精品解析：江苏省南通市田家炳中学2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试卷

初二年级数学学科作业调研（二） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断各表达式是否为分式． 【详解】解：分式需满足分母中含有字母， 分析各表达式： ：分母为常数，不是分式； ：分母x为字母，是分式； ；分母3为常数，不是分式； ：无分母，不是分式； ：分母y为字母，是分式； ：分母含字母，是分式， 故选：B． 2. 解分式方程时，去分母后变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的求解，找出最简公分母是解题的关键．根据方程的最简公分母为，分式方程两边同时乘以即可得到答案． 【详解】解：将方程变形为， 方程两边同时乘以，得， 故选：C． 3. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】先将各项二次根式进行化简，再根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、因为，所以3和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、因为，所以和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、因为，所以和是同类二次根式，故本选项符合题意； D、因为，所以和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式，熟练掌握二次根式的性质进行化简是解题的关键． 4. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小为倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质． 将和都扩大3倍后，代入分式化简，与原分式比较即可得出结果． 【详解】解：∵和都扩大3倍， ∴ 新分式为， ∴分式的值扩大3倍； 故选B． 5. 施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天施工x米，则实际每天施工米．根据提前3天完成任务，即原计划天数比实际天数多3天，列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 6. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的比较，熟练掌握零指数幂，负指数幂是解题的关键，其中利用零指数法则，利用负指数法则，利用负指数和平方运算，计算每个表达式的值，再比较大小即可得到答案． 【详解】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 7. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，根据二次根式的被开方数必须为非负数，及二次根式性质原式化简得到答案． 【详解】解：∵， ∴同号， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：D 9. 已知是实数，并且，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据，得到，，再利用整体代入法进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，，等式不成立， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，可知四边形是平行四边形，根据将军饮马模型，可知当，，三点共线时，取最小值，即可求解． 本题考查最短路径问题，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的性质，掌握将军饮马模型是解题关键． 【详解】解：过点作交轴于点， ，， ，，， ，，轴， 四边形是平行四边形， ，， ， 当四边形的周长最小时， 则最小， 与为定值， 取最小值，即取最小值， 作点关于对称点， 则 所以当，，三点共线时，取最小值， 设直线的解析式为：， 将，代入，得 解得， 直线的解析式为：， 将点代入，得， 则． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16每小题4分，第16题每空2分，共22分） 11. 使有意义的x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件为被开方数大于或等于0是解题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于等于0列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，化简求值，根据二次根式的被开方数非负，确定的值，进而求出的值，然后代入表达式化简计算． 【详解】解：∵， ∴且， 解得． ∴． 则 ，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 15. 关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是________． 【答案】，且 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解，求出a的取值范围． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， 故答案为：，且． 16. 如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 【答案】 ①. ②. 或． 【解析】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与因式分解以及图形面积，理解题意是关键； （1）根据面积的不变性，列式计算即可． （2）根据面积，建立，再结合因式分解与a，b为正整数，计算即可． 【详解】解：（1）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得， 故答案为： （2）根据题意，得，起始长方形的面积为，变化后长方形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或或， ∴或或， ∴或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，共98分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键： （1）利用提公因式法进行因式分解即可； （2）先利用多项式乘以多项式的法则展开，再利用十字相乘法进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查分式的化简运算，因式分解，幂的运算，掌握因式分解法是解题关键． （1）先对分式的分子进行因式分解并约分得到，再与合并同类项即可得出结果； （2）先将分母因式分解，把两个分式通分后，分子相减，再约分即可得出结果； （3）先将负整数指数幂转化为分式形式，再依次进行乘方、乘除运算即可得出结果； （4）先将多项式因式分解，然后将除法转化为乘法后约分，再统一分母合并分式，化简即可得出结果​． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式乘法运算法则即可求解； （）根据二次根式性质，二次根式乘除法运算法则分别化简，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴原式； 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【小问1详解】 两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； 【小问2详解】 两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 21. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查因式分解，分式的混合运算，二次根式的化简，对分式的分子、分母进行因式分解是解题关键． 先对原式的分母因式分解、括号内式子通分化简，将除法转化为乘法后，逐步约分得到最简分式，再代入并进行分母有理化，最终求出结果为​​． 【详解】解： ， 当时， ． 22. 求当，时，下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，分母有理化，平方差公式，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出 ，  ，然后把化为，再代入求解即可； （）先求出， ，然后把化为，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴． 23. 雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 【答案】（1）第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元 （2）每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，根据第二批所购数量是第一批数量的倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设每个熊猫毛绒玩具的售价为元，根据两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是元，则第二批熊猫毛绒玩具每个的进价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 答：第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是 25 元； 【小问2详解】 解：设每个熊猫毛绒玩具的售价为元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个熊猫毛绒玩具的售价至少是 35 元． 24. 如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． （1）求证； （2）连接，求的度数； （3）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质， 对于（1），直接根据“角边角”证明； 对于（2），在上取点G，使，作，先根据“角角边”证明，再根据“斜边直角边”证明，即可得出答案； 对于（3），在上取一点I，使，先证明，可得，进而得出，再根据三角形外角的性质得，再直角三角形的两个锐角互余得，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，在上取点G，使，过点C作， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，在上取一点I，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴， 解得． 在中，， ∴， 即． 25. 请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． （1）①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． （3）如果，请用含有和的式子表示． 【答案】（1）①非和谐分式　②， （2），，， （3） 【解析】 【分析】（1）①根据“和谐分式”的定义，通过分式拆分进行验证；②将分式拆分后的形式通分，通过“左右两边分子对应项的系数相等”建立二元一次方程组，求解得到待定系数； （2）先将分式变形为“整式+分子为常数的分式”，再利用“分子为常数时，分式值为整数则分母是分子的因数”，找出分母的所有可能取值，列方程求解整数； （3）对已知分式进行因式分解与变形，将、转化为只含和数字的式子，通过代数运算，最终得到与、的关系式． 【小问1详解】 解：①由， 可知原式无法表示为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，是非和谐分式． 故答案为：非和谐分式； ②已知， 右边通分： ， 对比分子可得， 解得， 故，． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 为整数，若分式为整数，则为整数，即是的因数， ， 解得， 故的值为，，，． 【小问3详解】 解：化简变形： ， ， ， ，即； 化简变形： ， ，即， 故， 即， 可得． 【点睛】本题考查分式的运算与变形，因式分解，整数性质应用，代数恒等变换，理解“和谐分式” 的定义是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二年级数学学科作业调研（二） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 在，，，，，中，分式的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 解分式方程时，去分母后变形为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组二次根式中，化简后属于同类二次根式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 如果把分式中的x，y都扩大3倍，那么分式的值（ ） A. 扩大9倍 B. 扩大3倍 C. 缩小为倍 D. 不变 5. 施工队铺设3000米的下水管道，每天比原计划多施工50米，结果提前3天完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果，，，那么，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 8. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 已知是实数，并且，则代数式的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，且满足，，当四边形的周长最小时，m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16每小题4分，第16题每空2分，共22分） 11. 使有意义的x的取值范围是___________． 12. 已知某新型感冒病毒的直径约为米，将用科学记数法表示为______． 13. 已知，则的值为_________． 14. 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为_________． 15. 关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是________． 16. 如图是一块矩形菜地，米，米，面积为S平方米．现将边增加1米． （1）如图1，若，边减少1米，得到的矩形面积不变，则b的值是__________． （2）如图2，若边增加2米，得到的矩形面积为平方米，且a，b为正整数，则的值是__________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） （3） （4） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简再求值：，其中． 22. 求当，时，下列代数式的值． （1）； （2）． 23. 雅安市某旅游纪念品专卖店用2500元购进一批熊猫毛绒玩具，很受游客欢迎，熊猫毛绒玩具很快售完，接着又用4500元购进第二批这种熊猫毛绒玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每个进价多了5元． （1）求第一批熊猫毛绒玩具每个的进价是多少元； （2）如果这两批熊猫毛绒玩具每个售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每个熊猫毛绒玩具的售价至少是多少元？ 24. 如图，是等腰直角三角形，，点E是边上一点，过点B作于点D，交延长线于点F． （1）求证； （2）连接，求的度数； （3）若，求的值． 25. 请阅读如下材料，并解决问题： 材料1：定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如： ，，则和都是“和谐分式”． 材料2：对于部分非和谐分式，可以转化为几个和谐分式的和．解：设， 将等式右边通分，得，依据题意，得， 解得，所以． （1）①分式是_____________________（填“和谐分式”或“非和谐分式”） ②已知，则_________， _________． （2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值． （3）如果，请用含有和的式子表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $