第二章 有理数及其运算知识梳理+基础过关卷2025-2026学年北师大版七年级数学上册

第二章 有理数及其运算知识梳理+基础过关卷 一、知识梳理： 1.整数和分数统称为______，整数包括____________、____________和______，非负整数是______和______，非正整数是______和______；分数包括______和______，有限小数和无限循环小数都可化为______。 2.数轴的三要素是______、____________和____________，正方向通常取______，单位长度需______；数轴上右边的数总比左边的数______，正数在原点______侧，负数在原点______侧，0在原点______。 3.只有______不同的两个数互为相反数，若a与b互为相反数，则a+b=______；0的相反数是______，数轴上互为相反数的点关于______对称，到原点距离______。 4.一个数的绝对值是数轴上表示该数的点到______的距离，记作|a|；正数的绝对值是______，负数的绝对值是______，0的绝对值是______，即： 当a＞0时，|a|=______； 当a=0时，|a|=______； 当a＜0时，|a|=______； 因此|a|______0（填“≥”“≤”），绝对值具有______性。 5.有理数加法法则：同号两数相加，取______的符号，并把______相加；异号两数相加，取______的符号，并用______减去______；互为相反数的两数相加得______；一个数同0相加得______。 6.加法交换律：a+b=______；加法结合律：(a+b)+c=______。 7.有理数减法法则：减去一个数等于加这个数的______，即a-b=a+(-b)。 8.有理数乘法法则：两数相乘，同号得______，异号得______，并把______相乘；任何数同0相乘得______；几个非0数相乘，积的符号由______的个数决定，个数为奇数时积为______，为偶数时积为______。 9.乘法交换律：a×b=______；乘法结合律：(a×b)×c=______；乘法分配律：a×(b+c)=______。 10.有理数除法法则：除以一个非0数等于乘这个数的______，即a÷b=a×（b≠0）；两数相除，同号得______，异号得______，并把______相除；0除以任何非0数得______。 11.求n个相同因数的积的运算叫______，结果叫______，记作，其中a叫______，n叫______；负数的奇次幂是______，偶次幂是______，正数的任何次幂都是______，0的任何正整数次幂都是______。 12.有理数混合运算顺序：先算______，再算______，最后算______；有括号先算______里面的，同级运算从______到______依次进行。 13.科学记数法是把大于10的数表示为a×（1≤a＜10，n为正整数），n等于原数整数位数______；例如360000用科学记数法表示为______，2.05×的原数是______。 14.有理数大小比较：①数轴比较法：右边的数______左边的数；②绝对值比较法：正数大于______，负数小于______，正数大于一切______；两个负数比较，绝对值大的______。 二、基础过关 1．中国是世界上最早使用负数的国家，我国古代数学名著《九章算术》中就已记载了负数．下列各数中，负数是（    ） A．0 B． C． D． 2．如果盈利100元记作元，那么亏损70元记作 元． 3．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各数中，不是有理数的是（    ） A． B． C．（相邻两个之间有个） D． 5．下列说法：①0既不是正数也不是负数；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 6．在，，，，这5个数中，正整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 8．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．在数轴上，点表示的数是，将点A向右移动个单位长度到达点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于的是 ． 11．点在数轴的负半轴上且距离原点2个单位长度．将点沿数轴向左平移3个单位长度后得到点，那么点表示的数为（   ） A． B． C．3 D．5 12．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是 ． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为 ． 13．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是，若在这个数轴上任意画出一条长为的线段，则线段盖住的整点个数为（    ） A．3个 B．4个 C．3个或4个 D．4个或5个 14．下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．下列计算结果是正数的是（   ） A． B． C． D． 16．两个有理数的和为0，则这两个数（　　） A．都是0 B．互为相反数 C．至少有一个为0 D．一正一负 17．如果，那么 ． 18．如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 19．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 20．下列式子与结果相同的是（　　） A． B． C． D． 21．某天早晨的气温是，中午又上升，夜间气温是，则夜间气温与中午气温相比（   ） A．下降了 B．下降了 C．下降了 D．下降了 22．下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 23．有理数在数轴上的位置如图所示，则的值（    ） A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．大于2 24．数轴上点A表示，点B表示1，线段AB的长度是（） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 26．如果，那么下列成立的是（   ） A． B． C． D． 27．两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 28．计算，这个运算应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和结合律 D．以上均不对 29．合肥市冬季某三天最低气温分别是，，，这三天最低气温中最大温差是（   ） A． B． C． D． 30．计算：． 31．已知，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 32．“双十一”期间某网店一周七天的盈亏情况统计如下（盈利记为“”，亏损记为“”，单位：元）：，那么网店这一周共（    ） A．盈利了200元 B．盈利了300元 C．亏损了200元 D．亏损了300元 33．将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 34． 下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 35．的倒数是(     ) A．2 B． C． D． 36．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 37．计算： ． 38．计算：(1) (2) 39．的倒数是 ，平方等于的数是 40．计算： ． 41．自商务部提出家电以旧换新政策以来，10月16号共有1082.6万名消费者购买以旧换新八大类产品1654万台，享受139.6亿元中央补贴，将数据139.6亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 42．，全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，截至2月9日，的累计下载量已超过亿次，周活跃用户规模高达人．其中表示的原数中，7的后面有 个零． 43．计算： (1)；(2)． 第二章有理数及其运算知识梳理+基础过关卷参考答案 1、 知识梳理： 1.有理数；正整数；0；负整数；正整数；0；负整数；0；正分数；负分数；分数 2.原点；正方向；单位长度；向右；统一；大；右；左；上 3.符号；0；0；原点；相等 4.原点；它本身；它的相反数；0；a；0；-a；≥；非负 5.相同；绝对值；绝对值较大；较大绝对值；较小绝对值；0；这个数 6.b+a；a+(b+c) 7.相反数 8.正；负；绝对值；0；负因数；负因数；负；正 9.b×a；a×(b×c)；ab+ac 10.倒数；正；负；绝对值；0 11.乘方；幂；底数；指数；负；正；正；0 12.乘方；乘除；加减；括号；左；右 13.减1；3.6×；20500 14.大于；0；0；负数；反而小 2、 基础过关： 1．C 【分析】本题考查了正负数的定义，化简绝对值，多重符号等知识，根据负数的定义，小于零的数是负数，分别计算各选项的值即可判断． 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故选项A不符合题意； B．，是正数，故选项B不符合题意； C．，是负数，故选项C符合题意； D．，是正数，故选项D不符合题意； 故选：C． 2． 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；根据正负数的意义，盈利记为正数，亏损记为负数，然后问题可求解． 【详解】解：盈利元记作元，则亏损元记作元； 故答案为． 3．D 【分析】本题考查正负数的实际应用，正确理解正负数代表的含义是解题的关键． 根据净含量标注，计算符合标准的范围，然后比较各选项即可． 【详解】解：净含量标注为， 则净含量范围是到 由于，则不符合标准， 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了有理数的定义，掌握有理数的定义是解题的关键，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数．根据有理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是整数，是有理数，不符合题意； B、是分数，是有理数，不符合题意； C、（相邻两个之间有个）是无限循环小数，是有理数，不符合题意； D、是无理数，故是无理数，不是有理数，符合题意． 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，“0”的意义，0既不是正数也不是负数，整数分为正整数，负整数和0，有理数分为整数和分数，有理数也分为正有理数，负有理数和0，据此逐一判断即可． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，原说法正确； ②整数包括正整数、负整数和0，原说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，原说法错误； ④整数中有负整数小于0，原说法错误； ⑤负分数是有理数，原说法正确； ∴ 正确的有①⑤，共2个， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值，相反数，正整数的定义． 先计算平方，绝对值，相反数，再根据正整数的定义作答即可． 【详解】解：，不是正整数； ，是正整数； ，是正整数； ，不是正整数； ，是正整数； ∴正整数有 、、，共3个． 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了有理数相关的定义，解题的关键是掌握非负整数的定义． 非负整数是指大于或等于零的整数，从给定的有理数中筛选出整数且非负的数． 【详解】解：非负整数的有0和11，共2个， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了数轴的三要素及其画法，根据数轴的三要素分别是原点，统一的单位长度，正方向进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该数轴缺少原点这个要素，故该选项不符合题意； B、该数轴的单位长度不统一，故该选项不符合题意； C、该数轴的和的位置反了，故该选项不符合题意； D、该数轴有原点，统一的单位长度，正方向，故该选项符合题意； 故选：D 9．C 【分析】本题考查数轴上点的移动，正确理解移动方向与数值变化的关系是解题关键．根据数轴上点的移动规则，向右移动表示加，向左移动表示减． 【详解】解：∵点表示的数是，向右移动个单位长度到达点， ∴点表示的数为：． 故选：C． 10．a 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，解题的关键是通过数轴上数的位置，直接与 对比大小． 根据数轴上、、、与的位置关系，判断出小于的数． 【详解】解：由数轴位置可知，在左侧，、、均在右侧，数轴上左侧的数小于右侧的数，故小于的数是． 故答案为：． 11．B 【分析】本题考查数轴上点的位置，熟练掌握数轴上点移动距离的意义是解题的关键． 先根据点A的位置求出点A表示的数，再根据向左平移的规则求出点B表示的数即可． 【详解】解：点A在负半轴上且距离原点2个单位长度， 则点A表示的数为， 将点A向左平移3个单位长度得到点B， 则点B表示的数为 故选：B． 12． 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 13．D 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．利用数轴知识解答． 【详解】解：当起点在整点时，盖住的整点个数为； 当起点不在整点时，设线段的区间为，其中a不是整数，则盖住的整点个数为． 线段盖住的整点个数为4或5． 故选：D． 14．A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、和不互为相反数，不符合题意； C、和不互为相反数，不符合题意； D、和不互为相反数，不符合题意； 故选：A． 15．C 【分析】本题考查相反数的知识，绝对值的性质．分别化简各选项，判断结果是否为正数，即可． 【详解】解：A∶，是负数； B∶，是负数； C∶，是正数； D∶，是负数． 故选C． 16．B 【分析】此题考查相反数的性质：两个相反数的和为零，据此解答 【详解】解：两个有理数的和为0，则这两个数互为相反数， 故选：B 17． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 根据绝对值的定义，先计算的值，再求解的方程． 【详解】解：，则， 因此可能为3或， 故答案为：． 18．D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 19．C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义．通过计算每个足球与标准质量差值的绝对值，比较绝对值大小，绝对值越小越接近标准． 【详解】解：∵ ，，，， 又∵ ， ∴ 最接近标准的是选项C． 故选：C． 20．D 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数加法运算，有理数的减法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 计算原式，利用减去负数等于加上正数的性质，得到结果后与选项对比． 【详解】解：∵==， 选项D为=， ∴与原式结果相同． 其他选项： 选项A、=， 选项B、=， 选项C、=， 均不等于， 故选：D． 21．D 【分析】本题考查正负数在实际生活中的意义，先计算中午气温，再求夜间与中午气温的差值即可． 【详解】解：早晨气温为，中午上升， 则中午气温为. 夜间气温为， 所以夜间与中午气温差为， 即下降了. 故选D． 22．B 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，绝对值的非负性，根据有理数的减法计算法则可判断A、B、C、根据绝对值的非负性可判断D． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 23．A 【分析】根据数轴上有理数a所对应的点的位置，可知：a＜-1，进而即可得到答案． 【详解】∵a＜-1， ∴＜0． 故选A． 【点睛】本题主要考查有理数在数轴上的表示，掌握数轴上的点对应的有理数的大致范围，是解题的关键． 24．C 【分析】本题考查数轴上两点距离公式，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴上两点距离公式，距离等于两点坐标差的绝对值，即可解答． 【详解】解：∵点A表示，点B表示1， ∴． 故选：C． 25．C 【分析】本题考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． 根据所给数轴得到且，逐项判断即可． 【详解】解：由数轴可知，且， 选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、由于、、且，所以，则C正确； 选项D、，则D错误， 故选：C． 26．D 【分析】本题考查绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义，由可推导出的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 故选：D． 27．C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． 28．C 【分析】本题考查了加法运算律，解题关键是掌握加法交换律、加法结合律．根据加法交换律和加法结合律进行分析，即可得到答案． 【详解】解：，这个运算应用了加法交换律和结合律， 故选：C． 29．A 【分析】本题考查了有理数的减法的应用，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题的关键；根据最大温差是最高温度与最低温度的差值计算即可得解． 【详解】解：∵最低气温中最高为，最低为， ∴最大温差． 故选：． 30．2 【分析】此题考查了有理数的加减法，准确的计算是解决本题的关键． 先化简多重符号，再根据有理数的加法结合律进行计算即可求出答案． 【详解】解： ． 31．C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号法则与分数的通分运算是解题的关键．分别计算、、的数值，再比较三者的关系． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， ∵ ，， ∴ 故选：C． 32．B 【分析】本题考查了正负数在实际问题中的应用，用正负数表示具有相反意义的量，有理数的加法，理解正负数在实际中的应用是解题的关键．通过计算所有每天盈亏的代数和，得出总盈亏情况． 【详解】解：∵ 盈利额总和：（元）， 亏损额总和：（元）， ∴ 总盈亏：（元）， ∴ 盈利了300元。 33．B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 34．D 【分析】本题考查多个有理数相乘的符号法则，熟练掌握多个有理数相乘的符号法则是解题的关键． 根据多个有理数相乘的符号法则“多个数非零有理数相乘时，负数的个数为奇数时积为负数，负数的个数为偶数时积为正数；有零相乘时，结果为0”即可求解． 【详解】解：选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：中负数的个数为偶数，故选项B不符合题意； 选项C：中负数的个数为偶数，故选项C不符合题意； 选项D：中负数的个数为奇数，故选项D符合题意． 故答案为：D． 35．D 【分析】本题考查了倒数的定义．根据倒数的定义，一个数的倒数是，使得． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选：D． 36．C 【分析】本题考查有理数的加减乘除运算，需根据运算法则逐一判断. 【详解】解：∵ A: ，∴ A错误； ∵ B: ，∴ B错误； ∵ C: ，∴ C正确； ∵ D: ，∴ D错误； 故选：C. 37． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算， 根据有理数的乘除运算法则，按运算顺序从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 38．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算顺序，先算乘除、后算加减； 利用加法交换律和结合律，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 39． 【分析】本题考查了倒数的定义和平方的定义，第一个根据倒数的定义就可以求出，第二个利用乘方的定义可以求出． 【详解】解：的倒数是，平方等于的数是 故答案为：，． 40． 【分析】本题考查了逆用同底数幂的乘法，积的乘方法则，将化成，结合奇负偶正，同底数幂乘法的逆运算，即可求解； 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 41．C 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 据此求解即可． 【详解】解：139.6亿， 故选：C． 42．6 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值较大的数，解题的关键是对科学记数法表示的数进行还原． 对科学记数法表示的数进行还原即可． 【详解】解：，即原数7的后面有6个0． 故答案为：6． 43．(1) (2)6 【分析】本题考查有理数的混合运算，包括加减法、乘除法、乘方和绝对值等，需熟练掌握运算法则和运算顺序： （1）去掉括号，凑整计算即可； （2）先计算乘方、绝对值，再计算乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $