第3讲 正比例 反比例（2）（导学案）六年级数学寒假自学课（冀教版）

第3讲 正比例 反比例（2） 课前导入 【思考】同学们，你们能从表中发现什么规律吗？ 知识点精讲 知识点一 反比例 内容 反比例 1. 两个相关联的量的乘积一定，则这两个量成反比例，这两个量叫作成反比例的量； 2. 用字母表示为：x·y=k。 【注意】 要注意区分：正比例是两个量比值一定，反比例是两个量乘积一定。 长方形的面积一定，它的长与宽的关系是（    ）。例1 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 下面成反比例关系的是（    ）。例2 A．一本书的总页数一定，已看的页数与没看的页数 B．三角形的面积一定，它的底和高 C．比值一定，比的前项和后项 D．速度一定，路程和时间 30分钟里，加工一个零件的时间与加工零件的个数 比例；30分钟加工零件的个数与每分钟加工零件的个数 比例。 应该选（    ）。练1 ①成正    ②成反    ③不成    ④无法确定是否成 A．②① B．②③ C．①③ D．①② 下面两个量，成反比例关系的是（    ）。练2 A．如果5x＝8y，x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和砖的数量。 C．圆的面积一定，半径和圆周率。 D．在一定时间里，行驶的路程和平均速度。 知识点精讲 知识点二 正、反比例的应用 内容 应用 根据正、反比例的定义和区别，找准两个相关联的量的数量关系，再根据比例的相关知识列式解答。 【注意】注意区分正、反比例两个相关联的量的数量关系！ 学校举行四驱车模比赛。乐乐的车模速度为480米/分，跑完全程用了5分钟。小宇的车模跑完全程比乐乐的多用了1分钟，小宇的车模速度为（    ）米/分。例1 A．384 B．400 C．576 D．600 小高加工一批零件，工作时间与加工零件的总个数的关系如图，下列说法错误的是（    ）。例2 A．加工零件的总个数与工作时间成正比例。 B．N表示400。 C．M表示3.2。 D．点P（5，600）在这条直线上。 工程队修一条马路，每天工作6小时，20天可以完成。如果工作效率不变，要用15天完成任务，每天应工作多少小时？解：设每天应工作x小时。下面列式正确的是（    ）。练1 A． B．20∶15＝6∶x C．15x＝20×6 D．20x＝15×6 如图所示，一个大长方形被两条线段分成四个小长方形，如果其中图形A、B、C的面积分别为2cm2、4cm2和5cm2，那么阴影部分的面积为（    ）cm2。练2 A．1 B． C． D． 一、选择题 1．下面各题中的两个量不成反比例的是（    ）。 A．面粉的总质量一定，每袋面粉的质量与袋数； B．做题的总数一定，做对的题数与做错的题数； C．a＝bx（a、b、x都不为0），当a一定时，b和x； D．打一份稿件，打字的速度和所用的时间； 2．佳佳超市运来的面粉袋数一定，卖出去的袋数和剩下的袋数（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例 D．无法确定 3．如果每千克芒果售价18元，购买芒果的千克数和所用钱数（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．同时成正、反比例 4．x和y成正比例关系，当x＝2时，y＝10；当x＝5时，y＝（    ）。 A．1 B．4 C．20 D．25 5．双臂采摘机器人单臂采摘，每小时可采摘450个梨，9小时可以完成采摘任务。如果双臂采摘，每小时可采摘900个梨，（    ）小时可以完成采摘任务？ A．2.25 B．4.5 C．9 D．18 二、填空题 6． x 3 ？ y 90 150 （1）如果x与y成正比例关系，？处应填 ； （2）如果x与y成反比例关系，？处应填 。 7．同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是( )m。 8．会议室的面积一定，里面的人数和每人所占的面积成( )比例。 9．要使下图中的支架保持平衡，应在支架右边的托盘里放入几个同样的三角形物体？（填一填） ( )个       ( )个      ( )个      ( )个   10．笑笑用60个边长为1cm小正方形摆成长方形。 （1）完成下面表格。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 （2）宽随着长的增加而（    ），但长方形的（    ）不变，所以长方形的长和宽成（    ）比例。 三、解答题 11．截至2002年年底，我国探明可直接利用的煤炭储量为2298.86亿吨。我国煤炭年均开采量与可开采年数之间的关系如下表。 年均开采量/亿吨 2 4 8 10 20 … 可开采年数 1149.43 574.715 287.3575 229.886 114.943 … 判断我国煤炭年均开采量与可开采年数之间是否成反比例，并说明理由。 12．下边各容器的底面积都不相等。在这三个容器中倒入同样多的水，根据B容器中水的高度，估计出A和C容器中水的高度并画出来，然后说出这样画的理由。 13．王叔叔用电脑练习打字，前5分钟打了120个字。照这样计算，打一篇1200字的文章，需要打多长时间？（用比例解） 14．五一劳动节假期期间，海海一家到婺源游玩，拍了许多照片。他买了一本相册，如果每页放6张照片，刚好放16页。现在海海打算每页只放4张，25页够放下这些照片吗？ 15．某公司有一批电脑需要组装，每天组装的数量和需要的天数如下表。 每天组装的数量/台 60 50 15 12 … 需要的天数 5 6 20 25 … （1）如果用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成（    ）比例关系，这个关系用式子表示是（    ）。 （2）如果每天组装75台，组装完这批电脑需要多少天？ 知识点一： B例1 【分析】长方形的面积公式为：面积＝长×宽。题目中面积一定，即长与宽的乘积为定值，符合反比例关系的定义。 【详解】长方形的面积公式为：面积＝长×宽。已知面积一定，即长×宽＝定值（常数）。根据比例关系的判断标准：当两个相关联的量的乘积一定时，它们成反比例。 故答案为：B B例2 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A.一本书的总页数一定，已看的页数＋没看的页数＝总页数（一定），这两个量是和一定，所以既不是正比例也不是反比例； B.底×高÷2＝三角形的面积（一定），所以底×高＝三角形的面积×2（一定），这两个量乘积一定，且随着底边长度增加，高的长度反而减少，所以成反比例关系； C.比的前项÷后项＝比值（一定），当比值一定时，比的前项和后项成正比例关系； D.路程÷时间＝速度（一定），当速度一定时，路程与时间的比值一定，所以成正比例关系。 故答案为：B A练1 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。据此进行分析。 【详解】因为加工一个零件的时间加工零件的个数＝加工的时间（一定），是乘积一定，符合反比例的意义，所以在一定的时间里加工一个零件的时间与加工零件的个数成反比例； 因为加工零件的个数÷每分钟加工零件的个数＝加工的时间（一定），是比值一定，符合正比例的意义，所以在一定的时间里，每分钟加工零件的个数与加工零件的个数成正比例。 故答案为：A B练2 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例关系；如果是乘积一定，则成反比例关系。据此解答。 【详解】A．如果5x＝8y，即x∶y，是比值一定，那么x和y成正比例关系； B．因为每块砖的面积×砖的数量＝铺地面积（一定），是乘积一定，所以每块砖的面积与砖的数量成反比例关系； C．圆的面积S＝πr2，当圆的面积一定时，圆周率也是一个定值，所以这里圆的半径与圆周率不成比例； D．因为路程÷速度＝时间（一定），是比值一定，所以行驶的路程和平均速度成正比例关系。 综上，只有B选项成反比例关系。 故答案为：B 知识点二： B例1 【分析】比赛全程距离固定，速度与时间成反比例关系，路程不变时，速度越快，用时越短，速度×时间＝路程。需先通过乐乐的速度和时间算出全程距离，再结合小宇的用时求出其速度。 【详解】全程距离：（米） （分） 小宇的速度：（米/分） 故答案为：B D例2 【分析】根据判断两种相关联的量成正反比例的方法，两种相关联的量比值一定（且不为0），则这两种量为正比例关系；两种相关联的量积一定，则这两种量为反比例关系。还可以根据两种成正比例的量对应的点在同一条直线上判断两种量是否成正比例。再根据加工零件个数÷工作时间＝工作效率，代入图中相关数据，分别判断各选项是否符合图意。 【详解】A．150÷1.5＝100（个） 因为每小时加工零件的个数是一定值，所以加工零件的个数与工作时间成正比例关系，说法正确； B．4×100＝400（个），N表示400个零件，说法正确； C．320÷100＝3.2（小时），M表示3.2小时，说法正确； D．600÷5＝120（个），与这批零件的加工速度不符，所以点P一定不会在这条直线上，说法错误。 故答案为：D C练1 【分析】工作总量（总工作时长）固定，“每天工作时长”与“工作天数”成反比例关系，每天工作时间越长，所需天数越少，两者乘积始终等于总工作时长。总工作时长＝每天工作时长×工作天数，因此“原每天时长×原天数＝新每天时长×新天数”，据此判断方程的正确性。每天工作6小时，20天完成，总工作时长为；新工作情况：每天工作x小时，15天完成，总工作时长为；因工作总量（总时长）不变，故等量关系为：。 【详解】A.是正比例关系，不符合“乘积固定”的反比例逻辑，错误； B.，比例关系错误，不符合反比例的乘积相等，错误； C.，符合“总工作时长不变”的反比例等量关系，正确； D.，等式两边的“每天时长”与“天数”对应错误，错误。 故答案为：C D练2 【分析】设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。因为长方形的长（或宽）一定时，面积与宽（或长）成正比例关系，所以A与B的面积比等于x与C的面积比，即2∶4＝x∶5。根据比例的基本性质“内项之积等于外项之积”，解出x的值后。因为阴影部分是一个三角形，它的面积是所在小长方形面积的一半，所以用x的值除以2得出阴影部分面积。 【详解】解：设阴影部分所在的小长方形面积为xcm2。 2∶4＝x∶5 4x＝2×5 4x＝10 x＝10÷4 x＝2.5 2.5÷2＝（cm2） 所以阴影部分的面积为cm2。 故答案为：D 1．B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此判断。 【详解】A．每袋面粉质量×袋数＝总质量，面粉的总质量一定，每袋面粉的质量与袋数成反比例关系 B．做对的题数＋做错的题数＝总题数，和的关系，做题的总数一定，做对的题数与做错的题数不成比例关系； C． a＝bx（a、b、x都不为0），当a一定时，b和x的乘积一定，所以当a一定时，b和x成反比例； D．速度×时间＝稿件总量（一定），成反比例。 所以两个量不成反比例的是做题的总数一定，做对的题数与做错的题数。 故答案为：B 2．C 【分析】正比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。 反比例关系：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。 对于卖出去的袋数和剩下的袋数，存在“卖出去的袋数＋剩下的袋数＝运来的面粉总袋数（一定）”，是和一定，而非比值一定或乘积一定。 【详解】因为卖出去的袋数与剩下的袋数是和一定，不满足正比例（比值一定）和反比例（乘积一定）的条件，所以它们不成比例。 故答案为：C 3．A 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。判断购买芒果的千克数和所用钱数之间是比值一定还是乘积一定，据此解答即可。 【详解】设购买芒果的千克数为x，所用钱数为y。 （一定） 所以购买芒果的千克数和所用钱数成正比例关系。 故答案为：A 4．D 【分析】正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定〈也就是商一定），这两种量成正比例关系。 【详解】5∶y＝2∶10 2y＝5×10 2y＝50 2y÷2＝50÷2 y＝25 所以当x＝5时，y＝25。 故答案为：D 5．B 【分析】已知单臂采摘时，工作效率为每小时450个，工作时间为9小时，因为工作总量是固定的，当双臂采摘时，工作效率变为每小时900个。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两种量中相对应两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为工作总量＝工作效率×工作时间，所以工作效率与工作时间成反比例，设需要x小时完成任务，所以可列方程：900x＝450×9，然后解方程即可。 【详解】解：设需要x小时完成任务。 900x＝450×9 900x＝4050 x＝4050÷900 x＝4.5 双臂采摘，4.5小时可以完成采摘任务。 故答案为：B 6． 5 1.8 【分析】正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量。它们的关系是正比例关系； 反比例：如果两个变量的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随之起相反的变化，就是反比例。 【详解】（1）150÷（90÷30） ＝150÷30 ＝5 如果x与y成正比例关系，？处应填5。 （2）3×90÷150 ＝270÷150 ＝1.8 如果x与y成反比例关系，？处应填1.8。 7．1.8 【分析】同一时间，同一地点测得物体高度与影子长度的比值相等，也就是乐乐的身高与影子的比等于爸爸的身高与影子的比，设爸爸的身高为x米，组成比例解比例即可解答。 【详解】解：设爸爸的身高为米。 同一地点，同一时刻，乐乐的身高是1.68m，影长1.4m，爸爸的影长是1.5m，身高是1.8m。 8．反 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】会议室里面的人数和每人所占的面积是两种相关联的量，它们与会议室的面积有下面的关系： 人数×每人所占的面积=会议室的面积（一定）； 已知会议室的面积一定，也就是人数与每人所占的面积的乘积一定，所以里面的人数和每人所占的面积成反比例。 9．12；6；4；3 【分析】要使支架平衡，两边物品的质量与各自到支点水平距离的乘积要相等。根据这样的关系，可以用左边托盘中的三角形物体数量乘左边托盘到支点的距离再除以右边托盘到支点的距离，可得右边托盘放的三角形个数。 【详解】左边托盘中的三角形物体3个，左边托盘到支点距离4格，右边托盘到支点距离1格，（个） 左边托盘中的三角形物体3个，左边托盘到支点距离4格，右边托盘到支点距离2格，（个） 左边托盘中的三角形物体3个，左边托盘到支点距离4格，右边托盘到支点距离3格，（个） 左边托盘中的三角形物体3个，左边托盘到支点距离4格，右边托盘到支点距离4格，（个） 10．（1）见详解 （2）减少；面积；反 【分析】（1）因为用60个边长为1cm的小正方形摆长方形，所以长方形的面积为60×1×1＝60cm2，根据“宽＝面积÷长”，当长为20cm时，宽为60÷20＝3cm；当长为30cm时，宽为60÷30＝2cm。所以表格中依次应填3，2。 （2）观察表格中长和宽的数据，长从10增加到12，宽从6减少到5，10×6＝12×5，12×5＝15×4，所以宽随着长的增加而减少。因为是用60个小正方形摆长方形，所以长方形的面积不变。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。由于长×宽＝面积（一定），所以长方形的长和宽成反比例。 【详解】（1）60×1×1＝60（cm2） 60÷20＝3（cm） 60÷30＝2（cm） 填表如下： 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 3 2 （2）10×6＝12×5＝60（一定） 12×5＝15×4＝60（一定） 所以长方形的长和宽成反比例。 宽随着长的增加而减少，但长方形的面积不变，所以长方形的长和宽成反比例。 11．成反比例；理由见详解 【分析】反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量成反比例关系。 【详解】2×1149.43＝4×574.715＝8×287.3575＝10×229.886＝20×114.943…＝2298.86（一定） 答：我国煤炭年均开采量与可开采年数成反比例，因为我国煤炭年均开采量×可开采年数＝总煤炭储量（一定），乘积一定，则我国煤炭年均开采量与可开采年数成反比例。 12．图见详解 水的体积一定，圆柱形容器的底面积和水的高度成反比例，因为A的底面积＜B的底面积＜C的底面积，所以容器A水的高度＞容器B水的高度＞容器C水的高度。 【分析】因为水的体积＝底面积×高，当水的体积不变，则底面积和高的乘积一定，底面积越大，高度就越小，所以底面积和水的高度成反比例关系。 【详解】 答：水的体积一定，圆柱形容器的底面积和水的高度成反比例，因为A的底面积＜B的底面积＜C的底面积，所以容器A水的高度＞容器B水的高度＞容器C水的高度。 13．50分钟 【分析】打字速度＝文章字的数量打字时间，打字速度不变，则文章字数与打字时间的比值不变，文章字数与打字时间成正比例，据此列出比例方程进行解答即可。 【详解】解：设需要打x分钟。                                      答：需要打50分钟。 14．够放 【分析】照片总数固定，“每页放的照片数”与“所需页数”成反比例关系，每页放的照片越少，需要的页数越多，两者乘积始终等于照片总数。需先算出照片总数，再求出每页放4张时的所需页数，最后与25页比较。 【详解】照片总数：（张）。 所需页数：（页）。 判断是否足够因为， 答：每页只放4张，25页够放下这些照片。 15．（1）反；at＝300   （2）4天 【分析】（1）两个相关联的量，若其比值一定，两个量成正比例；若其乘积一定，两个量成反比例。据此解答； （2）根据组装的总量÷每天组装的数量＝需要的天数，列式解答。 【详解】（1），，，， 4组数据的乘积都是300，再根据每天组装的数量×需要的天数＝组装总量，代入对应的字母即可。 所以用a表示每天组装的数量，t表示需要的天数，那么a与t成反比例关系，这个关系用式子表示是。 （2）（天） 答：组装完这批电脑需要4天。 第4页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $