2.8 课时2 直线与圆锥曲线的位置综合课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的位置关系综合应用，核心涵盖弦长计算、垂直条件、中点弦问题等知识点。课堂导入先回顾一元二次方程根与系数关系、两点间距离公式，搭建基础支架，再通过椭圆、双曲线例题逐步深化，形成从基础到综合的知识脉络。 其亮点在于例题分层设计，从椭圆到双曲线覆盖不同圆锥曲线类型，注重通性通法如联立方程、韦达定理的应用，体现数学思维的推理与运算能力。归纳总结系统梳理弦长公式等方法，用数学语言构建知识结构，例题步骤详细，助力学生培养逻辑思维，教师可直接用于教学，提升教学效率。

2.8 课时2 直线与圆锥曲线的位置综合 第二章 回答下列问题： (1)一元二次方程根与系数的关系有哪些? (2)两点间的距离公式是怎样的? 若一元二次方程Ax2+Bx+C=0(A≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=-，x1x2= 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|= 例1 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程. 分析：设出椭圆方程，将椭圆方程和直线方程联立消去y，转化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，根据向量数量积和弦长公式建立方程组求解. 例1 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程. 解：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(m+n)x2＋2nx＋n－1＝0， 由题可知Δ＝4n2－4(m+n)(n－1)＞0， 则m+n－mn＞0， 由OP⊥OQ得， 即2x1x2+(x1+x2)+1=0， ∴， ∴m+n＝2，① 例1 已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P，Q两点，且OP⊥OQ，|PQ|=，求椭圆的方程. 又|PQ|=(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝＝()2， 将①代入得mn＝，② 由①②得或， 故椭圆的方程为或. m+n＝2，① 若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法: (1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦. (2)不求交点坐标，可用一元二次方程根与系数的关系求解. 设直线方程为y=kx+m，与圆锥曲线F(x，y)=0交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 归纳总结 |AB|＝ |x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝(k≠0)， 当k＝0时，直线平行于x轴，∴|AB|＝|x1－x2|. 例2 如图，过双曲线＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 解：由题意有双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0). ∵直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2， ∴直线AB的方程为y＝(x－3)， 由消y得5x2＋6x－27＝0， 解方程得x1＝-3，x2＝， 将x1，x2的值分别代入直线AB方程有y1＝-2，x2＝， 例2 如图，过双曲线＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|. 于是A、B两点的坐标分别为(-3，-2)，(，)， ∴|AB|＝ . 知识拓展 例3 已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y=2x，一个焦点到该渐近线的距离为1. (1)求C的方程； (2)经过点M(1，4)的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点，求l的方程. (2)易知直线l的斜率存在，故可设为k， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=8. 所以直线l的方程为y-4=x-1，即x-y+3=0， 经检验直线x-y+3=0与双曲线C有两个交点，满足条件， 所以直线l的方程为x-y+3=0. (1)点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线的方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就将中点和直线的斜率联系起来了，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 处理中点弦问题的常用方法 归纳总结 直线与圆锥曲线 弦长问题 弦的中点及相关问题 1.直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是( ) A.(1，2) B.(－2，－1) C.(－1，－2) D.(2，1) 2.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______. C (4，2) 3.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于(　　) A 4.过椭圆＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为(　　) A.5　　　　 B.6　　　　 C.　　　　 D.7 C 解：(1)双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线为y=±x，即ax±by=0， 所以=2.又焦点(0，c)到直线y=2x的距离d==1，所以c=. 又c2=a2+b2，所以a2=4，b2=1，所以双曲线的方程为-x2=1. 因为=1，=1, 两式相减得=0，即=(x1+x2)(x1-x2)， 易知x1≠x2，则=4，所以4k=4，解得k=1， A. B.2 C. D.15 $