15.3 可化为一元一次方程的分式方程 课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦“可化为一元一次方程的分式方程”，涵盖概念、解法、增根及应用。通过航行、捐款等实际问题导入，对比一元一次方程引出分式方程，搭建新旧知识联系的学习支架。 其亮点是以问题情境培养数学眼光，用“一化二解三检验”步骤训练数学思维，应用中借表格分析工程、行程问题强化数学语言。助力学生发展抽象与模型意识，教师可依托系统结构提升教学效率。

15.3 可化为一元一次方程的分式方程 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程及其解法 1.掌握解分式方程的基本思路和解法.(重点) 2.理解分式方程可能无解的原因.(难点) 学 习 目 标 知识点1 分式方程的有关概念 轮船在顺水中航行80千米所需的时间和在逆水中航行60千米所需的时间相同,已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度. 问题1 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 合 作 探 究 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园,某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为4800元,第二次捐款总额为5000元,第二次捐款人数比第一次多20人,而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x人,那么x应满足怎样的方程？ 问题2 合 作 探 究 一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速为x千米/时,根据题意可列方程 . 这些方程是我们以前学过的方程吗？它们与一元一次方程有什么区别？ 问题3 合 作 探 究 由上面的问题,我们得到了三个方程,它们有什么共同特点？ 分母中都含有未知数 思 考 分式方程的特征: 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. (1)是方程； (2)方程中含有分母； (3)分母中含有未知数. 分式方程的概念: 讲 授 新 课 下列方程中,哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 解题技巧:判断一个方程是否为分式方程,主要是看分母中是否含有未知数.(注意:π不是未知数) 针 对 练 习 你能试着解这个分式方程吗？ (2)怎样去分母？ (3)在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母都约去？ (4)这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ (1)如何把它转化为整式方程呢？ “去分母” 知识点2 分式方程的解法 思 考 方程各分母最简公分母是:(30+x)(30-x) 解:方程两边同乘(30+x)(30-x),得 检验:将x=6代入原分式方程中,左边= =右边, 因此x=6是原分式方程的解. 90(30-x)=60(30+x), 解得x=6. x=6是原分式方程的解吗？ 讲 授 新 课 将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边都乘以同一个整式，所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.这也是解分式方程的一般方法. 解分式方程的基本思路: 新 知 小 结 下面我们再讨论一个分式方程: 解:方程两边同乘(x+5)(x-5),得 x+5=10, 解得x=5. x=5是原分式 方程的解吗？ 知识点3 分式方程的增根 合 作 探 究 检验:将x=5代入原方程中,分母x-5和x2-25的值都为0,相应的分式无意义.因此x=5虽是整式方程x+5=10的解,但不是原分式方程 的解,实际上,这个分式方程无解. 合 作 探 究 上面两个分式方程中,为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解, 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 思 考 真相揭秘:分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程: 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0 讲 授 新 课 真相揭秘:分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验. x+5=10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时,(x+5)(x-5)=0 讲 授 新 课 解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0,所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式的解呢？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则,这个解不是原分式方程的解. 新 知 小 结 解分式方程时,将分式方程转化为整式方程所求得整式方程的根,使原分式方程中最简公分母(或分母)为零,这种根通常称为增根. 1.关于x的方程 有增根,则增根是 . 练习 x=3 令x-3=0 2.关于x的方程 有增根,则增根是 . x=0,1-1 法二：令x=0 ,x-1=0, x(x+1)=0 法一：令最简公分母x(x-1)(x+1)=0 x=0,1-1. 针 对 练 习 解方程: 解: 方程两边乘(x－1)(x + 2),得 x(x+2)－(x－1)(x+2)=3. 解得 x=1. 检验:当x=1时,(x－1)(x+2)=0. 因此x=1不是原分式方程的解. 所以,原分式方程无解. 针 对 练 习 1.在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成 整式方程； 2.解这个整式方程； 3.把整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母 的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解, 否则需舍去； 4.写出原方程的根. 简记为:“一化二解三检验”. “去分母法”解分式方程的步骤: 新 知 小 结 例1 解方程: 解:两边都乘以最简公分母(x+1)(x-1), 得x+1=2, 解得 x=1. 检验:把x=1代入原方程,最简公分母为0,分式无意义.因此x=1不是原分式方程的解,从而原方程无解. (1)=; (x+1)(x-1) 典 例 精 析 解 :方程两边都乘最简公分母x(x－7),得 解这个整式方程,得 x =10. 检验:把 x=10代入最简公分母,得 因此x =10是原分式方程的解． (2)=. x(x-7) 100(x-7)=30x. x(x－7)≠0, 典 例 精 析 分析：去分母,得2x＋a＝x－1,解得x＝－a－1. ∵关于x的方程 的解是正数, ∴x＞0且x≠1, ∴－a－1＞0且－a－1≠1,解得a＜－1且a≠－2, ∴a的取值范围是a＜－1且a≠－2. 解题技巧：求出方程的解(用未知字母表示),然后根据解的正负性,列关于未知字母的不等式求解,特别注意分母不能为0. a＜－1且a≠－2 例2 关于x的方程 的解是正数,则a的取值范围 是________________． =1 =1 典 例 精 析 若关于x的分式方程 无解,求m的值． 分析：先把分式方程化为整式方程,再分两种情 况讨论求解：一元一次方程无解与分式方 程有增根． 例3 典 例 精 析 解：方程两边都乘以(x＋2)(x－2), 得2(x＋2)＋mx＝3(x－2),即(m－1)x＝－10. ①当m－1＝0时,此方程无解,此时m＝1； ②方程有增根,则x＝2或x＝－2. 当x＝2时,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×2＝－10,解得m＝－4； 当x＝－2时,代入(m－1)x＝－10,得(m－1)×(－2)＝－10,解得m＝6. ∴m的值是1,－4或6. 典 例 精 析 解题技巧：分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的：分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为0的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为0的数，而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的数． 新 知 小 结 D 2.要把方程 化为整式方程,方程两边可以同乘以( ) A.3y-6 B.3y C.3(3y-6) D.3y(y-2) 1.下列关于x的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 3.若关于x的分式方程 无解，则m的值为( ) A.－1，5 B.1 C.－1.5或2 D.－0.5或－1.5 D 随 堂 检 测 4.解方程:(1) 解:(1)方程两边乘x(x-3),得 2x=3x-9. 解得 x=9. 检验:当x=9时,x(x-3)≠0. 所以,原分式方程的解为x=9. (2) (2)去分母，得 解得 检验:把 代入 所以原方程的解为 随 堂 检 测 5.若关于x的方程 有增根，求m的值. 解：方程两边同乘以x-2,得 2-x+m=2x-4. 合并同类项，得3x=6+m， ∴m=3x-6. ∵该分式方程有增根， ∴x=2， ∴m=0. 随 堂 检 测 定义 分式方程 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 一化（分式方程转化为整式方程）； 二解（解整式方程）； 三检验（代入最简公分母看是否为零） 解法 增根 使最简公分母(或分母)为零的根 课 堂 总 结 第2课时 分式方程的应用 1.理解数量关系正确列出分式方程.（难点） 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式程解决实际问题.（重点） 学 习 目 标 1.解分式方程的基本思路是什么？ 2.解分式方程有哪几个步骤？ 3.验根有哪几种方法？ 分式方程 整式方程 去分母 转化 一化；二解；三检验. 有两种方法：第一种是代入最简公分母；第二种代入原分式方程.通常使用第一种方法. 知 识 回 顾 4.我们学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？ 基本有4种： （1）行程问题： “路程=速度×时间”以及它的两个变式； （2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法； （3）工程问题： “工作量=工时×工效”以及它的两个变式； 复 习 导 入 （4）利润问题：“批发成本=批发数量×批发价” “批发数量=批发成本÷批发价” “打折销售价=定价×” “销售利润=销售收入一批发成本” “每件销售利润=定价一批发价” “每件打折销售利润=打折销售价一批发价” “利润=利润÷进价”. 复 习 导 入 分式方程的应用——工程问题 例1 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时乙队加入，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 表格法分析如下： 工作时间（月） 工作效率 工作总量（1） 甲队 乙队 设乙单独完成这项工程需要x天. 典 例 精 析 等量关系： 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1” 解：设乙单独完成这项工程需要x个月.记工作总量为1， 则甲的工作效率是 .根据题意，得 即 方程两边都乘以2x，得 解得 x=1. 典 例 精 析 检验：当x=1时，2x≠0. 所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快. 典 例 精 析 本题的等量关系还可以怎么找？ 甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1” 此时表格怎么列，方程又怎么列呢？ 设乙单独完成这项工程需要x天，则乙队的工作效率是 ,甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 . 想一想 思 考 工作时间（月） 工作 效率 工作总量（1） 甲单独 两队合作 此时方程是： 1 表格为“3行4列” 合 作 探 究 1.题中有“单独”字眼通常可知工作效率； 2.通常间接设元，如××单独完成需x（单位时间）， 则可表示出其工作效率； 3.弄清基本的数量关系，如本题中的“合作的工效=甲、乙两队工作效率的和”. 工程问题： 新 知 小 结 4.解题方法：可概括为“321”，3指工程问题中的 三量关系，即工作效率、工作时间、工作总量； 2指工程问题中的“两个主人公”，如甲队和乙队， 或“甲单独和两队合作”；1指工程问题中的一个 等量关系，即两个主人公工作总量之和=全部工作 总量. 新 知 小 结 1. 抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？ 分析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时.根据等量关系 “甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程． 针 对 练 习 解：设甲队单独完成需要x小时,则乙队需要(x＋3)小时． 由题意，得 ， 解得x＝6. 经检验，x＝6是方程的解．∴x＋3＝9. 答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时． 解题技巧：解决工程问题的思路方法： 各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑 相等关系． 针 对 练 习 例2 朋友们约着一起开着2辆车自驾去黄山玩，其中面包车为领队，小轿车紧随其后，他们同时出发，当面包车行驶了200 km时，发现小轿车只行驶了180 km，若面包车的行驶速度比小轿车快 10 km/h，问面包车、小轿车的速度分别为多少？ 0 180 200 分式方程的应用——行程问题 典 例 精 析 路程 速度 时间 面包车 小轿车 200 180 x+10 x 分析：设小轿车的速度为x km/h. 面包车行驶的时间=小轿车行驶的时间 等量关系： 列表格如下： 典 例 精 析 解:设小轿车的速度为x km/h,则面包车的速度为(x+10)km/h.依题意，得 解得x＝90. 经检验，x＝90是原方程的解， 且x=90，x+10=100，符合题意. 故面包车的速度为100 km/h， 小轿车的速度为90 km/h. 注意两次检验: (1)是否是所列方程的解; (2)是否满足实际意义. 典 例 精 析 小轿车发现跟丢时，面包车行驶了200 km，小轿 车行驶了180 km，小轿车为了追上面包车，立即 提速，结果他们正好同时到达距离出发点300 km 的地方，请问小轿车提速多少？ 0 180 200 300 针 对 练 习 解：设小轿车提速x km/h.依题意，得 解得x＝30. 经检验，x＝30是原方程的解，且x=30，符合题意. 故小轿车提速30 km/h. 针 对 练 习 1.注意关键词“提速”与“提速到”的区别； 2.明确行程问题中两个“主人公”，如小轿车和面 包车；行程问题中的三个量，即路程、速度和时 间，分别用代数式表示出来； 3.行程问题中的等量关系通常是抓住“时间线”来 建立. 行程问题： 新 知 小 结 列分式方程解应用题的一般步骤： 1.审：审清题意； 2.设：设未知数； 3.找：找出题中的相等关系； 4.列：列出方程； 5.解：解方程； 6.验：验根（两方面 ：一是否是方程的根；二是否符合题意）； 7.答：写出答案，并作答. 新 知 小 结 佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克,以每千克9元售出100千克后,因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)求第一次水果的进价是每千克多少元？ 分析：根据第二次购买水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案. 例3 分式方程的应用——销售问题与其他问题 典 例 精 析 解：(1)设第一次购买的进价为x元，则第二次的进价为1.1x元. 根据题意，得 ， 解得x＝6. 经检验，x＝6是原方程的解． 故第一次水果的进价为每千克6元． 典 例 精 析 (2)该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 分析：(2)先计算两次购买水果的数量，赚钱情况： 销售的水果量×(实际售价－当次进价)，两次合计， 就可以求得是盈利还是亏损了． 解：(2)第一次购买水果：1200÷6＝200(千克)； 第二次购买水果：200＋20＝220(千克)． 第一次赚钱：200×(8－6)＝400(元)； 第二次赚钱：100×(9－6.6)＋120×(9×0.5－6.6)＝－12(元)， 所以两次共赚钱400－12＝388(元)． 典 例 精 析 例4 用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致.两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用 2小时输完.这两名操作员每分钟各输入多少个数据？ 解：设乙每分钟输入x个数据，则甲每分钟输入2x个数据. 根据题意，得 典 例 精 析 解得x=11. 经检验，x=11是原方程的解. 当x=11时，2x=22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用120分钟，符合题意. 答：甲每分钟输入22个数据，乙每分钟输入11个数据. 讲 授 新 课 1. 几名同学包租一辆面包车去旅游，面包车的租价为180元，出发前，又增加两名同学，结果每名同学比原来少分摊3元车费.若设原来参加旅游的学生有x人，则所列方程为(　　) A 随 堂 检 测 2.一轮船往返于A、B两地，顺水比逆水快1小时到达.已知A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/时，求轮船在静水中的速度. 检验：x=－18不合题意，舍去，故x=18. 解：设轮船在静水中的速度为x千米/时.根据题意，得 解得x=±18. 故船在静水中的速度为18千米/时. 随 堂 检 测 3. 农机厂职工到距工厂15千米的向阳村检修农机，一部分人骑自行车先走，过了40分钟，其余人乘汽车去，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度. 解：设自行车的速度为x千米/时，则汽车的速度为3x千米/时.依题意，得 解得x=15. 经检验，x=15是原方程的根. 则3x=45. 故自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时. 随 堂 检 测 4.某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每吨水费上涨1/3，小丽家去年12月的水费是15元，今年7月的水费是30元.已知今年7月的用水量比去年12月的用水量多5 m3，求该市今年居民用水的价格? 解:设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的水价为 元/m3.根据题意，得 解得 经检验， 是原方程的根，则 所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3. 随 堂 检 测 类型 分式方程的应用 行程问题、工程问题、数字问题、顺逆问题、利润问题等 一审；二设；三找；四列；五解；六验；七答 步骤 方法 321法 课 堂 总 结 $