暑假作业10 重难专题04：利用导数研究切线、公切线的九大热点题型（巩固培优,3知识9题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高二数学人教A版

**基本信息** 以导数几何意义为核心，构建“概念-方法-应用”三阶体系，通过九大题型系统突破切线与公切线问题，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数几何意义|2个知识点|定义+切线方程四步法（在点/过点）|从导数几何意义（概念）到切线方程求法（应用），形成“定义-步骤-变式”链条| |公切线问题|2类情形|共切点（方程联立）+不共切点（双切点参数法）|拓展至两曲线位置关系，深化导数工具性应用| |九大题型|约50题（含高考真题）|斜率/方程/参数/公切线等问题通法|题型覆盖基础（斜率计算）到综合（探究题），实现“方法-题型-素养”层层递进|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 重难专题04：利用导数研究切线、公切线的 九大热点题型 【知识点1 导数的几何意义】 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的导数值． 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为. 【知识点2 求曲线切线方程的方法】 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【知识点3 两曲线的公切线问题】 1.共切点的公切线问题 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有从而确定参数的取值. 2.不共切线的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2). 【题型1 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，则， 即在点处的切线的斜率为， 设该处切线的倾斜角为，则， 因为，所以. 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 由于，因此，可得 ， 即切线斜率， 因为切线的倾斜角为，且，斜率，分两种情况讨论： 当时，即，可得 当时，即，结合正切函数在上单调递增且，可得 综合以上两种情况，倾斜角的取值范围是：. 3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知曲线，求导得， 设曲线在点处的切线倾斜角为，其中， 根据直线斜率与倾斜角的关系，有斜率， 因此，由于，得，解得， 因此的最小值为，故B正确. 5．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 【答案】/ 【解析】因为，则，所以， 解得，所以曲线在处的切线斜率为. 6．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 【答案】/ 【解析】，当时，， 所以函数在处的切线斜率为. 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，当时，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. 2．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以，而. 所以切线方程为，即. 故选：C. 3．已知函数，则在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 当时，，此时， 所以， 求导可得， 所以， 所以切线方程为，即. 故选：D. 4．（2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【解析】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 【题型3 求过一点的曲线的切线方程】 1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【解析】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 2．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【解析】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 3．（25-26高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在上的最大值和最小值； (2)求过原点的切线方程． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)和 【解析】（1）由得， 令得或， ，，，， 当在上变化时，的变化情况如下表： 0 2 3 0 + 0 0 因为， 所以在上的最大值为，最小值为． （2）因为， 所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在. 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即，解得或. 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 4．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)函数的单调递增区间为： ，递减区间为： (2)或 【分析】（1）先求出导函数，根据导函数正负得出函数单调区间即可； （2）先设切点为，再根据导函数得出切线斜率，再计算求解参数，最后带回得出切线方程. 【解析】（1）函数定义域为， 由函数，可得 ， 令，得或， 令，得， 所以函数的单调递增区间为： ； 递减区间为：. （2）因为点不在曲线上， 设切点为，所以 ， 所以切线方程为 ， 又因为在切线上，所以 ， 即 ，解得或 则， 当切点为时，切线的斜率为 ，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为 ，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或 【题型4 两条切线平行、垂直问题】 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数，求导得，则， 由函数的图象在点处的切线与直线垂直，得， 即，所以. 2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 【答案】/ 【解析】由，可得．当时，． 因为曲线在点处的切线与直线平行， 所以． 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【答案】/ 【解析】因为直线的斜率为：， 又曲线在点处的切线与直线垂直， 所以曲线在点处的切线的斜率为：， 由，则， 所以，解得：. 【题型5 已知切线或切点求参】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由求导得. 则，. 所以曲线在处的切线方程为. 即. 该切线经过点，则得. 解得. 2．（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】设切点坐标为 ， 因为 ，所以，所以切点处的切线斜率 ， 由点斜式得切线方程为： 令，代入切线方程可得纵截距： ， 设函数 ，则， 令，由于恒成立，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 因此为的最大值点， 最大值为 ，即的最大值为. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由，得， 在处，，， 所以切线方程为， 即． 该切线经过点，故， 解得． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 5．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【解析】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 6．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为，则_________. 【答案】 【解析】由题可知，由题意得，， 则，且，化简得， 解得，，即. 7．（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 【答案】 【解析】曲线，导数为，切线斜率，在处有 切点纵坐标为，切线方程为，切点在该直线上，，故，. 8．（2026·河南安阳·模拟预测）若是曲线的一条切线，则__________. 【答案】1 【解析】设切点坐标为，因为， 所以. 设，，则在上恒成立. 所以在上单调递增，且. 所以方程只有1解. 由. 【题型6 切线的条数问题】 1．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 【答案】B 【解析】设过原点作函数的切线的切点为， 而，则， 因此切线方程为， 由切线过原点，得， 则或，当时，切线方程为； 由，得或， 当时，切线方程为； 当时，切线方程为， 所以过原点可作函数图象的切线条数为3. 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 设切点坐标为，其中. 在切点处的切线斜率为， 则切线方程可表示为. 又切线过点，则， 因为，所以，整理得. 因为曲线有两条过点的切线，等价于关于的方程有2个不等实根，即， 而，所以， 解得或. 故实数t的取值范围是. 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】由，定义域为， 导数，设切点为 ， 切线斜率为​， 则切线方程：，又切线过点 ， 代入整理得： 由题意对任意，方程关于仅有一个解， 即函数在上单调， 求导得： ​ ，又， 符号由分子 决定， 要让单调，需恒正或恒负对所有成立， 当时，恒成立，此时当时，恒正或恒负不成立， 当时，若恒正或恒负对所有成立， 需满足和有相同零点， 有正根​​，，得， 即，解得​； 此时 对所有恒成立， 仅处等号成立，在单调递减，且，， 故对任意，方程仅有一个解，符合要求； 因此. 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，即， 令，原题意等价于与有3个交点， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则的极小值为，极大值为， 当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 可得，所以t的取值范围是. 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】设出曲线的切点坐标，写出切线方程后代入点A坐标，将切线条数转化为关于切点横坐标的一元二次方程的实根个数，利用判别式求解参数的取值范围. 【解析】由，得： ， 即切点处切线斜率为， 切线方程为：， 将代入切线方程， 整理得： ， 过点有两条切线，等价于上述关于的一元二次方程有两个不相等的实根， 计算判别式：， 解得或，即或 因此的取值范围是. 【题型7 与切线有关的最值问题】 1．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】依题意，当曲线在处的切线垂直于时，取得最小值， 设，求导得，则， 整理得，而函数在上单调递增， 又，因此，点，所以. 故选：D 2．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以. 设， 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 对于，在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即. 当两切线平行且斜率相等时，最小，即两切线与直线垂直时，最小. 所以令，则；令，则. 此时. 所以. 故选：A. 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【解析】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 4．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】/ 【解析】已知直线与曲线相切，设切点横坐标为， 则①， 曲线求导得，则②，解得， 代入①得，，故， ， 当时，取得最小值，最小值为． 5．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【解析】，，得， 当，，单调递增，，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 如图，当与直线平行的直线与的图象相切时，此时切点到直线的距离最小， ，得，即切点， 点到直线的距离为. 故答案为： 【题型8 两曲线的公切线问题】 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 【答案】D 【解析】设两函数，的图象公共点的坐标为，则有①. 分别对两函数求导可得及， 由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在处的斜率相等， 即，即，解得或. 将代入①可得；将代入①可得，解得， 所以的值为0或1. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 【答案】B 【解析】令，， 设切点分别为和，则， 由，可得，则， 由同理，则，所以， 可得，即， 此时，所以，所以. 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 【答案】 【解析】对函数求导得，故曲线在处的切线斜率为， 所求切线方程为，即， 设直线与曲线切于点， 对函数求导得，所以曲线在点处的切线斜率为， 且点在直线上，所以有，解得. 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 【答案】 【解析】对，求导得， 设切点为，切线斜率，解得，则切点为，切线方程为，满足条件. 对，求导得. 设切点为，则切线斜率为，所以，故切点坐标为， 代入切线中得，，则. 设另一条公切线与相切于，则切线方程为， 即. 设该公切线与相切于，则切线方程为， 即. 所以，解得或. 当时，对应切线方程为，即已知切线方程； 当时，对应切线方程为. 故另外一条公切线的方程为. 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 【答案】0或1 【解析】设公共的切点为，则在函数中，当时，， 则在点处的切线方程为：， 在函数中，当时，， 同理可得在P点处的切线方程为：， 又两个函数在公共点处的切线重合，所以， 解方程组可得或，所以a的值为0或1． 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【答案】 【解析】，. 设曲线与曲线在点处有公切线， 所以，即，解得，. 所以，正数的值为5. 【题型9 与切线有关的探究题】 1．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：） 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【解析】（1）因为的导数为，则， 可得曲线在点处的切线斜率为1，所以切线的方程为. （2）设，则 令，可得， 当时，，当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且， 所以时，， 若切线相互垂直，则存在，且， 存在满足题意，例如. 2．已知函数. (1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系； (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或 (2)存在，或. 【解析】（1）， 曲线在点处的切线斜率为， 曲线在点处的切线斜率为， 又， 曲线在点处的切线方程为，即 令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为， 切线与坐标轴围成的三角形的面积为； 曲线在点处的切线方程为，即， 令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为， 切线与坐标轴围成的三角形的面积为； 由题意，，所以或. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， ， 曲线在点处的切线为，即， 曲线在点处的切线为，即， 则则 所以，解得或 当时，直线 当时，直线 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 3．已知，函数 (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数?请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在，理由见解析. 【解析】（1）的定义域是， 由可得，即恒成立， 令，， ，当时，，在单调递增， 当时， ，在上单调递减， 所以当，， 所以. （2）存在，使得切线和的斜率互为倒数，理由如下： ，， 设的切线方程是，则，显然，，切点为， 于是，解得，所以的斜率为e，于是的斜率为， 设的切点坐标为，由，， 又，所以，整理得， 设，， 当时，，在上递增，而，所以， 当时，，在上递减， 又， 所以存在，使得， 因此关于的方程有正数解． 所以存在，使得切线和的斜率互为倒数． 【点睛】方法点睛：求解切线有关的问题，关键点有两个，一个是切点，另一个是斜率.切点即是要看清题目给的已知条件所给点是在曲线上，还是在曲线外；斜率是将切点的横坐标代入导函数求得的 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，曲线在处的切线过点和点， 则此切线的斜率为． 2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【解析】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 3．（25-26高二下·四川宜宾·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设切点坐标为， 曲线的切线方程为， 即， 代入，得 ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，， 知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则． 所以的取值范围是. 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 5．（25-26高二下·河北衡水·期末）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 6．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则， 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 由，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以若函数在区间上单调递增，则， 若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 即在恒成立，等价于在恒成立， 也即在恒成立， 令，则， 因为，所以恒成立，即函数在上单调递增， 所以， 所以若曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2， 则，所以要满足题意则，即实数的取值范围是. 7．（多选）（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（     ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极大值点 D．函数在处的切线斜率大于0 【答案】CD 【解析】根据导函数的图象可知 时，，时，，时，， 选项A：在上单调递增，因此可得，A错误； 选项B：极值点要求导函数在该点两侧变号，左右两侧都为正，因此不是极值点，B错误； 选项C：左侧，右侧，导函数符号不变，因此不是极值点，C正确； 选项D：函数在某点的切线斜率等于该点的导数值，处，因此切线斜率大于，D正确. 8．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 【答案】 【解析】由题意可得， 即，使得，解得，因为， 因此. 9．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 【答案】 【解析】为偶函数 ， 则，， ， 恒成立，， ， 设切点横坐标，则：， 令：则，即， ， ， ∴，即，即切点横坐标为. 10．已知直线与曲线相切，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设直线与曲线相切于点， ，，. 又，， . 设，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，当时，. 故答案为：. 4 11．点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】的最小值等价于函数图象上的点到直线的最短距离， 根据导数的几何意义可知，当函数在点处的切线与平行时， 最小，即最小. 因为，所以，令得或（舍）， 所以切点为， 所以的最小值为切点到直线的距离， 所以的最小值为. 12．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）已知，令，得. 即，解得. 因此. 对求导：. 令，结合，得，即，解得. 代入得的解析式：. （2）由（1）得，. 设切点为，切线斜率为，切线方程. 因为切线过点，代入得. 约去并整理得一元二次方程. 曲线存在这样的切线等价于关于的一元二次方程有实数解. 故判别式，化简得。 解不等式得或，所以实数的取值范围是. 13.（2026·湖北武汉·三模）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使得函数的图象在点的切线为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若函数的图象上存在关于点对称的不同两点，求实数的取值范围. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【解析】（1）不存在实数，使得函数的图象在点处的切线为.理由如下： 假设存在实数，使得函数的图象在点处的切线为. 则，所以. 此时，，所以， 这与直线的斜率为1矛盾，故假设不成立. 所以不存在实数，使得函数的图象在点处的切线为. （2）若函数的图象上存在关于点对称的不同两点， 则方程（，且）有解. 所以， 整理得：. 设，由，且，可得， 所以，. 设，.则. 设，.则， 当时，恒成立. 所以在上单调递减，且. 所以当时，恒成立，所以在上单调递增. 由，当时，. 所以当时，，即. 1．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若为“旋转函数”，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的定义可得，逆时针旋转后， 不存在与轴垂直的直线，使得该直线与旋转后的函数图象有1个以上的交点， 故不存在倾斜角为的直线与的图象有两个交点， 即直线与的图象至多有1个交点， 亦即对任意的，至多1个解， 令，由上知为单调函数. 而， 故恒成立，即恒成立． 即的图象在直线的上方，故，即． 如图，当的图象与直线相切时，可设切点为， 对求导有，故，解得， 此时，故，所以的最小值是． 2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线与切于点， 则切线斜率，切线方程为 设直线与切于点，， 则切线斜率，切线方程为， 两切线为同一直线，故， 因为，所以， 若，由得， 此时，与矛盾，所以， 由两式相除得，即. 由两边取对数得， 即， 设，则， 即方程有解， 构造函数， 则， ①若，则， 令，得， 故在单调递增，在单调递减， 最大值为， 当即时，有解； 当，即时，无解. ②若，，则， 令，得， 故在单调递减，在单调递增， 最小值为，有解. 综上，的取值范围是. 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 【答案】ABD 【解析】，所以，，则在处的切线为， 令，得，即，故A正确； 在处的斜率为， 所以在处的切线方程为， 令，得，即，所以，故B正确； 方程在的正根为， 用“二分法”求方程在上的近似解： 第一步：中点，，新区间； 第二步：中点，，新区间； 第三步：中点. 又用“牛顿切线法”求近似解：，，， 第三步. 故，故C错误，D正确． 4．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数．若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合____________． 【答案】 【解析】已知曲线在点（为常数）处的切线方程为，根据导数的几何意义，有， 由于点在切线上，所以，解得，则切线方程为， 则不等式可化为，即， 令，因此集合表示满足的的集合， 对求导，得，由于函数是上的严格减函数， 所以当时，，即，所以在区间单调递增； 当时，，即，所以在区间单调递减； 因此在处取到最大值，最大值为，即对任意，都有， 因此集合要满足，只有在时符合，即集合. 5．已知函数. (1)讨论函数的零点个数． (2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)存在，，． 【解析】（1）当时，的最小值为； 当时，的最大值为． 作出的大致图象，如图所示．    由，得． 当或时，的零点个数为； 当时，的零点个数为； 当时，的零点个数为． （2）假设存在直线，使得该直线与曲线切于，两点， 方法一：联立与，得， 则． 联立与，得， 则． 联立方程组，解得或， 当，时，此时，，则切点，的坐标分别为，， 当时，，此时，这与矛盾，不符合题意， 综上，存在直线满足题意，且，． 方法二：设函数，则， 则曲线在处的切线方程为，即， 设函数，则， 则曲线在处的切线方程为，即． 依题意可得， 消去，得，因为，所以，， 所以，， 即存在直线满足题意，且，． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 重难专题04：利用导数研究切线、公切线的 九大热点题型 【知识点1 导数的几何意义】 1.导数的几何意义 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 2.函数的图象在某点处的切线方程 函数的图象在点处的切线方程为 . 【知识点2 求曲线切线方程的方法】 1．求曲线在点P处的切线方程 第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率； 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2．求曲线过点P的切线方程 第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【知识点3 两曲线的公切线问题】 1.共切点的公切线问题 当y＝f(x)与y＝g(x)相切于同一点，设切点为P，则有从而确定参数的取值. 2.不共切线的公切线问题 若函数y＝f(x)与y＝g(x)的公切线的切点不同，先设y＝f(x)上的切点A(x1，f(x1))，得到切线方程y－f(x1)＝f'(x1)(x－x1)；再设y＝g(x)上的切点B(x2，g(x2))，得到切线方程y－g(x2)＝g'(x2)(x－x2)，因为切线是同一条直线，故得到两个等式f'(x1)＝g'(x2)，f(x1)－x1f'(x1)＝g(x2)－x2g'(x2). 【题型1 求切线的斜率、倾斜角、切点坐标】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）设函数，则曲线在点处的切线的倾斜角为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）点M在曲线上移动，设曲线在点M处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津蓟州·期中）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河北保定·期中）若是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线倾斜角的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·福建·阶段检测）已知函数，则曲线在处的切线斜率为_________. 6．（25-26高二下·上海·期末）函数在处的切线斜率为________. 【题型2 求在曲线上一点处的切线方程】 1．（2026·全国一卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 2．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏南京·三模）若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【题型3 求过一点的曲线的切线方程】 1．（2026·福建福州·模拟预测）曲线过点的两条切线的方程为________，________. 2．（25-26高二下·广东江门·期中）曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 3．（25-26高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在上的最大值和最小值； (2)求过原点的切线方程． 4．（25-26高二下·江西宜春·期中）已知曲线， (1)求函数的单调区间； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【题型4 两条切线平行、垂直问题】 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·湖南湘潭·三模）若曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 3．（25-26高二下·天津·阶段检测）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数________． 【题型5 已知切线或切点求参】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）曲线在处的切线经过点，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二下·河北承德·期中）已知曲线在其上一点处的切线与轴交于点，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．若曲线在处的切线经过点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 5．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 6．（2026·河北沧州·二模）已知函数，曲线在处的切线方程为， 7．（2026·安徽·模拟预测）若直线是曲线在处的切线，则______________． 8．（2026·河南安阳·模拟预测）若是曲线的一条切线，则__________. 【题型6 切线的条数问题】 1．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期中）已知函数，过原点作函数的切线，则可作的切线条数为（    ） A．无数条 B．3条 C．2条 D．1条 3．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知曲线有两条过点的切线，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，若对任意，过点均仅可作曲线的一条切线，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）若过点可以作函数的三条不同的切线，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【题型7 与切线有关的最值问题】 1．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 2．已知函数 ，若直线 与 的图象分别交于 两点，则 的最小值为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 4．（25-26高二下·河北唐山·期中）若直线与曲线相切，则的最小值为________． 5．已知点 P 在函数 的图象上，则P 点到直线的距离的最小值为 . 【题型8 两曲线的公切线问题】 1．（25-26高二下·甘肃·期中）已知两函数，的图象有公共点，且在一个公共点处的切线重合，则（    ） A．0 B．1 C．0或 D．0或1 2．（25-26高三·全国·一轮复习）直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则的最大值是（    ） A． B． C．2e D．4e 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______. 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________． 5．（25-26高三·全国·一轮复习）已知两函数，的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则a的值为______． 6．（25-26高二下·湖北·阶段检测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 7．（2026·江苏连云港·模拟预测）曲线与曲线在它们的某个公共点处有公切线，则正数的值为________． 【题型9 与切线有关的探究题】 1．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：） 2．已知函数. (1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系； (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 3．已知，函数 (1)若恒成立，求a的取值范围； (2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数?请说明理由． 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，已知直线l是曲线在处的切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东江门·期中）过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 3．（25-26高二下·四川宜宾·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．（25-26高二下·河北衡水·期末）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆江津·期中）已知函数，若函数在区间上单调递增，且曲线在区间上任意一点处的切线斜率均不大于2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．（多选）（25-26高二下·江西景德镇·阶段检测）若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（     ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极大值点 D．函数在处的切线斜率大于0 8．（25-26高二下·河南南阳·阶段检测）若曲线存在斜率为0的切线，则实数a的取值范围是_______ 9．（25-26高二下·吉林长春·期中）已知偶函数，若曲线的一条切线斜率为2，则切点的横坐标为________. 10．已知直线与曲线相切，则的最大值为 . 11．点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为 . 12．（25-26高二下·辽宁抚顺·期中）已知是函数的导函数，且． (1)求的解析式； (2)若曲线存在过点的切线，求实数的取值范围． 13.（2026·湖北武汉·三模）已知函数，其中. (1)是否存在实数，使得函数的图象在点的切线为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (2)若函数的图象上存在关于点对称的不同两点，求实数的取值范围. 1．（2026·北京·三模）在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转后，所得到的曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”．若为“旋转函数”，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数，，若存在直线l既是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）令，对抛物线，持续实施下面牛顿切线法的步骤： 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于； 在点处作抛物线的切线交x轴于；…… 由此能得到一个数列，它的各项就是方程的近似解，按照数列的顺序越来越精确，其中记，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n；则． D．用“二分法”求方程在上的近似解，在第三步得到的结果记为m，用“牛顿切线法”在第三步得到的结果记为n，则． 4．（25-26高二下·上海徐汇·期末）已知函数的定义域为，且的导函数是上的严格减函数．若曲线在点（为常数）处的切线方程为，记集合，则集合____________． 5．已知函数. (1)讨论函数的零点个数． (2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $