安徽省蚌埠第二中学2025-2026学年高二上学期第15次周测数学试卷

蚌埠二中2025-2026学年度第一学期第15次周回顾练习 高二数学学科答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C A C D BCD ABD 题号 11 答案 ABC 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D 【分析】设等差数列的公差为d，利用基本量代换和前n项和公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为d，则， 所以， 所以， 所以. 故选:D. 2．A 【分析】利用，转化，即得解 【详解】由，可得 可解的， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：A. 3．A 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 4．B 【分析】判断两圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意可得圆与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，所以， 所以两圆相交，其公切线条数为2， 故选：B. 5．C 【分析】先求出点的轨迹，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：由题意知，MN的中点P的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故选：C 6．A 【分析】运用点差法联立方程组，求出的值，即得椭圆方程. 【详解】设，代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：(*)， 又的中点坐标为，所以，， 由(*)式可得， 又直线的斜率即直线的斜率，， 所以，而， 联立解得，，故椭圆的方程为：. 故选：A．    7．C 【分析】由等差数列的性质可得，要使为整数，即为整数，计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 因为，所以， 因为，要使为整数，即为整数， 所以，共个， 即使得为整数的正整数的个数是. 故选：C 8．D 【分析】设出直线的方程及，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根的判别式得到方程，求出的方程，同理可得的方程，联立与的方程可得，求出的中点的坐标，得到两点横坐标相同，不妨设，求出，由基本不等式求出面积最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为.显然直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由得，则. 设直线的方程为， 由得. 因为直线与抛物线相切，所以， 所以，即直线的方程为.同理直线的方程为， 联立与可得，， 又，所以. 设的中点为，则的坐标为. 故两点横坐标相同，即与轴平行， 不妨设， 所以 ， 当且仅当时，等号成立，所以面积的最小值为36. 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．BCD 【分析】由双曲线的定义判断． 【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线， 当时，点M的轨迹为两条射线， 当时，点M的轨迹为双曲线， 当时，点不存在， 故选：BCD 10．ABD 【分析】由等比数列通项公式，确定，再结合等比数列下标和的性质逐个判断即可. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以，所以，A对， 由，，可知单调递增， 又，所以， 所以，B对， 当时，，当时，， 所以最小，故C错， 因为为正项递增数列，且， 所以使成立的最小正整数的值是4050，D对， 故选：ABD 11．ABC 【分析】由已知，取的中点E，的中点F，并连接，可得点M的轨迹为线段．对于A，连接，交于点O，可得平面，当M为线段中点时，，又，则可判断：对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算可得存在，即可判断；对于C，设点M到的距离为h，可知当M与E重合时，，当M与F重合时，，即可求出三棱锥的体积存在最大值和最小值，则可判断；对于D，由平面知，即为直线与平面所成的角，在中，可得，则得，进而得，则可判断. 【详解】取的中点E，的中点F，连接，，，，如图所示．    易知，， 因为平面，平面，所以平面， 同理，平面， 又，又平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面，故点M的轨迹为线段． 对于A，连接，交于点O，如图所示．    则，又，，平面， 所以平面，当M为线段中点时，， 因为，所以，故A正确； 对于B，分别以向量，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．    则，， 设（），得，从而， 又，令，得， 当时，显然不合题意； 当时，由，解得， 即当点Q在线段上移动时，均存在点M，使，故B正确； 对于C，设点M到的距离为h， 则三棱锥的体积为 ， 当M与E重合时，，得； 当M与F重合时，，得，故C正确； 对于D，设直线与平面所成的角为、连接，如图所示．    由平面知，，在中， 由，得， 所以，所以，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛，本题关键是先找到点M的轨迹，对于B选项，通过设出向量的含参坐标，借助参数的范围满足条件，得到答案；对于C选项，利用等积转化，转化成棱锥高取得最值，可得体积最值；对于D选项，关键是找到线面角正切的范围，进而得到余弦的范围. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。第13，14题是分层试题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。 12． 【分析】利用双曲线定义结合可求得的值. 【详解】在双曲线中，，，，. 由双曲线的定义知，又，所以或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用双曲线的定义求解双曲线上的点到焦点的距离，同时也要注意双曲线上的点到焦点距离的取值范围的限制，考查计算能力，属于基础题. 13.（博雅） 【分析】根据和的关系得到，然后再验证不满足该式，最后根据等比数列通项公式即可求解. 【详解】由可得，两式作差得，即， 又，所以，，不满足， 所以 故答案为： 13．（中字）10 【分析】结合等差数列前项和公式，利用奇数项和偶数项的和列式求解即可. 【详解】等差数列 共项，其中奇数项有个，偶数项有个， 设等差数列的公差为， 奇数项和①， 偶数项和②， 由①②，得，代入②式，可得，解得. 故答案为：10 14.（博雅） 【分析】根据椭圆的定义及三角形内切圆的几何性质，以及三角形中位线的性质可得出. 【详解】在等腰中，. 分别延长与，交于点，因为点是三角形的内切圆圆心，所以为的平分线，如图： 又因，故与全等，所以为的中点且. 又因为为的中点，为三角形的中位线， 所以，得. 所以由椭圆的定义可得，得，所以离心率为. 故答案为： 14．（中字）8 【分析】根据条件求出椭圆方程，再运用几何关系求出最大值. 【详解】 由条件 ， ， 即 ， ， 设 ，由题意： ，则 ， ，即 ，即椭圆C的标准方程为 ， ； 设左焦点为F，右焦点为 ，如下图： 则 的周长 , ，当 三点共线时等号成立， ， l的得最大值为8； 故答案为：8. 四、解答题：本大题共3小题，共47分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题是分层试题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。若两题都选，则按所选的第一题给分。 15．（本小题满分15分） (1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求等式的倒数形式，再配凑为，用定义判断数列为等比数列即可； （2）先求得和的通项公式，用错位相减法求数列的前项和即可. 【详解】（1）由，取倒数得：， 所以， 又， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）知，， 所以， ，① ，② ①②得：， 所以. 16．（本小题满分15分） (1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直证明面面垂直； （2）法一：由面面角的定义可得平面与平面夹角所对应的平面角为，根据直角三角形三角函数的计算方式可得解；法二：建立空间直角坐标系，可得两平面的法向量，利用向量法可表示面面角余弦值，解方程即可. 【详解】（1）平面，且平面， ， 又底面为正方形，， ，平面，且， 平面， 平面，， ，且点为中点，， 又，平面，平面， 平面，平面平面， 即无论取何值时，均有平面平面； （2）法一：由（1）得平面， 则平面与平面夹角所对的平面角为， 又平面，且平面， ，即， 平面，且平面， ，又，点为中点， ， ，， ， ，即，解得； 法二： 由已知平面，且底面为正方形， 则以为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 易知平面的一个法向量为， 又点为中点，，， 又，且，则， ，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 则，即，解得. 17．（本小题满分17分） （博雅）(1)当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减 (2) (3) 【分析】（1）求出导函数，根据的取值情况，讨论导函数的正负，即可得出答案； （2）根据两个函数的解析式设出切点坐标，根据导数写出切线斜率，然后写出切线方程，列式求解即可； （3）根据条件求出，，然后构造函数求出函数值域即可. 【详解】（1）， 当时，在时恒成立，此时在单调递增； 当时，令， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 综上当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减； （2），，， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为，， 此时切线方程为， 设公切线在上的切点坐标为，则切线的斜率为， 此时切线方程为， 所以，，时两边都是单调的， 且时，等号成立，故， 公切线方程为； （3）， ，即， 因为的两个极值点为，， 所以有两个不同的正数解，所以 又，代入解得， ，， 令，， ，所以在单调递减， ， 故答案为. （中字）(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率为， ，结合性质 ，列出关于、、的方程组，求出、、，即可得椭圆C的方程； （2）设直线的方程为：，将其代入椭圆方程，整理得，根据韦达定理可得，直线的方程是，令 ，得，同理可得，根据斜率公式可得在和中，和都与互余，所以. 【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c， 依题意，得：，解得，， ， 椭圆C的方程是：. （2）证明：由第一问得，设AP的中点，， 设直线AP的方程为：，将其代入椭圆方程， 整理得：， 椭圆C与直线AP的交点为与， ， 的中点是， ，代入得：， 即， 直线OM的斜率是， 直线OM的方程是，令，得， ，且直线过原点， 直线OE的方程是，令，得， 由，得直线EF的斜率是， 直线OM的斜率与直线EF的斜率互为负倒数， ，记垂足为H， 直线DF的斜率是， 直线DF的斜率与直线OE的斜率互为负倒数， ，记垂足为G， 在和中，和都与互余， . 答案第12页，共13页 答案第11页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $蚌埠二中2025-2026学年第一学期第15次周回顾练习 高二数学 练习内容或范围：选择性必修一+第四章数列 命题人：李宜珍，王传江 审题人：崔海光，刘小树 时长：90分钟 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a4+a=10,则S,= A。40 B。42 C。43 D。45 2.若双曲线C答景-10aQ0的离心率为5，则其斋近方程为 A.y=±2x B.y=±2X C。y=t√5x D.y=5x 3。等比数列{a}的前n项和为Sn，若Sn=3+t.4，则t= A.-12 B。-3 C。3 D.12 4.圆C:x2+y2=1与圆C2:(x+1)2+(y+1)=1的公切线条数为 A.1 B。2 C。3 D.4 5。若动点M(x,y),N(x2,y2)分别在直线x+y+7=0与直线x+y+5=0上移动，则MN 的中点P到原点的距离的最小值为 A.23 B。35 C.3√2 D.2W2 6己蜘椭风只手 =1(a>b>0)的右焦点为F(3,O)，过点F的直线交椭圆于A,B两 点，若AB的中点坐标为Q,-1),则E的方程为 A. x2,y2 =1 B。2 y2 =1 189 2718 c.+=1 D.+上=1 3627 4536 7已知两个等差数列{和，}和0，}的前”项和分别为S,和工，且号-61+2 T+3则使得6为 整数的正整数n的个数是 A.1 B。2 C。3 D。4 8。阿基米德在数学方面贡献巨大抛物线上任意两点E,F处的切线交于点M，称△MBF为 “阿基米德三角形”.已知抛物线C:x2=12y的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A,B 两点，抛物线C在A,B处的切线交于点P,则“阿基米德三角形”PAB面积的最小值为 A。18 B.24 C。27 D。36 第1页，共4页 二、选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 9。平面内到两定点耳(-3,0)、E(3,0)的距离之差的绝对值等于常数2的点M的轨迹 A.椭圆 B。一条直线 C。两条射线 D.双曲线 10。若公比为9的等比数列{a}的前n项积为.，0<a<1,a2sa2o2s-1>0, (a2o25-1)(a2o26-1)<0,则 A。9>1 B。a202sa2027>1 C。Tn中T2026最小 D。使T,>1成立的最小正整数n的值是4050 11。如图，正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，设P是棱CC的中点，Q是线段CP上的 动点（含端点），M是正方形BCCB内（含边界）的动点，且AM/平面DAP,则 下列结论正确的是 D A。存在满足条件的点M,使AM⊥AD B。当点Q在线段CP上移动时，必存在点M,使AM⊥BQ C。三棱锥C-APM的体积存在最大值和最小值 D.直线4M与平面8CCB所成角的余弦值的取值范围是) 三、填空题：第13,14题是分层习题，请从博雅、中字两题中选择1题作答。 12.已知双曲线号二-1上一点P到焦点R的距离为15，则P到焦点乃的距离为 3664 l3。(博雅)数列{a,}的前n项和为Sn,且满足a=1,Sn1=2Sn+2.则{a}的通项公式为 a= (中字)等差数列{a}共2n+1项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n= C德雅)已知0为丝标原点，R,卫为椭因二+广心b0)的左、至 FF=6,P是椭圆上异于顶点的一点，点O是以P耳为底的等腰三角形耳PF的内 切圆圆心，过耳作M⊥P2,垂足为M,OM=2，则椭圆的离心率为 (中字)已知椭圆C的一个焦点为F,短轴B,B2的长为2√5，P,Q为C上异于B,B2的两 点.设∠PBB2=c,∠PB2B=B,且tan(a+B)=-3(tana-+tanB),则△PQF的周长的 最大值为 第2页，共4页 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17题是分层习题，请从博 雅、中字两题中选择1题作答。 4 4a. 15。 已知数列{a}的首项为a= 且满足aua十0m∈N), (1)求证：数列一 -1为等比数列： a. (2)设b.=n 求数列b}的前n项和T. 16。如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD, PA=2,E为线段PB的中点，BF=tBC(0<t<1). (1)证明：无论t取何值，均有平面AEF⊥平面PBC: 2)诺平面ABF与平面PAB夹角的余弦值为Y ,求t的值 E B 第3页，共4页 1.(博雅)已知函数/)=nx一mx,8)r-) (1)讨论f(x)的单调性： (2)若1=0，求曲线y=f(x)与曲线y=8(x)的公切线： (3)已知h(x)=f(x)+g(x),若h(x)的两个极值点为x,x,(x,<x<e2x2),求 h(s)-h(x)的取值范围. 17(中字)如图，已知椭圆c: 2+,=1(a>b>0)的离心率为，，F为椭圆C的右焦 点，A(-a,0),AF=3. (1)求椭圆C的方程： (2)设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M,直线OM与直线x=4交于点D, 过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证：∠ODF=∠OEF. E 第4页，共4页