离散型随机变量及其概率分布、期望与方差专项训练 -2026届高三数学一轮复习

离散型随机变量及其概率分布、期望与方差 一、单项选择题 1．若随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)的值为(　　) X 1 2 3 4 P a A． B． C． D． 2．已知随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝，则m＝(　　) X 1 2 P m n A． B． C． D． 3．(2024·镇江期初)已知随机变量X的分布列如下表，若E(X)＝，则D(X)＝(　　) X －2 0 1 P a b A． B． C． D． 4．设0＜a＜1，随机变量X的分布列是 X 0 a 1 P 则当a在(0，1)内增大时(　　) A．D(X)增大 B．D(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 二、多项选择题 5．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，则(　　) A．E(X)＝ B．E(2X＋3)＝3 C．D(X)＝ D．D(3X＋2)＝ 6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则(　　) X 1 2 3 4 P p2 3p2 1－2p＋p2 1－3p＋p2 A．p＝ B．p＝ C．P(X＞2)＝ D．D(X)＝ 三、填空题 7．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝____． X 0 2 a P p 8．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P p 0.6 若E(X)＝1.2，则p＝___；当p＝___时，D(X)最大． 9． (2024·邯郸三调)从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)＝___． 四、解答题 10．(2024·临汾二模)已知质量均匀的正n面体，n个面分别标有数字1到n． (1) 抛掷一个这样的正n面体，随机变量X表示它与地面接触的面上的数字，若P(X＜5)＝，求n； (2) 在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量Y表示这两个正n面体与地面接触的面上的数字和的情况，记数字和小于7、等于7、大于7时，Y分别取值0，1，2，求Y的分布列及期望． 11．(2025·南昌期初)某校举行知识竞赛，每个班各派5名同学参赛，若某班5名同学失分(均为整数)都不超过5分，则该班级为“优秀班级”． (1) 若A班5名同学失分分别为1，1，3，3，4，从这5个失分中随机抽两个分数，记这两个分数差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望． (2) 若B班中5名同学失分的平均数为2，方差为2，问B班是否为优秀班级？请说明理由． 1. A　【解析】 根据题意可得a＝1－－－＝，所以P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝. 2. B　【解析】 由已知得解得m＝. 3. B　【解析】 因为E(X)＝，且各概率之和为1，所以解得所以D(X)＝×＋×＋×＝. 4. D　【解析】 由题意可得E(X)＝(a＋1)，所以D(X)＝＋＋＝＝[＋]，所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大． 5. AC　【解析】 因为随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，所以P(X＝1)＝，所以E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝×＋×＝，故A，C正确；E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝2×＋3＝，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝，故B，D错误． 6. BCD　【解析】 由题意可知p2＋3p2＋(1－2p＋p2)＋(1－3p＋p2)＝1，即6p2－5p＋1＝(2p－1)(3p－1)＝0，解得p＝或p＝.当p＝时，P(X＝4)＝1－＋＝－<0，不符合题意，故p＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故A错误，B正确．P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝，故C正确．E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，则D(X)＝×＋×＋×＋×＝，故D正确． 7. 4　【解析】 由题意可得＋p＋＝1，解得p＝.因为E(X)＝2，所以0×＋2×＋a×＝2，解得a＝3.D(X)＝(0－2)2×＋(2－2)2×＋(3－2)2×＝1，D(2X－3)＝4D(X)＝4. 8. 0.1　0.2　【解析】 由E(X)＝1.2，得0×p＋1×0.6＋2×(0.4－p)＝1.2，解得p＝0.1.依题意，E(X)＝1.4－2p，E(X2)＝02×p＋12×0.6＋22×(0.4－p)＝2.2－4p，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝2.2－4p－(1.4－2p)2＝－4(p－0.2)2＋0.4，则当p＝0.2时，D(X)取得最大值． 9. 8　【解析】 从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张卡片共有10种结果：(1，2)，(1，3)，(1，5)，(1，9)，(2，3)，(2，5)，(2，9)，(3，5)，(3，9)，(5，9).2张卡片上的数字之和X分别为3，4，6，10，5，7，11，8，12，14，则P(X＝3)＝P(X＝4)＝P(X＝5)＝P(X＝6)＝P(X＝7)＝P(X＝8)＝P(X＝10)＝P(X＝11)＝P(X＝12)＝P(X＝14)＝，所以E(X)＝×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋10＋11＋12＋14)＝8. 10. 【解答】 (1) 因为P(X<5)＝＝，所以n＝6. (2) 样本空间Ω＝{(m，t)|m，t∈{1，2，3，4，5，6}}，共有36个样本点．记事件A＝“数字之和小于7”，事件B＝“数字之和等于7”，事件C＝“数字之和大于7”，则A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(2，2)，(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)}，共15种，故P(Y＝0)＝P(A)＝＝；B＝{(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)}，共6种，故P(Y＝1)＝P(B)＝＝；C＝{(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(4，6)，(6，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，共15种，故P(Y＝2)＝P(C)＝＝.从而Y的分布列为： Y 0 1 2 P 故E(Y)＝0×＋1×＋2×＝1. 11. 【解答】 (1) X的可能取值为0，1，2，3，当选到两个分数为1，1或3，3时，X＝0，故P(X＝0)＝＝；当选到两个分数为3，4时，X＝1，故P(X＝1)＝＝；当选到两个分数为1，3时，X＝2，故P(X＝2)＝＝；当选到两个分数为1，4时，X＝3，故P(X＝3)＝＝，故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. (2) B班中5名同学的总失分为2×5＝10，假设有1名同学失分为6分，由于>2，故不满足要求，故假设不成立，即5名同学失分均不超过5分，故B班为优秀班级． 学科网（北京）股份有限公司 $