专题01有理数（期末复习讲义，25知识点+16题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学有理数期末复习讲义通过表格系统梳理12个核心考点，明确复习目标与考情规律，分25个知识点细化定义、易错点及解题技巧，构建从概念到运算的知识脉络，突出绝对值、混合运算等重难点及数形结合等内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，基础通关练巩固概念，重难突破练通过乘方符号辨析、新定义运算提升运算能力与推理意识，综合拓展练结合数轴规律探究培养创新意识。每个题型配解题技巧，助力不同层次学生掌握方法，为教师精准教学和学生自主复习提供清晰路径。

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数和负数 理解正数和负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量。 基础概念题，常出现在选择题和填空题。 有理数的定义 理解有理数的概念，会对有理数进行分类。 基础必考点，常以概念判断或分类题型出现。 数轴 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数，并能比较大小。 常与绝对值、相反数结合考查，是数形结合的基础。 相反数 理解相反数的代数定义和几何意义，会求一个数的相反数。 基础考点，常出现在选择题和填空题。 绝对值 理解绝对值的概念（几何意义和代数意义），会求有理数的绝对值。 高频考点，常与数轴、相反数结合，易出错点。 有理数的大小比较 掌握利用数轴和绝对值比较有理数大小的方法。 常以选择题形式出现，要求熟练掌握比较法则。 有理数的加减 掌握有理数加减运算法则，能进行准确计算。 中考必考计算题型，是混合运算的基础。 有理数的乘除 掌握有理数乘除运算法则，能进行准确计算，注意符号处理。 中考必考计算题型，常与加减混合考查。 有理数的乘方 理解乘方的意义，掌握乘方运算的符号法则和运算顺序。 高频考点，易错点在符号和运算顺序，常以计算题出现。 有理数的四则混合运算 熟练掌握有理数混合运算的顺序，能准确进行计算。 中考必考计算题型，要求算对算准，常出现在计算题中。 近似数 理解近似数和精确度的意义，会根据要求取近似值。 中考常考题型，常与科学记数法结合，注意四舍五入。 科学记数法 会用科学记数法表示较大的数或较小的数。 中考必考题型，常出现在选择题和填空题，要求熟练掌握。 知识点一、正数和负数 1.定义 正数： 像3、3.5、500、1.2 这样大于0的数叫做正数 . 负数： 像－12、－2.5、－237、－0.7这样在正数前加上符号“－”(负) 的数叫做负数 . ☆ 0既不是正数，也不是负数. 2.数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3.符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号. 易错点： 1.正数的实质是大于0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略“+”号. 2.负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3.正数与负数的特征：(1)不为0；(2)含“+”“－”号. 知识点二、具有相反意义的量 1.定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量. 易错点： 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 易错点： 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 知识点三、有理数 1.整数 正整数、0和负整数统称为整数，如-3、-2、0、1、2、3....... 2.分数 正分数和负分数统称为分数，如..... 3.有理数整数和分数统称为有理数 4.部分常用的数的名称 (1)正整数:大于0的整数;负整数:小于0的整数 （2）正分数：形如 的数；负分数：形如 的数．（ m, n都是正整数， 不能被 整除） （3）非负数：正数和 0 ；非正数：负数和 0 ． 易错点： 1.非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2.引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了,奇数和偶数也可以是负数 3.自然数包括0和正整数 知识点四、 有理数的分类 1.有理数的分类 (1)按定义分类 (2)按性质分类 易错点： 1.不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类:正整数、0、负整数、正分数、负分数、 2.正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数 2.有理数分类的三原则 (1)分类不重复:所分的冬类应当互不包含 (2)分类无遗漏:所分各类之“和”必须是原来的全部 (3)标准要统一:必须按同一分类标准进行分类 知识点五、 数轴 1.定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 易错点： 1.数轴是一条直线 2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度 3.数轴三要素缺一不可,在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变 2.画数轴的步骤 (1)画直线，取原点:画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； (2)标正方向:通常规定直线上从原点向右的方向为正方向:画上箭头，则相反方向为负方向； (3)选取单位长度，标数:选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1、2、3、….;从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 -1、-2、-3… 知识点六、 利用数轴比较数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 2.比较有理数大小法则 正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数 易错点： 1.利用数轴比较数的大小，只看数在数轴上的位置即可 2.利用正负性比较两个异号的数的大小，只看两个数的符号即可 知识点七、 相反数 1.定义 只有正负号不司的两个数称互为相反数规定:0的相反数是 0. 几何意义:在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等 易错点： 1.“只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是 a(a 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数 2.相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个正数的相反数是负数: 负数的相反数是正数;0的相反数是0. 3.相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“一”号，即a的相反数是-4，其实质是改变这个数的符号 知识点八、 多重符号的化简 1.多重符号化简的依据 的相反数为 2.多重符号的化简 (1)根据相反数的性质由内向外化简,当前面的符号是“+时，省略“+”直接写出括号内的数;当前面的符号是“-”时，去掉“一”，写出括号内的数的相反数 (2)先省略所有的“+”，用“一”的个数确定结果的符号.当“-”的个数是偶数时，化简的结果为正数;当“一”的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称“奇负偶正 易错点： 当是一个负数时，是正数，故带负号的数不一定是负数 知识点九、 绝对值 1．定义 在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 |a|．读作＂ 的绝对值＂． 易错点： 由绝对值的定义可知:一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数，最小为0 2.性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0 ； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 即： 知识点十、 绝对值的非负性 1．非负性 任何一个有理数的绝对值总是正数或 0 （通常也称非负数）．即对任意有理数 ，总有 ． 2．绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它相反数的数是非正数， 0 是绝对值最小的数，即：若 ，则 ；若 ，则 ． 3．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，即：若 ，则 。 4．互为相反数的两个数的绝对值相等，即： ． 5．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 ，则 或 ． 易错点： 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 知识点十一、 比较有理数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定:在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即:右边的数总比左边的数大， 2.利用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数(2)两个负数，绝对值大的反而小.即: 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 易错点： 1.比较两个有理数的大小时，一般不用数轴而比较多个有理数的大小时，使用数轴会比 较方便。 2.比较两个异号的数的大小，只需考虑它们的正负;比较两个同号的数的大小，只需考虑它们的绝对值 知识点十二、 有理数的加法法则 1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得0;(4)一个数与0相加，仍得这个数. 易错点： 1.若两个数的和为正数，则这两个数有三种可能: (1)两个都是正数: (2)一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值: (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个数有三种可能: (1)两个都是负数: (2)一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值: (3)一个是负数，一个是0. 2.有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数 取与加数相同的符号 相加 异号 两数 绝对值 不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减 小) 若 ，且 ，则 若 ，且 ， 则 互为相 反数 0 若 ，且 ，则 一个数与0 仍得这个数 3.有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号:加数中是否有0.根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条. (2)确定和的符号 (3)确定和的绝对值 知识点十三、 有理数加法的运算律 1.有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 易错点： 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加 2.利用有理数的加法交换律时，要适当加括号如-6.6+2+(- 3.4)=2+(- 6.6)+(- 3.4) 2.加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加--“相反数结合法” (2)符号相同的数先相加--“同号结合法” (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加-“同形结合法”; (4)几个数相加得到整数先相加1-““凑整法” 知识点十四、 有理数的减法 1．有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 用字母表示： ，其中 表示任意有理数。 易错点： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意＂两变一不变＂＂两变＂是指运算符号。＂一＂变成 ＂＋＂，减数变成它的相反数；＂一不变＂是指被减数不变． 1.做有理数的减法运算，需要先将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算 2.有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变 知识点十五、 加法运算律在加减混合运算中的应用 有理数加减混合运算的方法和步骤 第一步:写成省略加号、括号的形式，运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号. 第二步:运用加法交换律、加法结合律使运算简便，其中结合的方法与有理数加法结合的方法相同 易错点： 进行有理数的加减混合运算时，合理运用加法交换律、加法结合律能简化运算过程 知识点十六、 数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离 数轴上，点 、 分别表示数 、 ，则 、 两点之间的距离为a, b两数差的绝对值，即：如图 易错点： 两点之间的距离是连结两点之间线段的长度，是个正数。所以： 1．当 时， ； 2．当 时， ． 知识点十七、 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数与0相乘，都得 0. 易错点： 1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 2.有理数乘法的运算步骤: (1)确定积的符号; (2)确定积的绝对值 2.有理数的乘法符号法则 （1） 或 ； （2） 或 ； （3） 或 或 ． 知识点十八、 有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 易错点： 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算。它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小。 知识点十九、 倒数 1.定义 乘积是1的两个数互为倒数 2.倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1的 两个数互为倒数 的 倒数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为倒数 都成对出现 相反数 只有正负号不同的两个数互为相反数 的相反数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为相反数 易错点： 1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键。 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系单独一个数不能称其为倒数 3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数 知识点二十、 有理数的除法法则 1．有理数除法法则一 除以一个数等于乘以这个数的倒数注意： 0 不能作除数． 用字母表示： ． 2.有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得 0. 易错点： 1.除法法则---两变: 一变，将除号变成乘号; 二变，将除数变成倒数。 2.除法法则二是先确定商的符号，再求商的绝对值 知识点二十一、 有理数的乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的 2.有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 易错点： 乘除混合有理数，统一为乘第一步,乘法“三律”使简单,负因个数定正负. 知识点二十二、 有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方：求个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 如个相乘：. 幂：乘方的结果叫作幂. 在中，是幂. 底数：在中，叫作底数. 在中，是底数. 指数：在中，叫作指数. 在中，是指数. 说明：指数是正整数，底数可以是任意有理数. 易错点： (1) 一个数可以看作这个数本身的1次方，例如，5就是，指数1通常省略不写. (2) (2)指数是2时读作平方（或2次方），指数是3时读作立方（或3次方）.例如，读作“的平方”（或“的2次方”），读作“的立方”（或“的3次方”）. 知识点二十三、 有理数的乘方运算 1. 乘方运算的符号法则 正数：正数的任何次幂都是正数. 负数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 0：0的任何正整数次幂都是0. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有理数的乘方运算 示例 指数为奇数 （底数为负数，结果为负数） 指数为偶数 （底数为负数，结果为正数） 3. ，及的区别与联系 相同点 指数都是. 不同点 意义不同 个相乘的积. 个相乘的积的相反数. 个相乘的积. 底数不同 联系 为奇数 ，且，都与互为相反数（）. 为偶数 ，且，都与互为相反数（）. 为正整数 若，则. 易错点： (1) 互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若，则（为正整数）. (2) 互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若，则（为正整数）. (3) 注：若为正整数，通常用表示偶数，表示奇数. 知识点二十四、 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1，且小于10，是正整数），使用的是科学记数法.对于小于的数也可以类似表示.例如，. 2.科学记数法的表示步骤 确定：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面. 确定： 方法一：根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 方法二：按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 用科学记数法表示数 数 科学记数法表示 （整数位数是11，） （小数点向左移动5位） 知识点二十五、 近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：接近准确数但不等于准确数的数. 3. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示：如精确到个位或百分位等. (2) 用小数点表示：如精确到或等. 4. 确定近似数的精确度的方法 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位. 注意：用小数表示的近似数末尾的0不可随意省略，它表示的是这个数的精确度.例如，中末尾的0表示这个数精确到百分位. 示例3 确定近似数的精确度 精确到百分位；因为，所以精确到十位. 5. 取近似数的方法 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. (1) 四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法.求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入.例如，精确到十分位为. (2) 去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法.例如，把一根长的钢筋截成长的小段作零件，由，可知能截得的零件数为3. (3) 进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法.例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 ☆理解正负数是表示具有相反意义的量 ◎明确“基准”是什么（通常将某种状态记为0） ◎规定一个方向为正，则相反方向为负（如东为正，西为负） ◎在具体情境中，正确读写正负数 【典例1】下列各数中，是负数的是（　　） A． B．4 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查负数的概念，根据负数的定义，小于零的数是负数，先化简绝对值，再根据正负数的定义即可判断． 【详解】解：A．，是正数，不符合题意； B．4是正数，不符合题意； C．0既不是正数，也不是负数，不符合题意； D．，是负数，符合题意． 故选：D． 【典例2】如果盈利100元记作元，那么亏损70元记作 元． 【答案】 【分析】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；根据正负数的意义，盈利记为正数，亏损记为负数，然后问题可求解． 【详解】解：盈利元记作元，则亏损元记作元； 故答案为：． 【变式1】金漆木雕是一项中国民间雕刻艺术，发源于广东潮汕地区，其工艺要求极高，需要精确控制雕刻深度．若雕刻深度比标准值超出记作，则雕刻深度比标准值不足应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，掌握“正负数可以用来表示具有相反意义的量”是解题的关键，超出标准值记为正数，不足标准值记为负数． 【详解】解：由题意知，雕刻深度比标准值超出记作，则不足应记作． 故答案为：． 【变式2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 【变式3】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 题型二 有理数的定义 解｜题｜技｜巧 ☆整数和分数统称为有理数 ◎分类记忆：有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） ◎判断方法：任何可以化为分数形式（分母不为0）的数都是有理数 ◎注意有限小数和无限循环小数都属于分数 【典例1】下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数，掌握有理数的分类是解题的关键．根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，不属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； （每两个1之间依次多一个4）是无限不循环小数，不属于有理数； 则有理数共有5个． 故选：C． 【典例2】下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类，解题的关键是掌握有理数的相关定义及分类． 根据有理数的定义和性质逐项判断． 【详解】解： ①0既不是正数也不是负数，正确； ②是循环小数，可化为分数，是正有理数，正确； ③有理数的定义是能写成分数形式的数，正确； ④是有限小数，是有理数，错误； 正确的有①②③，共3个， 故选：C． 【变式1】把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【答案】(1)②③⑥⑩ (2)①⑤⑨ (3)③④ 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，掌握有理数的概念和分类是解题的关键． （1）正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数，据此解答即可求解； （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数，据此解答即可求解； （3）非负整数包括正整数和0，据此解答即可求解． 【详解】（1）解：正有理数包括正整数，正分数，正有限小数，正无限循环小数， 为正有理数． 故答案为：②③⑥⑩． （2）负有理数包括负整数，负分数，负有限小数，负无限循环小数， 为负有理数． 故答案为：①⑤⑨． （3）非负整数包括零和正整数， 是非负整数． 故答案为：③④． 【变式2】将下列各数填入适合的集合内． ，，，，，， 整数：{                                           } 负数：{                                           } 非负有理数：{                                           } 【答案】 见解析 【分析】本题考查了有理数分类，利用整数，负数以及非负有理数的定义判断即可． 【详解】解：属于整数，也属于非负有理数； 属于负数； 为圆周率，不属于有理数； 属于非负有理数； 属于整数，也属于非负有理数； 属于整数，也属于负数； 属于整数，也属于非负有理数； ∴整数：{，，，}； 负数：{，}； 非负有理数：{，，，}． 【变式3】把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 【答案】 正数集合{15，0.81，，171，3.14，…} 负分数集合{，，，…} 非负整数集合{15，171，0，…} 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…} 【分析】本题考查了正数、负分数、非负整数、有理数的定义，正数是指大于零的数；负分数是指负的分数，包括负的有限小数和负的无限循环小数；非负整数包括零和正整数；有理数包括整数、分数（有限小数和无限循环小数）．根据定义对每个数进行分类即可． 【详解】解：正数集合{15，0.81，，171，3.14，…}； 负分数集合{，，，…}； 非负整数集合{15，171，0，…}； 有理数集合{15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，…}． 题型三 数轴 解｜题｜技｜巧 ☆数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线 ◎三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度 ◎描点：任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示 ◎读点：数轴上的点表示的数，右边的点总比左边的点表示的数大 【典例1】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴的概念，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴，据此判断即可． 【详解】解：A、该选项的数轴中的正负数标颠倒，不符合题意； B、该选项的数轴中的负数排列错误，应从原点向左依次排列，不符合题意； C、该选项的数轴没有原点，不符合题意； D、该选项的数轴是正确的数轴，符合题意． 故选：D． 【典例2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点与有理数的对应关系及有理数的大小比较．先观察数轴，确定手掌遮挡的点所在的位置区间，从图中可以看到，手掌遮挡的点在和之间，所以这个点表示的数x满足，再逐一分析各个选项是否符合不等式，直到选择出正确的选项即可． 【详解】解：设手掌遮挡住的点表示的数为x，则手掌遮挡住的点在、的两点之间， 则， 则表示的数可能是． 故选：C． 【变式1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，根据数轴的定义，规定了原点，单位长度和正方向的一条直线，叫做数轴．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A、没有正方向，故A选项不符合题意； B、没有单位长度，故B选项不符合题意； C、原点、正方向、单位长度三要素正确，故C选项符合题意； D、没有原点，正数和负数的位置错，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查在数轴上表示有理数，关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度分别与数轴上表示和的两点对齐， ∴数轴的单位长度是 ， ∴原点对应 的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：B． 【变式3】有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析. 【分析】本题考查数轴，有理数的分类，能正确画出数轴和区分各个数是解题的关键． （1）利用数轴表示数的方法画出数轴进行描点即可．（2）根据有理数的分类，可得答案． 【详解】（1）解：，， 在数轴上表示出各有理数，如下图所示： （2）解：①分数集合 ， ； ②负有理数集合 ， ． ③非负整数集合 ， ． 题型四 数轴的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用数轴可以直观表示数的位置、比较大小、计算两点距离 ◎比较大小：右边的数 > 左边的数 ◎求两点距离：在数轴上，点A（a）与点B（b）的距离为 |a - b| ◎解决动点问题：用含时间t的式子表示动点位置 【典例1】如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有 个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的定义．观察数轴得墨迹盖住的整数有，即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的整数有，共8个， 故答案为：8． 【典例2】在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 【答案】图见解析， 【分析】本题考查数轴与有理数，先在数轴上表示出各数，再根据数轴上的数右边的比左边的大比较大小即可． 【详解】解：在数轴上表示各数如图： 由图可知：． 【变式1】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【答案】(1)，，； (2)点所对应的数为或0． 【分析】本题考查了数轴，掌握用数轴上的点表示数的方法是解题的关键． （1）根据图1和图2中的数据可直接得出答案； （2）求出，然后分情况求解即可． 【详解】（1）解：图1的数轴上，个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为； 故答案为：，，； （2）解：由（1）可知点所对应的数为， 所以点到点的距离为． 因为点到点的距离是点到点距离的2倍， 所以点到点的距离是． 当点在点左侧时，点所对应的数为 当点在点右侧时，点所对应的数为 综上，点所对应的数为或0． 【变式2】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 【变式3】根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 【答案】(1)1.5 (2)见详解 【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数． （1）根据点在数轴上的位置，即可写出点表示的数； （2）由题意在数轴上标出原点O，点、点的位置即可． 【详解】（1）解：点在表示数1、2的两个点的正中间， 点表示的数是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求的原点O，点、点的位置． 题型五 数轴上的规律探究 解｜题｜技｜巧 ☆观察数轴上点的排列或移动规律，归纳通项公式 ◎先计算相邻两点间的距离是否恒定（等差数列） ◎若不恒定，观察距离的变化规律（如等比数列或平方数） ◎将点的序号n与它对应的数建立关系式 【典例1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查数轴，以及找规律问题，找到圆的滚动规律是解题的关键．根据圆的滚动规律可知3次一个循环，将各选项中的数字除以3，根据余数可判定求解． 【详解】解：由题意得：圆沿着数轴正方向滚动一次按点，点，点的顺序排列， 即圆的滚动规律为3次一个循环，则： ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； ，所以此时点正好落在数轴上； 点对应的数轴上的数可能为2024. 故选：B． 【典例2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【答案】或/1112或1115 【分析】本题考查了数轴上的动点问题．根据点的运动情况，可知第奇数次移动的点表示的数是，第偶数次移动的点表示的数是，再分两种情况分别求n的值即可． 【详解】解：∵第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…， ∴第奇数次移动的点表示的数是， 第偶数次移动的点表示的数是， ∵点与原点的距离等于， ∴当n是奇数时， ，解得， 当n是偶数时， ，解得， 故答案为：或． 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键． 由题意先找出对应点与数的规律，再求出翻转的次数，最后可确定出2027所对应的点． 【详解】解：由题意可知：数轴上的数1，3，5，7，9，11，13，15，， 所对应的点为B，C，D，A，B，C，D，A，， 所以从数1对应的点开始，连续奇数对应的点按B，C，D，A循环， 由得，， 因为余2，所以数轴上数2027所对应的点是点C， 故选：C． 【变式2】正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是 ． 【答案】D 【分析】本题考查数轴，掌握数轴表示数的方法以及正六边形翻滚时所对应数的变化规律是正确解答的关键．根据翻滚规律以及各个顶点所对应的数即可得出答案． 【详解】解：由题意得，点A，点B，点C，点D，点E，点F所对应的数分别为1，2，3，4，5，6， ∵， ∴数轴上数2026所对应的顶点是点D． 故答案为：D． 【变式3】（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 【答案】（1）①这根木棒的长为7；②；（2）①；②， 【分析】本题考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用材料的解题模型去求解奶奶与小明的年龄差，进而求出奶奶的年龄和小明的年龄． （1）①最大数减去最小数，再除以3即可；②依次加7即可解答； （2）①；②用减去得到奶奶年龄，再减55即可得到小明年龄． 【详解】解：（1）①，， 这根木棒的长为7； ②图中点所表示的数是：，点所表示的数是：， 故答案为：； （2）①奶奶和小明的年龄差为：（岁）， ②奶奶现在的年龄：（岁），小明现在的年龄：（岁）． 故答案为：，． 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 ☆只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0 ◎代数意义：a的相反数是 -a ◎几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称 ◎求法：改变原数的符号即可得到它的相反数 【典例1】下列各数是的相反数的是（ ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键；根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数，然后问题可求解． 【详解】解：∵相反数的定义：数a的相反数为， ∴的相反数为2025， 故选：A． 【典例2】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，相反数的定义，根据新定义可得，，进而即可求解，理解新定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 【变式2】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴和相反数，解题的关键是掌握数形结合的思想． 在数轴上表示出相反数，然后利用数轴表示出各数的大小即可． 【详解】解：根据数轴可得，， 对应的是选项C， 故选：C． 【变式3】若、互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数的应用，有理数的加减混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握相反数的应用是解题的关键． 根据相反数的应用可得，再代入式子中求值即可． 【详解】∵，互为相反数， ∴， 则原式， 故答案为：． 题型七 绝对值相关运算 解｜题｜技｜巧 ☆一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 ◎代数定义：|a| = a（a≥0）；|a| = -a（a<0） ◎非负性：任何数的绝对值都是非负数（|a| ≥ 0） ◎计算时，先判断绝对值符号内式子的正负，再去掉绝对值符号 【典例1】的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的定义． 一个数的绝对值表示该数到原点的距离，总是非负的，负数的绝对值是其相反数． 根据绝对值的定义作答即可． 【详解】解：的绝对值是． 故选：B． 【典例2】若，则 ．化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：；． 【变式1】如果两个有理数x，y满足，则的最大值 ，的最小值为 ． 【答案】 3 4 【分析】此题考查绝对值的意义，数轴上两点之间的距离． 把变为可求出的最大值；由得，将原式化为，根据两点间距离的几何意义可求其最小值为4． 【详解】解：因为，则， 所以； 因为绝对值是非负数，即， 所以当最小时，整个式子的值最大． 当时，，此时， 所以的最大值是3． 由得，， 所以，此式表示x到3的距离加上x到7的距离， 根据绝对值的性质，当x在3和7之间（包括3和7）时，距离和最小，最小值为． 所以的最小值为4． 故答案为：3；4． 【变式2】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是绝对值和平方的非负性，解题关键是熟练掌握绝对值和平方的非负性． 根据几个非负数的和为零，则每个非负数都为零即可得解． 【详解】解：，，且， 且， 且， 解得，． 故答案为：；． 【变式3】（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【答案】 （1），或， （2），或， 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的定义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义解题即可； （2）根据绝对值的定义解题即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵、异号， ∴，或，； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． 题型八 绝对值的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用绝对值的非负性和几何意义解决最值或方程问题 ◎|a| + |b| = 0 型 ⇒ a=0 且 b=0 ◎|x-a| 的几何意义：表示数轴上x与a两点间的距离 ◎|x-a| + |x-b| 的最小值：当x在a,b之间时取得，最小值为 |a-b| 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用， 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解; ∵， ∴最接近标准， 故选：B． 【典例2】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解： ，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 【变式1】【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了绝对值的化简，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据绝对值的化简方法解答即可； （2）根据绝对值的化简方法运算即可； （3）根据绝对值的化简方法运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：①；②； （2）解：， 故答案为：； （3）解： 原式 ． 【变式2】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【答案】(1)2位 (2)蔡玮 【分析】本题考查绝对值的应用： （1）检查结果的绝对值小于或等于则合乎要求； （2）比较（1）中合乎要求的同学的乒乓球的检查结果的绝对值，绝对值越小，误差越小，质量越好． 【详解】（1）解：∵乒乓球直径可以有的误差， 故检查结果的绝对值小于或等于即为合乎要求， 下列数字的绝对值小于或等于：，， 故有2位同学做的乒乓球是合乎要求的； （2）解：∵， ∴张冰同学做出的乒乓球误差大于蔡玮做出的乒乓球， 故蔡伟同学做的质量更好． 【变式3】【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 【答案】(1)8，，或 (2)①x的取值范围是；②6，1；x应该取和3之间的位置（包括和3） (3)应该选择在小区C设置配送点，见解析 【分析】本题主要考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可直接进行求解前两空；第三空根据绝对值的概念求解即可； （2）根据数轴上的两点距离的几何意义可直接进行求解； （3）设在小区A，B，C，D，E设配送点，分别计算相应的距离之和，即可得到答案． 【详解】（1）解：数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是； 数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为； 若，则或， 所以或． 故答案为：8；；7或． （2）解：①由题意知， 即数轴上表示的点到和3两点的距离之和为4， 而与3之间的距离为4， 所以的取值范围是； ②表示数轴上表示的点到，1和4三点的距离之和 当表示的点正好在表示1的点处时，三个距离之和最小，最小值是6，此时． 故答案为：6；1． 可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和，要使这个距离之和等于4，x应该取和3之间的位置（包括和3）． （3）解：设在小区A，B，C，D，E设配送点，距离之和分别为： 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 小区：， 因为， 所以应该选择在小区设置配送点． 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆掌握比较有理数大小的几种方法 ◎数轴法：右边的数总比左边的大 ◎法则法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 ◎作差法：比较a与b的大小，计算a-b，看结果的正负 【典例1】小于的最大整数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较的方法． 通过比较整数与的大小关系，确定小于的最大整数． 【详解】解：∵，且小于的整数有、、等，其中最大的是， ∴小于的最大整数是， 故选：C． 【典例2】比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简多重符号和绝对值． 先化简两个表达式，再根据有理数大小比较法则判断 【详解】解：因为， ，， 所以． 故答案为：． 【变式1】雪峰蜜橘十月份开始采摘．图中每筐蜜橘以5千克为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下，则这4筐蜜橘中，质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，求一个数的绝对值，比较绝对值的大小关系即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴质量最接近标准的是A选项； 故选：A． 【变式2】下表是我国四个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列： ． 北京 长沙 哈尔滨 南京 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求出这四个城市的气温对应的数字的大小关系即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴把这四个城市的气温按照从高到低的顺序排列为，，，， 故答案为：，，，． 【变式3】在标准大气压下，四种物质的熔点如表所示，其中熔点最低的物质是 ． 物质 冰 乙醇 氮气 甘油 熔点（单位） 0 18 【答案】氮气 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键；正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．据此解答即可． 【详解】解：， 熔点最低的物质是氮气， 故答案为：氮气． 题型十 有理数的加减 解｜题｜技｜巧 ☆先确定符号，再计算绝对值 ◎加法：同号相加取同号，异号相加大减小（绝对值相减） ◎减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 ◎混合运算：统一为加法运算，运用加法交换律和结合律简化计算 【典例1】比大且比小的所有整数的和为（    ） A．4 B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的加法． 找出所有大于且小于的整数，然后计算它们的和． 【详解】解：∵，， ∴满足条件的整数有， ∴它们的和为． 故选：D． 【典例2】定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 【变式1】将写成省略括号和加号的形式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减运算，通过省略括号和加号简化表达式．关键是理解加减正负数的规则：减去正数相当于加上负数，减去负数相当于加上正数，加上负数相当于减去正数． 【详解】解： 故选：B． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的减法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算，即可作答． （2）根据有理数的加法法则计算，即可作答． （3）根据有理数的减法法则计算，即可作答． （4）根据有理数的减法法则计算，即可作答． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式． 【变式3】解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据有理数的加减运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）先计算绝对值，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （4）观察原式可知相邻两个数之和为1，共50组数，相加即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十一 有理数的乘除 解｜题｜技｜巧 ☆先确定积或商的符号，再计算绝对值 ◎符号法则：同号得正，异号得负 ◎乘法：任何数与0相乘得0 ◎除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 ◎乘除混合：通常将除法转化为乘法，再一次性确定符号 【典例1】的倒数是(   ) A． B． C． D．2026 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的倒数．根据倒数的定义，求一个数的倒数即求与该数相乘的积为1的数，即可求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 【典例2】下面是一道题的两种解法： 计算： 解法1： 原式① ② ③ 解法2： 原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)②；③； (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握先乘除后加减的运算顺序及乘除运算法则是解题的关键． （1）通过对比两种解法的步骤，依据有理数混合运算顺序和法则，判断错误起始步骤； （2）按照先乘除后加减的顺序，正确计算原式． 【详解】（1）解：解法1是从第②步开始出现错误的；解法2是从第③步开始出现错误的， 故答案为：②；③； （2）解： 【变式1】阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握阅读理解中的解题方法是解本题的关键． 根据题意设为A，为B，原式变形后计算即可求出值． 【详解】解：设为A，为B， 则原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2)21 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解决本题的关键． （1）利用乘法交换律和结合律计算即可； （2）先将除法运算转为乘法运算，然后利用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【变式3】用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十二 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 ☆求n个相同因数的积的运算；负数的幂的符号是易错点 ◎符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 ◎注意括号：(-2)⁴ 与 -2⁴ 的结果完全不同 ◎运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘方、乘法的定义，熟练掌握乘方的定义是解题的关键．利用乘方的定义，乘法的定义列出代数式，即可解答． 【详解】解：∵ m 个 2 相加 = ，n 个 3 相乘 ， ∴ 原式 = ． 故选：B． 【典例2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了进制问题． 根据二进制转化为十进制的方法，将二进制数的每一位乘以对应的2的幂次再求和． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，难点在于分n是偶数和奇数讨论.比较表达式和在不同奇偶性指数下的结果，判断各选项的正确性. 【详解】解：A、当n为偶数时，，而为的相反数，故A不符合题意； B、当n为奇数时，，此时与相等，而非互为相反数，故B不符合题意； C、当n为奇数时，，故C符合题意； D、当n为奇数时，与相等，故D不符合题意. 故选：C. 【变式2】小明想探究自然数的立方和…（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后想到一个方法，把这个代数问题转化为几何问题，具体如下：1对应图中边长为1的小正方形的个数；对应图中边长为1的小正方形的个数；对应图中边长为1的小正方形的个数．小明发现，图、图、图恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到 (1)请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形；把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________； (2)根据小明的发现，请直接写出… ；（用含n的式子表示） (3)请根据第（2）问的规律求…的值． 【答案】(1)见解析 10 (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形，数字变化规律，用代数式表示，有理数的乘方， 对于（1）①，可画出边长为10的正方形再减去边长为6的正方形，即为对应的小正方形个数的摆放图形； ②，根据可得答案； 对于（2），根据前三个图形中数字变化的规律可得答案； 对于（3），将原式化为 ，再结合（2）中规律计算，并根据平方差公式解答． 【详解】（1）解：①依据题意； ②∵， ∴把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为10． 故答案为：10； （2）解：根据图①得； 根据图②得； 根据图③得； 综上所述，； 故答案为：； （3）解： ． 【变式3】数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的乘方逆运算，掌握乘方逆运算法则、分类讨论思想的运用是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算即可； （2）逆用运算法则列一元一次方程求解； （3）根据题意分三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：根据题意得 ； ； 故答案为：； （2）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ∴ ， 解得； （3）解：根据题意得，可分为三种情况， 当指数相等，且底数不为0时，即，且。 ∴ 解得， ∵， ∴符合题意， 当底数为时，即 解得， 此时指数为， 式子为，符合条件； 当底数为时，且指数差为偶数，即，且是偶数， ∴ 解得， 计算指数差： ， 此时，符合条件， ∴x的值． 题型十三 有理数乘方的运用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题（如面积、体积、增长率、棋盘放米）转化为乘方运算 ◎识别问题中的“重复相乘”或“几何倍增”关系 ◎正确建立数学模型：aⁿ ◎注意单位换算，结果要符合实际意义 【典例1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【答案】C 【分析】本题考查了乘方的应用；类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是， 故选：C． 【典例2】如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成 个． 【答案】32 【分析】本题主要考查了乘方的应用，每一次分裂后，细胞的数量是原来的2倍，求出5小时一共分裂多少次即可得到答案． 【详解】解：已知这种细胞每过1小时便由1个分裂成2 个，那么经过1小时后，细胞的数量为个． 则经过n小时，细胞就会分裂n次，每次都是前一次数量的2倍， 所以经过n小时后可分裂成个细胞． 所以经过5小时，这种细胞能由1个分裂成个， 故答案为： 【变式1】《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，，那么九天之后，这个“一尺之棰”还剩（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题主要考查乘方的应用，根据题意，每天剩余部分为前一天的一半，9天后的剩余量可用乘方计算． 【详解】解：∵每天截去一半，∴剩余量每天乘以． 初始为1尺， 1天后：尺， 2天后：尺， 3天后：尺， 4天后：尺． 按此规律天后：尺， ∴9天后还剩尺， 故选：C． 【变式2】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查数字规律探索，找到循环周期并计算余数是解题关键．观察3的幂次方的末位数字，发现每4次循环一次，循环顺序为，计算2025除以4的余数，根据余数即可确定末位数字． 【详解】解：因为，，，，，，，……， 所以发现规律为的末位数字按照的顺序进行循环， 因为 ， 所以的末位数字是3． 故选：B． 【变式3】综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2) （用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，86 【分析】本题考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子是关键． （1）根据材料提供的方法转化即可； （2）根据材料提供的方法转化即可； （3）根据题意得，，进而分类讨论，根据原数减去新数所得的差为的整数倍，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 则 则将十进制数21转化成二进制数的值为：， 故答案为：； （2）解：， 故答案为：； （3）解：根据题意：， ∵是一个十进制的两位数， ∴或， 当时，原数为43，新数为34， 则，不是“青春数”，不符合题意； 当时，原数为86，新数为68， 则，是“青春数”，符合题意 ∴这样的“青春数”存在，这个“青春数”是86． 题型十四 有理数的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆严格遵循运算顺序，灵活运用运算律简化计算 ◎运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内 ◎简化技巧：互为相反数的两数先加得0；同分母分数先结合；能凑整的先结合 ◎检查：每一步都要检查符号和计算准确性 【典例1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算顺序和运算法则． （1）利用乘法分配律展开计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号里的加法，再计算乘除法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【典例2】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)1 (2)21 (3)4 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）先计算绝对值，再进行有理数的加减混合运算； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后进行加减计算； （3）利用乘法分配律计算； （4）先计算乘方，然后进行括号内减法计算，再计算除法，最后进行减法计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，包括乘除、加减、绝对值和乘方运算，解题时需注意运算顺序：先乘方、乘除后加减，有括号和绝对值时先计算内部； （1）先计算除法与乘法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算绝对值，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再进行乘除运算，最后进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)80 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）先计算绝对值，再根据乘法分配律求解即可； （2）先计算括号内的乘法，再计算乘方，接着计算乘法，最后计算减法即可得到答案； （3）先计算乘方，再计算除法，最后计算加法即可； （4）先计算乘方，再计算乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十五 近似数 解｜题｜技｜巧 ☆与实际数接近但不完全相等的数，表示精确到哪一位 ◎精确度：看一个近似数精确到哪一位，就看它的最后一位在什么数位上 ◎取近似值：常用四舍五入法，注意按要求精确到哪一位 ◎科学记数法中的近似数：先将数字部分按要求取近似，再保留科学记数法形式 【典例1】小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 【答案】D 【分析】本题考查四舍五入取近似值． 根据精确度要求，逐项判断近似值是否正确． 【详解】解：选项A要求精确到百分位，需看千分位数字：千分位为，百分位8进1，得，正确； 选项B要求精确到十分位，需看百分位数字：百分位为，十分位5进1，得，正确； 选项C要求精确到，需看万分位数字：万分位为，千分位6不变，得，正确； 选项D要求精确到，需看千分位数字：千分位为，百分位8应进1得，但选项为，错误； 故选：D． 【典例2】用四舍五入法取近似数：11.3951精确到百分位是 ． 【答案】11.40 【分析】本题考查近似数，解答本题的关键是明确题意，利用四舍五入法解答．根据四舍五入法将11.3951精确到百分位即可． 【详解】解：（精确到百分位）， 故答案为：11.40． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【答案】D 【分析】本题考查了近似数． 根据题意利用近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：∵ 选项A：0.70的最后一位数字0在百分位上， ∴ 0.70精确到百分位，不是十分位，故A错误，不符合题意； ∵ 选项B： 3.6万中，数字6在千位上， ∴ 3.6万精确到千位，不是个位，故B错误，不符合题意； ∵ 选项C：，系数5.078的最后一位数字8在千分位上，但乘以后对应十位， ∴ 精确到十位，不是千分位，故C错误，不符合题意； ∵ 选项D：，系数2.9的最后一位数字9在十分位上，但乘以后对应万位， ∴ 精确到万位，故D正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查近似数，熟练掌握近似数的方法是解题的关键． 近似数精确到百分位，即是从千分位上的数字四舍五入得到的，若千分位上的数字大于等于5，百分位上的数字应是“9”，十分位上是“3”；若千分位上的数字小于5，百分位上的数字应是“0”，十分位上是“4”，据此解答即可． 【详解】解：近似数是由a四舍五入到百分位得到的， 则a的取值范围为， 故选：D． 【变式3】长江的长度约为6397，用科学记数法表示约为 ．（精确到） 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，求近似数；先将原数写成科学记数法形式，再根据精确度要求四舍五入取近似值. 【详解】解：， ∵精确到（即）时，需对中的系数四舍五入保留一位小数，又∵， ∴精确到结果为. 故答案为：. 题型十六 科学记数法 解｜题｜技｜巧 ☆把一个数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中1≤|a|<10，n为整数） ◎确定a：将原数的小数点移到左起第一位非零数字后，得到a ◎确定n：小数点移动的位数即为n，左移n为正，右移n为负 ◎还原：已知科学记数法，还原时根据n将a的小数点移动n位即可 【典例1】节日期间，某跨江大桥的车流量约为1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，熟悉掌握科学记数法是解题的关键． 利用科学记数法解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 【典例2】一个数用科学记数法表示为，则这个数是 亿． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示数， 科学记数法表示的数需转换为常规数字，再根据亿的定义进行单位换算． 【详解】解：科学记数法表示60000000， 1亿， 因此． 故答案为：0.6． 【变式1】年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为， 故选：A． 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，将科学记数法表示的数还原为原数，根据指数确定小数点移动的位数，从而得到原数中“”的个数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵科学记数法表示为， ∴原数为， ∴原数中“”的个数为， 故选：． 【变式3】道县的脐橙大又甜，在今年“道县脐橙节”期间，从山上5棵脐橙树上采摘到了200千克脐橙，请估计道县近20000棵脐橙树今年一共收获了脐橙 千克（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法．根据5棵树的产量估算每棵树的平均产量，再乘以总树数得到总产量，并用科学记数法表示． 【详解】解：∵从5棵脐橙树上采摘200千克脐橙，每棵树平均产量为千克， 近20000棵脐橙树的总产量为千克， ∴用科学记数法表示为千克， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．在，，，0中，有理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的概念，注意π是无理数． 根据有理数的定义判断每个数是否为有理数，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是分数，是有理数； 含无理数 π，是无理数； 0 是整数，是有理数． 有理数有3个． 故选：B． 2．我国古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若气温零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正负数表示相反意义的量，解题关键是理解正负在题目中的相对意义，根据正负数的定义，得失相反的量以正负区分，零上温度记为正，则零下温度记为负． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下应记作． 故选：B． 3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，乘法，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以，，． 故选：D． 4．2025年国庆中秋假期，重庆共接待国内游客约27000000人次，将数据27000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．将27000000用科学记数法表示，即写成的形式，其中，为整数，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 5．中底数是 ，指数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解，明确底数和指数的概念是解题的关键． 根据有理数乘方的定义，在乘方形式 中， 叫做底数， 叫做指数即可得出． 【详解】解： 中底数是 ，指数是 4． 故答案为： ，． 6．某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米元收费．小明家六月份实际用水19立方米，则小明家六月份应交水费 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键．根据水费规定，用水量超过15立方米时，水费由两部分组成：前15立方米按基本单价收费，超过部分按更高单价收费，进行列式计算即可． 【详解】解：小明家六月份应交水费： （元）． 故答案为：． 7．把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 【答案】4，，0，；，，；，，；4，0， 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握整数、正分数、负有理数，非负整数的定义是解题的关键． 根据整数、正分数、负有理数，非负整数的定义即可解答． 【详解】解：整数集合； 正分数集合； 负有理数集合； 非负整数集合． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)11 (2) (3) (4)8 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的乘法分配律可进行求解； （3）先算乘方，然后再进行求解即可； （4）先算乘方，然后再进行有理数的运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 【答案】B 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，正确理解相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键．根据相反数的定义，绝对值的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、因为0的绝对值为0，不是正数，所以选项A错误，不符合题意； B、如果两数和为0，则它们互为相反数，而互为相反数的绝对值相等，所以选项B正确，符合题意； C、因为0的相反数是0，所以不是只有正数和负数才有相反数，所以选项C错误，不符合题意； D、因为绝对值相等的两数相等或互为相反数，但和不一定为0，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 2．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，六进制中的表示的是八进制中的（　　） A．449 B．701 C．489 D．710 【答案】B 【分析】本题考查了进制问题，有理数的混合运算． 先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为八进制数． 【详解】解：∵ ， ∴十进制数为449． 又∵余1，余0，余7， ∴八进制数为． 故选：B． 3．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化规律． 根据数值转换机中的规律，确定出第2025次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 把代入程序中得：； 故输出的结果是1、4、2循环， 依此类推， ， 第2025次输出的结果为2． 故选：B． 4．规定，如果，则 【答案】/ 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 5．已知两个有理数、，下列结论：①若与互为相反数，则；②若与互为倒数，则；③若，则；④若，则；⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查有理数的乘法、相反数、绝对值及倒数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据有理数的乘法、相反数、绝对值及倒数的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：①与互为相反数， ， ，故①正确； ②若与互为倒数， 则， ， ，故②错误； ③若，则，故③正确； ④由得， 即， 因为且， 所以， 又因为，，所以，故④正确； ⑤， 与不可能相同， 若四个数中有三个相同，则必有，可得 或， 当时，， 此时， 与 均不可能为0，即当 时，不存在有三个相同的情况，舍去， 当时， ， 与均不可能与相等， 即不可以； 当时，， 若， 则，； 若，则，，故⑤错误． 故答案为：①③④． 6．某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，单位：吨）： ，，，，，， (1)经过这一周，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)如果进出粮食的装卸费都是每吨8元，那么这一周要付多少元装卸费？ 【答案】(1)粮库里的粮食减少了，减少了32吨； (2)1520元 【分析】此题考查了有理数的运算的应用，正负数的应用． （1）把记录的结果相加求和，根据结果的符号求解即可； （2）用这7天粮食进出库的总吨数乘以每吨装卸费8元进行求解． 【详解】（1）解：（吨）， 即粮库里的粮食减少了，减少了32吨； （2）解： （元）． 答：这一周要付1520元装卸费． 7．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，乘法分配律的运用，熟练掌握有理数混合运算的法则和乘法分配律是解题的关键.计算，把除法变成乘法，再利用乘法分配律求解，所得结果取倒数即为答案. 【详解】解：原式的倒数为： ， ∴． 故答案为. 8．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 【答案】(1)1，2 (2)9 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义，得到当时，的值最小为数轴上数表示的点到数2025表示的点的距离，当时，取得最小值； （2）根据绝对值的几何意义得到时，的值最小为3，时，的值最小为3，时，的值最小为4，根据，得到的最大值为，的最小值为时，的值最大，进行求解即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示数的点到数表示的点以及到数2025表示的点的距离和， ∴当时，的值最小为； 同理，当时，取得最小值为； 故答案为：1，2； （2）∵当时，的值最小为， 时，的值最小为， 时，的值最小为， 又∵， ∴，，， ∴当时，的值最大为． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，相反数，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．逐句判断：①错误，因的符号取决于a；②正确，与4互为相反数；③正确，所有有理数均有相反数；④错误，绝对值等于相反数时该数为非正数． 【详解】解：①当a为负数时，为正数，故不一定是负数，①错误； ②与4只有符号不同，且和为0，故互为相反数，②正确； ③任何有理数a都有相反数，满足，③正确； ④若，则，即非正数，而非非负数，④错误． ∴ 正确的是②和③， 故选：B． 2．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，根据程序框图列式计算，直至结果为即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数的熵， 故选：． 3．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，为计算的计算方法，其结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①的值小于3； ②的值为偶数； ③； ④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了“铺地锦”的计算方法，有理数的加法与乘法，理解题中的计算方法是解题的关键．由题意可得，，其中，，a、n、m都为整数，从而可得，，，再代入题中的计算方法即可得到b、c的值，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，如图， 则，，其中，，a、n、m都为整数， ∴， ∴，，， 其中当，；，；，；，时，m不符合题意， 如图， ∴，， ∴①的值小于3；②的值为偶数；③；④， ∴①②③④都正确，正确结论的个数是4． 故选：D． 4．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 5．用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了新定义运算中的规律探究，熟练掌握从已知运算中总结对应规律并代入计算是解题的关键．先从已知运算结果中总结出正整数和分数对应的运算规律，再代入计算和，最后求差值． 【详解】解： 对于正整数，， ∴ ． ∵ 对于的整数，有” ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 6．的最小值为 ． 【答案】997002 【分析】本题考查绝对值，有理数的混合运算，掌握绝对值的性质，数轴上两点之间距离的计算是解题的关键． 要求的最小值，只要在数轴上找出所对应的点，使这点到1，2，3，…，1997所对应的点的距离之和最小即可． 【详解】解：要求的最小值，只要在数轴上找出所对应的点，使这点到1，2，3，…，1997所对应的点的距离之和最小即可． 如图所示， 当时，原式的值最小，最小值为 ． 7．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 【答案】（1）0，；（2）；（3）；（4）或， 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． （1）根据定义的运算法则计算各式即可； （2）根据定义的运算法则计算即可； （3）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后将原式变形后代入数值计算即可； （4）根据定义的运算法则列得算式并整理，然后确定a，b的值即可． 【详解】解：（1），， 故答案为：0；； （2） ． （3）， ， ． （4）整数、满足， 当与同号时， ，， ，， ，． 当与异号时， ，， ， ，， ，． 综上，或，． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图1），进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示9的点重合的点表示的数是_____． (2)操作2：已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． ①若点M、N、P同时都向右运动，求当时间t为何值时点P到点M，N的距离相等？ ②当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，则_____，_____． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段（如图2），并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【答案】(1) (2)①或；②； (3)1或或或3 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用等，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据对称性找到折痕的点为3，再根据两点间的距离可得答案； （2）①由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为，然后分两种情况，当点N在点P的左侧和当点N在点P的右侧时，根据，列出方程解之即可；②由题意可知，M、N两点之间距离最大，M、P两点之间的距离最小，从而推出M、P两点向右运动，N点向左运动，然后画出数轴讨论分析； （3）设表示的点为C，表示5的点为D，靠近C的剪断处为E，靠近D的剪断处为F，则，E、F到折痕处对应的点的距离相等，然后根据这三条线段的长度之比为，分六种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示9的点与它重合的点重表示的数为：； 故答案为：． （2）解：①∵点M、N、P同时都向右运动， ∴由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为， 当点N在点P的左侧时，此时， ∵点P到点M，N的距离相等，即， ∴， 解得； 当点N在点P的右侧时，此时， ∵点P到点M，N的距离相等，即， ∴， 解得； 综上所述，当或时，点P到点M，N的距离相等； ②由题意得，M、N两点之间距离最大，M、P两点之间的距离最小， ∴M、P两点向右运动，N点向左运动， ∴点N表示的数为，点P表示的数为t，点M表示的数为， 当时，即， 解得， 当时，点P表示的数为5，点M表示的数为，点N表示的数为，如图所示， 此时M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有53个、42个、10个整数点， 当点N移动到时，此时， 此时点P表示的数为，点M表示的数为， 此时M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点， 若点N过了时，此时N、P两点之间有大于等于45个整数点， 综上所述，当时间t满足时，满足题意． 故答案为：；. （3）解：设表示的点为C，表示5的点为D，靠近C的剪断处为E，靠近D的剪断处为F， 则，E、F到折痕处对应的点的距离相等， ∵这三条线段的长度之比为， ∴①当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ②当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ③当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ④当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ⑤当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ⑥当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点表示的数可能是1或或或3． 故答案为：1或或或3． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 正数和负数 理解正数和负数的意义，会用正负数表示具有相反意义的量。 基础概念题，常出现在选择题和填空题。 有理数的定义 理解有理数的概念，会对有理数进行分类。 基础必考点，常以概念判断或分类题型出现。 数轴 掌握数轴的三要素，会用数轴上的点表示有理数，并能比较大小。 常与绝对值、相反数结合考查，是数形结合的基础。 相反数 理解相反数的代数定义和几何意义，会求一个数的相反数。 基础考点，常出现在选择题和填空题。 绝对值 理解绝对值的概念（几何意义和代数意义），会求有理数的绝对值。 高频考点，常与数轴、相反数结合，易出错点。 有理数的大小比较 掌握利用数轴和绝对值比较有理数大小的方法。 常以选择题形式出现，要求熟练掌握比较法则。 有理数的加减 掌握有理数加减运算法则，能进行准确计算。 中考必考计算题型，是混合运算的基础。 有理数的乘除 掌握有理数乘除运算法则，能进行准确计算，注意符号处理。 中考必考计算题型，常与加减混合考查。 有理数的乘方 理解乘方的意义，掌握乘方运算的符号法则和运算顺序。 高频考点，易错点在符号和运算顺序，常以计算题出现。 有理数的四则混合运算 熟练掌握有理数混合运算的顺序，能准确进行计算。 中考必考计算题型，要求算对算准，常出现在计算题中。 近似数 理解近似数和精确度的意义，会根据要求取近似值。 中考常考题型，常与科学记数法结合，注意四舍五入。 科学记数法 会用科学记数法表示较大的数或较小的数。 中考必考题型，常出现在选择题和填空题，要求熟练掌握。 知识点一、正数和负数 1.定义 正数： 像3、3.5、500、1.2 这样大于0的数叫做正数 . 负数： 像－12、－2.5、－237、－0.7这样在正数前加上符号“－”(负) 的数叫做负数 . ☆ 0既不是正数，也不是负数. 2.数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写. 3.符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号. 易错点： 1.正数的实质是大于0的数，它可以带着“+” (正)号，也可以省略“+”号. 2.负数就是在正数的前面加上“-”号的数. 3.正数与负数的特征：(1)不为0；(2)含“+”“－”号. 知识点二、具有相反意义的量 1.定义  在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量. 易错点： 具有相反意义的量的“两要素”： (1)具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量不能称为具有相反意义的量. (2)具有相反意义的量必须是同类量，只要求具有相反意义，不要求数量一定相等. 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 易错点： 用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 知识点三、有理数 1.整数 正整数、0和负整数统称为整数，如-3、-2、0、1、2、3....... 2.分数 正分数和负分数统称为分数，如..... 3.有理数整数和分数统称为有理数 4.部分常用的数的名称 (1)正整数:大于0的整数;负整数:小于0的整数 （2）正分数：形如 的数；负分数：形如 的数．（ m, n都是正整数， 不能被 整除） （3）非负数：正数和 0 ；非正数：负数和 0 ． 易错点： 1.非负整数是在整数范围内取非负数，包括正整数和 0. 2.引入负数后，奇数和偶数的范围也相应地扩大了,奇数和偶数也可以是负数 3.自然数包括0和正整数 知识点四、 有理数的分类 1.有理数的分类 (1)按定义分类 (2)按性质分类 易错点： 1.不管按什么标准分类，最终都将有理数分为五类:正整数、0、负整数、正分数、负分数、 2.正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数 2.有理数分类的三原则 (1)分类不重复:所分的冬类应当互不包含 (2)分类无遗漏:所分各类之“和”必须是原来的全部 (3)标准要统一:必须按同一分类标准进行分类 知识点五、 数轴 1.定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 易错点： 1.数轴是一条直线 2.数轴的三要素:原点、正方向、单位长度 3.数轴三要素缺一不可,在解决具体问题时可以灵活选定原点的位置、正方向的朝向、单位长度的大小，但一经选定，就不能随意改变 2.画数轴的步骤 (1)画直线，取原点:画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； (2)标正方向:通常规定直线上从原点向右的方向为正方向:画上箭头，则相反方向为负方向； (3)选取单位长度，标数:选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1、2、3、….;从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 -1、-2、-3… 知识点六、 利用数轴比较数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 2.比较有理数大小法则 正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数 易错点： 1.利用数轴比较数的大小，只看数在数轴上的位置即可 2.利用正负性比较两个异号的数的大小，只看两个数的符号即可 知识点七、 相反数 1.定义 只有正负号不司的两个数称互为相反数规定:0的相反数是 0. 几何意义:在数轴上，表示互为相反数的两个点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等 易错点： 1.“只有”是指除了符号不同之外，其他部分完全相同. 2.“互为”的意义是指相反数是成对出现的，不能单独存在. 3.数轴上与原点的距离是 a(a 是一个正数)的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数 2.相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个正数的相反数是负数: 负数的相反数是正数;0的相反数是0. 3.相反数的求法 求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“一”号，即a的相反数是-4，其实质是改变这个数的符号 知识点八、 多重符号的化简 1.多重符号化简的依据 的相反数为 2.多重符号的化简 (1)根据相反数的性质由内向外化简,当前面的符号是“+时，省略“+”直接写出括号内的数;当前面的符号是“-”时，去掉“一”，写出括号内的数的相反数 (2)先省略所有的“+”，用“一”的个数确定结果的符号.当“-”的个数是偶数时，化简的结果为正数;当“一”的个数是奇数时，化简的结果为负数，简称“奇负偶正 易错点： 当是一个负数时，是正数，故带负号的数不一定是负数 知识点九、 绝对值 1．定义 在数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 |a|．读作＂ 的绝对值＂． 易错点： 由绝对值的定义可知:一个数在数轴上对应的点离原点越近，它的绝对值越小;离原点越远，它的绝对值越大，所以没有绝对值最大的数，只有绝对值最小的数，最小为0 2.性质 （1）一个正数的绝对值是它本身； （2） 0 的绝对值是 0 ； （3）一个负数的绝对值是它的相反数． 即： 知识点十、 绝对值的非负性 1．非负性 任何一个有理数的绝对值总是正数或 0 （通常也称非负数）．即对任意有理数 ，总有 ． 2．绝对值等于它本身的数是非负数，绝对值等于它相反数的数是非正数， 0 是绝对值最小的数，即：若 ，则 ；若 ，则 ． 3．绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，即：若 ，则 。 4．互为相反数的两个数的绝对值相等，即： ． 5．绝对值相等的两个数相等或互为相反数，即若 ，则 或 ． 易错点： 若几个非负数的和为0，则每个非负数分别为0. 知识点十一、 比较有理数的大小 1.利用数轴比较有理数大小的法则 数学中规定:在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即:右边的数总比左边的数大， 2.利用数的性质比较有理数大小的法则 (1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数(2)两个负数，绝对值大的反而小.即: 两数同号 同为正号，绝对值大的数大 同为负号，绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 一数为 0 正数与0，正数大于0 负数与0，负数小于0 易错点： 1.比较两个有理数的大小时，一般不用数轴而比较多个有理数的大小时，使用数轴会比 较方便。 2.比较两个异号的数的大小，只需考虑它们的正负;比较两个同号的数的大小，只需考虑它们的绝对值 知识点十二、 有理数的加法法则 1.有理数加法法则 (1)同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)互为相反数的两个数相加得0;(4)一个数与0相加，仍得这个数. 易错点： 1.若两个数的和为正数，则这两个数有三种可能: (1)两个都是正数: (2)一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值大于负数的绝对值: (3)一个是正数，一个是0. 2.若两个数的和为负数，则这两个数有三种可能: (1)两个都是负数: (2)一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值大于正数的绝对值: (3)一个是负数，一个是0. 2.有理数加法运算的各种情况 加数 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数 取与加数相同的符号 相加 异号 两数 绝对值 不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减 小) 若 ，且 ，则 若 ，且 ， 则 互为相 反数 0 若 ，且 ，则 一个数与0 仍得这个数 3.有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号:加数中是否有0.根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条. (2)确定和的符号 (3)确定和的绝对值 知识点十三、 有理数加法的运算律 1.有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 易错点： 1.有理数的加法运算律不但适用于两个数或三个数相加，而且适用于三个以上有理数相加 2.利用有理数的加法交换律时，要适当加括号如-6.6+2+(- 3.4)=2+(- 6.6)+(- 3.4) 2.加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加--“相反数结合法” (2)符号相同的数先相加--“同号结合法” (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加-“同形结合法”; (4)几个数相加得到整数先相加1-““凑整法” 知识点十四、 有理数的减法 1．有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 用字母表示： ，其中 表示任意有理数。 易错点： 有理数的减法是有理数的加法的逆运算，做减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意＂两变一不变＂＂两变＂是指运算符号。＂一＂变成 ＂＋＂，减数变成它的相反数；＂一不变＂是指被减数不变． 1.做有理数的减法运算，需要先将减法转化为加法，再按有理数的加法法则和运算律计算 2.有理数的减法在转化为加法之前，被减数与减数的位置不能改变 知识点十五、 加法运算律在加减混合运算中的应用 有理数加减混合运算的方法和步骤 第一步:写成省略加号、括号的形式，运用减法法则将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号. 第二步:运用加法交换律、加法结合律使运算简便，其中结合的方法与有理数加法结合的方法相同 易错点： 进行有理数的加减混合运算时，合理运用加法交换律、加法结合律能简化运算过程 知识点十六、 数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离 数轴上，点 、 分别表示数 、 ，则 、 两点之间的距离为a, b两数差的绝对值，即：如图 易错点： 两点之间的距离是连结两点之间线段的长度，是个正数。所以： 1．当 时， ； 2．当 时， ． 知识点十七、 有理数的乘法法则 1.有理数乘法法则 (1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 (2)任何数与0相乘，都得 0. 易错点： 1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混淆 2.有理数乘法的运算步骤: (1)确定积的符号; (2)确定积的绝对值 2.有理数的乘法符号法则 （1） 或 ； （2） 或 ； （3） 或 或 ． 知识点十八、 有理数乘法的运算律 运算律 文字表示 用字母表示 乘法交换律 两个数相乘，交换乘数的位置，积不变 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变 分配律 一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加 易错点： 运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算。它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质和大小。 知识点十九、 倒数 1.定义 乘积是1的两个数互为倒数 2.倒数与相反数之间的关系 不同点 相同点 定义 表示 性质 判定 倒数 乘积是1的 两个数互为倒数 的 倒数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为倒数 都成对出现 相反数 只有正负号不同的两个数互为相反数 的相反数是 若a, b互为倒数，则 若 ，则a, b互为相反数 易错点： 1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键。 2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系单独一个数不能称其为倒数 3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数 知识点二十、 有理数的除法法则 1．有理数除法法则一 除以一个数等于乘以这个数的倒数注意： 0 不能作除数． 用字母表示： ． 2.有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得 0. 易错点： 1.除法法则---两变: 一变，将除号变成乘号; 二变，将除数变成倒数。 2.除法法则二是先确定商的符号，再求商的绝对值 知识点二十一、 有理数的乘除混合运算 1.有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的 2.有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 易错点： 乘除混合有理数，统一为乘第一步,乘法“三律”使简单,负因个数定正负. 知识点二十二、 有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方：求个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 如个相乘：. 幂：乘方的结果叫作幂. 在中，是幂. 底数：在中，叫作底数. 在中，是底数. 指数：在中，叫作指数. 在中，是指数. 说明：指数是正整数，底数可以是任意有理数. 易错点： (1) 一个数可以看作这个数本身的1次方，例如，5就是，指数1通常省略不写. (2) (2)指数是2时读作平方（或2次方），指数是3时读作立方（或3次方）.例如，读作“的平方”（或“的2次方”），读作“的立方”（或“的3次方”）. 知识点二十三、 有理数的乘方运算 1. 乘方运算的符号法则 正数：正数的任何次幂都是正数. 负数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 0：0的任何正整数次幂都是0. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有理数的乘方运算 示例 指数为奇数 （底数为负数，结果为负数） 指数为偶数 （底数为负数，结果为正数） 3. ，及的区别与联系 相同点 指数都是. 不同点 意义不同 个相乘的积. 个相乘的积的相反数. 个相乘的积. 底数不同 联系 为奇数 ，且，都与互为相反数（）. 为偶数 ，且，都与互为相反数（）. 为正整数 若，则. 易错点： (1) 互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若，则（为正整数）. (2) 互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若，则（为正整数）. (3) 注：若为正整数，通常用表示偶数，表示奇数. 知识点二十四、 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1，且小于10，是正整数），使用的是科学记数法.对于小于的数也可以类似表示.例如，. 2.科学记数法的表示步骤 确定：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面. 确定： 方法一：根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 方法二：按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 用科学记数法表示数 数 科学记数法表示 （整数位数是11，） （小数点向左移动5位） 知识点二十五、 近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：接近准确数但不等于准确数的数. 3. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示：如精确到个位或百分位等. (2) 用小数点表示：如精确到或等. 4. 确定近似数的精确度的方法 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位. 注意：用小数表示的近似数末尾的0不可随意省略，它表示的是这个数的精确度.例如，中末尾的0表示这个数精确到百分位. 示例3 确定近似数的精确度 精确到百分位；因为，所以精确到十位. 5. 取近似数的方法 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. (1) 四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法.求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入.例如，精确到十分位为. (2) 去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法.例如，把一根长的钢筋截成长的小段作零件，由，可知能截得的零件数为3. (3) 进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法.例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需. 题型一 正数和负数 解｜题｜技｜巧 ☆理解正负数是表示具有相反意义的量 ◎明确“基准”是什么（通常将某种状态记为0） ◎规定一个方向为正，则相反方向为负（如东为正，西为负） ◎在具体情境中，正确读写正负数 【典例1】下列各数中，是负数的是（　　） A． B．4 C．0 D． 【典例2】如果盈利100元记作元，那么亏损70元记作 元． 【变式1】金漆木雕是一项中国民间雕刻艺术，发源于广东潮汕地区，其工艺要求极高，需要精确控制雕刻深度．若雕刻深度比标准值超出记作，则雕刻深度比标准值不足应记作 ． 【变式2】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【变式3】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 题型二 有理数的定义 解｜题｜技｜巧 ☆整数和分数统称为有理数 ◎分类记忆：有理数可分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数） ◎判断方法：任何可以化为分数形式（分母不为0）的数都是有理数 ◎注意有限小数和无限循环小数都属于分数 【典例1】下列7个数：，，0，，3.3，，（每两个1之间依次多一个4）其中有理数有（  ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】下列说法，正确的个数是（    ） ① 0既不是正数，也不是负数； ② 是正有理数； ③可以写成分数形式的数就是有理数； ④不是自然数，也不是有理数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】把下列各数分类，并把序号填写在表示相应集合的大括号里．（只填写序号） ①，②，③9，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（两个6之间8的个数依次增加1），⑨，⑩ (1)正有理数集合：______…； (2)负有理数集合：______…； (3)非负整数集合：______… 【变式2】将下列各数填入适合的集合内． ，，，，，， 整数：{                                           } 负数：{                                           } 非负有理数：{                                           } 【变式3】把下列各数填在相应的集合中： ，，，，，，，，，，． 正数集合{                       …} 负分数集合{                     …} 非负整数集合{                   …} 有理数集合{                     …} 题型三 数轴 解｜题｜技｜巧 ☆数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线 ◎三要素缺一不可：原点、正方向、单位长度 ◎描点：任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示 ◎读点：数轴上的点表示的数，右边的点总比左边的点表示的数大 【典例1】下列数轴表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A．0.5 B． C． D． 【变式1】下列数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示2和4的两点重合对齐，则数轴上与刻度线对齐的点表示的数为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式3】有五个有理数：，，，， (1)在数轴上表示出上述各有理数 (2)把上述各数填入相应的集合内： ①分数集合 ； ②负有理数集合 ． ③非负整数集合 ． 题型四 数轴的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用数轴可以直观表示数的位置、比较大小、计算两点距离 ◎比较大小：右边的数 > 左边的数 ◎求两点距离：在数轴上，点A（a）与点B（b）的距离为 |a - b| ◎解决动点问题：用含时间t的式子表示动点位置 【典例1】如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有 个． 【典例2】在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”把它们连接起来． ． 【变式1】如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，b，4．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上， 个单位长度（表示点到点的距离），数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的 ；点所对应的数为 ； (2)若是数轴上一点，且满足点到点的距离是点到点距离的2倍，求点所对应的数． 【变式2】如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【变式3】根据所给数轴（如图，原点未标出），完成下列各题： (1)已知点C 在表示数1，2的两个点的正中间，那么点C 表示的数是： (2)已知点A表示，点B表示，在图中标出原点O，点A，点 B 的位置． 题型五 数轴上的规律探究 解｜题｜技｜巧 ☆观察数轴上点的排列或移动规律，归纳通项公式 ◎先计算相邻两点间的距离是否恒定（等差数列） ◎若不恒定，观察距离的变化规律（如等比数列或平方数） ◎将点的序号n与它对应的数建立关系式 【典例1】如图，把周长为3个单位长度的圆放到数轴（单位长度为上，，，三点将圆三等分，将点与数轴上表示1的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，依次为点与数轴上表示2的点重合，点与数轴上表示3的点重合，点与数轴上表示4的点重合，若当圆停止运动时点正好落到数轴上，则点对应的数轴上的数可能为（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【典例2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于1114，那么n的值是 ． 【变式1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A和点D对应的数分别为和，若正方形绕顶点按顺时针在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数是1；翻转2次后，点C对应的数是3…；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2027所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式2】正六边形（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是 ． 【变式3】（1）阅读以下材料，并回答问题． 如图，将一根木棒放在数轴上（数轴的单位长度为1cm），木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合．    若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6． ①请列式求出这根木棒的长； ②填空：图中点所表示的数是________，点所表示的数是________； （2）借助上面的方法解决下面的问题： 一天，小明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要43年才出生；你若是我现在这么大，我已经是122岁啦！” ①请列式求出奶奶和小明的年龄差： ②填空：小明现在的年龄为________（岁），奶奶现在的年龄为________（岁） 题型六 相反数 解｜题｜技｜巧 ☆只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0 ◎代数意义：a的相反数是 -a ◎几何意义：在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称 ◎求法：改变原数的符号即可得到它的相反数 【典例1】下列各数是的相反数的是（ ） A．2025 B． C． D． 【典例2】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数，都有和．例如，，，则 ． 【变式1】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【变式2】我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数轴完美地将“数”和“形”结合起来．如图，数轴上表示数a，b的点如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】若、互为相反数，则 ． 题型七 绝对值相关运算 解｜题｜技｜巧 ☆一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值 ◎代数定义：|a| = a（a≥0）；|a| = -a（a<0） ◎非负性：任何数的绝对值都是非负数（|a| ≥ 0） ◎计算时，先判断绝对值符号内式子的正负，再去掉绝对值符号 【典例1】的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【典例2】若，则 ．化简 ． 【变式1】如果两个有理数x，y满足，则的最大值 ，的最小值为 ． 【变式2】若，则 ， ． 【变式3】（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 题型八 绝对值的应用 解｜题｜技｜巧 ☆利用绝对值的非负性和几何意义解决最值或方程问题 ◎|a| + |b| = 0 型 ⇒ a=0 且 b=0 ◎|x-a| 的几何意义：表示数轴上x与a两点间的距离 ◎|x-a| + |x-b| 的最小值：当x在a,b之间时取得，最小值为 |a-b| 【典例1】如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例2】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为 ． 【变式1】【信息提取】学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当时，；当时，，对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果就能将绝对值符号去掉，例如：；；，． (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）： ①_________；②_________． 【拓广应用】 (2)用合适的方法计算：_________________． (3)请利用你探究的结论计算： 【变式2】在活动课上，有6名学生用橡皮泥做了6个乒乓球，直径可以有的误差，超过规定直径的毫米数记作正数，不足的记为负数，检查结果如下表（单位：）： 做乒乓球的同学 李明 张兵 王莉 余佳 赵平 蔡伟 检查结果 请用绝对值的相关知识解答下列问题： (1)有几位同学做的乒乓球是合乎要求的？ (2)合乎要求的乒乓球中哪个同学做的质量最好？ 【变式3】【阅读材料】借助数轴能更好地理解绝对值的几何意义． 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作． 如：表示数轴上5这个点与原点的距离，即． 一般地，数轴上表示数m的点与表示数n的点之间的距离等于． 如：数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是________；数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离可以表示为________；若，则________． (2)【拓展延伸】 ①若，求x的取值范围； ②对于实数x，的最小值是________，此时________． 【方法指导】 对于问题（2），可以理解为：数轴上表示数x的点到表示的点和到表示3的点的距离之和． 要使这个距离之和等于4，x应该取什么位置呢？ (3)综合应用：江西某快递公司在一条东西走向的街道上设置配送点，该街道上有A，B，C，D，E五个小区，它们在数轴上对应的位置如图所示（单位：百米）： 若快递公司只能在其中一个小区设配送点，为使配送点到五个小区的距离之和最小，应选择在哪个小区设置配送点？请说明理由． 题型九 有理数的大小比较 解｜题｜技｜巧 ☆掌握比较有理数大小的几种方法 ◎数轴法：右边的数总比左边的大 ◎法则法：正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小 ◎作差法：比较a与b的大小，计算a-b，看结果的正负 【典例1】小于的最大整数是（ ） A． B． C． D． 【典例2】比较大小： （填“>”、“<”或“=”）． 【变式1】雪峰蜜橘十月份开始采摘．图中每筐蜜橘以5千克为标准质量，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下，则这4筐蜜橘中，质量最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下表是我国四个城市某年一月份的平均气温，把它们按从高到低的顺序排列： ． 北京 长沙 哈尔滨 南京 【变式3】在标准大气压下，四种物质的熔点如表所示，其中熔点最低的物质是 ． 物质 冰 乙醇 氮气 甘油 熔点（单位） 0 18 题型十 有理数的加减 解｜题｜技｜巧 ☆先确定符号，再计算绝对值 ◎加法：同号相加取同号，异号相加大减小（绝对值相减） ◎减法：减去一个数等于加上这个数的相反数 ◎混合运算：统一为加法运算，运用加法交换律和结合律简化计算 【典例1】比大且比小的所有整数的和为（    ） A．4 B．0 C．3 D． 【典例2】定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【变式1】将写成省略括号和加号的形式是（ ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3】解答下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 有理数的乘除 解｜题｜技｜巧 ☆先确定积或商的符号，再计算绝对值 ◎符号法则：同号得正，异号得负 ◎乘法：任何数与0相乘得0 ◎除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数 ◎乘除混合：通常将除法转化为乘法，再一次性确定符号 【典例1】的倒数是(   ) A． B． C． D．2026 【典例2】下面是一道题的两种解法： 计算： 解法1： 原式① ② ③ 解法2： 原式① ② ③ (1)解法1是从第______步开始出现错误的；解法2是从第______步开始出现错误的；（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【变式1】阅读理解： 计算时，若把与分别各看作一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下： 解：设为，为， 则原式． 请用上面的方法计算： 【变式2】计算： (1)； (2) 【变式3】用运算律简便运算 (1) (2) 题型十二 有理数的乘方运算 解｜题｜技｜巧 ☆求n个相同因数的积的运算；负数的幂的符号是易错点 ◎符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 ◎注意括号：(-2)⁴ 与 -2⁴ 的结果完全不同 ◎运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内 【典例1】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为 ． 【变式1】下列说法中，正确的是（    ） A．当为偶数时，和相等 B．和一定互为相反数 C．当为奇数时，和相等 D．和一定不相等 【变式2】小明想探究自然数的立方和…（其中n为自然数）的推导方法，查阅资料后想到一个方法，把这个代数问题转化为几何问题，具体如下：1对应图中边长为1的小正方形的个数；对应图中边长为1的小正方形的个数；对应图中边长为1的小正方形的个数．小明发现，图、图、图恰好可以拼成一个边长为6的正方形，从而得到 (1)请你顺着小明的研究思路在网格图中画出对应的小正方形个数的摆放图形；把这4个图形拼成一个正方形，则这个正方形的边长为________； (2)根据小明的发现，请直接写出… ；（用含n的式子表示） (3)请根据第（2）问的规律求…的值． 【变式3】数学活动 在上个月，我们学习了“有理数乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：与（，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作，运算法则如下：． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空： ； ； (2)如果，求出x的值； (3)如果，请直接写出x的值． 题型十三 有理数乘方的运用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题（如面积、体积、增长率、棋盘放米）转化为乘方运算 ◎识别问题中的“重复相乘”或“几何倍增”关系 ◎正确建立数学模型：aⁿ ◎注意单位换算，结果要符合实际意义 【典例1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳计数”的方法来记录自己读书的天数，图1是他从右到左依次在排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为 ，按同样的方法，图2表示的天数是（　　） A．36 B．56 C．308 D．1232 【典例2】如图，某种细胞每过1小时便由1个分裂成2个，经过5小时，这种细胞能由1个分裂成 个． 【变式1】《庄子•天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，，那么九天之后，这个“一尺之棰”还剩（   ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【变式2】观察下列各式：，，，，，，，……根据上述算式中的规律，猜想的末位数字是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【变式3】综合实践： 活动名称 进位制的认识与探究 背景材料 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进几”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制的简单写法．十进制数一般不标注基数． 素材1 十进制数，记作：234． 七进制数，记作：． 二进制数，记作：. 各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依次乘7的相应整数次幂再相加，就可得到与它相等的十进制数．如：. 素材2 将十进制数化为与其相等的二进制数采用除二取余法，用十进制的数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，将所得的余数按倒序从低位到高位排序即可．同样十进制数转化为八进制数可用除八取余法. 如： 素材3 二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一．二进制的四则运算规则如下： 加法： 减法： （同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 根据以上材料，解决下列问题： (1)将十进制数21转化成二进制数的值为______； (2) （用二进制表示）； (3)若将一个十进制两位数交换其个位上的数字与十位上的数字后得到一个新数，当原数减去新数所得的差为18时，称原来的两位数为“青春数”．问是否存在这样的“青春数”，使该数转化成六进制数后是一个各数位上的数字全都为a的三位数？若存在，请求出这样的“青春数”；若不存在，请说明理由． 题型十四 有理数的四则混合运算 解｜题｜技｜巧 ☆严格遵循运算顺序，灵活运用运算律简化计算 ◎运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内 ◎简化技巧：互为相反数的两数先加得0；同分母分数先结合；能凑整的先结合 ◎检查：每一步都要检查符号和计算准确性 【典例1】计算： (1)； (2)． 【典例2】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】计算： (1) (2)． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【变式3】计算题． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十五 近似数 解｜题｜技｜巧 ☆与实际数接近但不完全相等的数，表示精确到哪一位 ◎精确度：看一个近似数精确到哪一位，就看它的最后一位在什么数位上 ◎取近似值：常用四舍五入法，注意按要求精确到哪一位 ◎科学记数法中的近似数：先将数字部分按要求取近似，再保留科学记数法形式 【典例1】小华的期中考试各科平均分是分，用四舍五入法对分别取近似值，其中错误的是（   ） A．（精确到百分位） B．（精确到十分位） C．（精确到） D．（精确到） 【典例2】用四舍五入法取近似数：11.3951精确到百分位是 ． 【变式1】下列说法正确的是（　　） A．0.70精确到十分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到万位 【变式2】近似数是由数a四舍五入得到的，则数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】长江的长度约为6397，用科学记数法表示约为 ．（精确到） 题型十六 科学记数法 解｜题｜技｜巧 ☆把一个数表示成 a×10ⁿ 的形式（其中1≤|a|<10，n为整数） ◎确定a：将原数的小数点移到左起第一位非零数字后，得到a ◎确定n：小数点移动的位数即为n，左移n为正，右移n为负 ◎还原：已知科学记数法，还原时根据n将a的小数点移动n位即可 【典例1】节日期间，某跨江大桥的车流量约为1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】一个数用科学记数法表示为，则这个数是 亿． 【变式1】年月，我国紧凑型聚变能实验装置建设取得关键突破，项目主体工程建设步入新阶段该项目总投资约万元，将数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】道县的脐橙大又甜，在今年“道县脐橙节”期间，从山上5棵脐橙树上采摘到了200千克脐橙，请估计道县近20000棵脐橙树今年一共收获了脐橙 千克（用科学记数法表示）． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．在，，，0中，有理数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．我国古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若气温零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 3．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．2025年国庆中秋假期，重庆共接待国内游客约27000000人次，将数据27000000用科学记数法表示为 ． 5．中底数是 ，指数是 ． 6．某市规定：每户居民每月用水不超过15立方米，按每立方米元收费，超过15立方米，则超过部分按每立方米元收费．小明家六月份实际用水19立方米，则小明家六月份应交水费 元． 7．把下列各数填在相应的大括号内： 4，，，，，，0，，． 整数集合{____________…}； 正分数集合{____________…}； 负有理数集合{____________…}； 非负整数集合{____________…}． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 2．日常生活中，我们用十进制来表示数，如．计算机中采用的是二进制，即只需要0和1两个数字就可以表示数．如二进制中的，可以表示十进制中的10．那么，六进制中的表示的是八进制中的（　　） A．449 B．701 C．489 D．710 3．小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．规定，如果，则 5．已知两个有理数、，下列结论：①若与互为相反数，则；②若与互为倒数，则；③若，则；④若，则；⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．其中正确的有 ．（填序号） 6．某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，单位：吨）： ，，，，，， (1)经过这一周，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)如果进出粮食的装卸费都是每吨8元，那么这一周要付多少元装卸费？ 7．请你仔细阅读下列材料并计算： 解法：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故 再根据你对所提供材料的理解，模仿以上方法进行计算：. 8．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间距离表示为．回答下列问题： (1)若x表示一个有理数，则的最小值为______；当取最小值时，x的值为______； (2)已知，则的最大值为______． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．有这样四句话：①一定是负数；②和4互为相反数；③任何有理数都有相反数；④一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是非负数．其中正确的是（   ） A．①③ B．②③ C．③ D．④ 2．在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵（    ） A． B． C． D． 3．“铺地锦”是《算法统宗》记载的一种乘法计算方法，因计算过程形如铺地锦而得名，如图1，为计算的计算方法，其结果即为17278．如图2，用“铺地锦”的方法计算，下列说法： ①的值小于3； ②的值为偶数； ③； ④． 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式 5．用符号“f”定义一种新运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，，，…；（2），，，，…．利用以上规律计算： ． 6．的最小值为 ． 7．【新定义】有理数的“加乘”运算，记作 有理数“加乘”法则 同号两数“加乘”，取相同的符号，并把绝对值相乘． 异号两数相“加乘”，绝对值相等时结果为0；绝对值不相等时，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相乘． 一个数同0“加乘”，仍得0． 例如：；；；． 【观察入微】 （1）_____；_____； （2）计算：； 【见微知著】 （3）若，求的值； （4）若整数满足，求、的值． 8．数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图1），进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示9的点重合的点表示的数是_____． (2)操作2：已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． ①若点M、N、P同时都向右运动，求当时间t为何值时点P到点M，N的距离相等？ ②当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，则_____，_____． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段（如图2），并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $