云南省昭通市市直中学2025-2026学年高二上学期第三次月考（12月）数学试题

请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.（本小题满分17分) 解：（1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(本小题满分17分) 解：(1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 填 正确填涂 准考证号 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号、考场号、座位号填写清楚。 ■ 2.选择题使用2B船笔填涂，非选择题 涂 使用黑色碳素笔书写，超出答题区域 错误填涂 购 3.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 0000000000 ■ 母中 和① 和和和和 田和① 面 2刀 2刀 2020212I 202刀 2 2四 3 333 33 3 3 31 ■ 555555555 5 ■ 贴条形码区 66666 666 6 6 刀刀刀刀7刀 团 (正面朝上，请贴在虚线框内) 8888888888 99I9]919I9]9]9199 缺考 标记 口整资婆程考整喜发美贵喜朵 1 [A][B][C][D] 5 [A][B C]D 9[A][B]C][D] 2 A B C网D 6 A BC网D 10IBI网D可 3 A]B C]D 7四BC☒D 11 [A]B]C]D 4 A [B]C][D 8A[BC]D ■ 三、填空题（本大题共3小题， 每小题5分，共15分) 12. 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分） 15.(本小题满分13分) 解：（1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(本小题满分15分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ZT 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.（本小题满分15分)》 D (1) 】 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知圆C:x2+y2-2x-8y+13=0,圆心C到直线ax+y-1=0的距离为1，则a= B.-g C.5 D.2 2.中国古代数学著作《算法统宗》中有一道数学题：“三百七十八里关，初行健步不为 难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天 健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的 地.”则此人第3天、第4天、第5天一共走的路程为 A.38里 B.84里 C.88里 D.96里 3.已知直线y=x是曲线f(x)=lnx+a的切线，则切点的横坐标为 A.-1 B.1 C.-2 D.2 4.设数列an}的前n项之积为Tn,满足：an+2Tn=1(n∈N*),则a2o25等于 A.1011 B.1011 1012 1013 4047 4049 C.4049 D. 4051 高二数学ZT·第1页（共6页) 5.已知椭圆C: Q21(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,P,过R,且倾斜角为的直 一+ 线交C于第一象限内一点A.若AF2⊥x轴，△AF,F,的面积为2√3，则C的方程为 3+y2=1 B.+=1 32 D. 96 6.已知函数f(x)=f'(1)x3+x2,则f'(2)+f(2)= A.-12 B.12 C.-26 D.26 7.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F作两条斜率分别为k1,k2的直线1，l2,且 kk2=-2,直线l1与C交于A、B两，点，直线l2与C交于D、E两，点，则|AB|+DE|的最 小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 8.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且a1=l,S%1-S=8n,n∈N*.在数列{an}的每 相邻两项ak,ak+1之间依次插入a1,a2,…,ak,得到数列{bn:a1,a1,a2,a1,a2, a3,a1,a2,a3,a4,…,则{bn}的前88项和等于 A.163 B.165 C.167 D.173 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是 A.(e0.o5x+1)'=-0.05e005x+l B.sinx2+cos2)'=2xsinx2-sin2 C.（2*1og2e)'=2 D.(lg21x)=1 xIn2 10.已知单调递增的正项无穷等差数列{an}满足：a2+as+a14=18,则下列正确的是 A.a7+ag=12 5 B.当a1=2时，{a,的前20项和为135 C公差d的取值范用是0,9》 D.当a12为整数时，a12的最大值为7 高二数学ZT·第2页（共6页） 11.在计算数学中可用“作切线”的方法求函数零点.如图1，在横坐标为x,的点处作 f(x)的切线，切线与x轴交点的横坐标为x2；用x2代替x1重复上面的过程得到x3; .xn+2 一直下去，得到数列{xn}.若函数f(x)=x2-x-6,bn=lg -3且6，=1，x>3,记数列 bn}的前n项和为Sn,则 f(x) A.x+1=x。fP(xn) (x,f)) B.数列{bn}是等比数列 C.数列{b是递减数列 D.S2025=22025-1 图1 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 12.已知圆C经过椭圆+广=1的三个顶点，则圆C的标准方程为 (写出其中 164 个即可)》 13.某同学验证著名的“里拉斜塔”问题，将足够多的一批规格相同、质地均匀的长方 体薄铁块叠放于水平桌面上，每个铁块总比其下层铁块向外伸出一定的长度，如图 2,那么最上层的铁块最多向桌沿外伸出而不掉.现将铁块从上往下依次标记为第1 块、第2块、第3块、…、第n块，将前i(i=1,2, 第1块 第2块 3,…,n)块铁块视为整体，若这部分的重心在第(i 门第3块 4块 a ]第5块 +1)块的上方，且全部铁块整体的重心在桌面的上 第n块 方，整批铁块就保持不倒.设这批铁块的长度均为 第(n+1)块 1,若记第n块比第(n+1)块向桌沿外多伸出的部分 的最大长度为a,则根据力学原理，可得a,=4, 1 图2 且为等差数列.则a,}的通项公式为 高二数学ZT·第3页（共6页） 14.已知双曲线C: x22 元P1(>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F,以F,,为直径的 圆与C的一条渐近线y=。x在第一象限交于B点，若线段BF,的垂直平分线恰好为C 的另一条新近线y=-合，则C的离心率为 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分) 已知等比数列a,的各项均为正数，满足：，+a+a4=39,20,是3a,与2a,的等差 中项 (1)求an的通项公式； (2)数列{bn}满足bn=n·an,求{bn}的前n项和T 16.(本小题满分15分) 设函数f(x)=ax-2-lnx(a∈R). (1)若f(x)在点(e,f(e))处的切线为x-ey+b=0,求a,b的值； (2)求f'(x)<0的解集 高二数学ZT·第4页（共6页) 17.(本小题满分15分) 如图3，顶点为D的圆锥的母线与该圆锥的底面直径AE相等，其中O是圆锥底面的 圆心，△ABC是圆锥底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=入DO(0<入<1). )当A 6,求证：PA1平面PBC: W5 (2)若二面角B-PC-E的余弦值为 ,求入的值 D 图3 18.（本小题满分17分) 已知双曲线C:京。=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,P,其中双曲线C的 一条渐近线方程为y=4x,|F,F2|=2√/17. (1)求双曲线C的标准方程； (2)设M是双曲线C左支上一点，N(0,4),求△MWF2的周长的最小值； (3)过直线x=。上任意一点T作两条倾斜角分别为01,0，的直线11,12，若直线 TATO ,,与双曲线C的右支分别交于A、B两点和P、Q两点，且满足：7P=B, 求01+02 高二数学ZT·第5页（共6页) 19.（本小题满分17分) 记数列{an},{bn的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,a2=p-1(p≠0且p≠1)，当 1.11 n≥2时，有 一十一二 Sn antl an (1)证明：数列{Sn}为等比数列； (2）若p=2,当b.=(a.+p)(atp) An ①求an的通项公式； ②设入是正整数，问是否存在n,使得等式T,+ +。一=g成立，若存在，求出n和入 的值；不存在请说明理由 高二数学ZT·第6页（共6页） 昭通市市直中学2025年秋季学期高二年级第三次月考 数学参考答案 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B B D C A C A 【解析】 1． 由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A． 2．由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为的等比数列，设这个数列为{an}，前n项和为Sn，则S6==a1=378，解得a1=192，所以=192×=48，=192×=24，=192×=12，即此人路程为84里，故选B． 3．，设直线与曲线相切的切点为，则根据题意可知，所以，故选B． 4．因为an+2Tn=1，所以a1+2T1=1，即a1+2a1=1，所以a1=，所以+2Tn=1(n≥2)，显然Tn≠0，所以−=2(n≥2)，所以数列是首项为==3，公差为2的等差数列，所以=3+2(n−1)=2n+1，即Tn=，所以，故选D． ( 图 1 )5．如图1，因轴，为线段的中点，B为线段的中点，所以，在中，，设，则，．因为的面积为，所以，解得（负值已舍去），所以，，，，所以，则C的方程为，故选C． 6．∵函数 ，∴，∴， ，∴， ，故选A． 7．设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知，当且仅当（或）时，取等号，故选C． 8．（1）因为 ，当， ，因为，所以，故．当时，适合上式，所以； （2）因为，，当，所以当时，．．又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入，得到数列所以根据数列的定义可知：数列，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……， ，故选A． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 ACD AC ABD 【解析】 9．A．，故选项A正确；，故选项B错误；，故选项C正确；D：当时，，当时，，故选项D正确，故选ACD． 10．对于A，在等差数列中，因为8，所以，所以，A正确；对于B，由于，，则公差，故的前20项和为，B错误；对于C，由，为单调递增的正项无穷等差数列，则且，则有，即的取值范围为，C正确；对于D，，故，即的最大值为9，D错误，故选AC． 11．，所以在点处的切线方程为 ，因为xn>3，所以2xn−1≠0，令y=0，得xn+1=xn−=xn−=，故A正确；==，故lg=2lg，即 ，又 ，所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，故C错误，B正确；所以S2025==22025−1，D正确，故选ABD． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 或或或 an= 2 【解析】 12．（1）当圆经过椭圆的左顶点及椭圆的上下顶点时，设圆心为，则半径为.则，解得，故所求圆的方程为； （2）当圆经过椭圆的右顶点及椭圆的上下顶点时，由椭圆的对称性可知：所求圆的方程为； （3）设圆心为，则半径为，则，解得当圆经过椭圆的左右顶点、及椭圆的下顶点时，所求圆的方程为； （4）当圆经过椭圆的左右顶点、及椭圆的上顶点时，由椭圆的对称性可知：所求圆的方程为． 综上：所求圆的方程为：或或或． 13．依题意，第1块铁块比第2块铁块向桌沿外伸出部分的最大长度为第1块铁块自身长度的一半，则a1=，由为等差数列，得其首项为=2，公差d=−=4−2=2，因此=+(n−1)d=2+2(n−1)=2n，即an=，所以{an}的通项公式是an=． ( 图 2 )14．如图2，  由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则，有，又OA与OB都是渐近线，得又，得又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）设等比数列的公比为q，显然． 的等差中项， ，即． …………………………………（2分） ①当时，等比数列为常数列，，无解； ……………………………………………（4分） ②当时，，解得， ……………………………………（5分） ． …………………………………………………………（6分） （2）由题可知， …………………………………………………（7分） ， ， …………………………………（10分） 两式相减可得： ， …………………………………（12分） ． ……………………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）的定义域为， …………………（2分） 因为， …………………………………………………………（3分） 因为在点处的切线为， 所以，所以； …………………………………（5分） 所以， 把点． …………………………………（6分） 即的值为：． …………………………………（7分） （2）由（1）知：． …………………………………（9分） ①当时，上恒成立，所以的解集为； …………………………………………………………（12分） ②当时，令，解得：． …………………………（14分） 综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为． …………………………………（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：[方法一] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，，所以， ………………………………（2分） ． …………………………………（3分） 又为等边三角形，则，所以， ………………………………………（4分） ，则，所以， ……………………（5分） 同理，又，所以平面． ……………………………………（6分） [方法二] 当时，由题设，知为等边三角形，不妨设， 则，由圆锥性质知平面， 所以， 所以．因为O是的外心，因此． …………………………………………………………………（2分） 在底面过作的平行线与的交点为W，以O为原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，． 所以，，． ( 图 3 )故，． …………………………………（4分） 所以，． …………………………………（5分） 又，故平面． …………………………………（6分） [方法三] 当时，因为是底面圆O的内接正三角形，且为底面直径，所以． 因为（即）垂直于底面，在底面内，所以． ……………………………………………（2分） 又因为平面，平面，， 所以平面． 又因为平面，所以． ……………………………………（3分） 设，则F为的中点，连接，如图4． ( 图 4 )设，且， 则，，． …………………………………………………………………………（5分） 因此，从而． 又因为，所以平面． ………………………………（6分） [方法四] 当时，如图5所示，圆锥底面圆O半径为R，连接，，易得， 因为，所以． …………………………………（2分） ( 图 5 )以为基底，平面， 则， ……………………………………………………………………（3分） ，且，， 所以 ． …………………………………………………………（4分） 故，所以，即． …………………………（5分） 同理．又，所以平面． ………………（6分） （2）解：当时，设，过O作 BC交AB于点N，因为平面，以O为坐标原点，OA为x轴，ON为y轴建立如图6所示的空间直角坐标系， ( 图 6 )…………………………（8分） 则，，， 因为， 所以，， 故，， …………………………………（9分） 所以，，， 设平面的一个法向量为，则有，， 即， ………………………………………………………（12分） 令，得，所以， 同理得平面的一个法向量为， 因为二面角的余弦值为，所以， ……………（13分） 即，解得， …………………………（14分） 因为，满足题意， 所以，即为所求． …………………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以． …………………………………………………………（2分） 又因为，故及，解得：， ……………………………………………（3分） 所求双曲线的标准方程为． …………………………………（4分） （2）由双曲线定义知， …………………………………（6分） ∴的周长为=． 又因， ……………………………………………………（7分） 在中，当且仅当M、N、共线， …………………………（8分） 所以的周长的最小值为． …………………………………（9分） （3）[方法一] 如图7所示，设，设直线的方程为． ( 图 7 )联立， …………………………………………………………（10分） 化简得，， 则．…………………………………（12分） 故． 则． 设的方程为，同理． …………………………………………………（14分） 因为，所以， 即：， …………………………………………………………（15分） 化简得， 所以，即．因为，所以， ……………………………（16分） 即． …………………………………………………………（17分） [方法二] 参数方程法 设，设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， …………………………………（10分） 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． …………………………………………………………………………………（13分） 设直线的倾斜角为，， 同理可得． 因为，所以，得． ………………………………………（14分） 因为，所以． …………………………………（16分） 由题意分析知．…………………………………………………………（17分） [方法三]：利用圆幂定理 因为，所以， 由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． …………………………………（11分） 设，直线的方程为， 直线的方程为， 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， ……………（13分） 整理可得： ， 其中． …………………………………（15分） 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即， …………………………………………………………………………（16分） 即． …………………………………………………………（17分） 19．（本小题满分17分） （1）证明：当时，有，即：， 从而得，去分母整理得：． ……………（2分） 又因当，且，所以． 当，即， 所以，即， …………………………………（4分） 所以等比中项的定义可知： 数列是1为首项，公比为的等比数列． …………………………………（5分） （2）解：①因，由（1）可知，当，， 所以当，， ……………………………………………（7分） 经检验不满足，所以； …………………………………（8分） ②又因为， 所以，当，，即． 当时，， …………………………………………………………………………………（9分） 所以， 即：   所以， ……………………………………………（12分） 假设存在，使得：成立， 故，即：，要使得是正整数， 只需整除12，因，故有， 所以当，得，此时； …………………………………（14分） 当，得，此时； 当，得，此时， 当，得不可能，此时无解． ………………………（16分） 综上可知，当且仅当时，存在使得等式成立； 当且仅当时，存在使得等式成立； 当且仅当时，存在使得等式成立． ……………………（17分） 答案第6页，共7页 高二数学ZT参考答案·第3页（共13页） 学科网（北京）股份有限公司 $