17.4 一元二次方程的根与系数的关系（题型专练，3基础题型+5提升题型+培优）数学新教材沪科版八年级下册

17.4 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 利用一元二次方程的根与系数的关系求两根之积或两根之和 1．已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 2．若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 3．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A．－5 B．－3 C．3 D．5 5．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 8．已知方程的两个根分别是和，则 ． 9．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为 ． 题型二 已知方程的一个根求另一个根 1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 2．若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（    ） A． B． C．1 D．2 4．如果是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 题型三 根据方程的根判断方程的形式 1．若一元二次方程的两个根为，则该方程可以是（  ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．两根均为负数的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 4．下列一元二次方程中，两根积为2的是（　　） A． B． C． D． 题型一 利用根与系数的关系求参数的值 1．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 2．若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 3．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为(   ) A．或 B．或 C． D． 5．已知，是一元二次方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．若方程的两根之积为，则为 . 7．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为 ． 9．若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是 ． 题型二 根与系数的关系中的新定义问题 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 2．对于字母、，定义新运算，若方程的两个根为、，则的值为 ． 3．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 4．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是倍根方程； (2)若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 5．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 题型三 利用根与系数的关系求代数式的值 1．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若a，b是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 3．若m、n是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B． C．2 D．0 4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 5．已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 6．若m，n为方程的两根，则的值为 . 7．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 8．若一元二次方程的两根为，，则 ． 9．若实数、分别满足，，且b，则 ． 题型四 利用完全平方公式进行变形求值 1．一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 2．已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 4．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 题型五 根与系数的关系中的存在性问题 1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．已知关于x的一元二次方程，若有两个实数根和． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求实数的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数，满足．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该方程实数根的情况； (2)若，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在请说明理由． 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 2．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ． 3．已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （填序号）． 4．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 题型一 利用一元二次方程的根与系数的关系求两根之积或两根之和 1．已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，即两根之积为；根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，， ∴. 故选：B. 2．若，是方程的两根，则的值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．将方程化为标准形式后，利用一元二次方程根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵ 方程 可化为 ， ∴ ，， ∴ ． 故选：D． 3．一元二次方程的两个实数根为，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，解决本题的关键是熟练掌握根与系数的关系．利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故选：C． 4．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A．－5 B．－3 C．3 D．5 【答案】B 【分析】此题考查韦达定理的应用，熟悉韦达定理是解题关键． 根据多项式乘法将展开，写出韦达定理代入求值． 【详解】解：根据韦达定理，有，， ． 故选：B． 5．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】通分：，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案． 【详解】解： 由韦达定理：，可得 ， 故选：A ． 【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，检验学生对一元二次方程根与系数的关系知识点的掌握情况． 6．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根 ∴， 将，代入，则 故选C． 7．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 8．已知方程的两个根分别是和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握关于x的一元二次方程有两根为和，则，．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为和， ∴． 故答案为：． 9．已知关于的一元二次方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，代数求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系列出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 故答案为：． 题型二 已知方程的一个根求另一个根 1．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根为（   ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是利用“两根之和等于”计算另一根． 根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知根，直接计算另一根． 【详解】解：∵方程的一个根为，设另一个根为， 又∵，， ∴两根之和为， 即， ∴， 故另一个根为1． 故选：D． 2．若是方程的一个根，则另一个根为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟知，是解本题的关键． 直接根据根与系数的关系，，代入计算即可． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， 根据根与系数的关系得：， 即：， ∴， 故选：A． 3．已知关于x的方程的一个解为2，那么另一个解是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查根与系数的关系，熟记是解题的关键． 根据根与系数的关系，代入一个即可求得方程的另一根即可． 【详解】设的两根为， 则， 又因为关于x的方程的一个解为2， 所以，解得． 故选：C． 4．如果是关于的一元二次方程的一个根，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，由题意，， ∴； 故答案为：． 5．已知一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是利用韦达定理中两根之和的关系来求解． 【详解】解：设另一个根为， 由根与系数的关系得， 解得 故答案为． 题型三 根据方程的根判断方程的形式 1．若一元二次方程的两个根为，则该方程可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与因式分解法的关系，熟练掌握若一元二次方程的根为，，则方程可表示为是解题的关键． 根据因式分解法，将方程表示为的形式，再展开得到方程，然后与选项对比得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为， ∴方程为 展开得： 即 故选：A． 2．若关于x的一元二次方程的两个根为，，则这个方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出，，然后根据根与系数的关系得到满足条件的方程可为． 【详解】∵，， ∴，， ∴以，为根的一元二次方程可为， 故选：B 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 3．两根均为负数的一元二次方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两根均为负数，则两根的和是负数，两根的积是正数，首先计算各选项的两根之积和两根之和，然后根据根与系数的关系来判断． 【详解】解：A．，，两根均为正数，故此选项不符合题意； B．，，两根为一正一负，故此选项不符合题意； C．，，两根均为负数，故此选项符合题意； D．，，两根为一正一负，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．解题的关键是掌握两根为负数时，两根的和是负数，两根的积是正数． 4．下列一元二次方程中，两根积为2的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴此方程无实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为2，符合题意； C、∵， ∴， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴两根之积为，不符合题意； D、∵， ∴， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴两根之积为，不符合题意； 故选：B． 题型一 利用根与系数的关系求参数的值 1．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若，则m的值为（    ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），找到两根之积与方程系数的关系，进而求解的值．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟练掌握韦达定理中两根之积与方程系数的对应关系是解题的关键． 【详解】解：一元二次方程，韦达定理指出两根、有． 在方程中，，，， ∴， 解得 ． 故选：B 2．若一元二次方程组 ​两根之和为​，则​（   ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：设一元二次方程组 的两根分别为 ， ， 一元二次方程组 的两根之和为， ， ， 当时，，不合题意舍去． 故选： C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 3．关于x的一元二次方程 的两个根分别是3，，则p、q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后解方程即可得到p和q的值． 【详解】解：根据题意得，， ∴，． 故选：B． 4．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的倍，则的值为(   ) A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】首先设方程的一根为，则另一根为，根据利用根与系数的关系求得值即可． 【详解】解：设方程的一根为，则另一根为， ∴， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．也考查了一元一次方程的解法． 5．已知，是一元二次方程的两根，且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根与系数关系即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两根， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 6．若方程的两根之积为，则为 . 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：． 7．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8．已知关于x的一元二次方程有两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键：如果（）的两个实数根是，，那么，． 根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此即可求出m的值． 【详解】解：对于一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得： ， ， 故答案为：． 9．若关于x的二次方程的两根和满足，则n的值是 ． 【答案】1 【分析】根据、是一元二次方程的两个根，则有，，代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的二次方程的两根为和， ∴，， 由得， 解得， 故答案：． 题型二 根与系数的关系中的新定义问题 1．定义：如果一元二次方程满足，那么我们就称这个方程为“凤凰”方程．若一个“凤凰”方程的其中一个根为2，则与这个“凤凰”方程的解完全相同的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根据，即可判断. 【详解】解：由题意可知：这个“凤凰”方程的两根分别为1和2， ，． 选项A符合题意， 故选A. 2．对于字母、，定义新运算，若方程的两个根为、，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 根据题意判断，，再根据新定义运算求解即可． 【详解】解：方程的解为、， ，， ． 故答案为：． 3．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，方程的两个根是和，则方程就是“倍根方程”． (1)若一元二次方程是“倍根方程”，则________； (2)若是“倍根方程”，求代数式的值； 【答案】(1)2 (2)0 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系、“倍根方程”的定义，熟练掌握根与系数的关系，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）设方程的两个根为，，根据一元二次方程根和系数的关系解答即可求解； （2）求出方程的解，再根据“倍根方程”的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个根为，， 由一元二次方程根和系数的关系得，，， 即，， 则方程的两个根为和， 因此， 故答案为：； （2）解：解方程，得，， 由于方程是“倍根方程”， 若，即， 解得，即， 若，即， 解得，即， 当时，； 当时，； 综上所述，代数式的值为． 4．我们定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”． (1)请说明方程是倍根方程； (2)若是倍根方程，则，具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程有两个实数根且是倍根方程，则，的等量关系是______（直接写出结果）． 【答案】(1)见解析； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是掌握相关知识． （1）利用配方法解方程得到，，然后根据“倍根方程”可判断方程是倍根方程； （2）利用因式分解法解方程得，，再利用“倍根方程”的定义即可求解； （3）设一元二次方程的两个根为，，且，根据根与系数的关系得，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ， 该方程是倍根方程； （2）解方程得，， 该方程是倍根方程， 或； （3）设一元二次方程的两个根为，，且， ，即， 整理得． 5．观察下列一元二次方程，并回答问题： 第1个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第2个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第3个方程：，方程的两个根分别是 ，； 第4个方程：，方程的两个根分别是 ，； … (1)请按照此规律写出两个根分别是 ， 的一元二次方程 ______； (2)如果关于 的一元二次方程 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么我们称这样的方程为“邻根方程”．上述各方程都是“邻根方程”．请通过计算，判断方程 是否是“邻根方程”． 【答案】(1) (2)方程是“邻根方程” 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系及一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先根据根与系数的关系，得出方程的一次项系数（两根和的相反数）和常数项（两根之积），再结合已知根写出方程． （2）先解出方程的两个根，再计算两根的差值，判断是否符合 “邻根方程” 的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴两根和为，两根积为， ∴ 一元二次方程为； （2）解：解，得，， ， 方程是“邻根方程”． 题型三 利用根与系数的关系求代数式的值 1．若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 2．若a，b是方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整体代入是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而即可求得代数式的值． 【详解】 a，b是方程的两根， ，， ∴， 故选D 3．若m、n是方程的两个实数根，则的值是（　　） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键．先根据题意得出，，，再得出，进而变形求出答案即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ 故选：A． 4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n，则代数式(m+n)2022的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1=1，x2=n， ∴1+n=-m， 解得：m+n=-1， 故（m+n）2022=1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，正确得出m+n的值是解题关键． 5．已知m、n是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题的关键是牢记韦达定理中“对于一元二次方程（），两根之和为”的结论，直接计算两根之和并代入求值． 先明确已知方程的二次项系数、一次项系数；再根据韦达定理求出两根、的和；最后将的值代入，计算得出结果． 【详解】解：对于一元二次方程（），由根与系数的关系可知，两根之和为， 在方程中，，， 则． 将代入，得： 故答案为：2026． 6．若m，n为方程的两根，则的值为 . 【答案】0 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵m，n为方程的两根， ∴， ，即， ∴ ． 故答案为：0． 7．实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，然后代入求解即可． 【详解】解：实数，是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 8．若一元二次方程的两根为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系，找出及是解题的关键．利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， ∵一元二次方程的两根为，， ∴， ∴， 故答案为： 9．若实数、分别满足，，且b，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：∵、分别满足，， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：3． 题型四 利用完全平方公式进行变形求值 1．一元二次方程两个实数根为，则＝ ． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程两个实数根为， ∴，， ∴， 故答案为：6． 2．已知，是方程的两个根，且． (1)求k的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)65 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． （1）根据，是方程的两个根，得到，，根据多项式的乘法得到，即，求解即可； （2）根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴k的值为； （2）解：原式， 当时，原式， ∴． 3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据列出关于的不等式解答即可求解； （）利用一元二次方程根和系数的关系及完全平方公式解答即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：由根和系数的关系得，，， ∵， ∴， 即， 整理得，， 解得或， ∵， ∴． 4．阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：，n是一元二次方程的两个实数根， ，． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______． (2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； (3)已知实数s，t满足，且，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键． （1）根据，计算即可； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可； （3）由题意可知，，然后根据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵的两个实数根为m，n， ∴， ∴； （3）解：∵实数s，t满足，且， ∴是的两个根， ∴， ∴． 题型五 根与系数的关系中的存在性问题 1．已知是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】不存在满足条件的值，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，代数式的推理变形过程是解答本题的关键． 由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得，然后把的值代入中，即可求得的值； 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， 若成立， 解方程得， ，且， ， 这与矛盾， ∴不存在这样的值． 2．已知关于x的一元二次方程，若有两个实数根和． (1)求实数k的取值范围； (2)是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，因式分解法解一元二次方程； （1）根据题意得出，列出不等式，即可求解； （2）根据根与系数的关系得：，，代入得出关于的一元二次方程，结合（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）由题意得：此方程的根的判别式 整理得： 解得 故实数k的取值范围为： （2）由根与系数的关系得：， ∵ ∴可得 ∴ 整理得： 解得或 由（1）可知， 则． 3．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求实数的取值范围； (2)如果，是方程的两个实数根，是否存在实数，满足．若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，；正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，再结合，求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ， ∴； （2）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，符合题意， ∴的值为． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)判断该方程实数根的情况； (2)若，是该方程的两个实根，是否存在实数m，使得代数式的值为？若存在求出实数m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根或者有两个相等的实数根 (2)存在，实数的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据判别式即可判断； （2）根据，代入，得到，然后解得答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴该方程有两个实数根； （2）解：存在，实数的值为或，理由如下： ∵，是的两个实根， ∴， ∴， 当时，． ∴存在，实数的值为或． 1．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 2．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别是，且满足，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系是解题的关键．利用一元二次方程的根与系数的关系，得到和的表达式，将给定条件化简为，代入表达式后求解关于的方程，并检验． 【详解】解：由题意得， ，． ， 又 ， 代入原式： ， 即， 两边乘以（）： ， 代入根与系数的关系： ， 即， 两边乘以（）： ， 整理得，， ， 所以，， 经检验， 和均满足，且使原方程有一元二次方程形式． 又方程有两个实数根， ， ， 所以应舍去． 综上，． 故答案为：． 3．已知关于的一元二次方程，下列结论： ①方程总有两个不等的实数根；②若两个根为，，且，则，；③若两个根为，，则；④若，则代数式的值为一个完全平方数，其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①③ 【分析】利用判别式判断①，求出时的两个根，判断②，利用根与系数的关系，判断③，求出的值以及完全平方数的定义，判断④． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根；故①正确； 当时，， ∴， ∴当时，的两个根，，且，则：，故②错误； 若两个根为，，则：， ∴；， ∴；故③正确； ∵ ， 当时， ， 当为奇数时，不是整数， ∴的值不一定是完全平方数，故④错误； 故答案为①③. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况及根与系数的关系，涉及完全平方数等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及完全平方数概念． 4．阅读材料： 阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则， (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ． (2)类比探究：已知实数m，n满足，． ． (3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值． 【答案】(1)； (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则． （1）直接根据根与系数的关系可得答案； （2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得； （3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，； 故答案为：；； （2）解：当时，符合题意，则， 当时， ，， 、可看作方程的两个根， ，， ， 故答案为：2或； （3）解：两边同时除以变形为， 则实数和可看作方程的两根， ，， ． 5．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为， ，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．已知关于x的一元二次方程为． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)求衍生点M的轨迹的解析式； (3)直线：与x轴交于点A，直线过点B，且与相交于点C，若衍生点M在的内部，求m的取值范围； (4)若无论为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线的图象上，求b，c满足的关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系的应用，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想及数形结合的思想解决问题． （1）依据题意，关于x的一元二次方程为，计算判别式，进而可以判断得解； （2）依据题意，由可得，故，，则该一元二次方程的衍生点，再令，进而可以得解； （3）依据题意，结合图象，直线与x轴交于点A，可得，又M在直线上，可得在直线上，刚好和的边交于点（，又令，则，从而，结合，进而可以得解； （4）依据题意，由直线，过定点，从而两个根为再由根与系数的关系即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：， 解得：，， 方程的衍生点为． 令，， ∴； （3）解：如图，直线与x轴交于点A， 当，则， ∴ ∴， 又M在直线上， ∴在直线上，刚好和的边交于点． 令，则， ∴， ∴． ∴； （4）解：由题意，∵直线， ∴过定点， ∴两个根为， ∴， ∴ ∴，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $