精品解析：新疆维吾尔自治区名校2025～2026学年高二上学期12月阶段检测数学试题

2025~2026学年12月高二年级·名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线的斜率，根据斜率再求直线的倾斜角即可. 【详解】直线的方程为，即， 则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以， 因为，所以. 故选：A. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简后求得的值. 【详解】因，故， 所以， 化简得：，. 故选：B. 3. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦半径，以及锐角三角函数即可求解. 【详解】过作垂直抛物线的准线，垂足为，过作于点， 由于，则，故,进而，故. 故选：A 4. 已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，从而得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为圆的方程为， 所以圆的标准方程为， 故，解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 5. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化成椭圆的标准方程形式，即可求解. 【详解】方程等价于， 因为方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以， 解得，则实数k的取值范围是. 故选：D. 6. 已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的方程，采用三角代换，利用点到直线的距离公式表示出点到直线：的距离，结合辅助角公式即可求得答案. 【详解】由，可得其参数方程为（为参数）， 可设，点到直线：的距离为， 则有，其中，， 故当时，，取得最小值， 此时，， 即当的坐标为时，有最小值为. 故选：B. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ） A. 18 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得四边形为矩形，从而可得，，由双曲线的性质可求得，从而可得，利用勾股定理及双曲线的定义可求得，由三角形面积公式即可得解． 【详解】直线与双曲线交于，两点，若， 则四边形为矩形，所以，， 由双曲线可得，，则， 所以，所以， 又， 所以，解得， 所以． 故选：C． 8. 已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据两圆相交求得，求出点P的横坐标，构造函数，利用导数求出值域即可得解. 【详解】根据题意，曲线即，是以为圆心，半径为3的圆， 曲线即，是以为圆心，半径为3的圆， 由两圆相交得，解得，又，所以， 两圆相减得直线AB方程，令得， 令，则，所以在单调递增， 所以. 所以点的横坐标的取值范围为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 【答案】AC 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，然后求出离心率，渐近线方程，焦距，逐项判断即可. 【详解】因为双曲线， 所以的标准方程为， 故焦点在轴上，， 故焦距为，离心率为，渐近线为， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC 10. 如图，在直四棱柱中，，，，，是棱的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在实数，，使得向量 C. 异面直线与所成的角不可能是 D. 平面与平面夹角的余弦值的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面平面可判断A；建立空间直角坐标系，由向量法可得，由空间向量共面基本定理可判断B；由题意可得，由异面直线所成角向量法计算可判断C；由面面角向量法计算可判断D. 【详解】对于A，在直四棱柱中，，， 所以平面平面， 因为在线段上，所以点到平面的距离是定值， 因为是棱的中点，所以的面积是定值， 则三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，，，， 因为，所以， 故，， 因为，所以， 则，，共面，则存在实数，，使得向量，故 B正确； 对于C，， 设，则，从而， 故， 令，得，解得， 则异面直线与所成的角可能是，故C错误； 对于D， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 取平面的一个法向量为， 则， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一.某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（）.则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点A，B在曲线C上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，P是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用给定的曲线方程，列出符合要求的整点判断A；利用圆及椭圆性质计算判断B；求出面积最大值判断C；利用余弦定理及椭圆定义，借助基本不等式求出最小值判断D. 【详解】对于A，由曲线与，知，， 当时，令，得曲线内部（不含边界）的整数点为， ，有12个，A正确； 对于B，曲线中，当时，，此时曲线上的点到原点的距离为2， 椭圆的长短半轴长分别为，该椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2， 则半椭圆上的点到原点距离最大值为3，最小值为2， 因此曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5，B错误； 对于C，当点在半圆弧上时，；当点之一在半圆弧上时， 不妨令点在半圆弧上，则，；当点是半椭圆顶点时， ；当点在半椭圆上（不是顶点），设直线，则直线， 设横坐标分别为，由，得， 同理得， ， 令，， 因此，C正确； 对于D，点恰为椭圆的两个焦点，而点P在半椭圆上， 则，当点不共线时， 由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，当点共线时，，D错误. 故选：AC 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出点的坐标，并求出点的坐标，再利用点到直线距离公式求解. 【详解】由直线经过点，设， 由向量，得， 所以点到直线的距离. 故答案为： 13. 以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用焦点坐标即椭圆中的关系求出椭圆的标准方程，然后分析椭圆上的动点在何处时最大. 【详解】因为为椭圆的焦点， 所以，， 所以由， 所以椭圆的标准方程为：， 如图所示： 因为为椭圆的左焦点，为椭圆上的动点， 故当处于右顶点时最大， 且最大值为， 故答案为：3. 14. 已知点在抛物线：（上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的公式可得目标代数式的几何意义，故可求其最小值． 【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为2，所以， 则表示点到轴的距离与到直线：的距离之和的倍， 点到轴的距离等于点到准线的距离减1， 设抛物线的焦点为，则点到轴的距离等于， 故， 设点到直线：的距离为，如图， 由图知， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由两点间斜率公式结合垂直直线斜率关系求出所求直线的斜率，再由点斜式即可得解； （2）依次求出和，数形结合斜率与直线倾斜角的关系即可求解. 【小问1详解】 由题， 因为l与直线AB垂直，所以， 所以l的方程为. 【小问2详解】 依题意，， 若l与线段AB有公共点，如图，则l的斜率k的取值范围是， 设直线倾斜角为，则， 故倾斜角的取值范围是. 16. 已知两圆和.求： （1）取何值时，两圆相内切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】（1）； （2）公共弦所在直线方程为，公共弦长为. 【解析】 【分析】（1）求出两圆的圆心，半径，圆心距，可得若两圆内切，只能是，带入半径求解即可； （2）两圆方程相减即可得公共弦所在直线方程，求出圆心到公共弦的距离，再由弦长公式求弦长即可. 【小问1详解】 设圆：，可化为， 则圆心，半径， 设圆：，可化为， 则圆心，， 由于圆心距，， 则要使得两圆内切，需，即，解得. 【小问2详解】 当时， 圆：， 两圆的方程相减，可得，即， 则两圆的公共弦方程为. 则圆心到公共弦的距离为， 由弦长公式，可得弦长为. 17. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【答案】（1） （2） （i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 【解析】 【分析】（1）联立方程组并利用韦达定理得到，再结合题意求解参数，得到抛物线方程即可. （2）（i）法一直接利用斜率公式结合韦达定理得到定值，法二利用齐次化结合直线系方程求解定值，（ii）法一结合已证定值，求出直线方程，进而求解定点，法二结合齐次化得到的定值求出直线方程，最后求出定点即可. 【小问1详解】 设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. （1）求证：； （2）（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 【答案】（1） 在长方形中，，M为DC的中点，则， 平面平面，平面平面，且， 由，得，则平面，又平面， 所以. （2）（i）E在线段三等分点且靠近D1点时；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）（i）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法列式求解；（ii）求出外接球的球心，进而求出半径即可得其体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）过点M作平面的垂线，并以此线为z轴，以直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 由点E是线段上的一动点，设， 则， 平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，得， 由二面角的余弦值为，得， 解得，点E是线段靠近D1的三等分点， 所以点E是线段靠近D1的三等分点时，二面角的余弦值为. （ii）由（i）知，，则点，线段的中点， 由，得的外心为中点，因此三棱锥的外接球球心 在过垂直于平面的直线上，设三棱锥外接球的球心为O， 由，得，解得， 因此三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球的体积为. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方）（如图①）.将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直（如图②）. （1）在图①中，若，求弦长的值. （2）若，求三棱锥的体积. （3）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 折叠前的周长为， 折叠后的周长为， . 在图①中，设，直线的方程为， 联立，得， ，， ， 在图③中，，， ， 移项得， 两边平方得 ， ，即， ，化简得，无解， 不存在直线满足题意. 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程为，再联立椭圆方程，解出两点坐标，根据两点距离公式即可； （2）由（1）确定折叠后新坐标，然后由体积公式计算体积； （3）建立解析中所示空间直角坐标系，由三角形周长求得，设方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，，化简得，然后代入求出值即可． 【小问1详解】 设，当时，直线的方程为， 联立，得， . 【小问2详解】 如图③，以原图②的轴为轴，原图②的轴负半轴所在直线为轴， 原图②的轴正半轴所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由（1）得， . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到折叠前后的联系，建立空间直角坐标系，设出点的坐标，然后连接方程，利用空间量的知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年12月高二年级·名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 6 C. D. 3. 已知抛物线 的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知圆的方程为，若圆O的半径小于8，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆：，直线：，若点为上的一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（ ） A. 18 B. 10 C. 9 D. 6 8. 已知曲线与曲线相交于A，B两点，直线AB交轴于点，则点的横坐标的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线，则的（ ） A. 焦点在轴上 B. 焦距为3 C. 离心率为 D. 渐近线为 10. 如图，在直四棱柱中，，，，，是棱的中点，是线段上的动点，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在实数，，使得向量 C. 异面直线与所成的角不可能是 D. 平面与平面夹角的余弦值的最大值是 11. 京剧脸谱艺术深受广大戏曲爱好者喜爱，是中国传统文化的标志之一.某校戏曲社团在研究中发现，如图的“脸谱”图形可近似地看作由半圆和半椭圆组成的曲线C.其中，半圆的方程为（），半椭圆的方程为（）.则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C内部（不含边界）有12个整点（横、纵坐标均为整数） B. 曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为6 C. 若点A，B在曲线C上，且，则面积的最大值为3 D. 若，，P是半椭圆上的一个动点，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，直线经过点，若向量，则点到直线的距离为___________． 13. 以为焦点的椭圆上有一动点M，则的最大值为___________. 14. 已知点在抛物线：（上，若抛物线的焦点到准线的距离为2，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，直线l经过点. （1）若l与直线AB垂直，求l的方程； （2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围. 16. 已知两圆和.求： （1）取何值时，两圆相内切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 17. 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． （1）求抛物线的方程； （2）若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 18. 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，得到四棱锥（如图2），使得平面平面ABCM. （1）求证：； （2）（i）若点E是线段上的一动点，当点E在何位置时，二面角的余弦值为. （ii）在（i）的条件下，求三棱锥的外接球体积. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点（其中点在轴上方）（如图①）.将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直（如图②）. （1）在图①中，若，求弦长的值. （2）若，求三棱锥的体积. （3）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比为?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $