黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年高三上学期1月期末数学试题

2025~2026学年度上学期高三期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由M={-1,0,1,2},N={x-1<x<2},得M∩N={0,1}.故选A 2.C由(2+i)x=4一yi得2x=4,x=-y,所以x=2,y=一2，所以|x-yi=2√2.故选C. 3.B因为焦点到准线的距离为1，所以p=1,只有B选项符合.故选B. 4.B若a⊥b,b⊥c,则a,c异面、平行、相交都有可能；若a⊥b,a∥c,则b⊥c,所以“b⊥c”是“a∥c”的必要不充分 条件.故选B. 5.C由幂函数的定义知，m2-3mm+1=1,解得m=0或m=3,当m=0时，f(x)=x1,f(x)在(0，+∞)上单 调递减，不符合题意；当m=3时，f(x)=x,f(x)在(0，十∞)上单调递增，故选C 6A设C的焦距为2，则sm∠ME==,M,=.MP=4-1MR,=ge, 2c 1M,-3厘c2a=M-M,11=2c,所以离心率e=合-少放选A 5 a ?D设该四棱台的下底面边长为a,高为么，则上底面边长为号，体积V-子（心+号+号）A-化，其巾= 9.46,16<a<17,所以1412.7<V<1594.8.故选D. 8.B由f(-x)=x2+e十e-3=f(x)知f(x)是偶函数，又f(x)的定义域为R,x≥0时，f(x)=2x+e e1≥0，所以f(x)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+o∞)上单调递增，所以f(a)<f(2a+3)可化为a2< 2a十3，当2a+3≥0时，a2-2a-30,-1<a3;当2a+3<0时，a+2a+3<0,此不等式对实数a不成 立.综上，a的取值范围是（一1,3）.故选B. 9AD因为a的终边与一吾的终边垂直，且0<a<x,所以a=受一吾=音，cosa=cos音=之，ana=m号 =月sin(受+a）=osa=分放选AD 10.BC对于A,设公差为d,则a+10d=2, (5a1+10d=-30, 解得a=一8 故an=a+(n-1)d=-8+n-1=n-9,a d=1, =-2<0,故A错误；对于B,因为d=1>0,故{am}为单调递增数列，故B正确；对于C,Sn=一8n+ K"X1=方f吕，令S>0,得>17或0（会去），放使S>0的n的最小值为18，故C正确， 对于D,因为an=n一9，当n≤8时，an<0,当n=9时，an=0,当n>9时，an>0,故当n=8或9时，Sn最小， 故D错误.故选BC. 11.ACD由题意知a<0<bc<d,所以ad<0<bc,故A正确；a<0<b<1<c<2<d,由f(a)=f(b),得 16g1-a）=-be1-》,所以e1-a)1-b)=0,所以1-a)1-b)-=1,即a+6=ab,所以日+石 =1,同理2+日-=1，所以日+古++合=2,2a+6=(2a+b(日+2)=3+台+碧=3 (乡。+号)≤3一2厄，当且仅当安=号，即a=1-号b=1-2时等号成立，但此时不清足4<0<，故 等号不成立，2c+d=(2+(日+日)=3+4+登≥3+2E,当且仅当-学，即c=1+号，d=1+ √2等号成立，故B错误，C,D正确.故选ACD, 【高三期末考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-L-412C a O b l c2 d 12.[6,10)圆x2+y2-2x-6y+a=0方程可化为(x-1)2+(y-3)2=10-a,所以0<10-a≤4，解得6≤a <10. 返号得台-器·后管。=成m号 a 2 14.0因为a=2 bsin C,由正弦定理得sinA=2 sin Bsin C,因为A十B+C=π，所以A=x-(B+C),则sinA= sin[x-(B+C)]=sin(B+C),又因为sinA=2 sin Bsin C,所以sin(B+C)=2 sin Bsin C,即sin Bcos C +cos Bsin C=2 sin Bsin C,由于△ABC是锐角三角形，sinB≠0，sinC≠0，等式两边同时除以sin Bsin C,得 到需+=2，即品C十B=2,因为A+B+C=,所以A=-(B+0,期mA sin C --tan(B+-O=h8所以aA一名Ban C-=-生Q-a Ban C.由 tan B+tan C anC十anB2,可得anB+tanC-2 tan Btan C,令1=tan Btan C,由△ABC是锐角三角形知tanA>0, 1 am5>0.amC0.l,则aA2 an Ba C=-41=2-号- 41 2,根据基本不等式得2 是言=2-（受十2）<2-2-0，当日仅当1=2时等号成立，即品A之mmC的最大值为0 15.解：(1)由f(0)=2sin9=1得sin9=2, …2分 因为g<受，所以p=否 …4分 (2)由(1)知f(x)=2sin(2x+), 所以g()=f(x)-2cos2x=5sin2x+cos2x-2os2x=2sin(2x-否）， …7分 由2kx一受≤2红-石≤2km十受，k∈Z,得kx-吾≤≤kx+子，k∈么，…9分 由2x+音<2x-吾≤2kx+要，k∈Z,得km十子<≤kx+要，k∈Z …11分 所以g《x)的单调递增区间为[饭一吾x十子]，CZ:单调递减区间为[x十受6x+要]，∈乙 13分 16.解：(1)由题意，得n≥2时，an+1=4(a-1+1), …2分 又a+1=4,所以。2片=4心. 所以数列{an十1》是以4为首项，公比为4的等比数列， 4分 所以an+1=4X4-1=4",an=4-1. 6分 (2)因为6-4-D-D-号（马41与）】月 4 11分 所以T=6+6++a=号（古+马白十+与） 【高三期末考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-412C 15分 17.(1)证明：过M作MN∥CD,交PD于点N,在梯形ABCD中，AD⊥AB,AD⊥CD,所以AB∥CD, 所以AB∥MN,连接AN,则平面PAD∩平面ABMN=AN,… 1分 因为BM∥平面PAD,BMC平面ABMN,所以AN∥BM,·2分 因为PD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD,·3分 因为AD⊥CD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,… …5分 因为ANC平面PAD,所以AN⊥CD,所以BM⊥CD..6分 (2)解：如图，以D为原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，之轴建立空 间直角坐标系D-xy贮. 设PD=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0), 7分 由(I)知MN∥AB,又AN∥BM,所以四边形ABMN是平行四边形，MN=AB=号CD,即M,N分别是 PC,PD的中点，… 8分 所以M(o,1,号)），Di=1,1,0,Di=(0,1,号)Pi=(1,1,-1D,BC=(-1,1,0.…10分 设平面MBD的法向量为n=(a,b,c), 因为n,DB=0,n.DM=0,所以a十b=0,b+7=0, 取a=-1得n=(-1,1,-2). 12分 同样可求得平面PBC的一个法向量m=(1,1,2), 13分 设平面PBC与平面MBD所成二面角为a, 则|cosa= n·1n 2 n m 3 14分 故sina=√/-cos2a= 号，即平面PBC与平面MBD所成二面角的正弦值为号 15分 18.解：(1)因为f(x)=a.x+e-1,所以f(x)=a十e2,… …1分 f(0)=0,f(0)=a十1，所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线为y=(a十1)x,…2分 又切线过点(2,1)，所以2(a十1)=1，所以a=- 2 …3分 (2)f(x)的定义域为R,f'(x)=a十e, 当a≥0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增；… 4分 当a<0时，由f(x)=0,得x=ln(-a);由f(x)>0,得x>ln(-a);由f(x)<0,得x<ln(-a), 所以f(x)在（一∞，ln(一a)上单调递减，在(ln(一a),十∞）上单调递增.…6分 (3)当a≥0时，f(x)在R上单调递增，由f(0)=0知x∈(0，t)时，f(x)>0,…7分 当a<0时，由(2)知当ln(-a)≤0，即-1≤a<0时，f(x)>0对x∈(0，t)成立，…8分 所以a≥-1时，存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),f(x)>0,从而|f(x)|>3x化为(a-3)x+e-1>0; …9分 当n(-a)>0,即a<-1时，由(2)知f(x)在(0，ln(-a)上单调递减，Hx∈(0，ln(-a),f(x)<0, f(x)|>3x化为-a.x-e2十1>3x即e+(a十3)x-1<0,…10分 ①a≥-1时，令g(x)=(a-3)x十e2-1,则g(0)=0,g'(x)=(a-3)+e, 当a≥3时，g(x)>0,g(x)在R单调递增，存在正实数t,使得对Hx∈(0，t),g(x)>0,…11分 【高三期末考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-L-412C 当a<3时，由g'(x)=0得x=ln(3-a),由g'(x)>0得x>ln(3-a),g'(x)<0得x<ln(3-a),所以 g(x)的单调递增区间为(ln(3一a),十∞)，单调递减区间为（一∞，ln(3一a),要存在正实数t,使得对 Hx∈(0，t),g(x>0,则ln(3-a)≤0，所以2≤a<3;… …13分 ②当a<-1时，令h(x)=e+(a十3)x-1,h(0)=0,h'(x)=e+a+3,要存在正实数t,使得对Hx∈ (0,t),h(x)<0,则存在正实数t,h(x)在(0，t)上单调递减，h'(x)≤0对x∈(0，t)成立，…14分 当a+3≥0时，h'(x)>0,当a+3<0时，由h'(x)≤0得x≤ln(-3-a),从而ln(一3-a)>0, 所以a-4.…16分 综合①②知，a的取值范围为（一∞，一4）U[2,十0∞).…17分 a=√3b, {a=√6， 19.(1)解：由题意可得 解得 所以C的方程为+兰 =1 3分 b=√2， (2)(1)解：因为kD= 二0三一名，OD/1,所以可设直线1的方程为y=一退】 -√5-0 3+m, 6 =1, 2 由 可得2.x2-23m.x+3-6=0,由△=12m2-8(32-6)>0,解得2<4， 3 34+m 设Amn),B(),则a十m=5mx=3m号-6 5分 所以AB-V1+(1-=后+)--后m-4X。-2Am, …7分 因为m<4,所以当m=0时，|AB|最大，此时直线l的方程为y=一 32, 直线AB与直线OD重合，不满足与OD平行，所以线段AB的长度不存在最大值.…9分 (i)证明：直线AD的方程为y-1=》(x+5),令y=0可得：s=十3 x1+5 1一y1 -, 直线BD的方程为y+x+B),令0可得：=是一月，…1 1一y2 11分 +1=4+5-5+士55=m+B)1-)C十)1-)-2w5 1一y1 1一y2 1-为)(1-2) =-y-2y十十十25一5(y十业2-25.… 1-(y1+2)+y12 13分 由(1)奥石+=尽m函=3m2,所以n十为=- 3十m- 号+m=-×y月r+2m=m 3 2 3mX/3m+m= m2-2 15分 3x1十m(1+2）= 2×3mm-6 2 +m× 31=2/5,.. 16分 所以5+1=二2B+Bm+25一Bm-25=0-23=-25,所以s十1是定值-25.…17分 1-m+m2 2 【高三期末考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-412C2025~2026学年度上学期高三期末考试 学 校 数 学 考生注意： 班 级 装 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分100分，考试时间75分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 : 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 姓 必 4.本卷命题范围：集合、逻辑、不等式、函数及导数、平面向量、复数、三角函数、解三角形、数 列、立体几何、解析几何。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 装 合题目要求的。 1.已知集合M={-1,0,1,2},N={x|-1<x<2},则M∩N= A.{0,1} B.{-1,0} C.{1,0,1} D.{0,1,2} 线 2.设(2+i)x=4一yi,其中x,y是实数，则|x一yi= 内 A.4 B.2√3 C.22 D.2 3.下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是 不 A.y2=-4x B.y2=-2x C.y=x2 D.y=222 要 4.已知a,b,c是空间中的三条直线，且a⊥b,则“b⊥c”是“a∥c”的 容碳 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题 5.已知幂函数f(x)=(m2一3m十1)xm-1在(0，十∞)上单调递增，则m= A.0 B.2 C.3 D.-1 6已知R,r是双曲线C若- =1(a>0,b>0)的左、右焦点，点M在C上，MF⊥MF2, sin∠M,B=,则C的离心率为 A B号 C.√10 D.5 【高三期末考试·数学第1页（共4页）】 26-L-412C 扫描全能王创建 7.观星台是我国现存最古老的天文台.包含观星台在内的登封“天地之中”历史建筑群已被列为 世界文化遗产.已知观星台台体一部分可以看作一个正四棱台，台高9.46米，台下正四边形 边长16米多，台上正四边形边长约为台下正四边形边长之半，则该四棱台的体积可能为 A.1388米 B.1398米3 C.1406米3 D.1456米3 8.已知函数f(x)=x2+c+er-3,且f(a)≤f(2a十3)，则实数a的取值范围是 A.(-3,1) B.(-1,3) C.（-3,-1) D.(1,3) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.若。的终边与一吾的终边垂直，且0<a<,则 A.a- B.cos a-2 C.tana=-√3 D,sin(受+a)= 10.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a1=2,S=一30，则 A.a>0 B.{an}为单调递增数列 C.使Sm>0的n的最小值为18 D.当且仅当n=8时，Sn最小 11.已知函数f(x)=log2x-1l,实数a<b<c<d,满足f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则 A.ad<bo B.2a+b的最大值为3-2√2 C.2c+d的最小值为3+2√② D+++=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若方程x2+y2-2x一6y十a=0(a∈R)表示半径不超过2的圆，则a的取值范围为 13.已知向量a=(0,-3),b=(1,m),若6在a上的投影向量为一2a,则m= 14在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b6,a=2 in,则aA合tan Btan C 的最大值是 【高三期末考试·数学第2页（共4页）】 26-L-412C 扫描全能王创建 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=2sin(2x+p)(lp<),f(0)=1. (1)求p; (2)设函数g(x)=f(x)一2cos2x,求g(x)的单调区间！ 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}满足a1=3,an=4am-1十3(n≥2，n∈N). (1)求证：{an十1}是等比数列，并求an; (2)设b,=a十1，求数列{6.}的前n项和T anant 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形，PD=AD=AB, CD=2AB,AD⊥AB,AD⊥CD,点M是棱PC上一点，且BM∥平面PAD. (1)求证：BM⊥CD: (2)求平面PBC与平面MBD所成二面角的正弦值. D 【高三期末考试·数学第3页（共4页）】 26-L-412C 架 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 设函数f(x)=a.x十e'一l,a∈R (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线经过点(2,1)，求实数a的值； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若存在正实数t,使得对Vx∈(0，t),都有f(x)>3x,求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C器+芳=1(a>6>0)的长轴长是短轴长的√3倍且过点D(-5,1D. (1)求C的方程； (2)设平行于OD的直线1与C交于A,B两点（如图所示）. (1)线段AB的长度是否有最大值？并说明理由； (i)若直线DA,DB与x轴分别交于S(s,0),T(t,0),求 证：s十t为定值， 【高三期末考试·数学第4页（共4页）】 26-L-412C 扫描全能王创建