专题04相交线和平行线（期末复习讲义）（知识点总结+1个易错警示+9大题型+巩固练习）2025-2026学年华东师大版七年级数学上学期

该初中数学讲义以“相交线和平行线”为核心，通过表格系统梳理7个核心考点，明确复习目标、考察形式及高频易错点，配合知识脉络图谱直观呈现知识内在联系，突出垂线性质、平行线判定与性质等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如垂线作图强化几何直观，培优题型如平行线与角平分线综合培养推理意识，压轴题型如光的折射跨学科问题提升模型意识。每个题型配例题及变式，帮助不同层次学生掌握方法，教师可据此实施精准复习教学。

专题04 相交线和平行线 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1.相交线的定义与特征 1.理解同一平面内两直线相交的定义及公共点特征；2.能识别相交线形成的角 选择、填空、作图 ★★ 忽略“同一平面内”的前提；混淆相交与重合的关系 2.对顶角与邻补角 1.掌握对顶角“两边反向延长、相等”的性质；2.理解邻补角“共边、反向延长线、互补”的特征 选择、填空、角度计算 ★★ 1.误将非反向延长线的角视为对顶角； 2.忽略邻补角“互补”的数量关系 3.垂线与垂线段 1.掌握垂线的定义、画法及“过一点有且只有一条垂线”的性质；2.理解垂线段最短及点到直线的距离定义 选择、填空、作图、实际应用 ★★★ 1.点到直线的距离误取斜线段长度； 2.忽略“同一平面内”画垂线的前提 4.同位角、内错角、同旁内角 能准确识别“三线八角”中的三类角，掌握其位置特征 选择、填空、角度推理 ★★★ 1.混淆三类角的位置特征（如将“Z”型内错角误判为同位角）； 2.未找准截线与被截线 5.平行线的判定 熟练运用“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”判定两直线平行 解答题、证明题、角度推理 ★★★ 1.颠倒角的关系与平行的判定逻辑；2.未明确截线与被截线导致“张冠李戴” 6.平行线的性质 掌握“两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的性质 解答题、证明题、角度计算 ★★★ 1.未证平行直接用性质推导角的关系； 2.混淆性质与判定的应用场景 7.平行线的应用 能运用平行线知识解决生活情境、折叠、跨学科（如光的折射）问题 解答题、探究题、情境题 ★★★★ 1.不会构造辅助线转化复杂图形； 2.无法将实际问题抽象为几何模型 易错类型：平行线判定与性质应用颠倒 易错警示： 已知两直线平行，却用“同位角相等”等判定定理推导角的关系）； 已知角的相等/互补关系，却用“两直线平行，同位角相等”等性质定理证明平行； 推理过程中未标注依据，导致逻辑混乱。 【题型1】平行线判定与性质的综合推理 避错要点： 明确逻辑关系：“角的数量关系（相等/互补）→两直线位置关系（平行）”用判定定理；“两直线位置关系（平行）→角的数量关系（相等/互补）”用性质定理； 推理时严格标注依据，格式规范； 复杂推理中，用箭头梳理“条件→结论”的推导路径； 遇到“先判定平行，再用性质”的综合题，可分两步标注：先写判定依据，再写性质依据。 【例题1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质进行解答即可； 图①中根据平行线的性质得到，图②中根据平行线的性质得到及，进而得到． 【详解】（1）解：图①中与的数量关系为：， 图②中与的数量关系为：， 故答案为：；； （2）解：选题图①： 证明：， ． ， ， ； 选题图②：， 证明：， ， ， ， ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， ， 平分， ， ， ． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【基础必考题型】 【题型2】垂线的作图与点到直线的距离计算 1.核心知识点： 垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（）时，这两条直线互相垂直，记作； 垂线的画法：一靠（三角尺一条直角边靠在已知直线上）、二移（移动三角尺使已知点落在另一条直角边上）、三画（沿直角边画直线）； 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 2.解题方法技巧： 过直线上一点画垂线时，三角尺的直角顶点与该点重合；过直线外一点画垂线时，确保垂线段垂直于已知直线； 计算点到直线的距离时，先找到垂线段（需验证垂直关系，即夹角为），再测量或通过坐标计算其长度； 注意：线段的垂线可能与线段的延长线相交，此时垂足在线段延长线上，点到直线的距离仍为垂线段的长度。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直、对顶角、在几何中计算角的问题等，关键是掌握对顶角相等，垂直的定义．先通过对顶角求出，再通过垂直求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型3】平行线的基础判定 1.核心知识点： 判定定理1：同位角相等，两直线平行； 判定定理2：内错角相等，两直线平行； 判定定理3：同旁内角互补，两直线平行。 2.解题方法技巧： 第一步：找出图中与判定定理相关的角（同位角、内错角、同旁内角）； 第二步：验证角的关系（相等或互补），可通过对顶角相等、邻补角互补转化已知角； 第三步：明确“哪两条直线被哪条直线所截”，得出平行结论，并标注判定依据； 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，能使 的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，能判断，故符合题意； B、，能判断，不能判断，故不符合题意； C、，能判断，不能判断，故不符合题意； D、，不能判断，故不符合题意． 故选：A． 【变式题3-2】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行；B；同旁内角互补，两直线平行；B；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握三个判定是解决问题的关键． 【详解】解：由，可判断直线， 理由是内错角相等，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同旁内角互补，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同位角相等，两直线平行． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图①，直线，相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)如图②，点F在上，直线经过点F，平分，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识，解题的关键是∶ （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答． （2）由已知条件和对顶角相等得出，根据邻补角定义求出，根据角平分线定义求出，则可证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型4】平行线间距离的应用（面积计算） 1.核心知识点： 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，性质：平行线间的距离处处相等； 2.解题方法技巧： 确定两条平行线，过其中一条直线上的点作另一条直线的垂线段，该垂线段的长度即为平行线间的距离； 平行四边形中，无论以哪条边为底，高均为平行线间的距离，可灵活选择底和高简化计算； 三角形与平行四边形同底且在两条平行线之间时，三角形面积是平行四边形面积的一半（因高相等）； 【例题4】.（25-26七年级上·江苏南京·期中）用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的图形分割，作平行性等知识，根据正方形的边长为6，得到正方形面积为36，割成3个面积相等的图形可得每个图形的面积为12．方法一：把正方形的对边分为长为2的三条线段，作三个长方形即可；方法二：在正方形左右两侧各作一个直角边分别是4和6的直角三角形，问题得解﹒ 【详解】解：将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形，分法如图所示： 【变式题4-1】.（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 【题型5】平行线与角平分线的综合计算（多步推理） 1.核心知识点： 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线（若平分，则）； 角度的和差与等量代换。 2.解题方法技巧： 设角平分线分成的相等角为，用含的代数式表示与该角相关的角（如对顶角、邻补角、平行线对应的角）； 利用平行线的性质建立角之间的等式（如两直线平行，同旁内角互补列方程）； 求解的值后，代入代数式推导目标角的度数； 关键：标注角平分线的等量关系，避免漏用“角平分线分角相等”的条件。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，平分，若，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行线的性质得到，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，直线、相交于点O，，作射线，平分，且在的内部． 求证：平分． 证明：∵平分，（ ） （ ） （ ） 即 （ ） = （ ） 平分（ ）． 【答案】已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差，对顶角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，角的和差，对顶角相等等知识，逐个分析求解即可． 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）． （垂直的定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，，平分．是线段上一点，连接，如果，问平行吗？说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，根据平行线的性质可知，根据角平分线的定义可知，根据同旁内角互补，两直线平行可证． 【详解】解：，理由如下： ，， ， 平分， ， ∵， ， ． 【变式题5-3】.（18-19七年级下·辽宁大连·期末）已知：如图，，点P是射线上一动点（与点C、点D不重合），分别平分和交射线于点E、F． (1)当时，求的度数； (2)随着点P的移动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由． (3)若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到，进而得出，进而完成解答； （3）同理（1）求出，根据，易证，再根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6】折叠问题与平行线结合（动手操作型） 1.核心知识点： 折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等（如折叠后，）； 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 平角的定义（）。 2.解题方法技巧： 折叠后在图中用铅笔标注对应角，明确相等的角（如折叠点为，折叠后）； 若存在平行线，过折叠点作平行线的辅助线，或利用平行线的性质将折叠后的角转化为已知角； 结合平角（）或周角（）的定义列方程，求解未知角； 示例：将长方形纸片沿折叠，，若，则（折叠性质），由得（同旁内角互补），故。 【例题6】.（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方形中的翻折问题，平行线的性质，解题的关键是掌握长方形的性质和翻折的性质． 由四边形是长方形，可得，又，故，根据将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，即得，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置上，与的交点为，若，则的度数为 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 根据，可得，根据翻折的性质得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由长方形纸片可知：， ， 由翻折的性质得：， ， ， 故答案为： 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 【压轴创新题型】 【题型7】跨学科结合：光的折射与平行线 1.核心知识点： 光的折射规律：光从空气斜射入其他介质时，入射角等于反射角（，为入射角，为反射角）； 平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 平角的定义（）。 2.解题方法技巧： 从光的折射示意图中提取已知条件：入射角=反射角，标注相等的角； 若题干给出“折射光线平行”，利用平行线的性质推导入射角或反射角的度数（如折射光线，则，结合入射角=反射角求解）； 若已知入射角，需证明折射光线平行，先利用入射角=反射角转化角的关系，再用平行线的判定定理证明（如，，且，则，故）； 关键：将物理中的折射规律转化为数学中的角相等关系，再结合平行线知识解题。 【例题7】.（24-25七年级下·广东韶关·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图所示，建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，即，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，即与相交于点B． (1)请直接写出所有的邻补角： ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查邻补角，平行线的性质，熟练掌握邻补角定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据邻补角定义求解即可； （2）先由平行线的性质求出，再由求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵与有公共边，公共顶点B； 与有公共边，公共顶点B； ∴与是邻补角，与是邻补角； ∴∠2的邻补角为、． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，方位角有关的计算，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意得，，则由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）过点C作，过点D作，则，由平行线的性质可得，，则可求出，得到，证明，得到，则； （3）过点F作，过点E作，则，由平行线的性质得到，，证明，得到，设，则，由角平分线的定义可得，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时小明在营地A的北偏东方向； （2）解：如图所示，过点C作，过点D作， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点F作，过点E作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点G， ∴，， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）①见解析；②相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）过点E作，利用平行线性质和判定推出，即可得到之间的数量关系； （2）①根据垂直定义，以及光线的入射角等于反射角，即可导角推出； ②由（2）的结论得∶，即，再结合（1）的结论得∶，即可推出与的数量关系． 【详解】解∶ （1）之间的数量关系是∶ ， 理由如下∶ 过点E作， 如图所示∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）①理由如下∶ ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是∶， 理由如下∶ 由（2）的结论得∶， ∴， ∵， 由（1）的结论得∶， ∴． 【变式题7-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为______； (2)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形两锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 【题型8】多拐点平行线的角度探究（构造辅助线） 1.核心知识点： 平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（若，，则）； 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、同旁内角互补）； 过拐点作辅助线的方法。 2.解题方法技巧： 多拐点问题（如“Z”型、“M”型、“锯齿”型），每遇到一个拐点，作一条与已知平行线平行的辅助线； 辅助线的作用：将多拐点图形转化为多个“两直线平行”的基本图形，利用平行线的性质推导角的关系； 规律总结：①“Z”型（一个拐点）：；②“M”型（两个拐点）：；③个拐点的“锯齿”型：所有向左的角之和=所有向右的角之和； 示例：过拐点作，过拐点作，由得，再利用内错角相等推导，，，故。 【例题8】.（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得； 对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案； 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案. 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下： ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 【探究】， 理由如下： 过E向右作, ∵, ∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴. ∵ 180°， 即 综上可知，,或 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵ 已知， ∴ 平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 【变式题8-2】.（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论，是解题关键． （1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点K，根据，，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）过点P作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长交于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 综上所述，或． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 【题型9】分类讨论：平行线间的动态角（探究型） 1.核心知识点: 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 动态角的两种常见形式（点在线上运动、射线旋转）； 分类讨论思想（按动点位置、旋转角度范围分类）。 2.解题方法技巧: 先确定动态元素的运动/旋转范围，标注临界位置（如动点与拐点重合、旋转角为）； 按临界位置分类，每类画出静态图形，用含变量的代数式表示相关角； 利用平行线性质建立角的等量关系，求解变量或推导角度关系，验证结论合理性。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中，，，，，小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：        (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，如图2，当点在上时，的度数为_____； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，求度数． (2)如图3，点在上，边在上，的边在直线上，点落在与之间．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，且，当与平行时，_____秒． 【答案】(1)；的度数为或 (2)或 【分析】本题考查直角三角形的角度计算、平行线性质和判定， （1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可； （2）延长交于，由与平行时， ，结合，根据的位置分两种情况求解即可． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， 过点作， ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）当时，如图3-1，延长交于，过点作， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴（秒） 当时，如图3-2，延长交于，过点作， 同理可得：， ， ， ∴， ， ∴旋转度数为， ∴， 综上所述：或 【变式题9-1】.（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒， ②当时，分别延长和交于点I，交于点，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得：； 延长，交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当， 同理可得， 解得：； 当， 同理可得：， 解得：； 同理可得：， 解得：． 综上可得：t的值为． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？（直接写出答案） 【答案】(1)90 (2)①；②5，35或65 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握平行线的判定和性质以及分类讨论的数学思想． （1）过点作，利用平行线的性质，找出相等角，再利用角的和差计算即可； （2）①利用平行线的性质得出，利用角平分线的性质得出，最后利用角的和差计算即可； ②根据题意先计算出的取值范围，然后分三种情况进行讨论，利用平行线的判定定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ∴， ， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴； ②射线旋转一周所用的时间为， ∴， 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 综上，或或． 重点 重点1：对顶角与邻补角的定义及性质（对顶角相等、邻补角互补），是角度计算的基础，需熟练掌握“两线四角”模型的角度关系； 重点2：垂线的定义、画法、性质（过一点有且只有一条垂线、垂线段最短）及点到直线的距离的定义，是解决最短路径和距离问题的关键； 重点3：三线八角的识别方法，需准确找准截线与被截线，掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特征； 重点4：平行线的判定定理与性质定理，是本章核心内容，需明确“角的关系→线平行”（判定）和“线平行→角的关系”（性质）的逻辑区别； 重点5：辅助线的构造方法（如过拐点作平行线、过一点作垂线），是解决复杂图形问题的重要工具； 重点6：实际问题与跨学科问题的抽象能力，能将生活情境、物理现象转化为几何模型，运用平行线知识解决。 难点 难点1：复杂图形中三线八角的识别，易受多余线段干扰，需掌握“分离核心图形”的方法； 难点2：平行线判定与性质的综合应用，容易颠倒逻辑关系，需通过标注推理依据强化逻辑思维； 难点3：多拐点、动点问题的处理，需具备分类讨论思想和构造辅助线的能力，避免漏解； 难点4：将实际问题抽象为几何模型，需结合情境提取关键信息（如平行关系、角度条件），建立数学与实际的联系； 难点5：平行线中角平分线模型的规律探究，需通过特殊到一般的推理，总结模型结论并灵活应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查直线相交交点个数、对顶角定义、射线定义、两点距离定义、线段中点定义，需根据相关知识逐一判断各说法正确性. 【详解】解：①三条直线相交可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，①不正确； ②相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形底角相等但不是对顶角，②不正确； ③射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，端点不同，③不正确； ④连接两点间的线段是图形，而两点距离是线段的长度，④不正确； ⑤当点A、B、C不在同一直线上时，但B不是中点，⑤不正确； ∴所有说法均不正确，共5个， 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·吉林白城·月考）直线被直线所截，与是同旁内角，若，且与不平行，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质．两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立．由于直线与不平行，同旁内角和不一定互补，因此无法根据的度数确定的度数． 【详解】解：∵与不平行， ∴同旁内角和不一定满足， ∴仅知，无法确定的度数． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若与是对顶角，且，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角的性质回答即可． 【详解】解：∵ 与 是对顶角， ， 又， ∴ ． 故答案为 70． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，若°，则的度数为 ； 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角的定义，解题的关键是利用对顶角相等转化的位置，再结合平行线的性质求． 由对顶角相等得的对顶角为；根据，该对顶角与互为同旁内角，计算的度数． 【详解】解：的对顶角与相等，故该对顶角为， ∵直线， ∴该对顶角与互为同旁内角， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是的角平分线，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，最后再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差，数形结合是解题的关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北张家口·月考）请将下面的证明过程补充完整． （1）已知：如图，直线，被直线l所截，，． 求证：． 证明：∵______°， （已知）． ∴______°， ∵（已知），∴______． ∴（                ）． （2）如图：已知，，求证：． 证明：∵ （已知）， ∴（                ）， 又∵（已知）， ∴____（               ）， ∴（                ）． 【答案】（1）180；70；3；同位角相等，两直线平行 （2）两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定，邻补角的定义，逐个分析求解即可． （2）根据平行线的判定与性质，逐个分析求解即可． 【详解】（1）证明：∵， （已知）． ∴， ∵（已知）， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：180；70；3；同位角相等，两直线平行． （2）∵ （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 12．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，邻补角互补，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据结合图形可得，根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）先求得进而根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：，， ； （3）解：当时， ， 平分， ， ． 13．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角的平分线的定义等知识点，掌握各角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据补角的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义表示出、，再根据补角的定义整理即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴． （2）∵射线、分别是、的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：因为，， 所以，． 又因为平分， 所以， 所以． 即． 15．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，． (1)求证：； (2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，K是上一点，连接，作平分，若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义及垂直的定义，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）先根据两条直线平行的性质得出，，再根据与的角平分线交于点，可得，进而根据垂直的定义及平行线判定定理即可证明； （3）根据直角三角形的性质求出，根据角的和差及邻补角定义求出，根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相交线和平行线 核心考点 复习目标 考察形式 难度星级 高频易错点 1.相交线的定义与特征 1.理解同一平面内两直线相交的定义及公共点特征；2.能识别相交线形成的角 选择、填空、作图 ★★ 忽略“同一平面内”的前提；混淆相交与重合的关系 2.对顶角与邻补角 1.掌握对顶角“两边反向延长、相等”的性质；2.理解邻补角“共边、反向延长线、互补”的特征 选择、填空、角度计算 ★★ 1.误将非反向延长线的角视为对顶角； 2.忽略邻补角“互补”的数量关系 3.垂线与垂线段 1.掌握垂线的定义、画法及“过一点有且只有一条垂线”的性质；2.理解垂线段最短及点到直线的距离定义 选择、填空、作图、实际应用 ★★★ 1.点到直线的距离误取斜线段长度； 2.忽略“同一平面内”画垂线的前提 4.同位角、内错角、同旁内角 能准确识别“三线八角”中的三类角，掌握其位置特征 选择、填空、角度推理 ★★★ 1.混淆三类角的位置特征（如将“Z”型内错角误判为同位角）； 2.未找准截线与被截线 5.平行线的判定 熟练运用“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”判定两直线平行 解答题、证明题、角度推理 ★★★ 1.颠倒角的关系与平行的判定逻辑；2.未明确截线与被截线导致“张冠李戴” 6.平行线的性质 掌握“两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的性质 解答题、证明题、角度计算 ★★★ 1.未证平行直接用性质推导角的关系； 2.混淆性质与判定的应用场景 7.平行线的应用 能运用平行线知识解决生活情境、折叠、跨学科（如光的折射）问题 解答题、探究题、情境题 ★★★★ 1.不会构造辅助线转化复杂图形； 2.无法将实际问题抽象为几何模型 易错类型：平行线判定与性质应用颠倒 易错警示： 已知两直线平行，却用“同位角相等”等判定定理推导角的关系）； 已知角的相等/互补关系，却用“两直线平行，同位角相等”等性质定理证明平行； 推理过程中未标注依据，导致逻辑混乱。 【题型1】平行线判定与性质的综合推理 避错要点： 明确逻辑关系：“角的数量关系（相等/互补）→两直线位置关系（平行）”用判定定理；“两直线位置关系（平行）→角的数量关系（相等/互补）”用性质定理； 推理时严格标注依据，格式规范； 复杂推理中，用箭头梳理“条件→结论”的推导路径； 遇到“先判定平行，再用性质”的综合题，可分两步标注：先写判定依据，再写性质依据。 【例题1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，试证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角求出的度数，得到，根据同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）已知一个角的两边分别与另外一个角的两边互相平行，那么这两个角的大小有什么关系呢？小明根据题意设计了如下的试题：已知，，试判断下列两个图中与的数量关系． (1)填空：图①中______；图②中：______． (2)请选择（1）中的一条结论进行证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质进行解答即可； 图①中根据平行线的性质得到，图②中根据平行线的性质得到及，进而得到． 【详解】（1）解：图①中与的数量关系为：， 图②中与的数量关系为：， 故答案为：；； （2）解：选题图①： 证明：， ． ， ， ； 选题图②：， 证明：， ， ， ， ． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)猜想与的位置关系并证明； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据，得到，进而得到，即可证明； （2）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质得到，即可解题． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， ， 平分， ， ， ． 【变式题1-3】.（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 【基础必考题型】 【题型2】垂线的作图与点到直线的距离计算 1.核心知识点： 垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（）时，这两条直线互相垂直，记作； 垂线的画法：一靠（三角尺一条直角边靠在已知直线上）、二移（移动三角尺使已知点落在另一条直角边上）、三画（沿直角边画直线）； 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 2.解题方法技巧： 过直线上一点画垂线时，三角尺的直角顶点与该点重合；过直线外一点画垂线时，确保垂线段垂直于已知直线； 计算点到直线的距离时，先找到垂线段（需验证垂直关系，即夹角为），再测量或通过坐标计算其长度； 注意：线段的垂线可能与线段的延长线相交，此时垂足在线段延长线上，点到直线的距离仍为垂线段的长度。 【例题2】.（24-25七年级下·全国·周测）如图，轩轩同学家在点P处，他想尽快赶到公路边接来家里做客的小伙伴，他选择沿线段PC去公路边．他的这一选择运用到的数学知识是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据题意可直接进行求解． 本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【变式题2-1】.（24-25七年级下·陕西商洛·期末）如图，直线与相交于点，于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直、对顶角、在几何中计算角的问题等，关键是掌握对顶角相等，垂直的定义．先通过对顶角求出，再通过垂直求出，然后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级上·河北石家庄·月考）如图，，点B，O，D在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，与余角、补角相关的计算． 由，可得，结合已知可得，由点B，O，D在同一条直线上，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点B，O，D在同一条直线上， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题2-3】.（24-25七年级下·吉林白山·期中）如图，直线、相交于点，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质等知识；根据角平分线的意义、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【题型3】平行线的基础判定 1.核心知识点： 判定定理1：同位角相等，两直线平行； 判定定理2：内错角相等，两直线平行； 判定定理3：同旁内角互补，两直线平行。 2.解题方法技巧： 第一步：找出图中与判定定理相关的角（同位角、内错角、同旁内角）； 第二步：验证角的关系（相等或互补），可通过对顶角相等、邻补角互补转化已知角； 第三步：明确“哪两条直线被哪条直线所截”，得出平行结论，并标注判定依据； 【例题3】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知直线被直线所截，．请说明的理由，用“内错角相等，两直线平行”或“同位角相等，两直线平行”进行说理的过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平角的定义可求出的度数，根据内错角相等，两直线平行即可推出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，能使 的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，能判断，故符合题意； B、，能判断，不能判断，故不符合题意； C、，能判断，不能判断，故不符合题意； D、，不能判断，故不符合题意． 故选：A． 【变式题3-2】.（2025七年级上·江苏连云港·专题练习）如图所示， 由，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 由___________，可判断直线， 理由是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行；B；同旁内角互补，两直线平行；B；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握三个判定是解决问题的关键． 【详解】解：由，可判断直线， 理由是内错角相等，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同旁内角互补，两直线平行． 由，可判断直线， 理由是同位角相等，两直线平行． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）如图①，直线，相交于点O，平分，且． (1)求的度数； (2)如图②，点F在上，直线经过点F，平分，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定、角平分线定义、角的互余关系等知识，解题的关键是∶ （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据对顶角相等解答． （2）由已知条件和对顶角相等得出，根据邻补角定义求出，根据角平分线定义求出，则可证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， 又， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型4】平行线间距离的应用（面积计算） 1.核心知识点： 平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，性质：平行线间的距离处处相等； 2.解题方法技巧： 确定两条平行线，过其中一条直线上的点作另一条直线的垂线段，该垂线段的长度即为平行线间的距离； 平行四边形中，无论以哪条边为底，高均为平行线间的距离，可灵活选择底和高简化计算； 三角形与平行四边形同底且在两条平行线之间时，三角形面积是平行四边形面积的一半（因高相等）； 【例题4】.（25-26七年级上·江苏南京·期中）用两种不同的方法将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形．(要求：只需画出示意图，并在所画的图中标出必要的数据) 【答案】见详解 【分析】本题考查了正方形的图形分割，作平行性等知识，根据正方形的边长为6，得到正方形面积为36，割成3个面积相等的图形可得每个图形的面积为12．方法一：把正方形的对边分为长为2的三条线段，作三个长方形即可；方法二：在正方形左右两侧各作一个直角边分别是4和6的直角三角形，问题得解﹒ 【详解】解：将边长为6的正方形分割成3个面积相等的图形，分法如图所示： 【变式题4-1】.（2025·湖南娄底·三模）如图，在中，点在直线上，点、在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．在点运动过程中，的面积随着的增大而 .（填“增大”、“保持不变”或“减小”） 【答案】保持不变 【分析】本题考查三角形的面积、平行线的性质，掌握三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等是解题的关键．根据三角形的面积公式及平行线之间的距离处处相等判断即可． 【详解】解：设平行线与之间的距离为，则， 而， ， 在点运动过程中，的面积随着的增大而保持不变． 故答案为：保持不变． 【变式题4-2】.（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，梯形中，，对角线交于点O，若的面积是4，，那么的面积＝ ，若的面积等于1，的面积是4，则的面积＝ ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线间的距离相等是解题的关键． 根据平行线间的距离相等得到，即可求解的面积，再由平行线间的距离相等得到，然后由． 【详解】解：过点分别作，垂足为 ∵ ∴， ∴， ∵的面积是4，， ∴， ∴； 过点作直线的垂线，垂足为， ∵ ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：12，3． 【变式题4-3】.（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图①，已知，点A、B在上，点C、D在上，由“两条平行线的所有公垂线段都相等”可得到三角形与三角形的面积相等（即“同底等高的两个三角形的面积相等”）；反之，若三角形与三角形的面积相等，则“根据平行线的判定方法”也可得到． 利用以上知识解答以下问题： 如图②，已知，，P，Q分别是线段上的点，，，E，F分别是线段上的点，，，连接，若三角形的面积是4． (1)求证：三角形的面积为12； (2)求四边形的面积； (3)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． （1）连接交于O，连接，根据和等高（分别以为底），得到； （2）同理可得，再根据题意证明，得到，进而证明，则； （3）如图所示，连接，先求出，，即，则，同理可证，则可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，连接交于O，连接， ∵，和等高（分别以为底）， ∴； （2）解：同理可得； ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴； （3）证明：如图所示，连接， 由（1）得，， ∴， ∴， 同理可证， ∴． 【题型5】平行线与角平分线的综合计算（多步推理） 1.核心知识点： 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线（若平分，则）； 角度的和差与等量代换。 2.解题方法技巧： 设角平分线分成的相等角为，用含的代数式表示与该角相关的角（如对顶角、邻补角、平行线对应的角）； 利用平行线的性质建立角之间的等式（如两直线平行，同旁内角互补列方程）； 求解的值后，代入代数式推导目标角的度数； 关键：标注角平分线的等量关系，避免漏用“角平分线分角相等”的条件。 【例题5】.（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，平分，若，则的度数等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由平行线的性质得到，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26七年级上·福建泉州·期中）如图，直线、相交于点O，，作射线，平分，且在的内部． 求证：平分． 证明：∵平分，（ ） （ ） （ ） 即 （ ） = （ ） 平分（ ）． 【答案】已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差，对顶角相等，掌握知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义，角的和差，对顶角相等等知识，逐个分析求解即可． 【详解】证明：平分（已知）． （角平分线的定义）． ，（已知）． （垂直的定义）， （等式的基本性质）． 即（角的和差的定义 ）． （对顶角相等）， （等量代换）， 平分（角平分线的定义）． 故答案为：已知；角平分线的定义；；垂直的定义；对顶角相等；；等量代换；角平分线的定义． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，已知，，平分．是线段上一点，连接，如果，问平行吗？说明理由． 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，根据平行线的性质可知，根据角平分线的定义可知，根据同旁内角互补，两直线平行可证． 【详解】解：，理由如下： ，， ， 平分， ， ∵， ， ． 【变式题5-3】.（18-19七年级下·辽宁大连·期末）已知：如图，，点P是射线上一动点（与点C、点D不重合），分别平分和交射线于点E、F． (1)当时，求的度数； (2)随着点P的移动，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由． (3)若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行的性质是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到，进而得出，进而完成解答； （3）同理（1）求出，根据，易证，再根据角平分线的定义得到，结合平行线的性质得到，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：随着点P的移动，与之间的数量关系不会改变，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型6】折叠问题与平行线结合（动手操作型） 1.核心知识点： 折叠的性质：折叠前后对应角相等、对应边相等（如折叠后，）； 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 平角的定义（）。 2.解题方法技巧： 折叠后在图中用铅笔标注对应角，明确相等的角（如折叠点为，折叠后）； 若存在平行线，过折叠点作平行线的辅助线，或利用平行线的性质将折叠后的角转化为已知角； 结合平角（）或周角（）的定义列方程，求解未知角； 示例：将长方形纸片沿折叠，，若，则（折叠性质），由得（同旁内角互补），故。 【例题6】.（24-25六年级下·山东济南·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，交于点F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查长方形中的翻折问题，平行线的性质，解题的关键是掌握长方形的性质和翻折的性质． 由四边形是长方形，可得，又，故，根据将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处，即得，根据平行线的性质得出． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∵将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点C落在点E处， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式题6-1】.（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点分别落在点的位置上，与的交点为，若，则的度数为 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查了折叠问题，平行线的性质，掌握平行线的性质是解答本题的关键． 根据，可得，根据翻折的性质得，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：由长方形纸片可知：， ， 由翻折的性质得：， ， ， 故答案为： 【变式题6-2】.（24-25七年级下·安徽六安·期末）如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为 ； （2）若，则的度数为 ． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式题6-3】.（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 【压轴创新题型】 【题型7】跨学科结合：光的折射与平行线 1.核心知识点： 光的折射规律：光从空气斜射入其他介质时，入射角等于反射角（，为入射角，为反射角）； 平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 平角的定义（）。 2.解题方法技巧： 从光的折射示意图中提取已知条件：入射角=反射角，标注相等的角； 若题干给出“折射光线平行”，利用平行线的性质推导入射角或反射角的度数（如折射光线，则，结合入射角=反射角求解）； 若已知入射角，需证明折射光线平行，先利用入射角=反射角转化角的关系，再用平行线的判定定理证明（如，，且，则，故）； 关键：将物理中的折射规律转化为数学中的角相等关系，再结合平行线知识解题。 【例题7】.（24-25七年级下·广东韶关·期末）物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气中射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图所示，建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，即，光线从空气中射入水里时发生了折射，变成光线射到水底C处，射线是光线的延长线，即与相交于点B． (1)请直接写出所有的邻补角： ； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查邻补角，平行线的性质，熟练掌握邻补角定义和平行线的性质是解题的关键． （1）根据邻补角定义求解即可； （2）先由平行线的性质求出，再由求解． 【详解】（1）解：∵，， 又∵与有公共边，公共顶点B； 与有公共边，公共顶点B； ∴与是邻补角，与是邻补角； ∴∠2的邻补角为、． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式题7-1】.（24-25七年级下·辽宁大连·期末）综合与实践： (1)创设情境：在一次露营观星活动中，图1小明同学从营地A点出发，要到C地去，先沿北偏东方向到达B地，然后再沿北偏西方向到达目的地C．已知三个营地夹角，此时小明在营地A的__________方向； (2)问题解决：夜晚观星活动开始，图2为观察北斗星时所拍摄，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星：瑶光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为A，B，C，D，E，F，G，并连接，在绘制过程中（图3）若摇光、开阳所在的直线与天机星、天璇星所在的直线平行，，，求的度数； (3)问题迁移：如图4，已知直线，E、F为两直线间的定点，且点F在点E的上方，，，连接，则的平分线与的平分线所在直线交于点G，则的度数为__________． 【答案】(1)北偏东 (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，方位角有关的计算，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由题意得，，则由平行线的性质得到，由三角形内角和定理可得的度数，再求出的度数即可得到答案； （2）过点C作，过点D作，则，由平行线的性质可得，，则可求出，得到，证明，得到，则； （3）过点F作，过点E作，则，由平行线的性质得到，，证明，得到，设，则，由角平分线的定义可得，，则，即可得到． 【详解】（1）解：如图所示，由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴此时小明在营地A的北偏东方向； （2）解：如图所示，过点C作，过点D作， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点F作，过点E作， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵的平分线与的平分线所在直线交于点G， ∴，， ∴， ∴． 【变式题7-2】.（24-25七年级上·江苏连云港·期末）综合与实践 【问题情境】 （1）如图1，，点E在之间．写出之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】 （2）小明在完成第（1）题的探究后，又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点A 处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜l垂直，即，垂足为O，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点D．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的E处射出，在平面镜上经点F反射后，到达上的点G，……其传播路径为⋯⋯请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2）①见解析；②相等，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，垂线的概念，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）过点E作，利用平行线性质和判定推出，即可得到之间的数量关系； （2）①根据垂直定义，以及光线的入射角等于反射角，即可导角推出； ②由（2）的结论得∶，即，再结合（1）的结论得∶，即可推出与的数量关系． 【详解】解∶ （1）之间的数量关系是∶ ， 理由如下∶ 过点E作， 如图所示∶ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）①理由如下∶ ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是∶， 理由如下∶ 由（2）的结论得∶， ∴， ∵， 由（1）的结论得∶， ∴． 【变式题7-3】.（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为______； (2)如图2，当光线经过处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点处反射到平面镜上的点处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形两锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 【题型8】多拐点平行线的角度探究（构造辅助线） 1.核心知识点： 平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（若，，则）； 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、同旁内角互补）； 过拐点作辅助线的方法。 2.解题方法技巧： 多拐点问题（如“Z”型、“M”型、“锯齿”型），每遇到一个拐点，作一条与已知平行线平行的辅助线； 辅助线的作用：将多拐点图形转化为多个“两直线平行”的基本图形，利用平行线的性质推导角的关系； 规律总结：①“Z”型（一个拐点）：；②“M”型（两个拐点）：；③个拐点的“锯齿”型：所有向左的角之和=所有向右的角之和； 示例：过拐点作，过拐点作，由得，再利用内错角相等推导，，，故。 【例题8】.（24-25七年级下·河北·期末）【发现】如图1，平分，平分． 当时，与的位置关系是　　　； 当时，与的位置关系是　　　； 当时，请判断与的位置关系，并说明理由； 【探究】如图2，，是上一点，保持不变，移动顶点，使平分，与存在怎样的数量关系？并说明理由． 【拓展】如图3，，为线段上一定点，为直线上一动点，且点不与点重合．直接写出与的数量关系． 【答案】发现：平行；平行；平行，理由见解析； 探究：，理由见解析； 拓展：或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质求角之间的关系， 对于【发现】，根据角平分线定义得,再结合，然后根据“同旁内角互补两直线平行”得； 对于【探究】，作,由平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，即可得出答案； 对于【拓展】，分两种情况：当点Q在射线上运动时，作，根据平行线的性质得,再根据,可得答案；当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），再作,根据平行线的性质得，接下来得180°，进而得出答案. 【详解】当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 当时，. ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 故答案为：平行；平行； 当时，. 理由如下： ∵平分，平分， ∴, ∴， ∴； 【探究】， 理由如下： 过E向右作, ∵, ∴, ∴. 【拓展】,或 如图1，当点Q在射线上运动时，. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴； 当点Q在射线的反向延长线上运动时（点C除外），. 理由：过点P作, ∵, ∴, ∴. ∵ 180°， 即 综上可知，,或 【变式题8-1】.（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵ 已知， ∴ 平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 【变式题8-2】.（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，． (1)若，则________； (2)若，射线在内交直线于点O，如图②．当N、M分别在点G、H的右侧，且时，求α的度数； (3)小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论，是解题关键． （1）过P作直线，根据平行公理，有，再根据平行线的性质，即可得解； （2）延长交于点K，根据，，得，根据平行线的性质，得，再根据，求出，最后再根据平行线的性质，等量代换，即可得解； （3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答． 【详解】（1）过点P作直线，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长交于点K，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴； ②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 综上所述，或． 【变式题8-3】.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点． (1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由； (3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． （1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论． （3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可． 【详解】（1）解：．理由如下： 如图，过点P作， 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：当点P在的右侧时，．理由： 如图，过P点作． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：①如图，当P在的左侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，． ． 解得． 如图，当P在的右侧时， ∵平分，平分， ， ． 由（1）可知，． ∴ ． 由（2）可知，， ． 解得． 综上：为或． 【题型9】分类讨论：平行线间的动态角（探究型） 1.核心知识点: 平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）； 动态角的两种常见形式（点在线上运动、射线旋转）； 分类讨论思想（按动点位置、旋转角度范围分类）。 2.解题方法技巧: 先确定动态元素的运动/旋转范围，标注临界位置（如动点与拐点重合、旋转角为）； 按临界位置分类，每类画出静态图形，用含变量的代数式表示相关角； 利用平行线性质建立角的等量关系，求解变量或推导角度关系，验证结论合理性。 【例题9】.（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小明同学制作了两个直角三角形硬纸板和，其中，，，，，小明利用这两块三角板进行了如下的操作探究：        (1)如图1，点在上，边在上，边在直线上． ①将直角三角形沿射线的方向平移，如图2，当点在上时，的度数为_____； ②将直角三角形从图2的位置继续沿射线的方向平移，当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，求度数． (2)如图3，点在上，边在上，的边在直线上，点落在与之间．将绕点以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为秒，且，当与平行时，_____秒． 【答案】(1)；的度数为或 (2)或 【分析】本题考查直角三角形的角度计算、平行线性质和判定， （1）根据直角三角形的性质，则，；根据平行线的性质，则，再根据三角形的外角，即可；根据以，，为顶点的三角形是直角三角形，则当，分类讨论，即可； （2）延长交于，由与平行时， ，结合，根据的位置分两种情况求解即可． 【详解】（1）∵三角形和三角形是直角三角形，，，，， ∴，， 过点作， ∵， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵以，，为顶点的三角形是直角三角形， 当时， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， 综上所述：的度数为或． （2）当时，如图3-1，延长交于，过点作， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴， ∴（秒） 当时，如图3-2，延长交于，过点作， 同理可得：， ， ， ∴， ， ∴旋转度数为， ∴， 综上所述：或 【变式题9-1】.（24-25七年级下·浙江金华·月考）如图，直线，一副三角板（，，，）．按图（1）所示方式放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图（2），将绕点B以每秒的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在绕点B旋转的同时，绕点E以每秒的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．当边与的一边平行时，请写出对应的t值． 【答案】(1)； (2)①秒；② 【分析】本题主要考查角平分线及平行线的判定和性质，理解题意，作出相应图形及辅助线进行分类讨论是解题关键． （1）根据邻补角得出，再由角平分线确定，利用平行线的性质即可求解； （2）①根据题意得出，再由平行线的性质得出，即可求解； ②分三种情况：当时，当时，当时，作出相应图形，添加辅助线，根据平行线的判定和性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴秒， ②当时，分别延长和交于点I，交于点，交于点O，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得：； 延长，交于点O，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 当， 同理可得， 解得：； 当， 同理可得：， 解得：； 同理可得：， 解得：． 综上可得：t的值为． 【变式题9-2】.（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·月考）在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·江西九江·期中）如图，点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线、上，且点P在点E的右侧，，，设（）． (1)填空：______°； (2)若的平分线交直线于点H，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速进行逆时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当t为何值时，？（直接写出答案） 【答案】(1)90 (2)①；②5，35或65 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题等知识点，解题的关键是掌握平行线的判定和性质以及分类讨论的数学思想． （1）过点作，利用平行线的性质，找出相等角，再利用角的和差计算即可； （2）①利用平行线的性质得出，利用角平分线的性质得出，最后利用角的和差计算即可； ②根据题意先计算出的取值范围，然后分三种情况进行讨论，利用平行线的判定定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ∴， ， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴； ②射线旋转一周所用的时间为， ∴， 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 如图所示，当时，， ∴此时，， 解得，，符合题意； 综上，或或． 重点 重点1：对顶角与邻补角的定义及性质（对顶角相等、邻补角互补），是角度计算的基础，需熟练掌握“两线四角”模型的角度关系； 重点2：垂线的定义、画法、性质（过一点有且只有一条垂线、垂线段最短）及点到直线的距离的定义，是解决最短路径和距离问题的关键； 重点3：三线八角的识别方法，需准确找准截线与被截线，掌握同位角、内错角、同旁内角的位置特征； 重点4：平行线的判定定理与性质定理，是本章核心内容，需明确“角的关系→线平行”（判定）和“线平行→角的关系”（性质）的逻辑区别； 重点5：辅助线的构造方法（如过拐点作平行线、过一点作垂线），是解决复杂图形问题的重要工具； 重点6：实际问题与跨学科问题的抽象能力，能将生活情境、物理现象转化为几何模型，运用平行线知识解决。 难点 难点1：复杂图形中三线八角的识别，易受多余线段干扰，需掌握“分离核心图形”的方法； 难点2：平行线判定与性质的综合应用，容易颠倒逻辑关系，需通过标注推理依据强化逻辑思维； 难点3：多拐点、动点问题的处理，需具备分类讨论思想和构造辅助线的能力，避免漏解； 难点4：将实际问题抽象为几何模型，需结合情境提取关键信息（如平行关系、角度条件），建立数学与实际的联系； 难点5：平行线中角平分线模型的规律探究，需通过特殊到一般的推理，总结模型结论并灵活应用。 【对应练习题】 一、单选题 1．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，关键是运用知识准确识别； 如果两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角，根据对顶角的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A：有公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项B：无公共顶点，一边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 选项C：有公共顶点，两边互为反向延长线，此选项符合题意； 选项D：有公共顶点，两边不互为反向延长线，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（2025七年级上·重庆·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离 【答案】D 【分析】本题考查了几何的基本概念，包括垂线、平行线、点到直线的距离和两点之间距离的定义．掌握以上相关的定义是解题的关键．通过相关定义逐项分析即可． 【详解】A、在同一平面内，过一点（无论点在直线上还是直线外）有且只有一条直线与已知直线垂直，强调在同一平面内，选项A不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，但过直线上一点没有直线与已知直线平行（重合不算平行），选项B不符合题意； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，而垂线段是图形，选项C不符合题意； D、连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，选项D符合题意． 故选：D． 3．（25-26七年级上·福建泉州·期中）下列说法不正确的个数有（　　） ①三条直线相交，有三个交点；②相等的角是对顶角；③射线与射线是同一条射线；④连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑤如果线段，则点是线段的中点． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查直线相交交点个数、对顶角定义、射线定义、两点距离定义、线段中点定义，需根据相关知识逐一判断各说法正确性. 【详解】解：①三条直线相交可能有一个、两个或三个交点，不一定有三个交点，①不正确； ②相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形底角相等但不是对顶角，②不正确； ③射线以A为端点向B方向延伸，射线以B为端点向A方向延伸，端点不同，③不正确； ④连接两点间的线段是图形，而两点距离是线段的长度，④不正确； ⑤当点A、B、C不在同一直线上时，但B不是中点，⑤不正确； ∴所有说法均不正确，共5个， 故选：D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 5．（24-25七年级上·吉林白城·月考）直线被直线所截，与是同旁内角，若，且与不平行，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是明确两直线平行时，同旁内角互补的性质．两直线被第三条直线所截，只有当两条被截直线平行时，内错角相等，同位角相等，同旁内角互补．不平行时以上结论不成立．由于直线与不平行，同旁内角和不一定互补，因此无法根据的度数确定的度数． 【详解】解：∵与不平行， ∴同旁内角和不一定满足， ∴仅知，无法确定的度数． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·福建泉州·期中）若与是对顶角，且，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查了对顶角的性质，理解对顶角的性质是解题的关键．根据对顶角的性质回答即可． 【详解】解：∵ 与 是对顶角， ， 又， ∴ ． 故答案为 70． 7．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，直线，若°，则的度数为 ； 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质及邻补角的定义，解题的关键是利用对顶角相等转化的位置，再结合平行线的性质求． 由对顶角相等得的对顶角为；根据，该对顶角与互为同旁内角，计算的度数． 【详解】解：的对顶角与相等，故该对顶角为， ∵直线， ∴该对顶角与互为同旁内角， ∴， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，是的角平分线，，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，最后再由平行线的性质即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，，，平分，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂直定义，角的和差，数形结合是解题的关键．先求出的度数，再根据角平分线的定义求即可． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河北张家口·月考）请将下面的证明过程补充完整． （1）已知：如图，直线，被直线l所截，，． 求证：． 证明：∵______°， （已知）． ∴______°， ∵（已知），∴______． ∴（                ）． （2）如图：已知，，求证：． 证明：∵ （已知）， ∴（                ）， 又∵（已知）， ∴____（               ）， ∴（                ）． 【答案】（1）180；70；3；同位角相等，两直线平行 （2）两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，邻补角，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定，邻补角的定义，逐个分析求解即可． （2）根据平行线的判定与性质，逐个分析求解即可． 【详解】（1）证明：∵， （已知）． ∴， ∵（已知）， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：180；70；3；同位角相等，两直线平行． （2）∵ （已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 12．（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期末）动点与角 如图，是直线上一点，，平分． (1)若，求的度数． (2)在（1）的条件下，的度数是多少？ (3)若（），请直接用含的式子表示的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，邻补角互补，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据结合图形可得，根据角平分线的定义可得，即可求解； （2）先求得进而根据，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，根据，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：，， ； （3）解：当时， ， 平分， ， ． 13．（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，点是直线上一点，射线、分别是的平分线． (1)若，求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算、角的平分线的定义等知识点，掌握各角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据补角的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义表示出、，再根据补角的定义整理即可解答． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴． （2）∵射线、分别是、的平分线， ∴，， ∴． ∵， ∴． 14．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，是的角平分线，点E，F分别在，上，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可得证． 【详解】证明：因为，， 所以，． 又因为平分， 所以， 所以． 即． 15．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图1，直线与直线、分别交于点E、F，． (1)求证：； (2)如图2，与的角平分线交于点P，延长交于点G，点H是上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，，K是上一点，连接，作平分，若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义及垂直的定义，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． （1）根据同旁内角互补，两条直线平行即可判断直线与直线平行； （2）先根据两条直线平行的性质得出，，再根据与的角平分线交于点，可得，进而根据垂直的定义及平行线判定定理即可证明； （3）根据直角三角形的性质求出，根据角的和差及邻补角定义求出，根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴，， ∵与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $