预习10 直线与圆的位置关系（3知识点+8题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习10 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2 直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点3 直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 1．直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 4．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 5．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【题型2 由直线与圆的位置关系求参数】 6．已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 10．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求圆上一点的切线方程】 11．过点与圆：相切的直线方程为 . 12．圆的过点的切线的一般式方程为 . 13．已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 14．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（   ） A． B． C． D． 【题型4 求圆外一点的切线方程】 15．一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C． D．不存在 16．过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 18．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 19．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 圆的切线长问题】 20．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 21．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 22．已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 23．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 24．过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 25．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【题型6 圆的弦长问题】 26．已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 27．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 28．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 29．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 30．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 31．直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 【题型7 直线与圆的实际应用】 32．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 33．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 34．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    35．一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 36．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【题型8 直线与圆的位置求距离的最值问题】 37．经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 38．已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 39．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 40．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（   ） A．2 B．1 C． D． 4．已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 5．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 8．我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 10．已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 三、填空题 11．直线被圆截得的弦长为 . 12．过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为 . 13．若集合，且，则的取值范围为 ． 四、解答题 14．已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 15．已知直线与圆. (1)若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值; (2)设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值． 16．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)设P是直线上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得为正三角形，求点P的坐标． 17．已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习10 直线与圆的位置关系 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点一、直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由 消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2 直线与圆相交 1．圆的弦长问题 几何法 （常用） 如图所示，设直线被圆截得的弦为，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则有关系式： 代数法 若斜率为的直线与圆相交于两点，则(其中)． 特别地，当时，；当斜率不存在时， 2．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形(如图中的)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用． 知识点3 直线与圆相切 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．（注：过圆内一点，不能作圆的切线） 【题型1 判断直线与圆的位置关系】 1．直线，圆，则圆上的点到直线的距离等于的点有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】因为直线，圆， 所以，， 由于圆的半径为2，所以恰好有3个对应的点到直线的距离等于. 故选：D. 2．已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 3．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【详解】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 4．已知圆：，将直线：绕原点按顺时针方向旋转后得到直线，则（    ） A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆无公共点 【答案】B 【详解】直线：即，斜率为，倾斜角为， 将直线绕原点顺时针方向旋转得到直线，则直线的倾斜角为， 所以直线的方程为，即， 圆：的圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 直线与圆相交但不过圆心. 故选：B. 5．已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【详解】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 【题型2 由直线与圆的位置关系求参数】 6．已知直线和圆，则“”是“直线l与圆O相切”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由圆，可得圆心，半径， 若直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，则，解得， 所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：C. 7．已知直线和圆相离，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】化圆为， 得圆心坐标为，半径为，解得：， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离，所以，所以，解得：. 所以m的取值范围为. 故选：B. 8．设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合表示直线上及上侧所有点， 集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点， 又与相切， 所以若只含一个元素，则， 故选：C． 9．（多选）能使圆：恰有四个点到直线：距离等于1，则的值可能为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【详解】因为圆的方程为：， 所以圆心，半径. 若圆上恰有4个点到直线的距离为1，则 圆心到直线的距离等于. 即，解得. 显然0和1在该区间内. 故选：AB. 10．若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，曲线表示的曲线为圆心在原点， 半径为1的圆在轴以及轴上方的部分． 在同一坐标系中，作出斜率为1的直线，在直线平移的过程中可发现， 直线过时先与半圆形有2个交点，此时. 再将直线向上平移一直到最后与半圆相切，此时，且, 即， 所以满足条件的的取值范围. 故选：D. 【题型3 求圆上一点的切线方程】 11．过点与圆：相切的直线方程为 . 【答案】 【详解】易知点在圆上，故所求切线与直线垂直， 又，所以所求切线斜率， 故所求切线方程为，即. 故答案为：. 12．圆的过点的切线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 点在圆上,则， 则切线的斜率， 则切线的方程为,变形可得; 故答案为: 13．已知圆，直线过点且与圆相切，若与两坐标轴交点分别为、，则 . 【答案】 【详解】由题意可知，圆心为，半径为， 因为，所以，点在圆上，由圆的几何性质可知，， ，所以，直线的斜率为，故直线的方程为，即， 直线交轴于点，交轴于点， 因此，. 故答案为：. 14．过点作圆：的切线，直线：与直线平行，则直线与的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为满足圆的方程， 所以点在圆上，又，所以， 因，则，解得， 故切线：，即. 因为切线与直线平行，所以，解得， 故直线：， 则平行直线与间的距离为. 故选：A. 【题型4 求圆外一点的切线方程】 15．一条光线从点射出，经直线：反射后与圆：相切，则反射光线所在直线的斜率为（   ） A．或 B．或 C． D．不存在 【答案】B 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为：，即， 由，可得，半径， 则圆心到切线的距离等于半径，得， 解得，所以. 所以反射光线所在直线的斜率为或. 故选：B. 16．过直线上一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆的圆心为， 由图知，当直线关于直线对称时，与直线垂直. (理由：设直线切圆于点，易得平分， 又直线关于直线对称，故直线平分的邻补角，故可得) 故直线的方程为，即， 由解得：，即点的坐标为. 故选：B. 17．（多选）已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】圆的圆心，半径， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，点到直线的距离为1，不符合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由直线与圆相切得：，解得或， 所以直线的方程为：或. 故选：AC 18．已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 19．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆的方程知：圆心，半径， ， 的几何意义是圆上的点与点连线的斜率， 设过点的圆的切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，. 故选：C. 【题型5 圆的切线长问题】 20．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【详解】由题意有，即. 故选：B. 21．过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 22．已知直线与垂直，则 ；过上一动点向圆作切线，切点为，则 . 【答案】 2 4 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得， 所以， 因为圆的圆心为，半径为， 由题意得当最小时，连线与直线垂直， 所以， 由勾股定理得， 所以的最小值为， 故答案为：；4. 23．一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切于点，则光线从到经过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】可知点关于轴的对称点， 又圆，即，则圆心，半径， 故， 根据对称性可知，光线经过的路程即为， 故选：C. 24．过动点作圆的切线，点为切点，若（为坐标原点），则的最小值是 . 【答案】 【详解】根据题意，设的坐标为，圆的圆心为，则. 为圆的切线，则有， 又由，则有，即， 变形可得：，即在直线上， 则的最小值即为点到直线的距离， 且，即的最小值是； 故答案为：. 25．过直线上任一点P向圆作两条切线，切点为A，B．则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设圆的圆心为，半径为1， 由切线长定理可得， 又因为，，则，所以， 所以，则四边形面积为， 所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 【题型6 圆的弦长问题】 26．已知直线与圆交于两点．当变化时，则（   ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】A 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2， 直线，即， 则圆心到直线的距离为， 所以，则， 因为，则， 当时，取得最大值1，此时， 当或时，，此时趋近于4，所以无最大值. 故选：A. 27．已知直线与圆相交于，两点，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设圆心到直线的距离为， 则由点到直线的距离公式可得， 因为，圆的半径为，所以，解得. 故选：D. 28．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 29．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是. 故答案为：. 30．已知过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 ． 【答案】或. 【详解】已知圆的方程为，将其配方可得. 所以该圆的圆心坐标为，半径. 设圆心到直线的距离为，已知弦长为，可得. 得，两边同时平方可得，解得. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足圆心到直线的距离，所以是直线的方程之一. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 可得圆心到直线的距离. 即，两边同时平方可得，解得. 所以直线的方程为，即.   故答案为：或. 31．直线与圆交于两点，若的最大值为4，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为直线与圆交于两点， 所以当的值最大时，其为圆的直径，而的最大值为4，得到， 则圆的方程为，设圆心到直线的距离为， 如图，记圆心，直线必过定点， 由圆的性质得，当时，最大，此时的值最小， 由斜率公式得，此时， 由题意得，则， 由点到直线的距离公式得， 由勾股定理得，解得， 综上可得的最小值为. 故答案为： 【题型7 直线与圆的实际应用】 32．某圆拱桥的水面跨度12米，拱高4米，现有一船宽8米，则这条船能从桥下通过的水面以上最大高度约为（   ）（参考数据，）. A．2.5米 B．2.7米 C．2.6米 D．3.1米 【答案】C 【详解】解：如图，以圆拱桥横跨水面上的正投影为轴，过桥的最高点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系，设图中矩形EFGH为船刚好能通过桥下时的位置， 则，，，， 设圆拱桥所在圆的方程为， 由已知得：； 解得，. 故圆的方程为 令，解得 结合题意可得这条船能从桥下通过的水面以上最大高度为2.6（米）， 故选：C. 33．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 34．某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 35．一座圆拱形桥（圆的一部分），当拱顶距离水面2m时，水面宽为12m．当水面下降1m后，水面宽为 m． 【答案】 【详解】以圆拱拱顶为直角坐标系原点，以过圆拱拱顶的竖直直线为纵轴，建立如图所示的坐标系， 设圆心为，半径为，则圆的方程为：， 拱顶距离水面时，水面宽为，可知点在圆上， 把点的坐标代入圆方程中得：，解得， 所以圆的方程为：， 当水面下降时，设， 代入圆方程得：，解得，即， 该点关于纵轴的对称点的坐标为，因此此时水面宽为m. 故答案为：. 36．某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1)作图见解析 (2)不会有触礁危险，理由见解析 【详解】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【题型8 直线与圆的位置求距离的最值问题】 37．经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆经过点，半径为，设圆心的坐标为， 可得圆心到点的距离为， 即，化简可得， 所以圆心的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆. 可得原点到直线的距离为：， 所以点到直线的距离最大值为原点到直线的距离加上圆的半径，即. 故选：B. 38．已知直线：，是圆：上的一动点，则点到直线的距离的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线：，可化为， 由，解得，，所以过定点， 又因为点在圆上，且，圆的圆心为，半径， 所以当，且，，三点共线时，点到直线的距离最大，最大为， 此时，所以直线的斜率为1，即，无解， 故直线不存在，所以； 当直线与圆相交或相切时，点到直线的距离最小，最小为0， 故点到直线的距离的取值范围为． 故选：B． 39．已知点、在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为， 所以，圆心为，半径为， 由中垂线的性质可得，则， 所以，点在以点为圆心，半径为的圆上， 点到直线的距离为， 所以，. 故选：C. 40．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P到直线的距离为d，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】动直线 过定点 ， 动直线 即 过定点 . 因为， 所以直线与直线垂直， 又直线的斜率一定存在， 点 在以 为直径的圆上（去除点）， 圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离为 所以圆与直线 相切（切点不是点），的最小值为0； 圆的直径，且点到直线 的距离为，所以， 即 的取值范围为 . 故选：A . 一、单选题 1．“”是“直线与圆相切”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径， 由直线与圆相切，得，解得， 反之，当时，直线与圆相切， 所以“”是“直线与圆相切”的充要条件. 故选：C 2．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或3， 所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件. 故选：A． 3．若过点的直线与圆相切，又与直线平行，则（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】设与直线平行的直线为， 又直线过点，所以，所以直线为， 又因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 故选：D. 4．已知圆，直线，若圆上有且仅有一点到直线的距离为1，则（   ） A．2 B． C．±2 D． 【答案】D 【详解】由题意有：圆心到直线的距离为2， 所以， 故选：D. 5．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【详解】直线过定点，圆， 设到距离为， ，时，. 故选：B． 6．若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意得：为恒过定点的直线， 由曲线，可得， 所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆，如图所示， 当直线与圆相切时，有， 解得：（舍去）或， 把代入，得， 的取值范围是,． 故选：D. 7．设圆的圆心为，直线与该圆相交于两点．若，则实数（   ） A．1 B．3或1 C．3 D．3或 【答案】D 【详解】将直线代入圆的方程可得：， ， 设， 所以， ，则， 所以 ， 化简得：， 解得：或， 故选：D 8．我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 二、多选题 9．过点的直线与圆只有一个公共点，则斜率k可能的取值情况为（ ） A． B．1 C．0 D．不存在 【答案】CD 【详解】圆，圆心为，半径为， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 直线与圆相切； 当直线斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径，即，解得； 综上所述，直线的斜率为或者不存在. 故选：CD 10．已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由题知，令直线的斜率为， 则，，，A正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，B正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，C错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题 11．直线被圆截得的弦长为 . 【答案】4 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 12．过原点的直线与圆交于、两点，若三角形的面积为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】圆的半径为，圆心为， 则， 所以，此时圆心到直线的距离为， 若直线与轴重合，则圆心到直线的距离为，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得，故直线的方程为. 故答案为：. 13．若集合，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 若满足集合，则赋予几何意义后可知， 点在半圆上移动， 问题转化为：直线与半圆有公共点． 以3为半径的圆在轴上方的部分，如图所示， 而则表示一条直线，其斜率，纵截距为， 由图形可知，欲使，即直线与半圆有公共点， 当直线与圆相切时，，即此时， 由图形可知：的最小逼近值为－3，最大值为，即． 故答案为： 四、解答题 14．已知点和点是圆直径的两个端点． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得的中点， ∴圆心，故半径， ∴圆的标准方程为． （2）∵为圆的切线，∴，则， ∵，∴， ∴过点的切线方程为，即切线的方程为． 15．已知直线与圆. (1)若圆C上有且只有一个点到l的距离为1，求r的值; (2)设是圆C上的动点，若的最小值为2，求r的值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，圆心到直线的距离为， 所以时，圆 C上有且只有一个点到l的距离为1； （2）由，即圆C上点到直线的距离最小值为1， 因为圆心到直线的距离为， 所以. 16．在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)设P是直线上的一点，过P向圆C引两条切线，切点为A、B，使得为正三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）曲线与坐标轴的交点为，，． 由题意可设C的圆心坐标为， 所以，解得， 则半径， 所以圆C的方程为． （2）由题意得，在中，， 设，则，解得或， 所以点P的坐标为或． 17．已知轨迹的方程为. (1)过点作轨迹的切线，求切线的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于两点和两点，求四边形ACBD的面积的最大值. 【答案】(1)和 (2)7 【详解】（1）圆的圆心，半径， 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为2，等于半径，直线与圆相切. 当切线斜率存在时，设切线斜率为k， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离，解得，切线方程为. 所以，所求的切线方程为和. （2）若两直线都有斜率，可设直线的方程为，则直线的方程为， 圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以， 同理，， 所以四边形ACBD的面积． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段、的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7．    11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$