的速度跑完需要t分钟,其 中常量是_____,变量是 . 在不同的条件下，常量与变量是相对的. a t，s s a,t 注意：区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值. 3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的结论： 典 例 精 析 　　指出下列变化过程中的常量和变量： （1）汽油的价格是7.4元/升，加油x 升，车主付油费y 元； （2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平 均每天所看的页数为 n； （3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm ，其面积为 S cm2． （4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α°，则另一锐角 的度数β°与α°间的关系式是β=90－α. 针 对 练 习 下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线. O 问题2 知识点2 自变量、因变量与函数 合 作 探 究 (1)你发现哪些变量？ 　　　 (2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5 h、20 h，你能 找到这一时刻的用电负荷y MW（兆瓦）是多少吗？说 明了什么？ 时间、负荷 时间 负荷 因为负荷随时间的变化而变化. 能，分别为10 000MW、15 000MW.说明t的值一确定，y的值就唯一确定了. 因别人变化而变化的量_______. 自我发生变化的量________； 为什么？ 合 作 探 究 (3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？ 它们是在什么时刻达到的？ 这一天的用电高峰在13.5 h达到18 000MW，用电低谷在4.5 h达到10 000MW. 合 作 探 究 汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素. 某型号的汽车在平整路面上的刹车距离s m与车速 v km/h之间有下列经验公式： 问题3 合 作 探 究 (1)式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自我发生变化的量？哪个量是因别人变化而变化的量？ (2)当刹车时车速v 分别是40、80、120 km/h时，相应的刹 车距离s分别是多少？ 当v＝40 km/h时，s＝6.25 m； 当v＝80 km/h时，s＝25 m； 当v＝120 km/h时，s＝56.25 m. ①256；②s,v；③v；④s. 合 作 探 究 一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数. 讲 授 新 课 例3 下列关于变量x、y的关系式：y =2x+3；y =x2+3；y =2|x|；④ ；⑤y2-3x=10，其中表示y是x的 函数关系的是 ．  方法总结：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 一个x值有两个y值与它对应. 典 例 精 析 知识点3 函数及其表示方法 时间t/min 0 1 2 3 4 5 6 7 … 海拔高度h/m 500 550 600 650 700 750 800 850 … 汽车刹车问题 用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法. 我们把通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法. 探究1 用热气球探测高空气象 探究2 合 作 探 究 绘制气温变化曲线 时间t(时) 8 10 2 4 6 12 14 16 18 20 22 24 0 温度T(C) 2 4 6 8 -2 -4 0 我们把用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法. 探究3 合 作 探 究 函数的三种表示法： y = 2.88x 图象法、 列表法、 解析法． 1 4 9 16 25 36 49 讲 授 新 课 1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间 的关系式为 ，这个关系式中， 是常 量， _是变量， 是 的函数. 60 s=60t t和s s t 2.油箱中有油30 kg，油从管道中匀速流出，1 h流完，则 油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数 关系式是 . 随 堂 检 测 3.写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数. （1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式； （2）n边形的对角线条数s与边数n之间的关系式. 解:(1) ，其中200是常量，v、t是变量,v是自变量， t是v的函数. (2) ，其中 ，-3是常量，s、n是变量，n是 自变量，s是n的函数. 随 堂 检 测 4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量. （1）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化； （2）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地面积 y（单位：m2）随这个村人数 n 的变化而变化； （3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为x，它对应 的实数为 y，y 随 x 的变化而变化． 随 堂 检 测 解：（1）S 是x的函数，其中x是自变量. （2）y 是n的函数，其中n是自变量. （3）y 不是x的函数. 例如：到原点的距离为1的点对应实数1或-1. 随 堂 检 测 变量与常量 变量与函数 自变量、因变量与函数 函数及其表示方法 课 堂 总 结 分层设计 数学 HS 八年级下 第2课时 自变量的取值范围及函数值 分层设计 数学 HS 八年级下 学 习 目 标 1.理解自变量应符合实际意义. 2.会求函数的值，并确定自变量的取值范围.(难点) 分层设计 数学 HS 八年级下 新 课 导 入 请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系： （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）； s=60t （2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y． y=（n-2)×180° 问题（1）中，t 取－2 有实际意义吗？ 问题（2）中，n 取2 有意义吗？ 知识点1 根据实际问题列函数关系式 分层设计 数学 HS 八年级下 讲 授 新 课 知识点2 自变量的取值范围 上个课时的三个问题中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？ 自变量t的取值范围:______. t≥0 情景一 问题 分层设计 数学 HS 八年级下 讲 授 新 课 1 2 3 4 5 … … 1 3 6 10 15 层数n 物体总数y 情景二 罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 自变量n的取值范围：_________. n取正整数 分层设计 数学 HS 八年级下 讲 授 新 课 一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到 -273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学把-273℃作为热力学温度的零度.热力学温度T(K)与摄氏温度t(℃)之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0. 情景三 自变量t的取值范围：________. t≥-273 分层设计 数学 HS 八年级下 讲 授 新 课 　　根据刚才问题的思考，你认为函数的自变量可以取任意值吗？ 　　在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，在限制的范围内，函数才有实际意义；超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围． 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，得 2x+y=180°, 有y=180°-2x. 由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是 0＜x＜90°. y x 例1 等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围. 分层设计 数学 HS 八年级下 针 对 练 习 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ -2 x取全体实数 . 0 . -1 . -2 分层设计 数学 HS 八年级下 新 知 小 结 1.函数表达式有意义 求函数自变量的取值范围时，需要考虑： 2.符合实际 （4）表达式是复合式时，自变量的取值是使各式成立的公共解. （3）表达式是偶次根式时，自变量的取值必须使被开方数为非负数.表达式是奇次根式时，自变量取全体实数； （1）表达式是整式时，自变量取全体实数； （2）表达式是分式时，自变量的取值要使分母不为0； 分层设计 数学 HS 八年级下 讲 授 新 课 t/ min 0 1 2 3 4 5 … h / m … 3 11 45 37 37 11 由图象或表格可知：当t=0时，h=3，那么，3就是当t=0时的函数值. 知识点3 函数值 右图反映了摩天轮上的一点的高度h (m)与旋转时间t(min) 之间的关系，那么怎么表示它们各自大小呢？ 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 例2 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 解：（1）当x=2时，y= ; 当x=3时，y= ; 当x=-3时，y=7. （2）令 解得x= 即当x= 时，y=0. 把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值. 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 例3 等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时点A与点M重合，让△ABC向右运动，最后点A与点N重合． (1)试写出重叠部分面积y cm2与MA长度x cm之间的 函数关系式； 解： y与x之间的函数关系式为 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 (2)当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少? 故当点A向右移动1 cm时，重叠部分的面积是 cm2. 解：点A向右移动1 cm，即x＝1，此时 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 例4 汽车的油箱中有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1) 函数关系式为 y = 50－0.1x. 0.1x表示的意义是什么？ 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 （2）指出自变量x的取值范围； (2) 由x≥0及50－0.1x ≥0， 得0 ≤ x ≤ 500， ∴自变量x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500. 注意：确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数表达式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义. 汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！ 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？ (3)当x = 200时，y=50－0.1×200=30. 故当汽车行驶200 km时，油箱中还有30 L油. 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 问题二：x 、y 之间存在怎样的数量关系？这种数量关系可以以什么形式给出？ 例5 一个三角形的周长为y cm，三边长分别为7 cm、3 cm和 x cm. (1) 求y关于x的函数关系式； y=x+10 分析：问题一：题中包含了哪些变量？分别表示什么？ 根据题设，得 y=x+7+3. 分层设计 数学 HS 八年级下 典 例 精 析 例5 一个三角形的周长为y cm，三边长分别为7 cm、3 cm和 x cm. (2) 求自变量x的取值范围. 4<x<10 分析：三角形的三边关系应满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即7-3<x<7+3 . y=x+10 (4<x<10) y关于x的函数关系式： 注意：对于实际问题中的函数，自变量的取值要符合实际意义. 分层设计 数学 HS 八年级下 随 堂 检 测 1.下列说法中，不正确的是（ ） A.函数不是数，而是一种关系 B.多边形的内角和是边数的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 2.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( ) A. B. C. D. C C 分层设计 数学 HS 八年级下 随 堂 检 测 3.求下列函数中自变量x的取值范围： . 1 . 0 . -1 x取全体实数 x取全体实数 分层设计 数学 HS 八年级下 随 堂 检 测 4.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3千米,一律收费8元；超过3千米时，超过3千米的部分，每千米加收1.8元.设乘坐出租车的里程为x（千米）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值； 解：当0＜x≤3时，y=8； 当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6. 当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4. 分层设计 数学 HS 八年级下 随 堂 检 测 （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？ 解：当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数.理由：因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应. 分层设计 数学 HS 八年级下 随 堂 检 测 5.一长方形的周长为8 cm，设它的长为x cm，宽为y cm. (1)求y关于x的函数关系式； (2)写出自变量的取值范围. 解：(1)y关于x的函数关系式为 (2)自变量的取值范围为 分层设计 数学 HS 八年级下 课 堂 总 结 自变量的取值范围 函数 符合实际意义 函数值 自变量对应的因变量的值 $