第3讲 正比例 反比例（1）（导学案）六年级数学寒假自学课（冀教版）

第3讲 正比例 反比例（1） 课前导入 【思考】同学们，你们知道汽车行驶的路程和时间之间有什么样的数量关系吗？ 知识点精讲 知识点一 正比例 内容 相关联的量 一个量变化，另一个量也随之发生变化，两个量之间存在一定的数量关系，这样的两个量叫作相关联的量。 正比例 1. 两个相关联的量的比值一定时，成正比例关系，此时这两个量叫作成正比例的量； 2. 用字母表示为：＝k。 【注意】 一定是比值一定！ 下面的说法不正确的是（    ）。例1 A．分母一定，分子和分数值成正比例。 B．一种产品的合格率是98%，不合格产品的数量和产品总量成正比例。 C．全校人数一定，出勤人数与出勤率成正比例。 D．园园今年5岁，妈妈30岁。园园母子的年龄成正比例。 下列说法错误的是（    ）。例2 A．购买《科技报》应付的总钱数随数量的变化而变化 B．圆的面积随圆周率的变化而变化 C．海海骑自行车去学校，骑车的速度变化，时间就会发生变化 D．一辆汽车的耗油量随行驶路程的变化而变化 下面（    ）中的两个量是相关联的量。练1 A．正方形的面积与边长 B．人的身高与长相 C．自行车的款式与行驶的路程 D．天气与时间 下面各选项中的两个量，成正比例的是（    ）。练2 A．某榫卯家具厂工人的人数一定，出勤人数和缺勤人数。 B．圆周率一定，某榫卯圆桌的桌面面积和它的半径。 C．每分钟的电话费一定，某榫卯家具厂销售员通话时长与所花的总费用。 D．榫卯家具的木料总长度一定，每根木料的长度和加工的根数。 知识点精讲 知识点二 正比例的图像 内容 图像 两个成正比例的量，其图像为一条向上的斜线。 【注意】 1. 正比例的图像为一条射线，从原点出发； 2. 正比例图像上所有相对应的两个数，比值都相等。 有两个相关联的量，它们的关系如下图，这两个量可能是（    ）。例1 A．小明的身高和年龄 B．买水果的重量和单价 C．汽车运货的次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数 D．正方形的边长与面积 售卖蘑菇的质量与天数的情况如下图，下列说法不正确的是（    ）。例2 A．这是一个正比例图像 B．点（5，150）在这条直线上 C．7天可以售卖180kg蘑菇 D．售卖蘑菇的质量与天数成正比例 下图描述了某游泳池进水管打开后的进水情况，按图中的速度给这个游泳池注水750m3，一共需要（    ）分钟。练1 A．25 B．50 C．75 D．150 下面（    ）图是正比例关系的图像。练2 A．B．C． D． 一、选择题 1．下面是普通火车硬座的部分票价表，车票价格与路程（    ）。 里程/km 20 30 40 50 60 票价/元 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 A．成正比例 B．不成正比例 C．是总价与单价的关系 D．无法确定 2．2025年3月26日，某加油站92号汽油的价格为6.98元/升，下面图像（    ）能表示出王老师当天在这个加油站加油总价和数量之间的关系。 A． B． C． D． 3．下列数量关系中成正比例的是（    ）。 A．飞机飞行速度一定，飞行的路程和时间 B．每月收入一定，每月的支出和剩下的钱数 C．长方形的面积一定，长方形的长和宽 D．全班人数一定，男生人数和女生人数 4．人们有时使用“物物交换”的方式，按照一定的比例交换自己所需要的物品。14个玩具汽车可以换x本小人书，那么下面比例正确的是（    ）。 A．x∶14＝4∶10 B．x∶4＝14∶10 C．x∶10＝4∶14 D．14∶4＝x∶10 5．成语“立竿见影”用数学的眼光来看，就是同一时间、同一地点“竿”的高度和影子的长度（    ） A．成正比例 B．不成正比例 C．不成比例 D．无法判断 二、填空题 6．中国载人空间站“天宫”在太空中绕地球飞行，其飞行情况记录如下。 时间/秒 1 2 3 4 … 路程/km 7.68 15.36 23.04 30.72 … (1)表格中( )和( )是两种相关联的量，路程随着( )的变化而变化。 (2)路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是( )，这个比值表示“天宫”飞行的( )。 (3)因为“天宫”飞行的( )一定，所以“天宫”飞行的( )和( )成( )比例。 7．车轮的直径一定，车轮滚过的距离与转动的圈数成( )比例。 8．有一根弹簧，在弹性良好的情况下，它下面所挂砝码的质量与弹簧长度的关系如下图。 从图中可以看出：所挂砝码的质量和( )成正比例。 9．下图是甲、乙两个水龙头打开后的出水量情况对比。 (1)水龙头的出水量和打开时间成( )比例关系。 (2)从图像上看，流量更大的水龙头是( )。 (3)甲水龙头打开40分钟的出水量是( )升；乙水龙头出水8升时用时大约( )分钟。 10．小明和小芳沿同样的路线从学校到图书馆，所行的路程与时间的关系如图所示。 (1)根据图像可以判断，( )的路程与时间成正比例（填小明或者小芳）； (2)小明追上小芳所需的时间为( )分钟。 三、解答题 11．某地推出无人机配送服务，配送时效明显提升，无人机飞行时间与路程的关系如下。 时间/分 0 15 30 45 60 … 路程/km 0 10 20 30 40 … （1）根据上表描点，再顺次连接各点。 （2）图中的点A表示（                             ）。 （3）该无人机飞行的路程与时间成（    ）比例。 （4）用该无人机将物品从甲地运到15km远的乙地，需要多长时间？ 12．下表是小麦的质量与磨出面粉的质量之间的变化情况。 小麦的质量/kg 20 30 40 50 60 磨出面粉的质量/kg 16 24 32 40 48 （1）写出磨出面粉的质量和小麦的质量的比，求出比值，你有什么发现？ （2）磨出面粉的质量和小麦的质量是否成正比例？请说明理由。 13．粤绣是流传于广州等地的民间刺绣工艺，已有一千多年的历史。龙龙妈妈的店铺中出售的一款粤绣团扇深受消费者欢迎，团扇的销售情况如下表。团扇的销售金额和销售数量是否成正比例？请说明理由。 销售数量/把 1 2 3 4 5 6 销售金额/元 62 124 186 248 310 372 14．一台织布机的织布情况如下表： 工作时间/时 1 2 3 5 … 织布长度/m 6 12 18 24 36 … （1）把表格填写完整。 （2）根据表中的数据，在下图中描出工作时间和织布长度相对应的点，并把它们按顺序连起来。 （3）下图所描的点在一条直线上吗？这说明了什么？ （4）根据图象判断，这台织布机3.5小时可以织布（    ）m，织布27m需要（    ）小时。 15．下面是弟弟用手机看动画片使用流量的情况。 动画片/集 1 2 3 4 5 … 流量/兆 50 100 150 200 250 … （1）任选两点在图中描点连接再延长。 （2）利用图像估计，弟弟看8集动画片需要___________兆流量。 知识点一： D例1 【分析】判断两个相关联的量之间是否成正比例，就看这两个量是否对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例。 【详解】A.分母一定，分子÷分数值＝分母，这两个量是比值一定，所以分子和分数值成正比例，该选项正确； B.，这两个量比值一定，所以成正比例关系，该选项正确； C.出勤人数÷出勤率＝全校人数（一定），这两个量比值一定，所以成正比例，该选项正确； D.妈妈的年龄－园园的年龄＝年龄差（一定），这两个量差一定，所以不成比例，该选项错误。 故答案为：D B例2 【分析】变量与常量的概念：变量是会发生变化的量，常量是固定不变的量，需判断各选项中量的性质。 【详解】A.《科技报》的单价固定，总钱数＝单价×数量，数量是变量，总钱数随数量变化，说法正确。 B.圆周率是固定的常数（约3.14159），不会变化；圆的面积随半径变化，而非圆周率，说法错误。 C.路程固定时，时间＝路程÷速度，速度是变量，时间随速度变化，说法正确。 D.汽车的单位路程耗油量固定，耗油量＝单位耗油量×行驶路程，路程是变量，耗油量随路程变化，说法正确。 故答案为：B A练1 【分析】相关联的量必须满足一个量变化，另一个量也随之变化的关系。根据这样的定义判断。 【详解】A.正方形面积＝边长×边长，正方形的面积随着边长的变化而变化，所以正方形的面积与边长是两个相关联的量。 B.人的身高与长相没有固定的数学依赖关系，人的身高不会随着长相变化而变化，所以人的身高与长相不是两个相关联的量。 C.自行车的款式与行驶的路程没有固定的数学依赖关系，自行车的款式不会随着行驶的路程变化而变化，所以自行车的款式与行驶的路程不是两个相关联的量。 D.天气和时间没有固定的数学依赖关系，天气不会随着时间变化而变化，所以天气与时间不是两个相关联的量。 故答案为：A C练2 【分析】要判断两个量是否成正比例，需依据正比例的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则这两种量成正比例关系，然后对每个选项逐一分析即可得出答案。 【详解】A．已知工人总人数一定，“出勤人数＋缺勤人数＝工人总人数”，这是和的关系，并非比值一定。所以出勤人数和缺勤人数不成正比例。 B．圆的面积公式为S＝πr2（π为圆周率），那么πr。由于r是变化的，所以πr不是定值，即桌面面积和它的半径的比值不一定。因此，桌面面积和它的半径不成正比例。 C．因为“总费用÷通话时长＝每分钟的电话费”，且题目中明确每分钟的电话费一定，也就是总费用和通话时长的比值一定。所以，通话时长与所花的总费用成正比例。 D．已知木料总长度一定，“每根木料的长度×加工的根数＝木料总长度”，这是积的关系，并非比值一定。所以每根木料的长度和加工的根数不成正比例。 故答案为：C 知识点二： C例1 【分析】两个相关联的量，一个量随另一个量的变化而变化，若两个量的比值一定，则这两个量是正比例关系。由关系图可知，图中两个量的比值是一定的，因此图中两个量是正比例关系。 根据正比例关系的定义，逐项分析每个选项中的两个量是否成正比例关系。 【详解】A．小明的身高和年龄的比值不一定为定值，所以这两个量不成正比例关系，不符合题意。 B．因为总价等于单价与重量的乘积，所以买水果的重量和单价的比值不为定值，这两个量不成正比例关系，不符合题意。 C．由于运货总吨数与每次运货的吨数的比值等于汽车运货的次数，且汽车运货的次数一定，所以每次运货的吨数和运货总吨数成正比例关系，符合题意。 D．正方形的面积除以边长等于边长，边长不是定值，所以正方形的边长与面积不成比例，不符合题意。 故答案为：C C例2 【分析】根据正比例关系定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果相对应的两个量x和y的比值一定，即x/y＝k（定值），那么这两个量叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。判断B、C、D选项。 根据正比例关系图像：从图像上看，成正比例关系的图像就像一条经过原点的直线。判断A选项。 【详解】A选项：根据（kg），（kg），……比值一定且是一条经过原点的直线，所以这是一个正比例图像，说法正确。 B选项：，与比值30相等，所以点（5，150）在这条直线上，说法正确。 C选项：（kg），所以7天可以售卖210kg蘑菇，说法错误。 D选项：售卖蘑菇的质量与天数的比值一定，成正比例，说法正确。 故答案为：C C练1 【分析】从图像可知，进水量与时间的图像是一条经过原点的直线，说明进水量与时间的比值是一个定值，所以进水管的进水量与时间成正比例关系。由图像可知，1分钟进水量为10立方米，根据“时间＝进水量÷进水速度”，可计算注水750立方米所需时间。 【详解】（分） 按图中的速度给这个游泳池注水750m，一共需要75分钟。 故答案为：C B练2 【分析】两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，就成正比例关系。正比例关系的两个量，其图像是一条经过原点的直线。 【详解】A．图像是曲线，不是直线，不符合正比例图像特征。 B．图像是一条经过原点的直线，符合正比例图像特征。 C．图像是曲线，且不经过原点，不符合正比例图像特征。 D．图像是两条曲线，不符合正比例图像特征。 选项B中的图是正比例的图像。 故答案为：B 1．B 【分析】通过计算不同路程与票价的比值，判断车票价格与路程是否成正比例关系。 【详解】A.车票价格与路程不成正比例，所以该选项错误； B.由上述分析可知，车票价格与路程不成正比例，该选项正确； C.车票价格是总价，路程与票价不存在单价的关系，所以该选项错误； D.通过前面的分析可以确定它们的关系不是无法确定，所以该选项错误。 故答案为：B 2．B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。已知汽油的价格为6.98元/升，即总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。据此解答。 【详解】已知汽油的价格为6.98元/升，可得总价÷数量＝单价（一定），所以总价和数量成正比例关系，其图像是经过原点的直线。 故答案为：B 3．A 【分析】两种相关联的量，若其比值（商）一定，两种量成正比例关系，若其乘积一定，两种量不成正比例关系。据此解答。 【详解】A．飞机飞行的路程÷时间＝飞机飞行的速度（一定），飞行的路程和时间成正比例。 B．每月的支出＋剩下的钱数＝每月的收入（一定），每月的支出和剩下的钱数不成比例。 C．长方形的长×宽＝面积（一定），长方形的长和宽不成正比例。 D．男生人数＋女生人数＝全班人数（一定），男生人数和女生人数不成比例。 所以只有选项A是成正比例关系。 故答案为：A 4．D 【分析】已知“4个玩具汽车换10本小人书”，这意味着玩具汽车数量和小人书数量的兑换比例是固定的。可以把它想成：玩具汽车数量越多，能换的小人书数量也越多，它们是成正比例关系的。对于14个玩具汽车换x本小人书，要找的是“玩具汽车数量的比”等于“小人书数量的比”。原来的兑换是4个玩具汽车对应10本小人书，现在是14个玩具汽车对应x本小人书。那么从比例的角度，就是14个玩具汽车和4个玩具汽车的比，等于x本小人书和10本小人书的比，写成比例就是14∶4＝x∶10。 【详解】A．x∶14＝4∶10，这个比例表示的关系和题意兑换比例不一样。 B．x∶4＝14∶10，关系不符合兑换的比例。 C．x∶10＝4∶14，也不是正确的兑换比例关系。 D．14∶4＝x∶10，符合“玩具汽车数量比等于小人书数量比”，所以D正确。 故答案为：D 5．A 【分析】要判断“竿”的高度和影子长度的比例关系，可以根据正比例、反比例的定义，结合“立竿见影”的实际情况来分析。在同一时间、同一地点，“竿”的高度变化时，影子的长度也会跟着变化，所以“竿”的高度和影子的长度是两种相关联的量。同一时间、同一地点，太阳光线的角度是固定的。由于光线角度固定，竿高和影长的比值是一定的。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。 【详解】比如，竿高2米时，影长假设是1米，比值是2÷1＝2；竿高4米时，影长会是2米，比值还是4÷2＝2。因为“竿”的高度和影子长度是相关联的量，且比值一定（同一时间、同一地点，光线角度固定），所以它们成正比例。 故答案为：A 6．(1) 时间 路程 时间 (2) 7.68 速度 (3) 速度 路程 时间 正 【分析】（1）表格中存在时间和路程两种量，路程随着时间的变化而变化，所以时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）计算路程与时间相对应的比值，根据路程、时间和速度的关系即路程÷时间＝速度，发现比值都为7.68，这个比值表示天宫的飞行速度。 （3）因为路程与时间的比值（速度）一定，根据正比例关系的定义，当两种相关联的量的比值一定时，这两种量成正比例，所以天宫飞行的路程和时间成正比例。 【详解】（1）表格中时间和路程是两种相关联的量，路程随时间的变化而变化。 （2）路程与时间这两种量中相对应的两个数的比值都是7.68，这个比值表示“天宫”飞行的速度。 （3）因为“天宫”飞行的速度一定，所以“天宫”飞行的路程和时间成正比例。 7．正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则不成正比例。 【详解】车轮滚动一周的距离即车轮的周长，因为车轮的直径一定，根据圆的周长公式C=πd（C表示周长，d表示直径，π是圆周率），可知车轮的周长C是一定的。 车轮滚过的距离S等于转动的圈数n乘以周长C，即S=Cn，也就是车轮滚过的距离与转动的圈数的比值一定。 所以车轮滚过的距离与转动的圈数成正比例。 8．弹簧伸长的长度 【分析】根据正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量。据此进行分析。 【详解】从图中可知，弹簧不挂砝码时有一定长度，挂砝码后长度增加，弹簧长度的增加量即弹簧伸长的长度。所挂砝码质量变化时，弹簧伸长的长度也随之变化，且它们的比值是一定的，所以所挂砝码的质量和弹簧伸长的长度成正比例。 9．(1)正 (2)乙 (3) 8 27 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就成正比例关系。正比例的图象是一条经过原点的直线。据此解答。 （2）在相同时间内，出水量越多，流量越大。从图像上看，相同时间内乙水龙头的出水量比甲水龙头多，例如40分钟时，甲水龙头出水量是8升，乙水龙头出水量是12升，8＜12，所以流量更大的水龙头是乙。 （3）对于甲水龙头，从图像上看，甲水龙头60分钟出水量是12升，那么甲水龙头的流量是12÷60＝0.2升/分钟，所以甲水龙头打开40分钟的出水量是0.2×40＝8升。 对于乙水龙头，从图像上看，乙水龙头40分钟出水量12升，那么乙水龙头的流量是12÷40＝0.3升/分钟，所以乙水龙头出水8升时用时大约8÷0.3≈27分钟。 【详解】（1）水龙头的出水量和打开时间成正比例关系。 （2）从图像上看，流量更大的水龙头是乙。 （3）12÷60×40 ＝0.2×40 ＝8（升） 8÷（12÷40） ＝8÷0.3 ≈27（分钟） 甲水龙头打开40分钟的出水量是8升；乙水龙头出水8升时用时大约27分钟。 10．(1)小芳 (2)5 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则不成正比例。正比例图像是一条直线，且经过零点；表示小芳的路程与时间之间的关系图像是从学校出发的，且根据速度＝路程÷时间，可知小芳的速度保持不变，所以这个图像成正比例； （2）小明在小芳出发后3分钟后出发，到小芳出发8分钟时追上小芳，据此可以求出小明追上小芳所需的时间。 【详解】（1）210÷3＝70（米/分） 560÷8＝70（米/分） 小芳的速度保持不变，根据图像可以判断，小芳的路程与时间成正比例。 （2）8－3＝5（分） 小明追上小芳所需的时间为5分钟。 11．（1）见解析 （2）无人机30分飞行20 km （3）正 （4）需要22.5分 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，再顺次连接各点即可。 （2）由图中的数据可知，点A表示无人机30分飞行20km。 （3）根据路程÷时间=速度（一定），可知该无人机飞行的路程与时间成正比例。 （4）由（3）可知，路程与时间成正比例，所以它们的比值相等，可设需要x分，由此可列出比例式，根据比例的基本性质进行求解即可。 【详解】（1）如图： （2）图中的点A表示无人机30分飞行20km。 （3）（一定） 所以该无人机飞行的路程与时间成正比例。 （4）解：设需要x分。                                          答：需要22.5分。 12．（1）；；；； 发现：比值都相等，都是0.8。 （2）成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 【分析】（1）根据表格数据，分别写出每组面粉的质量与小麦的质量的比，再求出比值，观察比值是否一致。 （2）正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做正比例的量，据此解答。 【详解】（1）；；；； 答：发现：比值都相等，都是0.8。 （2）由（1）可知，磨出面粉的质量和小麦的质量的比值都是0.8。 答：能成正比例。理由：磨出面粉的质量随小麦的质量的增多而增多，并且比值一定。 13．成正比例。理由：团扇的销售金额随销售数量的增加而增加，且销售金额与销售数量的比值相等，为62。 【分析】判断两个量是否成正比例，需满足“两个量的比值（商）一定”。本题中销售金额与销售数量的比值为单价，若单价固定，则成正比例。 【详解】成正比例。因为： 答：可见团扇的销售金额随销售数量的增加而增加，且销售金额与销售数量的比值相等，为62，因此成正比例。 14．（1）见详解 （2）见详解 （3）所描的点在一条直线上，这说明了织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）21；4.5 【分析】（1）1小时织布6米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率、工作总量＝工作效率×工作时间，据此计算并填表。 （2）根据统计表，在图中描点并连线，画出对应的图像。 （3）根据（2）完善的图，所描的点在一条直线上，说明织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）根据（2）完善的图，找到3.5小时对应的横坐标以及织布27m对应的竖坐标，据此解答。 【详解】（1）织布24米需要：（小时） 5小时织布：（米） 织布36米需要：（小时） 填表如下： 工作时间/时 1 2 3 4 5 6 … 织布长度/m 6 12 18 24 30 36 … （2）作图如下： （3）答：所描的点在一条直线上，这说明了织布长度和工作时间成正比例关系。 （4）答：这台织布机3.5小时可以织布21m，织布27m需要4.5小时。 15．（1）见详解； （2）400 【分析】（1）图中横轴表示动画片的集数，纵轴表示使用的流量，看1集动画片需要50兆流量，看2集动画片需要100兆流量，看3集动画片需要150兆流量，看4集动画片需要200兆流量，看5集动画片需要250兆流量……每集动画片需要的流量＝（一定），则所需的流量和看动画片的集数成正比例关系，据此任意找出两点连线并延长即可； （2）观察图象可知，看1集动画片需要50兆流量，那么看8集动画片需要（8×50）兆流量，据此解答。 【详解】（1）作图如下： （2）8×50＝400（兆） 所以，弟弟看8集动画片需要400兆流量。 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $