8.6距离问题讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

空间距离问题

1.空间距离包括：点到平面的距离，直线到平面的距离，平面到平面的距离

（1）点到平面的距离：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。

（2）直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫这条直线到平面的距离。

（3）平面到平面的距离：当两个平面平行时，其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，叫平面到平面的距离。

总结：空间距离都可以转化为点到平面的距离。作用：（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角.

2.点到平面距离求法

求点P到平面ABC的距离转化思路为VPABC =VAPBC =VBPAC =VCPAB

 

例1.四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠BAD=60°，E是PC上一点，且2PE=EC（1）求BC到平面PAD的距离（2）求点E到平面PAD的距离.

 

 

 

 

 

【解析】（1）取 AD 的中点 O，∵∠BAD=60°， ∴△ABD 是正三角形，∴BO⊥AD，

∵PA⊥平面 ABCD，∴平面 PAD⊥平面 ABCD， ∴BO⊥平面 ABCD

即 BO 是点 B 到平面 PAD 的距离， ∵底面边长为 2，∴BO= ，∵BC∥平面 PAD，点 C 是BC上一点， ∴点C到平面 PAD 的距离等于   ∴BC 到平面 PAD 的距离等于 .

（2）∵2PE=EC，∴点 E 到平面 PAD 的距离等于点 C 到平面 PAD 的距离的

∴E 点到平面 PAD 的距离等于 .

例2.已知三棱锥的侧棱，．且．

（1）证明：；

（2）求点到平面的距离．

证明：（1）由于，，

所以，，，所以，，

由于和交于点，所以平面，平面，故．

（2）设点到平面的距离为，由于，所以，

所以点到平面的距离为，

由于，，两两垂直，所以平面，

由于，所以，

由于，，

利用，整理得，解得．

故点到平面的距离为．

距离问题练习

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为，则直线AB1到平面DA1C1的距离为          

答案：1

2．如图，在三棱柱中，平面，，．

（1）证明：平面；

（2）求点到平面的距离．

2．解：（1）证明：因为在三棱锥中，平面，所以，

因为，所以，又，所以平面，而平面，所以，

在中，，，所以，

从而，所以四边形为正方形，可得，又，所以平面；

（2）因为，

又，，所以，即，

所以，设点到平面的距离为，所以，

因为，所以，解得，即点到平面的距离为．

3．在四棱锥中，底面为平行四边形，，底面，，，分别为，的中点，过的平面与平面交于，两点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离．

3．证明：（1）底面为平行四边形，，分别为，的中点，，．

过的平面与平面交于，两点，，．

（2）解：，，，平面，

由勾股定理可得．．

底面，都是直角三角形，

故，，．

设点到平面的距离为，再根据可得，

即，．

4．如图，三棱柱中，是边长为2的正三角形，，，、分别为、的中点．

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求直线到平面的距离．

证明：连接，则与交于点，连接，如图所示：