第8章 培优课 几何法求空间角(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（人教A版）

培优课　几何法求空间角 1.已知二面角α-l-β的大小为130°，两条异面直线a，b满足a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l，则a，b所成角的大小为（　　） A.40° B.50° C.130° D.140° 2.已知正四棱锥P-ABCD中，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，且BM＝，则异面直线PA与BM所成角为（　　） A.90° B.60° C.45° D.30° 3.（2025·东莞月考）已知二面角α-AB-β的平面角是锐角θ，平面α上有一点C到β的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么tan θ＝（　　） A. B. C. D. 4.二面角α-MN-β的平面角为θ1，AB⊂α，B∈MN，∠ABM＝θ2（θ2为锐角），AB与β的夹角为θ3，则下列关系式成立的是（　　） A.cos θ3＝cos θ1·cos θ2 B.cos θ3＝sin θ1·cos θ2 C.sin θ3＝sin θ1·sin θ2 D.sin θ3＝cos θ1·sin θ2 5.如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则（　　） A.直线AB1与A1C1所成的角为60° B.直线AC与B1D1所成的角为60° C.二面角B-AD-B1的大小为45° D.二面角A-BD-A1的大小为45° 7.〔多选〕已知锐二面角α-l-β的大小为θ.如图所示，点P为锐二面角内部一点，且点P在α，β内的射影分别为A，B，PA＝a，PB＝b.过点P，A，B的平面交l于O，下列结论正确的是（　　） A.△PAB边AB的长为 B.△PAB外接圆的直径为 C.OA长为 D.四边形OAPB的面积为 8.如图，S是正三角形ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB和SC的中点.则异面直线SM与BN所成角的余弦值为　　　　. 9.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE和平面PAC所成的角为　　　　. 10.阅读以下说明，判断结论是否正确： 《九章算术》中所描述的三类几何体：“堑堵”“阳马”“鳖臑”的几何特征及它们之间关系为：取一长方体，按图1斜割一分为二，得到两个一模一样的三棱柱，称之为堑堵. 按图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑. 今有一为鳖臑的几何体P-ABC中，AC⊥BC，PA⊥平面ABC，如图所示. 设α为直线CB与PB所成的角，β为直线CB与直线PB在底面ABC上的射影的夹角，θ为直线PB与底面ABC所成的角，γ为二面角A-PB-C的平面角，ρ为直线AB与平面PBC所成的角，φ为直线PC与底面ABC所成的角，则下列结论正确的为　　　　（只填序号）. ①cos α＝cos βcos θ；②sin γ＝；③sin ρ＝sin φsin β. 11.如图，点P为平面ABC外一点，AP，AB，AC两两互相垂直，过AC的中点D作ED⊥平面ABC，且ED＝1，PA＝2，AC＝2，连接BP，BE，BD，多面体B-PADE的体积是. （1）画出平面PBE与平面ABC的交线，并说明理由； （2）求BE和平面PADE所成角的正切值. 12.如图，在水平放置的直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝DC＝AB＝1，以AB所在直线为轴，将梯形ABCD向上旋转角θ得到梯形ABEF，其中θ∈. （1）证明：平面ADF⊥平面CDFE； （2）若平面ADF与平面BCE所成的二面角的余弦值等于，求θ的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　几何法求空间角 1.B　如图，在直线l上任取一点O，作OA∥b，OB∥a，由a⊂α，b⊂β，且a⊥l，b⊥l得∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则有∠AOB＝130°，又OA∥b，OB∥a，所以a，b所成角的大小为180°－130°＝50°. 2.C　如图，连接AC，BD交于点O，连接OM，则∠OMB为异面直线PA与BM所成角.由O，M分别为AC，PC中点，得OM＝PA＝1.在Rt△AOB中，易得OB＝AB·sin 45°＝1.又BM＝，所以OB2＋OM2＝BM2，所以△OMB为等腰直角三角形，∠OMB＝45°. 3.B　如图，作CE⊥AB于点E，CD⊥平面β于点D，连接ED，因为AB⊂平面β，所以CD⊥AB，又CE∩CD＝C，且CE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因为ED⊂平面CDE，所以AB⊥ED，因此∠CED＝θ，CD＝3，CE＝4，所以ED＝＝，所以tan θ＝＝.故选B. 4.C　如图，过点A作AH⊥β于点H，作HO⊥MN于点O，连接AO，BH，则AO⊥MN，所以∠AOH为α-MN-β的平面角，即θ1，∠ABH为AB与β所成的角，即θ3，因为sin θ1＝，sin θ2＝，所以sin θ1·sin θ2＝·＝＝sin θ3. 5.B　∵以正方形A1BCD的对角线BD为棱折成直二面角，∴平面ABD⊥平面BCD，连接A1C交BD于点O，连接AO，如图所示，则AO⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD，取CD的中点M，连接OM，AM，则OM∥BC，∴OM⊥CD，又AO∩OM＝O，∴CD⊥平面AOM，∴AM⊥CD，∴∠AMO即为二面角A-CD-B的平面角.设正方形A1BCD的边长为2，则AO＝，OM＝1，∴AM＝＝.∴cos∠AMO＝＝＝. 6.AC　对于A，连接AC，CB1，由正方体的性质知：AB1＝B1C＝AC，所以△AB1C为等边三角形，故∠B1AC＝60°，由于A1A∥C1C，A1A＝C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，故∠B1AC＝60°即为直线AB1与A1C1所成的角，故A正确；对于B，由于B1D1∥BD，而BD⊥AC，所以直线AC与B1D1所成的角为90°，故B错误；对于C，因为DA⊥平面B1BAA1，AB1⊂平面B1BAA1，所以AD⊥AB1，又因为AB⊥DA，故∠BAB1即为二面角B-AD-B1的平面角，由于∠BAB1＝45°，故C正确；对于D，连接A1D，A1B，设正方体的棱长为2，所以A1D＝BD＝A1B＝2，AO＝，A1O＝，又A1O⊥BD，AO⊥BD，所以∠A1OA即为二面角A-BD-A1的平面角，所以sin∠A1OA＝＝＝，故D错误.故选A、C. 7.BCD　由题意得∠AOB＝θ，将空间问题转化为平面问题，如图.依据题设条件知O，A，P，B四点共圆，连接AB，∠APB＝π－θ， 所以AB＝ ＝，故A错误；则OP＝2R＝ ＝ ＝ ＝，B正确；OA2＝－a2＝，OA＝，C正确；四边形OAPB面积为［×a＋×b］ ＝，D正确.故选B、C、D. 8.　解析：如图所示，连接CM，设Q为CM的中点，连接QN，则QN∥SM.∴∠QNB（或其补角）是异面直线SM与BN所成的角.连接BQ，设SC＝a，在△BQN中，BN＝a，NQ＝SM＝a，BQ＝a，∴cos∠QNB＝＝＝，即异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 9.60°　解析：如图，在正四棱锥P-ABCD中，连接BD，交AC于点O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，在正四棱锥中，BO⊥平面PAC.连接OE，DE，则∠BEO是直线BE和平面PAC所成的角.∵正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，∴V＝×6×PO＝2，则PO＝1，BC＝，则OC＝OB＝，∵E为侧棱PC的中点，∴取OC的中点H，连接EH，则EH⊥OC，EH＝PO＝，OH＝OC＝，则OE＝＝＝1.在Rt△BOE中，tan∠BEO＝＝＝，则∠BEO＝60°. 10.①②③　解析：易知α＝∠PBC，θ＝∠PBA，直线PB在底面ABC上的射影为直线AB，故β＝∠ABC.由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴cos βcos θ＝·＝＝cos α，①正确；如图，作AN⊥PC于N，AM⊥PB于M，连接MN.由①知，BC⊥平面PAC，∴BC⊥AN.∵BC∩PC＝C，∴AN⊥平面PBC，∴AN⊥MN，AN⊥PB，∵AM∩AN＝A，∴PB⊥平面AMN，∴MN⊥PB，则二面角A-PB-C的平面角γ＝∠AMN.易知直线PC与底面ABC所成的角φ＝∠PCA，则＝＝＝＝＝sin∠AMN＝sin γ，②正确； 如图，连接BN，则直线AB与平面PBC所成的角ρ＝∠ABN， ∴sin φsin β＝·＝＝sin ρ，③正确. 11.解：（1）如图， 延长PE交AC于点F，连接BF， ∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴PA⊥平面ABC. ∵DE⊥平面ABC，∴DE∥PA， ∴＝＝，∴F与C重合. ∵C∈PE，C∈AC，PE⊂平面PBE，AC⊂平面ABC， ∴C是平面PBE与平面ABC的公共点.又B是平面PBE与平面ABC的公共点， ∴BC是平面PBE与平面ABC的交线. （2）如图，连接AE.∵AP，AB，AC两两互相垂直，∴AB⊥平面PAC， ∴∠BEA为BE和平面PADE所成的角.∵VB-PADE＝S梯形ADEP·AB ＝××（1＋2）×1×AB＝， ∴AB＝，又∵AE＝＝， ∴tan∠BEA＝＝＝，∴BE和平面PADE所成角的正切值为. 12.解：（1）证明：由题意，知AB⊥AD，AB⊥AF，AD∩AF＝A，且AD，AF⊂平面ADF， 所以AB⊥平面ADF，又AB∥CD，所以CD⊥平面ADF，因为CD⊂平面CDFE， 所以平面ADF⊥平面CDFE. （2）因为EF∥AB∥CD，所以EF⊥平面ADF，从而△BCE在平面ADF内的投影为△ADF， 所以平面ADF与平面BCE所成二面角的余弦值为， 由已知得∠FAD＝θ，AF＝AD＝1，BE＝BC＝，FD＝EC＝2sin， 所以S△ADF＝sin θ＝sincos，S△BCE＝·2sin·＝sin·， 从而＝＝＝，即cos2＝，因为θ∈， 所以cos＞0，所以cos＝，所以＝，故θ＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $