专题02整式及其加减（期末复习讲义，13知识点+15题型）七年级数学上学期新教材华东师大版

该初中数学期末复习讲义以“整式及其加减”为核心，通过表格系统梳理12个核心考点、对应复习目标及考情规律，按“用字母表示数-代数式-整式-运算”逻辑分层讲解知识点，每个知识点包含定义、易错点及解题技巧，构建清晰知识脉络，强化符号意识与抽象能力。 讲义亮点在于15类分层题型设计，如“数字图形规律探索”培养推理意识，“整式加减无关型问题”提升运算能力，每个题型配典例及变式练习。设置基础通关、重难突破、综合拓展三层训练，适配不同学生需求，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

专题02 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用字母表示数 理解用字母可以表示任意数、数量关系和变化规律，初步建立符号意识。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对字母表示数的意义的理解。 代数式 能识别代数式，理解其由数、字母和运算符号组成，并能判断一个式子是否为代数式。 基础考点，常与后续运算结合考查，要求能区分代数式与等式、不等式。 列代数式 能将实际问题或数学问题中的数量关系用代数式正确地表示出来。 高频考点，是解决应用题的基础，常以填空题或简单应用题形式出现，考查建模能力。 代数式的值 会求代数式的值，掌握“代入计算”的方法，并能处理整体代入或程序代入。 基础计算题，是必考计算技能，常出现在计算题或综合题的第一步。 单项式 理解单项式的定义（由数字与字母的积组成），能判断单项式、确定系数和次数。 基础概念题，常与多项式一起考查，要求能准确识别并说出其系数与次数。 多项式 理解多项式的定义（几个单项式的和），能确定多项式的项数、各项及多项式的次数。 基础考点，常与单项式结合出现在概念辨析题中，是学习整式运算的基础。 升幂排列和降幂排列 会按某个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）重新排列多项式。 基础技能题，考查对多项式结构的理解，通常在填空题或化简题中作为中间步骤。 同类项 能准确判断同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），与系数无关。 高频易错点，是合并同类项的前提，常以选择题形式考查概念的准确理解。 合并同类项 熟练掌握合并同类项的法则（系数相加，字母及指数不变），并能正确进行运算。 中考必考计算题型，是整式加减的核心，贯穿于整个代数运算过程，要求计算准确。 去括号和添括号 掌握去括号和添括号的法则（括号前是“+”号，括号内各项符号不变；括号前是“-”号，括号内各项符号改变）。 高频易错点，符号处理是关键，常在计算题中考查，要求步骤清晰，避免符号错误。 整式的加减 能综合运用合并同类项、去括号等法则进行整式的加减混合运算，并将结果化为最简。 中考必考计算题型，是代数运算的基础，要求熟练掌握运算顺序和法则，做到化简彻底。 知识点一、用字母表示数 1.用字母表示数 一般地，用字母表示数，就是用字母代表一个确定的数，或确定范围中的一批数，甚至所有的数表示数的字母可以作为数的“替身”参与运算，建立数与数之间的关系，表达数及其运算的性质，等等 易错点： 1.同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示 2.用字母可以表示任意数,用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。 2.用含有字母的式子表示数量关系的书写规定 (1)数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“.”或省略不写: (2)数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面; (3)式子中有加减运算且后面有单位时，式子要加上括号; (4)除法运算通常写成分数形式； (5)数字因数是1或-1时，“1”常省略不写； (6)带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数. 知识点二、列代数式 1.列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言 2.列代数式的步骤 (1)认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对 应的运算; (2)注意题目的语言叙述所表示的运算顺序:(3)弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式 易错点： 1.排列几个字母因数时，要按字母表的顺序； 2.同一个代数式可以表示不同的意义； 3.根据实际问题列代数式时，要抓住关键性词语，弄清题目中的数量关系，理清运算顺序一般是先读的运算在前，后读的运算在后 知识点三、代数式 1.定义由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子叫做代数式； 2.单独一个数或一个字母也是代数式. 易错点： 代数式中不能含有等号和不等号 知识点四、 代数式的值 1.代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值 2.求代数式的值的一般步骤 (1)代入:用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变 (2)计算:按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算 易错点： 1.用负数代替字母时，要给它添上括号; 2.用负数或分数代替乘方运算中底数的字母时要添上括号； 3.用数代替字母时，省略的乘号要还原. 3.一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中字母取值的变化而变化 知识点五、 单项式 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式 易错点： 定义中的“积”并非不含“除法”，只是要求数与字母、字母与字母之间不能有除法。 2.单项式的系数与次数 (1)系数:单项式中的数因数叫做这个单项式的系数 (2)次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 ☆(1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写. ☆(2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式 知识点六、 多项式 1.多项式 几个单项式的和叫做多项式一个式子是多项式需具备两个条件: (1)式子中含有运算符号“+”或“—”；(2)分母中不含有字母 2.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式含有几项，就叫做几项式， 特别地，只含有一项就是单项式. 3个多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，就是这多项式的次数 易错点： 1.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系 2.单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，二者不能混淆. 知识点七、 整式 1.定义 单项式与多项式统称为整式 2.单项式、多项式、整式 (1)多项式是由单项式的和组成的，单项式、多项式统称为整式(2)整式、单项式、多项式的关系可以用如图表示 易错点： 1.单项式是整式. 2.多项式是整式. 3.如果一个式子既不是单项式，又不是多项式,那么它一定不是整式。 知识点八、 升幂排列与降幂排列 为了便于多项式的运算，可以运用加法交换律将多项式中的冬项按某个字母指数的大小顺序重新排列 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列 易错点： 1.排列时要连同它们前面的符号一起移动 2.排列含有两个或以上的字母的多项式，需说明“按某一个字母的升幂(或降幂)排列” 知识点九、 同类项 1.定义 所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项 易错点： 1.同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 2．判断同类项的方法 （1）同类项必须同时满足＂两个相同＂：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可。 （2）判断是不是同类项有＂两个无关＂：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如与 是同类项． 知识点十、 合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 2.合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变 3.合并同类项的一般步骤 (1)找出同类项，通常在同类项的下面作相同的标记； (2)运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项组合在一起； (3)利用合并同类项法则合并同类项 易错点： 合并同类项法则可简记为相加，两不变”.其中: “一相加”是指各同类项的系数相加;“两不变”是指字母连同它的指数不变 知识点十一、 去括号法则 1.去括号法则 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号; 括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉括号里各项都改变正负号 2.去括号时的注意事项 (1)去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉(2)需要变号时，括号里的各项都变号;不需要变号时，括号里的各项都不变号 易错点： 1.去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” 2.去括号的依据是分配律，去括号时，既要注意符号，又要注意各项系数的改变 知识点十二、 添括号法则 1.添括号法则 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号; 所添括号前面是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号 2.添括号与去括号是相反变形，可以用去括号来检验添括号的正确性 易错点： 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说添括号时括号前面的“+”号或“-”号也是新添的 知识点十三、 整式的加减 1.整式加减运算的一般步骤 先去括号，再合并同类项 2.整式化简求值的步骤 一化:利用整式加减的运算法则将整式化简:二代:把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子:三计算:依据有理数的运算法则进行计算 易错点： 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列 题型一 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 ☆理解字母可以代表任意数、数量关系或变化规律，建立初步的符号意识 ◎用字母表示运算律或公式（如乘法分配律：a(b+c)=ab+ac） ◎用字母表示实际问题中的基本量（如速度v、时间t、路程s） ◎注意字母的取值范围通常由实际情况决定 【典例1】一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是 ．（用代数式表示结果） 【变式1】已知：，． （1）类似地， ； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 ． 【变式2】观察图，从第一幅开始大小不同的正方形的个数依次呈规律性变化着，按此方式下去，第幅图中共有 个正方形（用含的代数式表示）． 【变式3】一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为 ． 题型二 代数式 解｜题｜技｜巧 ☆代数式是由数、表示数的字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的式子 ◎识别：单独的一个数或字母也是代数式 ◎判断：等式（含“=”）或不等式（含“>”“<”）不是代数式 ◎书写规范：乘号可省略，除号通常写成分数线 【典例1】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【典例2】代数式的意义为（    ） A．与的差的平方 B．相反数与的平方的差 C．与的平方的差 D．的平方与的平方的差 【变式1】有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】在，，2，m，，，中，代数式有 个 题型三 列代数式 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题或数学语言中的数量关系转化为代数式 ◎仔细审题，明确各个量之间的关系（和、差、倍、分、积、商、平方等） ◎抓住关键词：“和”表相加，“差”表相减，“积”表相乘，“商”表相除，“平方”表二次方 ◎注意运算顺序，必要时添加括号 【典例1】某商品进价为a元，商店将其进价提高后作为售价，在促销活动中，又以售价的8折出售，此时这件商品的售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【典例2】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 ，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025． (2)设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除． 【变式1】某种商品进价为元/件，在销售旺季，该商品售价较进价高；销售旺季过后，又以7折（即原售价的）的价格对该商品开展促销活动，这时一件该商品的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】“十•一”黄金周期间，某公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，若9月30日的游客人数记为a： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） ＋1.6 ＋0.8 ＋0.4 －0.4 －0.8 ＋0.2 －1.2 (1)请用a的代数式表示10月2日的游客人数？ (2)与9月30日相比，10月7日的游客人数是增加了还是减少了？变化了多少？ 【变式3】小明在十字路口要通过总长度为的斑马线，他匀速行走到正中间时，看到指示灯要变为红灯，于是他以原来速度的a倍匀速行走（加速过程忽略不计）若小明原来的速度为，解答下列问题： (1)小明行走到正中间所需的时间为 s；（用含x的代数式表示） (2)小明走完全程一共用了多长时间？（用含x，a的代数式表示） 题型四 代数式求值 解｜题｜技｜巧 ☆用数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算得出结果 ◎直接代入：已知字母的具体值，直接代入计算 ◎整体代入：有时需将某个代数式看成一个整体进行代入 ◎程序代入：按照指定的运算程序逐步计算 【典例1】如果，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【典例2】当时，多项式的值为，当时，则多项式的值为 ． 【变式1】如图所示． (1)用含有，的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【变式2】已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3，求代数式的值． 【变式3】老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 题型五 程序流程图 解｜题｜技｜巧 ☆根据流程图所示的运算步骤，进行代数式求值 ◎明确输入值、输出值和中间处理步骤 ◎按箭头方向一步步进行运算，注意判断框（通常是“是/否”分支） ◎将流程图转化为代数表达式，再进行求值 【典例1】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【典例2】如图，当输入x的值为时，输出的结果为 ． 【变式1】根据如图所示的流程图计算，若，则的值为 ． 【变式2】小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后输出的数据是 ；若输入的原始数据是正整数，加密后输出的数据是365，那么原始数据的值最多有 个． 【变式3】如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 题型六 数字、图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 ☆观察序列或图形的变化特征，归纳出一般规律并用代数式表示 ◎数字规律：观察相邻项的差、比、平方等关系，或分析项数与数值的关系 ◎图形规律：分析图形数量、周长、面积等随序数变化的规律，常转化为数字规律 ◎验证：得出的通式需验证前几项是否成立 【典例1】如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2025次出现时，恰好数到的数为（ ） A．6062 B．6066 C．6074 D．6072 【典例2】数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 【变式1】蜜蜂是自然界中神奇的“建筑师”，能够建造牢固的“蜂巢”．如图，“蜂巢”的表面是多个紧密排列的小正六边形，我们可以发现第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形按此规律，第10个图中小正六边形的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．34 【变式2】有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为1次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为．若把数对经过104次“伴随运算”变成，则的值为 ；若数对经过次“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值不可能为 （填序号①2016   ②2025   ③2034   ④2049）． 【变式3】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图形需要几个五角星？ (3)摆成第2025个图形需要几个五角星？ 题型七 单项式 解｜题｜技｜巧 ☆由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式 ◎判断：分母中不含字母，且不是加减运算 ◎系数：单项式中的数字因数（包括符号） ◎次数：所有字母的指数之和 【典例1】下列说法中，正确的是（    ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数是，次数是 【典例2】观察下面的单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第个单项式为 ． 【变式1】下列式子中，单项式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．①③⑤⑥ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥ 【变式2】请写出所含字母为x、y，系数是，次数是3的单项式： ． 【变式3】已知下列一组按规律排列的式子：，，，，，…，则第个式子（为正整数，且）为（   ） A． B． C． D． 题型八 多项式 解｜题｜技｜巧 ☆几个单项式的和叫做多项式 ◎项：组成多项式的每个单项式，包括它前面的符号 ◎次数：多项式中次数最高项的次数 ◎常数项：不含字母的项 【典例1】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【典例2】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有 ．（填序号） 【变式1】已知关于x的多项式是二次三项式，则 ． 【变式2】将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【变式3】代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 题型九 升幂排列和降幂排列 解｜题｜技｜巧 ☆按某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）重新排列多项式 ◎认准按哪个字母进行排列 ◎只移动各项的位置，不改变各项的符号 ◎没有该字母的项（常数项）视为指数为0，通常放在最后 【典例1】把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】将整式按字母y降幂排列得到 ． 【变式1】已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【变式2】小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误B．小李正确，小红错误C．都正确 D．都错误 【变式3】已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 题型十 同类项 解｜题｜技｜巧 ☆所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 ◎判断标准：“两相同”：字母相同，相同字母的指数相同； “两无关”：与系数无关，与字母顺序无关 ◎常数项都是同类项 【典例1】在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【典例2】若与是同类项，则 【变式1】下列各组单项式是同类项的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】若单项式与的和仍是单项式则 ． 【变式3】已知的相反数是，与互为倒数，是绝对值为1的负数，单项式与是同类项，求代数式的值． 题型十一 合并同类项 解｜题｜技｜巧 ☆把多项式中的同类项合并成一项 ◎法则：系数相加，字母和字母的指数不变 ◎步骤：①准确识别同类项并标记；②移动位置将同类项放在一起；③合并系数；④写出结果 【典例1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】若与能合并同类项，则的值是 ． 【变式1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】若与可以合并成一项，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】合并同类项： (1)； (2)． 题型十二 去括号和添括号 解｜题｜技｜巧 ☆括号前是“+”号，括号内各项符号不变；括号前是“-”号，括号内各项符号改变 ◎去括号：直接应用法则，注意不要漏乘括号内的项 ◎添括号：是去括号的逆过程，法则相同。添括号后，括号前是“-”号的各项要变号 【典例1】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知，，则 ． 题型十三 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 ☆实质就是去括号和合并同类项 ◎一般步骤：①有括号先去括号；②找出同类项；③合并同类项 ◎书写规范：通常结果按某个字母降幂排列 【典例1】已知，求 (1) (2)当时，求的值 【典例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【变式2】已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【变式3】先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，，． 题型十四 整式加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 ☆多项式化简后，若含某字母的项的系数为0，则多项式的值与这个字母无关 ◎先将多项式进行化简 ◎合并同类项后，令含某字母的项的系数之和等于0 ◎解出参数的值 【典例1】当 时，多项式中不含项． 【典例2】已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【变式1】已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【变式2】魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【变式3】已知． (1)化简，并求当时，的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 题型十五 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为整式加减的数学模型 ◎表示量：用含字母的式子表示相关量 ◎列式运算：根据题意列出整式并进行加减运算 ◎代入求值：若已知字母的值，代入化简后的式子求最终结果 【典例1】如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：第10个正方形的边长 （用含x、y的代数式表示） 【典例2】某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【变式1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；④．正确的是 【变式2】把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【变式3】阅读理解：设是一个四位正整数，如果它的千位与十位上的数字之和是9，百位与个位上的数字之和也是9，则称为“长久数”．例如：在2376中，，，故2376是一个“长久数”；但在2375中，，所以2375不是一个“长久数”． (1)判断下列四位数是不是“长久数”，请在横线上填“是”或“不是”； ①1485：_______；②5247：______；③4564：______； (2)设一个“长久数”m的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，判断m是否为99的倍数，并说明理由； (3)如果正整数和满足，则称正整数是立方数，例如：，则27为立方数．已知四位正整数为“长久数”，记，当是立方数时，直接写出所有满足条件的数． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若与是同类项，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 3．如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 4．将1个方格涂黑或涂白有2种涂法，如图1，4个方格中将每个方格涂黑或涂白共有16种不同的涂法．二维码就是利用将方格涂黑或涂白的方式存储信息，如图2，某一版本二维码有200个小方格用于存储信息，则这些小方格共可以储存 种不同的信息． 5．当，时，代数式的值是 ． 6．某数值转换机如图所示，若开始输入的x的值为，则最后输出的结果是 ． 7．化简： (1)； (2) 8．如图，用代数式表示下列阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是3次 C．的常数项是4 D．的二次项是 2．将两张边长分别为和的正方形纸片按图示方式放置在长方形中．若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分（阴影部分）的周长，则一定能求出（   ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 4．小亮参加骑游活动，骑自行车从A地去B地，他骑前一半路程的平均速度为，骑后一半路程的平均速度为，则小亮骑完全程的平均速度为 5．如图，把七个长和宽分别为的小长方形，放在长方形中，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 6．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则 ． 7．有不少青少年不正确的饮食习惯导致肥胖或营养不良，体重指数也称为体质指数，是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，是用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字．但不同年龄、不同性别、不同地区的标准有所区别．对中国12岁的青少年来说，标准如下： 重度营养不良 轻度营养不良 适中 超重 肥胖 男 女 (1)如果一个人的体重是w（公斤），身高h（米），那么他的体质指数怎样表示？ (2)初一（二）班12岁的男生李健体重56公斤，身高米，同年龄的女同学刘菲体重、身高恰好都和李健相同，请你通过计算判断两人分别属于哪一种类型？ 8．【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填________； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有________个，宽长比为的长方形操作路径为________（用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为________． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．若，，且，则的值是（ ） A．或2 B．或12 C．或 D．12或2 2．已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法： ①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如果整式与整式的和为一个常数，我们称A，B为常数的“和谐整式”，例如：和为常数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”（其中为常数），则的值为 4．已知代数式的值为，则代数式的值为 ． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 6．一个数m，用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是17的倍数，称m为“银杏智慧数”．比如：数字233488，这个数末三位是488，末三位以前是233，则，因为，所以233488是“银杏智慧数”．再比如：数字51，这个数末三位是51，末三位以前是0，则，因为，所以51是“银杏智慧数”．若整数（其中，且n为整数）是“银杏智慧数”，则 ．若p为“银杏智慧数”，且，（，，且x、y均为整数），则的最大值为 ． 7．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 8．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式及其加减（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 用字母表示数 理解用字母可以表示任意数、数量关系和变化规律，初步建立符号意识。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对字母表示数的意义的理解。 代数式 能识别代数式，理解其由数、字母和运算符号组成，并能判断一个式子是否为代数式。 基础考点，常与后续运算结合考查，要求能区分代数式与等式、不等式。 列代数式 能将实际问题或数学问题中的数量关系用代数式正确地表示出来。 高频考点，是解决应用题的基础，常以填空题或简单应用题形式出现，考查建模能力。 代数式的值 会求代数式的值，掌握“代入计算”的方法，并能处理整体代入或程序代入。 基础计算题，是必考计算技能，常出现在计算题或综合题的第一步。 单项式 理解单项式的定义（由数字与字母的积组成），能判断单项式、确定系数和次数。 基础概念题，常与多项式一起考查，要求能准确识别并说出其系数与次数。 多项式 理解多项式的定义（几个单项式的和），能确定多项式的项数、各项及多项式的次数。 基础考点，常与单项式结合出现在概念辨析题中，是学习整式运算的基础。 升幂排列和降幂排列 会按某个字母的指数从小到大（升幂）或从大到小（降幂）重新排列多项式。 基础技能题，考查对多项式结构的理解，通常在填空题或化简题中作为中间步骤。 同类项 能准确判断同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同），与系数无关。 高频易错点，是合并同类项的前提，常以选择题形式考查概念的准确理解。 合并同类项 熟练掌握合并同类项的法则（系数相加，字母及指数不变），并能正确进行运算。 中考必考计算题型，是整式加减的核心，贯穿于整个代数运算过程，要求计算准确。 去括号和添括号 掌握去括号和添括号的法则（括号前是“+”号，括号内各项符号不变；括号前是“-”号，括号内各项符号改变）。 高频易错点，符号处理是关键，常在计算题中考查，要求步骤清晰，避免符号错误。 整式的加减 能综合运用合并同类项、去括号等法则进行整式的加减混合运算，并将结果化为最简。 中考必考计算题型，是代数运算的基础，要求熟练掌握运算顺序和法则，做到化简彻底。 知识点一、用字母表示数 1.用字母表示数 一般地，用字母表示数，就是用字母代表一个确定的数，或确定范围中的一批数，甚至所有的数表示数的字母可以作为数的“替身”参与运算，建立数与数之间的关系，表达数及其运算的性质，等等 易错点： 1.同一问题中，相同的字母必须表示相同的量，不同的量必须用不同的字母表示 2.用字母可以表示任意数,用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义。 2.用含有字母的式子表示数量关系的书写规定 (1)数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常将乘号写作“.”或省略不写: (2)数字与字母相乘时，数字通常写在字母前面; (3)式子中有加减运算且后面有单位时，式子要加上括号; (4)除法运算通常写成分数形式； (5)数字因数是1或-1时，“1”常省略不写； (6)带分数与字母相乘时要将带分数化成假分数. 知识点二、列代数式 1.列代数式 在解决实际问题时，常常先把问题中有关的数量用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性.列代数式的实质就是把文字语言转化为数学语言 2.列代数式的步骤 (1)认真审题，把问题中表示数量关系的词语正确地转换为对 应的运算; (2)注意题目的语言叙述所表示的运算顺序:(3)弄清题目中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式 易错点： 1.排列几个字母因数时，要按字母表的顺序； 2.同一个代数式可以表示不同的意义； 3.根据实际问题列代数式时，要抓住关键性词语，弄清题目中的数量关系，理清运算顺序一般是先读的运算在前，后读的运算在后 知识点三、代数式 1.定义由数或表示数的字母用运算符号连接所成的式子叫做代数式； 2.单独一个数或一个字母也是代数式. 易错点： 代数式中不能含有等号和不等号 知识点四、 代数式的值 1.代数式的值一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算计算得出的结果，叫做代数式的值 2.求代数式的值的一般步骤 (1)代入:用指定的字母的数值代替代数式里的字母，其他的运算符号和原来的数都不能改变 (2)计算:按照代数式指明的运算，根据有理数的运算法则进行计算 易错点： 1.用负数代替字母时，要给它添上括号; 2.用负数或分数代替乘方运算中底数的字母时要添上括号； 3.用数代替字母时，省略的乘号要还原. 3.一般地，代数式的值不是固定不变的，它随着代数式中字母取值的变化而变化 知识点五、 单项式 1.单项式 由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是单项式 易错点： 定义中的“积”并非不含“除法”，只是要求数与字母、字母与字母之间不能有除法。 2.单项式的系数与次数 (1)系数:单项式中的数因数叫做这个单项式的系数 (2)次数:一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 ☆(1)当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写. ☆(2)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数的形式 知识点六、 多项式 1.多项式 几个单项式的和叫做多项式一个式子是多项式需具备两个条件: (1)式子中含有运算符号“+”或“—”；(2)分母中不含有字母 2.多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式含有几项，就叫做几项式， 特别地，只含有一项就是单项式. 3个多项式的次数 多项式中，次数最高项的次数，就是这多项式的次数 易错点： 1.多项式是由单项式组成的，但不能说多项式包含单项式，它们是两个不同的概念，没有从属关系 2.单项式的次数是所有字母指数的和，而多项式的次数是多项式中次数最高项的次数，二者不能混淆. 知识点七、 整式 1.定义 单项式与多项式统称为整式 2.单项式、多项式、整式 (1)多项式是由单项式的和组成的，单项式、多项式统称为整式(2)整式、单项式、多项式的关系可以用如图表示 易错点： 1.单项式是整式. 2.多项式是整式. 3.如果一个式子既不是单项式，又不是多项式,那么它一定不是整式。 知识点八、 升幂排列与降幂排列 为了便于多项式的运算，可以运用加法交换律将多项式中的冬项按某个字母指数的大小顺序重新排列 (1)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从大到小的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的降幂排列 (2)把一个多项式的各项按某一个字母的指数从小到大的顺序排列，叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列 易错点： 1.排列时要连同它们前面的符号一起移动 2.排列含有两个或以上的字母的多项式，需说明“按某一个字母的升幂(或降幂)排列” 知识点九、 同类项 1.定义 所含字母相同，并且相同字母的指数都相等的项叫做同类项，所有的常数项都是同类项 易错点： 1.同类项的对象是单项式，而不是多项式，但可以是多项式中的单项式； 2.同类项可以有两项，也可以有三项、四项或更多项，但至少有两项 2．判断同类项的方法 （1）同类项必须同时满足＂两个相同＂：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同，两者缺一不可。 （2）判断是不是同类项有＂两个无关＂：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关，如与 是同类项． 知识点十、 合并同类项 1.合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 2.合并同类项的法则 把同类项的系数相加，所得的结果作为和的系数，字母和字母的指数保持不变 3.合并同类项的一般步骤 (1)找出同类项，通常在同类项的下面作相同的标记； (2)运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项组合在一起； (3)利用合并同类项法则合并同类项 易错点： 合并同类项法则可简记为相加，两不变”.其中: “一相加”是指各同类项的系数相加;“两不变”是指字母连同它的指数不变 知识点十一、 去括号法则 1.去括号法则 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号; 括号前面是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉括号里各项都改变正负号 2.去括号时的注意事项 (1)去括号时，要将括号连同它前面的符号一起去掉(2)需要变号时，括号里的各项都变号;不需要变号时，括号里的各项都不变号 易错点： 1.去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变” 2.去括号的依据是分配律，去括号时，既要注意符号，又要注意各项系数的改变 知识点十二、 添括号法则 1.添括号法则 所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不改变正负号; 所添括号前面是“一”号，括到括号里的各项都改变正负号 2.添括号与去括号是相反变形，可以用去括号来检验添括号的正确性 易错点： 添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说添括号时括号前面的“+”号或“-”号也是新添的 知识点十三、 整式的加减 1.整式加减运算的一般步骤 先去括号，再合并同类项 2.整式化简求值的步骤 一化:利用整式加减的运算法则将整式化简:二代:把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子:三计算:依据有理数的运算法则进行计算 易错点： 整式加减的结果如果是多项式，一般按照某一字母的升幂或降幂排列 题型一 用字母表示数 解｜题｜技｜巧 ☆理解字母可以代表任意数、数量关系或变化规律，建立初步的符号意识 ◎用字母表示运算律或公式（如乘法分配律：a(b+c)=ab+ac） ◎用字母表示实际问题中的基本量（如速度v、时间t、路程s） ◎注意字母的取值范围通常由实际情况决定 【典例1】一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用字母表示两位数，关键是掌握十进制中十位和个位的位值原理． 根据两位数的表示方法，十位数字乘以10加上个位数字即可得到该数． 【详解】解：∵十位数字是， ∴表示； ∵个位数字是， ∴表示； ∴这个两位数为． 故选：D． 【典例2】某人上山的速度是a，沿相同的路下山，下山的速度是b，他的平均速度是 ．（用代数式表示结果） 【答案】 【分析】本题考查了代数式的应用． 根据平均速度是总路程与总时间的比值求解即可． 【详解】解：设上山路程为，则总路程为， 上山时间为，下山时间为，总时间为， 平均速度为． 故答案为：． 【变式1】已知：，． （1）类似地， ； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 ． 【答案】 5 9 8 4 【分析】此题考查数字的变化规律，以及用代数式表示三位数，掌握十进制计数法和科学记数法是解决问题的关键． （1）先根据已知数的组成规律确定各数位上的数字按要求表示即可； （2）根据数位的意义，用字母表示三位数． 【详解】解：（1）是四位数，在千位上，表示有个千，即； 在百位上，表示有个百，即； 在十位上，表示有个十，即； 在个位上，表示有个一； ∴ ； （2）某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为． 故答案为：，，，，． 【变式2】观察图，从第一幅开始大小不同的正方形的个数依次呈规律性变化着，按此方式下去，第幅图中共有 个正方形（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，解题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系． 根据前三幅图中的正方形个数找出规律即可求解． 【详解】解：第一幅图有个正方形； 第二幅图有个正方形； 第三幅图有个正方形； 则第幅图中共有个正方形， 故答案为：． 【变式3】一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为 ． 【答案】802 【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键． 根据“谐和数”的定义，百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，且各位数字互不相同，通过分析个位数字的可能取值，列举所有满足条件的数，并找出最大和最小者求差即可得到答案． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则，且均为的整数且互不相同， ， 则，解得， 故可取1、2、3、4， 当时，，由于均为的整数且互不相同，故排除131、311、221，即没有满足条件的数； 当时，，故满足条件的数有172、352、532、712； 当时，，故满足条件的数有483、573、753、843； 当时，，故满足条件的数有794、974； “谐和数”中最小者为172，最大者为974，其差为， 故答案为：802． 题型二 代数式 解｜题｜技｜巧 ☆代数式是由数、表示数的字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的式子 ◎识别：单独的一个数或字母也是代数式 ◎判断：等式（含“=”）或不等式（含“>”“<”）不是代数式 ◎书写规范：乘号可省略，除号通常写成分数线 【典例1】下列各式中，代数式的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥a A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了代数式的概念，代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）组成的数学表达式，不能包含等号或不等号． 根据代数式的概念求解即可． 【详解】解：①是常数，属于代数式； ②含有等号，是等式，不是代数式； ③由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ④是分式，由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑤由数字、字母和运算符号组成，是代数式； ⑥是字母，属于代数式， ∴ 代数式的个数为5， 故选：A． 【典例2】代数式的意义为（    ） A．与的差的平方 B．相反数与的平方的差 C．与的平方的差 D．的平方与的平方的差 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义，理解运算顺序是关键．根据代数式的运算顺序，表示减去的平方 【详解】解：表示与的平方的差， 故选：C． 【变式1】有下列五个式子：①；②；③(不等于)；④；⑤；其中不符合代数式的书写格式的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查代数式的表示，熟练掌握代数式的书写要求是解题关键． 根据代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式，判断各项． 【详解】解：①应写为，不符合书写格式； ③应写为，不符合书写格式； ④应写为，不符合书写格式； 而②和⑤符合书写格式； 不符合的有3个． 故选：C． 【变式2】在式子，，，，中，符合代数式书写要求的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了代数式的书写，根据书写规则，代数式书写中分数应为假分数而非带分数，不能出现除号，单位名称前面的代数式不是单项式要加括号，对各项的代数式进行判定，即可求出答案，掌握代数式的书写规则是解题的关键． 【详解】解： 符合代数式书写要求； 含有除号，应改为，不符合要求； 符合要求； 符合要求； 系数为带分数，应改为，不符合要求， 符合要求的有 、、，共个， 故选：B． 【变式3】在，，2，m，，，中，代数式有 个 【答案】5 【分析】本题考查了代数式的定义，熟练掌握代数式的定义是关键．代数式是由数字、字母和运算符号（加、减、乘、除、乘方）组成的数学表达式，不包含等号或不等号．根据代数式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，，2，m， 是代数式，共5个；和不是代数式． 故答案为：5． 题型三 列代数式 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题或数学语言中的数量关系转化为代数式 ◎仔细审题，明确各个量之间的关系（和、差、倍、分、积、商、平方等） ◎抓住关键词：“和”表相加，“差”表相减，“积”表相乘，“商”表相除，“平方”表二次方 ◎注意运算顺序，必要时添加括号 【典例1】某商品进价为a元，商店将其进价提高后作为售价，在促销活动中，又以售价的8折出售，此时这件商品的售价为（　　） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题考查列代数式；先计算提高进价后的售价，再计算打折后的价格. 【详解】解：∵进价为a元，提高后售价为元， 又∵以售价的8折出售， ∴最终售价为元. 故选：A. 【典例2】若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为，于是 ，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______；（填序号） ①25；②225；③1025；④2025． (2)设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题考查数的整除规律与代数式的应用，解题的关键是将数拆分为含9的倍数与数位和的形式，利用整除性质分析． （1）计算各数的数位和，判断是否能被3整除； （2）将四位数拆分为含9的倍数与数位和的形式，结合整除性质证明． 【详解】（1）解：分别计算各数的数位和： ①不能被3整除，故25不能被3整除， ②能被3整除，故225能被3整除， ③不能被3整除，故1025不能被3整除， ④2025：，9能被3整除，故2025能被3整除． 故答案为：②④； （2）证明：∵ 又∵ 且，能被3整除， ∴如果能被3整除，则能被3整除． 【变式1】某种商品进价为元/件，在销售旺季，该商品售价较进价高；销售旺季过后，又以7折（即原售价的）的价格对该商品开展促销活动，这时一件该商品的售价为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查列代数式，解题的关键是理解进价、提价和折扣的关系．先计算旺季售价，再计算促销价． 【详解】解：∵旺季售价为元， ∴促销价为 元， 故选：D． 【变式2】“十•一”黄金周期间，某公园在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数，若9月30日的游客人数记为a： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） ＋1.6 ＋0.8 ＋0.4 －0.4 －0.8 ＋0.2 －1.2 (1)请用a的代数式表示10月2日的游客人数？ (2)与9月30日相比，10月7日的游客人数是增加了还是减少了？变化了多少？ 【答案】(1) 万人 (2) 增加了，增加了万人 【分析】本题考查代数式的运算，根据题意逐步计算是解题的关键． （1）先计算10月1日的人数，再计算10月2日的人数即可； （2）计算出10月7日的游客人数进行比较即可． 【详解】（1）根据题意，表中数据变化为相比前一天的变化，故2日人数为(万人)． （2）根据题意，计算出7日人数为(万人)， 故相比于9月30日增加了(万人) ． 【变式3】小明在十字路口要通过总长度为的斑马线，他匀速行走到正中间时，看到指示灯要变为红灯，于是他以原来速度的a倍匀速行走（加速过程忽略不计）若小明原来的速度为，解答下列问题： (1)小明行走到正中间所需的时间为 s；（用含x的代数式表示） (2)小明走完全程一共用了多长时间？（用含x，a的代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，解题关键是找出数量关系． （1）根据路的宽度得出中间的路程为9米，原来的速度为，得出运动时间． （2）再求出另一半路程所需时间，再加上（1）的结果即可． 【详解】（1）解：因为路程为， 所以走到中间时路程为， 所以所需要的时间为：， 故答案为：， （2）解：另一半路程为，走完这一半路程的速度为， 所以所需要的时间为：， 所以，走完全程需要的时间为． 题型四 代数式求值 解｜题｜技｜巧 ☆用数值代替代数式中的字母，按照运算顺序计算得出结果 ◎直接代入：已知字母的具体值，直接代入计算 ◎整体代入：有时需将某个代数式看成一个整体进行代入 ◎程序代入：按照指定的运算程序逐步计算 【典例1】如果，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法，是解题的关键．由已知条件，将所求表达式转化为，然后代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【典例2】当时，多项式的值为，当时，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的求值，运用整体代入思想并正确变形是解题的关键．先由时，多项式的值为，得出的值，再将代入多项式，变形并将的值代入计算即可． 【详解】解：∵当时，多项式的值为， ∴， ∴， ∴当时， ． 故答案为：． 【变式1】如图所示． (1)用含有，的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式及代数式求值相关知识，解决问题的关键是看懂示意图，利用大减小表达图中阴影部分面积． （1）由图示可以看出：阴影部分的面积等于长方形的面积减去两个扇形的面积，并利用、表示扇形的半径，长方形的面积，进而求出阴影部分的面积； （2）将、的值代入即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：． （2）当，时，． 【变式2】已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3，求代数式的值． 【答案】当时，原式；当时，原式 【分析】本题主要考查了代数式求值，相反数定义，倒数的定义，绝对值意义，熟练掌握相关定义，是解题的关键．先根据a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3，得出，，或，再代入求值即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，m，n互为倒数，x的绝对值等于3， ∴，，或， 当时，原式； 当时，原式． 【变式3】老师说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”老师写出了一些按照※（加乘）运算法则进行运算的式子：；；；；；． 小明看完算式后说：我知道老师定义的※（加乘）运算法则了．聪明的你看出来了吗？请你帮忙归纳※（加乘）运算法则： (1)①归纳※（加乘）运算法则：两数进行※（加乘）运算时，同号得______，异号得______，并把绝对值______；特别是0和任何数进行※（加乘）运算时都等于另一个数的绝对值； ②计算：的值； (2)若，求的值． (3)用字母a、b的绝对值表示． 【答案】(1)①正，负，相加；② (2)或1 (3)当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，解题的关键是通过已知算式归纳运算规则，并结合规则进行计算． （1）通过已知算式归纳※运算法则，再按法则计算式子的值； （2）根据※运算结果为0的条件，求解的值并计算； （3）用绝对值表示※运算的一般形式． 【详解】（1）解：①，同号得正，绝对值相加 ※，同号得正，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 ，异号得负，绝对值相加 故两数进行※运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加 故答案为：正；负；相加 ② ； （2）解：因为， 根据题意归纳的运算法则可知，当且仅当参与运算的两个数都为0时，运算结果为0， 所以且， 解得． 当时，， 当时，， 故的值为或1； （3）解：分情况讨论： 当同号时，； 当异号时，； 当时，或当时，． 题型五 程序流程图 解｜题｜技｜巧 ☆根据流程图所示的运算步骤，进行代数式求值 ◎明确输入值、输出值和中间处理步骤 ◎按箭头方向一步步进行运算，注意判断框（通常是“是/否”分支） ◎将流程图转化为代数表达式，再进行求值 【典例1】如图，按下面的程序计算，若开始输入的值为正整数，最后输出的结果为，则满足条件的的不同值最多有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，程序计算，读懂题意，将程序进行逆运算是解本题的关键．根据题目中的程序进行逆运算即可得出答案． 【详解】解：若运算一次即输出，则，； 若运算两次输出，则第一次输出，令，； 若运算三次输出，则第一次输出，令，； 若运算四次输出，则第一次输出，令，，因为x为正整数，不合题意；满足条件的x的不同值有3个， 故选：A． 【典例2】如图，当输入x的值为时，输出的结果为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查了程序图与代数式求值， 将代入，根据结果小于10，再重新代回，循环直至结果大于10即可输出． 【详解】解：当时，， 因为， 所以将代入，得， 因为， 所以将代入，得， 因为， 所以输出，其结果为11． 故答案为：11． 【变式1】根据如图所示的流程图计算，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了规律探索，代数式求值，解题的关键是根据题意找出规律． 先求出，，，，得出规律，然后再求出结果即可． 【详解】解：由题知， 因为， 所以，，，，……， 由此可见，这列数从开始按，，4循环． 因为， 所以． 故答案为：4． 【变式2】小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后输出的数据是 ；若输入的原始数据是正整数，加密后输出的数据是365，那么原始数据的值最多有 个． 【答案】 309 4 【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，将代入，按流程图计算可得输出数据；输出的数据是365时，根据流程图反向计算输入数据，直至得出结果不是整数为止． 【详解】解：当原始数据时，，不能输出， 输入153，，可以输出； 输出的数据是365时，， ， ， ， ，不是整数，不合题意， 综上可知，原始数据的值可以是181，89，43，20，共4个， 故答案为：309，4． 【变式3】如图是一种数值转换的运算程序： (1)若第1次输入的数为，则第2次输出的数为________； (2)若第1次输入的数为，则第5次输出的数为________； (3)若第1次输入的数为8，求第2019次输出的数是多少？ 【答案】(1)5 (2)1 (3)1 【分析】本题主要考查代数式的值及数字规律，解题的关键理解题中的数值转换的运算程序； （1）根据是奇数，然后代入数值转换运算即可； （2）根据是偶数，然后代入数值转换运算即可； （3）由题意易得第1次输出的数为，第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….；由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为； 故答案为：5； （2）解：由数值转换运算程序可知：把代入， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为； 故答案为：1； （3）解：由题意得： 第1次输入的数为8，则第1次输出的数为， ∴第2次输出的数为；第3次输出的数为；第4次输出的数为；第5次输出的数为；….； 由上可知：规律为按照4、2、1每3次一循环出现， ∵， ∴第2019次输出的数为1． 题型六 数字、图形类规律探索 解｜题｜技｜巧 ☆观察序列或图形的变化特征，归纳出一般规律并用代数式表示 ◎数字规律：观察相邻项的差、比、平方等关系，或分析项数与数值的关系 ◎图形规律：分析图形数量、周长、面积等随序数变化的规律，常转化为数字规律 ◎验证：得出的通式需验证前几项是否成立 【典例1】如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A、B、C、D．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从A开始数连续的正整数1，2，3，4，⋯，请你寻找规律，指出当字母B第2025次出现时，恰好数到的数为（ ） A．6062 B．6066 C．6074 D．6072 【答案】C 【分析】本题考查数的排列规律，能根据数的方式发现字母和所数的数之间的关系，分别求出正整数1，2，3，所对应的字母，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：根据题意，列出相应的表格，如下图， 字母所对应数是2，6，8，12，14，18， 通过观察奇数次出现的规律，可知， 字母第1次出现，数到的数是； 字母第3次出现，数到的数是； 字母第5次出现，数到的数是； 所以字母第2025次出现，数到的数是， 故选：C． 【典例2】数学老师根据中的三个数按照如下规律设置学校密码，根据提供的信息可以推断该校的密码是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律问题． 根据题干所给图找出规律，进而作答即可． 【详解】解：由题知， 因为，，， 所以密码左起的两位数字为上面圆圈中的数与左面圆圈中的数之和当和为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码中间的两位数字为上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之积当积为一位数时，高位由补充． 因为，，， 所以密码最右边的两位数字为左面圆圈中的数与上面圆圈中的数与右面圆圈中的数之和的积当积为一位数时，高位由补充． 又因为，，， 所以． 故答案为：． 【变式1】蜜蜂是自然界中神奇的“建筑师”，能够建造牢固的“蜂巢”．如图，“蜂巢”的表面是多个紧密排列的小正六边形，我们可以发现第1个图中有4个小正六边形，第2个图中有7个小正六边形，第3个图中有10个小正六边形按此规律，第10个图中小正六边形的个数是（    ） A．30 B．31 C．32 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了图形规律探索；根据题意找出规律列出第n个图形中有个小正六边形，然后求解即可． 【详解】解：根据题意，第1个图形中有个小正六边形， 第2个图形中有个小正六边形， 第3个图形中有个小正六边形， ⋯ 第n个图形中有个小正六边形， ∴第10个图形中小正六边形的个数是， 故选：B． 【变式2】有序数对表示从左到右依次排列的两个数，把变换成称为1次“伴随运算”．如：经过1次“伴随运算”变成，即为．若把数对经过104次“伴随运算”变成，则的值为 ；若数对经过次“伴随运算”所得的个数对中，右边所有数的和与的取值无关，则的取值不可能为 （填序号①2016   ②2025   ③2034   ④2049）． 【答案】 2 ③ 【分析】本题主要考查了数字的规律探索，根据新定义，求出前几次“伴随运算”，发现结果为四次一个循环，据此即可得出，，故可得的值．根据规律可得右边所有数的和为，设多个循环的数为，时，右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加，根据，，，，可得数对经过，，次“伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关，即可得出结论． 【详解】解：根据题意可得：把数对经过次“伴随运算”变成； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； 经过次“伴随运算”变成，即； ； 发现规律，经过“伴随运算”所得结果为上面四个结果依次循环出现， 又∵被整除，且把数对经过次“伴随运算”变成， ∴为， ∴，， ∴； ∵数对经过“伴随运算”所得结果为，，，依次出现，即四个数对一循环， ∵， ∴一个循环内右边所有数的和为，与、的取值无关， ∴个循环内右边所有数的和为， ∵，，， ∴要使右边所有的数的和与的取值无关，则应是的倍数或是的倍数加， ∵，，，， ∴数对经过，，次 “伴随运算”所得数对中，右边所有数的和与的取值无关， ∴的取值不能为； 故答案为：2，③． 【变式3】观察下列图形： 它们是按一定规律排列的． (1)依照此规律，第20个图形共有几个五角星？ (2)摆成第n个图形需要几个五角星？ (3)摆成第2025个图形需要几个五角星？ 【答案】(1)60个 (2)个 (3)6075个 【分析】本题考查了图形规律题，根据图中信息找到规律是解题的关键． （1）通过观察已知图形可得：每个图形都比其前一个图形多3个五角星，根据此规律即可解答； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）根据（2）的规律求解即可． 【详解】（1）解：根据题中给出的信息分析可得： 第1个图中，五角星有3个即； 第2个图中，五角星有6个即； 第3个图中，五角星有9个即； 第4个图中，五角星有12个即； 第20个图中，五角星有（个）； （2）解：由（1）的规律可得，摆成第个图形需要五角星个． （3）解：摆成第2025个图形，即，需要个五角星． 答：摆成第2025个图形需要6075个五角星． 题型七 单项式 解｜题｜技｜巧 ☆由数与字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式 ◎判断：分母中不含字母，且不是加减运算 ◎系数：单项式中的数字因数（包括符号） ◎次数：所有字母的指数之和 【典例1】下列说法中，正确的是（    ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数是，次数是 【答案】D 【分析】本题考查单项式的定义、系数和次数的概念．根据单项式的概念，数字与字母的积是单项式；系数是数字因数；次数是所有字母指数的和，单个数字和字母也是单项式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是单项式，原说法错误，不符合题意； B、的系数是，原说法错误，不符合题意； C、的系数是，次数是4，原说法错误，不符合题意； D、的系数是，次数是，正确，符合题意； 故选：D． 【典例2】观察下面的单项式：，，，，，…，根据你发现的规律，第个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的知识，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键． 根据符号的规律：为奇数时，单项式为正号，为偶数时，符号为负号；系数的绝对值的规律：第个对应的系数的绝对值是．指数的规律：第个对应的指数是解答即可． 【详解】解：系数的绝对值规律为，符号规律为，指数规律为， 因此第个单项式为． 故答案为：． 【变式1】下列式子中，单项式有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．①③⑤⑥ B．②③⑤⑥ C．①⑤⑥ D．①④⑤⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，单项式是数字与字母的乘积或单独的数字或字母，不能有加减法，分母中不能有字母，据此求解即可． 【详解】解：① 中是常数，故为数字与字母的乘积，是单项式； ② 含有加法运算，故为多项式，不是单项式； ③ 分母中含有字母，故不是整式，也不是单项式； ④ 含有减法和加法运算，故为多项式，不是单项式； ⑤ 是常数，故是单项式； ⑥ 是单独字母，故是单项式； 则单项式有①⑤⑥， 故选：C． 【变式2】请写出所含字母为x、y，系数是，次数是3的单项式： ． 【答案】或 【分析】本题考查了单项式的相关定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，依此写出一个系数是，次数是3的单项式即可，熟练掌握单项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：∵单项式所含字母为x、y，系数是，次数是3， ∴单项式为或， 故答案为：或． 【变式3】已知下列一组按规律排列的式子：，，，，，…，则第个式子（为正整数，且）为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的规律，通过观察给定式子的分子、分母和指数规律，发现分母是，的指数是，分子的系数是． 【详解】解：当时，式子为； 当时，式子为； 当时，式子为； …… 第个式子为． 故选：D． 题型八 多项式 解｜题｜技｜巧 ☆几个单项式的和叫做多项式 ◎项：组成多项式的每个单项式，包括它前面的符号 ◎次数：多项式中次数最高项的次数 ◎常数项：不含字母的项 【典例1】已知多项式是关于，的四次三项式，的值是（    ） A．6 B．3 C． D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．多项式为四次三项式，需满足第一项系数非零且次数为4，其他项次数较低．通过计算各项次数，结合条件求解m． 【详解】解：∵多项式为四次三项式， ∴第一项系数，即． 第一项次数为， 第二项次数为， 第三项次数为． ∵最高次数为4， ∴， 解得，即或． 但， ∴． 故选：C． 【典例2】下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥，属于多项式的有 ．（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了多项式的定义． 根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，逐一判断每个式子是否可表示为单项式的和． 【详解】①，是单项式和的和，因此是多项式； ②分母中含有字母，是分式，不是多项式； ③是单项式、和的和，因此是多项式； ④是单项式； ⑤是常数，是单项式； ⑥分母中含有字母，不是多项式； 故属于多项式的有①③． 故答案为：①③． 【变式1】已知关于x的多项式是二次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次三项式的定义．根据二次三项式的定义，最高次项次数为2且项数为3，因此需满足且二次项系数． 【详解】解：依题意得： ， 解得， 故答案为： ． 【变式2】将下列各式的序号填入相应的大括号中： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧． 单项式：{                                                   …}； 多项式：{                                                   …}； 三次多项式：{                                                   …}； 整式：{                                                   …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了单项式、多项式、三次多项式和整式的定义进行判断；单项式是由数字或字母的积组成的代数式，单独的一个数或字母也是单项式；多项式是几个单项式的和；三次多项式是多项式中最高次项的次数为3；整式是单项式和多项式的统称，据此求解即可． 【详解】解：单项式：{①⑤⑧…}； 多项式：{②③⑦…}； 三次多项式：{⑦…}； 整式：{①②③⑤⑦⑧…}． 【变式3】代数式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． (1)请把上述代数式的序号分别填在相应的圆圈内： (2)其中次数最高的多项式是______次多项式； (3)其中次数最高的单项式的次数是______，系数是______． 【答案】(1)见解析 (2)二 (3)4， 【分析】此题主要考查了多项式以及单项式的相关定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用多项式以及单项式定义分析即可； （2）直接利用多项式的次数的定义分析得出答案； （3）直接利用单项式的次数与系数的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据多项式以及单项式定义可得： （2）解：多项式的次数为：2， 多项式的次数为：1， 多项式的次数为：1， 故次数最高的多项式是二次多项式； （3）解：单项式的次数为1次，系数为， 单项式的次数为0次，系数为， 单项式的次数为4次，系数为， 故次数最高的单项式的次数是4，系数为． 题型九 升幂排列和降幂排列 解｜题｜技｜巧 ☆按某个字母的指数从大到小（降幂）或从小到大（升幂）重新排列多项式 ◎认准按哪个字母进行排列 ◎只移动各项的位置，不改变各项的符号 ◎没有该字母的项（常数项）视为指数为0，通常放在最后 【典例1】把多项式按x进行降幂排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将多项式进行降幂排列． 根据题意，将各项按的指数从大到小排序即可． 【详解】原多项式为 ∵各项按的指数从大到小排序为，，，，， ∴把多项式按x进行降幂排列为． 故选：A． 【典例2】将整式按字母y降幂排列得到 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的降幂排序，熟知降幂排序的定义是解题的关键． 按字母y降幂排列，即按照y的指数从高到低排序即可． 【详解】解：在整式中，各项含y的指数分别为：中y的指数为3， 中y的指数为2，中y的指数为1，中y的指数为0．按y的指数降幂排列为． 故答案为：． 【变式1】已知多项式，按照y的降幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题关键是确定各项中字母的次数，并按的次数从高到低排列各项；对于次数相同的项，按字母的降幂排列，使常数项在最后． 【详解】解：把多项式按y的降幂排列为， ． 故答案为：． 【变式2】小红和小李学习完整式的概念后对下面问题进行探究： 已知关于x 的整式M：，当时，M：，当 时 ，M：，…，n 为正整数，其中，，，…， 为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 小红：若，则n 最大只能为2； 小李：若，，则整式M的三次项的系数为13或14． 其中正确的说法是（    ） A．小红正确，小李错误B．小李正确，小红错误C．都正确 D．都错误 【答案】A 【分析】本题主要考查数字规律和多项式，解题的关键是利用系数递减和差约束推导n的最大值．对于小红的说法，通过系数序列的递减性和相邻差大于3的条件，结合，推导出n最大为2；对于小李的说法，结合给定和，推导三次项系数的范围应为13、14或15． 【详解】解：对于小红： ∵ ，系数为由大到小且小于21的正整数，相邻两数之差大于3． 若，则系数、、满足，且，． ∴，，但，故，，符合条件． 若，则系数序列中（当），与系数小于21矛盾． ∴ n最大为2，小红正确； 对于小李： ∵ ，，且系数递减，相邻差大于3． 若，则，但，，但，则，与系数递减矛盾， ∴ ． 系数序列为、、、、，其中，． ∵， ∴； ∵， ∴． ∴可为13、14或15． 但小李称仅为13或14，漏了15，故小李错误． 故选∶A． 【变式3】已知多项式是关于的五次四项式． (1)求的值； (2)把这个多项式按的降幂排列． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查单项式、多项式，掌握单项式、多项式的系数、次数、项数的定义是正确解答的关键． （1）根据单项式、单项式的次数，项数的定义即可求出m的值； （2）确定多项式的各项，再按照x的降幂排列即可． 【详解】（1）解：因为多项式是关于x，y的五次四项式， 所以． 所以． （2）解：由（1）得， 所以这个多项式为． 所以把这个多项式按x的降幂排列为． 题型十 同类项 解｜题｜技｜巧 ☆所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 ◎判断标准：“两相同”：字母相同，相同字母的指数相同； “两无关”：与系数无关，与字母顺序无关 ◎常数项都是同类项 【典例1】在下列各组单项式中，不是同类项的是（    ） A．和 B．和100 C．和 D．和 【答案】A 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项；常数项也是同类项．再分别检查各选项即可． 【详解】解：∵选项A中，的字母x的指数为2，y的指数为1，而的字母x的指数为1，y的指数为1，相同字母的指数不相同，∴不是同类项； 选项B中，和100都是常数项，∴是同类项； 选项C中，和的字母均为x、y、z，且相同字母的指数分别相同，∴是同类项； 选项D中，和的字母均为a、b、c，且相同字母的指数分别相同，∴是同类项． 因此，不是同类项的是选项A． 故选：A． 【典例2】若与是同类项，则 【答案】5 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可求得m和n的值，从而求得的值． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【变式1】下列各组单项式是同类项的为（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，同类项需满足所含字母相同且相同字母的指数相同，常数项也视为同类项，由同类项的定义逐项分析即可得解，熟练掌握同类项的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、与均只含字母，且的指数均为2，故是同类项，符合题意； B、中只含有，中含有和，字母不同，故不符合同类项，不符合题意； C、是常数，是变量，所含字母不同，故不符合同类项，不符合题意； D、中的指数为，的指数为，中的指数为，的指数为，指数不同，故不符合同类项，不符合题意； 故选：A． 【变式2】若单项式与的和仍是单项式则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项：字母相同，且相同字母的指数分别相同的几个单项式，理解同类项的概念是解题的关键；根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们是同类项，从而根据指数相同列出方程求解． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴它们为同类项， ∴且， 解得，， ∴． 故答案为：3． 【变式3】已知的相反数是，与互为倒数，是绝对值为1的负数，单项式与是同类项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义，同类项的定义，代数式求值． 根据相反数的定义，倒数的定义，绝对值的定义，同类项的定义得到，，，，进而代入计算即可． 【详解】解：∵的相反数是，与互为倒数，是绝对值为1的负数，单项式与是同类项， ∴，，，， ∴ ． 题型十一 合并同类项 解｜题｜技｜巧 ☆把多项式中的同类项合并成一项 ◎法则：系数相加，字母和字母的指数不变 ◎步骤：①准确识别同类项并标记；②移动位置将同类项放在一起；③合并系数；④写出结果 【典例1】下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类项的合并法则，解题的关键是判断各项是否为同类项（字母及字母的指数完全相同），再按“系数相加、字母部分不变”合并． 逐一判断每个选项中的项是否为同类项，再根据合并同类项的规则验证运算是否正确． 【详解】解：合并同类项的规则：只有字母及字母的指数完全相同的同类项才能合并，合并时系数相加，字母部分保持不变． A、与是同类项（字母为、，指数分别为2、1），合并得：，运算正确； B、与所含字母不同，不是同类项，无法合并，运算错误； C、（的指数为2）与（的指数为3）字母指数不同，不是同类项，无法合并，运算错误； D、与所含字母不同，不是同类项，无法合并，运算错误． 故选：A． 【典例2】若与能合并同类项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，代数式求值，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：由于两个单项式能合并同类项， 则x的指数相等：，解得； y的指数相等：，解得， 则， 所以． 故答案为：． 【变式1】下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项的法则，需熟练掌握同类项的定义和合并规则． 根据合并同类项的法则，只有同类项才能合并，系数相加减，字母部分不变．据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A：，错误． 选项B： ，错误． 选项C：，正确． 选项D：和不是同类项，不能合并，错误． 故选：C． 【变式2】若与可以合并成一项，则的值是（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了同类项，求代数式的值，两个单项式可以合并成一项，说明它们是同类项，然后根据同类项的定义：相同字母的指数相等，求出m，n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式3】合并同类项： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据合并同类项的法则计算即可； （2）根据合并同类项的法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二 去括号和添括号 解｜题｜技｜巧 ☆括号前是“+”号，括号内各项符号不变；括号前是“-”号，括号内各项符号改变 ◎去括号：直接应用法则，注意不要漏乘括号内的项 ◎添括号：是去括号的逆过程，法则相同。添括号后，括号前是“-”号的各项要变号 【典例1】下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号法则，括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号；括号前是正号时，直接去掉括号。逐项判断即可。 【详解】∵ 去括号法则：括号前是“”号，去括号后括号内各项都变号；括号前是“”号，去括号后括号内各项不变号。 对于A：，但选项写为 ，错误； 对于B：，但选项写为 ，错误； 对于C：，但选项写为 ，错误； 对于D：，与选项一致，正确。 故选：D. 【典例2】下列各式添括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添括号的规则：括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前是“-”号，括到括号里的各项都变号． 根据规则逐一判断即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确； 故选：D． 【变式1】下列各式中，去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则，熟练掌握“括号前是负号时，去括号后括号内各项要变号”是解题的关键． 根据去括号法则（括号前是“”，去括号后括号内各项要变号），逐一判断每个选项的去括号结果是否正确． 【详解】解：，故A项错误． ，故B项正确． ，故C项错误． ，故D项错误． 故选：B． 【变式2】下列各式中，添括号不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号法则：括号前是正号时，括号内各项符号不变；括号前是负号时，括号内各项符号改变，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则对四个选项逐一进行分析即可，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则． 【详解】解：选项A：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项B：右边，与左边相等，正确故不符合题意； 选项C：右边，但左边是，不相等，错误故符合题意； 选项D：第一个等号右边，与左边相等；第二个等号右边，与左边相等，正确故不符合题意； 故选：C． 【变式3】已知，，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了去括号和添括号法则，以及整体代入法求代数式的值． 将原式去括号并重新组合，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 题型十三 整式的加减运算 解｜题｜技｜巧 ☆实质就是去括号和合并同类项 ◎一般步骤：①有括号先去括号；②找出同类项；③合并同类项 ◎书写规范：通常结果按某个字母降幂排列 【典例1】已知，求 (1) (2)当时，求的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简求值，给出整式中字母的值，求整式的值的问题； （1）先根据，去括号合并同类项化简， （2）代入，求值即可． 【详解】（1）解： （2）解：∵     ∴当时，原式． 【典例2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）通过合并同类项化简式子； （2）先去括号，再合并同类项化简式子． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确掌握整式的加减运算法则是解题关键． 直接去括号，再合并同类项，把，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 【变式2】已知两个整式和，其中，小明在计算的值时，不小心将错看成，得到的结果是． (1)求多项式 (2)当，时，请帮他求出正确的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，先求出的结果，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ， 当，时，． 【变式3】先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)；3 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变． （1）先根据整式加减运算法则进行化简，然后再把数据代入求值即可； （2）先根据合并同类项法则进行计算，然后把数据代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 把代入得： 原式 ． （2）解： ， 把，，代入得： 原式 ． 题型十四 整式加减中的无关型问题 解｜题｜技｜巧 ☆多项式化简后，若含某字母的项的系数为0，则多项式的值与这个字母无关 ◎先将多项式进行化简 ◎合并同类项后，令含某字母的项的系数之和等于0 ◎解出参数的值 【典例1】当 时，多项式中不含项． 【答案】 2 【分析】本题考查“多项式的概念”，理解不含某项代表该项的系数为0是解题关键． 不含项，说明合并同类项后项的系数为0，故，解出k的值即可． 【详解】解：多项式为 ， 合并同类项，项的系数为 ， 令 ，解得 ． 故答案为：2． 【典例2】已知多项式，多项式，代数式． (1)先化简，再求值：当时，求的值； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）易得与的取值无关．可得，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 当时， 原式 （2）解：由（1）得化简后为， ∵多项式的值与的取值无关， ∴与的取值无关． 即，解得． 【变式1】已知是关于x，y的多项式，且该多项式化简后不含二次项，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，多项式化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．根据多项式化简后不含二次项求出的值，然后将所求代数式进行去括号合并同类项，最后代入的值求值即可． 【详解】解： ∵该多项式化简后不含二次项， ∴，， ∴，； ； 当，时， 原式 ． 【变式2】魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 上述的结论正确； （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． 【变式3】已知． (1)化简，并求当时，的值． (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了整式的加减、化简求值和无关型问题，解题的关键是熟练掌握整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据的值与y的取值无关得到关于x的方程，解方程求得x的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以 ， 当时，； （2）解： ， 若的值与的取值无关，则， 解得：， 所以 ． 题型十五 整式加减的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题转化为整式加减的数学模型 ◎表示量：用含字母的式子表示相关量 ◎列式运算：根据题意列出整式并进行加减运算 ◎代入求值：若已知字母的值，代入化简后的式子求最终结果 【典例1】如图所示，1925年数学家莫伦发现的世界上第一个完美长方形，它恰能被分割成10个大小不同的正方形，其中标注1、2的正方形边长分别为x、y，请你计算：第10个正方形的边长 （用含x、y的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了用代数式表示，整式的加减，分别表示出第3，4，5，6，7个正方形的边长，再根据第10个正方形的边长等于第7个正方形的边长分别减去第1和第3个正方形的边长可得答案． 【详解】解：第3个正方形的边长为； 第4个正方形的边长为； 第5个正方形的边长为； 第6个正方形的边长为； 第7个正方形的边长为； 第10个正方形的边长为． 故答案为：． 【典例2】某商场开展春节促销活动出售A、B两种商品，活动方案如下两种： 方案一：商品A每件标价90元，按标价的返还现金；商品B每件标价100元，返利按标价的； 方案二：所购商品一律按标价的返利． (1)某单位购买A商品30件，B商品20件，选用何种方案划算？能便宜多少钱？ (2)某单位购买A商品x件（x为正整数），购买B商品的件数是A商品件数的2倍多1件，该单位选择哪种方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)选方案一，170元 (2)方案二更合算，理由见解析 【分析】本题考查列代数式，有理数的混合运算，整式的混合运算； （1）依据题意分别计算出方案一和方案二的价格，比较大小即可得出结果； （2）依据题意分别用含有x的代数式表示出方案一和方案二的价格，用作差法比较出大小即可. 【详解】（1）解：方案一费用： （元） 方案二费用： （元） ∵， ∴选方案一划算，便宜元. 答：选方案一划算，能便宜170元. （2）解：由题意得：购买B商品件数为件， 方案一费用： . 方案二费用： ∵ 又∵x为正整数 ∴ 即 ∴方案一费用更高，方案二更合算. 【变式1】已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①；②；④．正确的是 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，有理数的四则混合计算，根据数轴可推出，，，据此逐一判断即可． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴，，， ∴，．故①错误，②正确； ，故③错误； ∵， ∴， ∴ ，故④正确； 故答案为：②④． 【变式2】把正整数1，2，3，4…按如图1所示的方式排列，从上到下分别称为第1行，第2行，…，用图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为A，B，C，D，设． (1)在图1中，2025排在第________行第________列； (2)的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由； (3)将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变．此时的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)254，1 (2)的值为定值，这个定值为0 (3)的值不是定值，理由见解析 【分析】本题考查规律型问题，需要用代数式表示出一般规律，并能构建等式通过解简易方程求值，解题的关键是理解题意，探究规律、利用规律解决问题，探究复杂问题中的等量关系． （1）由题意知8个数为一行，每一行的第一个数是行数，后面的数依次加1，由此规律可判断2025所在的位置； （2）根据图表，用含有x的代数式分别表示A、B、C、D，即可得出结论； （3）分A表示的数为奇数或偶数两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：， 故2025在第254行，第1列； 故答案为：254，1； （2）解：是定值． 由题知， ， ∴的值为定值，这个定值为0． （3）解：不是定值．理由： 当x是奇数时， ； 当x是偶数时， . 【变式3】阅读理解：设是一个四位正整数，如果它的千位与十位上的数字之和是9，百位与个位上的数字之和也是9，则称为“长久数”．例如：在2376中，，，故2376是一个“长久数”；但在2375中，，所以2375不是一个“长久数”． (1)判断下列四位数是不是“长久数”，请在横线上填“是”或“不是”； ①1485：_______；②5247：______；③4564：______； (2)设一个“长久数”m的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，判断m是否为99的倍数，并说明理由； (3)如果正整数和满足，则称正整数是立方数，例如：，则27为立方数．已知四位正整数为“长久数”，记，当是立方数时，直接写出所有满足条件的数． 【答案】(1)是；是；不是 (2)是99的倍数；理由见解析 (3)2475或8118 【分析】本题主要考查整式的加减，理解题意是解题的关键． （1）根据“长久数”的定义进行判断即可； （2）根据题意列出算式，再变形，再判断即可； （3）根据（2）可得，再代入的表达式，进而得出答案． 【详解】（1）解：①，，1485是一个“长久数”； ②，，5247是一个“长久数”； ③，4564不是一个“长久数”； 故答案为：是；是；不是． （2）解：是99的倍数，理由如下： ， 为长久数， ，， ， 、为正整数， 为99的倍数． （3）解：2475，8118，理由如下： 由 （2），，其中为千位数字，为百位数字， 则代入的表达式，得， 为立方数， 设， 则， 是9的倍数， 令为正整数）， 则， ， ， ， ， 当时，，则，，则， 当时，，则，，则， 当时，，舍去． 综上，或8118． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项法则，判断各选项计算是否正确，解题的关键是需熟练掌握法则． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．若与是同类项，则的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类项的定义，根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过比较指数求解m和n，再计算． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，（x和y的指数分别相等）， ∴． 故选：C． 3．如图是魔术师在小颖面前表演的经过，小颖任意写了一个数字m，那么魔术师猜中的运算结果应为（    ） A．2 B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出算式，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 4．将1个方格涂黑或涂白有2种涂法，如图1，4个方格中将每个方格涂黑或涂白共有16种不同的涂法．二维码就是利用将方格涂黑或涂白的方式存储信息，如图2，某一版本二维码有200个小方格用于存储信息，则这些小方格共可以储存 种不同的信息． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的定义，解题的关键是掌握乘方的应用及图形的规律． 根据乘方的定义进行求解即可． 【详解】解：将1个方格涂黑或涂白有种涂法， 将2个方格涂黑或涂白有种涂法， 将4个方格涂黑或涂白有种涂法， …， 将200个方格涂黑或涂白有种涂法， 则某一版本二维码有200个小方格用于存储信息，则这些小方格共可以储存种不同的信息， 故答案为：． 5．当，时，代数式的值是 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了代数式求值，直接将和代入代数式进行计算即可． 【详解】解：当， 时， ， 故答案为：108． 6．某数值转换机如图所示，若开始输入的x的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查程序流程图和代数式求值．将代入流程图，进行计算，再与比大小，即可． 【详解】解：输入，则， 输入，则， 所以最后输出的结果是． 故答案为：． 7．化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，整式的加减运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）将原式合并同类项即可； （2）将原式去括号后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 8．如图，用代数式表示下列阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积． 【答案】（1）；；（2）； 【分析】本题考查的是列代数式及求代数式的值，掌握利用面积公式列代数式是解题的关键． 根据图形列出代数式，然后代入求解即可． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积为：， 当，时， 阴影部分的面积为：； 如图所示，将阴影部分分成八个相等的弧形， 1个弧形的面积为：， ∴图（2）中阴影部分的面积为：， 当时，阴影部分的面积为：． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．下列说法正确的是（    ） A．的系数是 B．的次数是3次 C．的常数项是4 D．的二次项是 【答案】C 【分析】本题考查单项式的系数和次数、多项式的项和常数项等概念，掌握单项式系数和次数的定义，多项式各项（包括常数项）的识别是解题的关键，根据单项式系数和次数的定义逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：A．的系数是，故原说法错误； B． 的次数是，故原说法错误； C．多项式 的常数项是4，故原说法正确； D．多项式 的二次项是，故原说法错误． 故选：C． 2．将两张边长分别为和的正方形纸片按图示方式放置在长方形中．若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分（阴影部分）的周长，则一定能求出（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减． 表示出重叠部分的长为，宽为，可知重叠部分的周长为，即可得到答案． 【详解】解：观察图形可知，重叠部分为矩形，长为，宽为， ∴重叠部分的周长为， 若知道长方形的周长和两张正方形纸片重叠部分的周长，即已知的值和的值，则可求出的值． 故选：D． 3．已知实数a，b，c，满足，则的值为（    ） A．1 B．1或3 C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法，求代数的值，绝对值的意义等知识，根据，可知 a、b、c 的符号组合为全正或两负一正，则的值仅取决于a、b、c的符号，分别计算各种情况，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴a、b、c的符号可能为：全正或两负一正， ①全为正数时，则，，， ∴ 原式； ②两个负数一个正数： 若a、b为负，c为正，则，，， ∴ 原式； 若a、c为负，b为正，则，，， ∴原式； 若b、c为负，a为正，则，，， ∴原式， 综上，原式的值为1或， 故选：C． 4．小亮参加骑游活动，骑自行车从A地去B地，他骑前一半路程的平均速度为，骑后一半路程的平均速度为，则小亮骑完全程的平均速度为 【答案】/ 【分析】本题考查了本题行程问题中的平均速度计算． 平均速度等于总路程除以总时间，设总路程为，分别求出前一半路程和后一半路程的时间，再求总时间，最后计算平均速度． 【详解】解：设总路程为，则前一半路程为，后一半路程为， 前一半路程的时间为， 后一半路程的时间为， 总时间为， 平均速度为， ∵， ∴平均速度为． 故答案为：． 5．如图，把七个长和宽分别为的小长方形，放在长方形中，则图中阴影部分的面积为 ．（用含有的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减，能表示出长方形的面积及小长方形的面积是解题的关键． 将阴影部分的面积转化为长方形的面积减去7个小长方形的面积之和即可． 【详解】解：由所给图形可知，长方形的长为：，宽为：， 所以长方形的面积为：， 又因为空白部分为7个小长方形，它们的面积之和为：， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：． 6．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，过程部分如图2所示，则 ． 【答案】41 【分析】根据题意，第一行的左边起的两位数是被平方的数中的十位数字的平方，不足两位用0补齐；后两位数是被平方的数的个位数字的平方，不足两位，用0补齐，第二行中的数字是被平方的数的十位数字与个位数字的积的2倍，两位数字时写在中间，若是三位数时，从左边开始依次百位数字，十位数字，个位数字，后把第一行，第二行数字按照加法竖式计算解答即可． 本题考查了平方计算，数字规律的探索，熟练掌握规律探索是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 或， 故， 或 故答案为：41． 7．有不少青少年不正确的饮食习惯导致肥胖或营养不良，体重指数也称为体质指数，是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，是用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字．但不同年龄、不同性别、不同地区的标准有所区别．对中国12岁的青少年来说，标准如下： 重度营养不良 轻度营养不良 适中 超重 肥胖 男 女 (1)如果一个人的体重是w（公斤），身高h（米），那么他的体质指数怎样表示？ (2)初一（二）班12岁的男生李健体重56公斤，身高米，同年龄的女同学刘菲体重、身高恰好都和李健相同，请你通过计算判断两人分别属于哪一种类型？ 【答案】(1)体质指数为； (2)男生李健超重、女生刘菲适中，过程见解析． 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是正确理解题意读懂表格． （1）根据体质指数是用体重公斤数除以身高米数平方得出的数字求解即可； （2）先求出体质指数，再由表格进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意得，当一个人的体重是w，身高h时，体质指数为； （2）解：体质指数，由表可知，男生李健超重、女生刘菲适中． 8．【定义与规则】我们定义一种“拼接”操作：如下图，从边长为1的正方形（0阶长方形）开始，每次在长方形的外侧拼接一个正方形，得到新的长方形，拼接n次后得到的长方形称为n阶长方形，其宽与长之比（宽长）称为宽长比．已知有两种“拼接”方式：①L操作：在较长边外拼接一个正方形；②S操作：在较短边外拼接一个正方形．特别地，由于0阶长方形的长与宽相等，对其第1次“拼接”，我们记为L操作． 【操作与思考】 【记录与观察】 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 ▲ … （1）表格中的▲处应填________； （2）请写出3阶长方形其他所有可能的操作路径，画出该操作路径下生成的3阶长方形，并写出其宽长比； 【归纳与应用】 （3）4阶长方形的宽长比有________个，宽长比为的长方形操作路径为________（用L和S表示）； （4）若一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为________． 【答案】（1）；（2）①，宽长比为，②，宽长比为，图见解析；（3）8，；（4）或． 【分析】本题考查了图形规律，充分理解题意，并适当运用数形结合思想进行分析是解题的关键． （1）理解题意，观察【记录与观察】中的数值，得当阶数3阶，操作路径为，则宽长比是，即可作答． （2）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （3）理解题意，作图，再进行总结，即可作答． （4）结合前面三小问的结论进行分析，再得出当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为或． 【详解】解：（1）∵从边长为1的正方形（0阶长方形）开始， 观察【记录与观察】中的数值，当阶数是3阶，操作路径为， 则宽是，长是， 则宽长比是， 即表格中的▲处应填； （2）依题意，如图所示： ①，宽长比为， ②，宽长比为， （3）依题意，如图所示： 4阶长方形的宽长比有8个，宽长比为的长方形操作路径为（用L和S表示）； （4）依题意，则观察如下表格： 阶数 1阶 2阶 2阶 3阶 3阶 … 操作路径 L … 宽长比 … 结合（3）得宽长比为的长方形操作路径为，宽长比为的长方形操作路径为， 故当一个k（k为正整数）阶长方形的宽长比为，则阶长方形的宽长比为或． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．若，，且，则的值是（ ） A．或2 B．或12 C．或 D．12或2 【答案】D 【分析】本题考查了求代数式的值、绝对值，由，得到，，由得到，进而得到且，再分2种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴且， 当，时，； 当，时，； ∴综上，的值是12或2． 故选：D． 2．已知，从y、z、m、n中随机取两个字母作差，记为A，将剩下两个字母作差后取绝对值，记为B；再对进行化简运算，称此为“差和操作”，例如：为一次“差和操作”，为“差和操作”的一种运算结果，下列说法： ①存在两种“差和操作”运算结果的和为； ②不存在两种“差和操作”运算结果的差为； ③所有的“差和操作”共有4种不同运算结果．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减运算，需列举所有“差和操作”可能的结果，并验证三个说法的正确性；通过分析，存在两种结果和为，不存在两种结果差为，且有5种不同结果，故说法①和②正确，说法③错误． 【详解】解：从y、z、m、n中选两个作差记为A，剩下两个作差取绝对值记为B，计算，共有12种情况，化简后得到5种不同结果： ∵ ， ， ， ， ， 对于说法①：取和， ∵， ∴说法正确； 对于说法②：计算任意两结果差，均无， 例如等， ∴说法正确； 对于说法③：有5种不同结果，非4种， ∴说法错误； 综上，正确说法有2个． 故选：C． 3．如果整式与整式的和为一个常数，我们称A，B为常数的“和谐整式”，例如：和为常数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”（其中为常数），则的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据和谐整式的定义，两个整式的和应为常数，因此和表达式中的系数必须为零，由此求出，再代入常数项求． 【详解】解：∵整式与的和为的和为常数， ∴， 解得：， 代入常数项得， 故答案为：． 4．已知代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】 11 【分析】本题考查“代数式求值”，找到已知式子与所求式之间的关联，通过整体思想代入求值是解题关键． 由已知，得，通过等式的性质，整理得到，代入所求代数式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 故答案为：11． 5．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴与绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数，绝对值化简，整式的加减，是解本题的关键． 根据数轴上点的位置判断出绝对值里面式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴得：，， ∴，， ∴原式 ． 故答案为：． 6．一个数m，用m的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，若是17的倍数，称m为“银杏智慧数”．比如：数字233488，这个数末三位是488，末三位以前是233，则，因为，所以233488是“银杏智慧数”．再比如：数字51，这个数末三位是51，末三位以前是0，则，因为，所以51是“银杏智慧数”．若整数（其中，且n为整数）是“银杏智慧数”，则 ．若p为“银杏智慧数”，且，（，，且x、y均为整数），则的最大值为 ． 【答案】 153 782 【分析】本题主要考查整式的加减运算，解题的关键是理解“银杏智慧数”的定义；由题意易得，且是17的倍数，然后可求解；由可知这个整数的末三位是，进而根据“银杏智慧数”可进行求解． 【详解】解：由题意得：整数（其中，且n为整数）最大也是三位数， ∵m是“银杏智慧数”， ∴，且是17的倍数， ∴当时，符合题意，此时； ∵，其中，，且x、y均为整数， ∴是千位为1的四位数， ∴其末三位数字组成的数为， ∵p为“银杏智慧数”， ∴，且是17的倍数， 要使的值为最大，则需满足x、y为最大， ∴当时，符合题意， ∴的最大值为782； 故答案为：153；782． 7．已知：，． (1)计算的表达式； (2)若代数式值与字母x的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减以及运算后与某系数无关的问题，解题的关键是将代数式进行化简，通过最终的化简结果进行判断． （1）根据题意将、代入，再去括号合并同类项即可得到答案； （2）先将代数式进行化简，然后根据代数式的值与字母的取值无关，所以含的项的系数是0，据此求出、的值，再代入的代数式求值即可． 【详解】（1）解： （去括号） （合并同类项） 故的表达式为． （2）解： （去括号） （合并同类项） 若其最终值与的取值无关，则、， 解得，， 代入， 故代数式的值为． 8．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，学习以上内容解决问题： (1)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、1，若A、B两点之间的距离为5，那么x的值为______； (2)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y． ①的最小值为______； ②且x为整数，求的最大值； (3)若数轴上A、B两点表示的数分别为x、y，O为原点，当，时，动点P、Q分别从点A、点B出发，动点R从原点O同时出发，均沿着数轴向右匀速运动，点P的速度为每秒3个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，点R速度为每秒个单位长度．记点P与点R之间的距离为，点A与点Q之间的距离为，点O与点R之间的距离为，设运动时间为t秒，请问，是否存在n的值，使得在运动过程中，的值是定值？若存在，请求出n的值和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)①；②； (3)不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的几何意义，数轴上的动点问题，整式的无关型问题等，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式求解即可； （2）①表示数到和的距离之和，当数在和之间时，有最小值，即可求解； ②由①可知，当时，的最小值为，同理可得，当时，的最小值为，再分两种情况讨论：若，则，此时，求出的值，再代入计算最大值；若，则，不符合题意，即可得解； （3）设运动时间为t秒，由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，，则，，再分两种情况求解：当时，点在点右侧，此时；当时，点在点左侧，此时，分别代入合并化简，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：或， 故答案为：或； （2）解：①表示数到和的距离之和， 当时，有最小值，最小值为， 故答案为：； ②由①可知，当时，的最小值为， 同理可得，当时，的最小值为， ，且x为整数， 若，则，此时， 的最小值为， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 此时，的最大值为； 若，则，不符合题意， 综上可知，的最大值为； （3）解：存在n的值，使得在运动过程中的值是定值， 设运动时间为t秒， 由题意可知，动点P、Q、R表示的数分别为、，， ，， 当时，点在点右侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 对于所有，不成立，不符合题意； 当时，点在点左侧，此时， ， 的值是定值， ， 解得：， 当，时，不成立，舍去， 综上可知，不存在n的值，使得在运动过程中的值是定值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $