寒假作业01 丰富的图形世界（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 丰富的图形世界 一、立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 二、点、线、面、体的关系 定义：①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 三、正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 四、截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 几何体及其构成 1.将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 题型二 几何体中的点、棱、面 2．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 题型三 点、线、面、体间的关系 3．如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 题型四 几何体的展开图 4．如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         题型五 正方体的展开图 5.下图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 题型六 截一个几何体 6.一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图），则这个正方体的内部构造可能是空了一个 体． 题型七 从不同方向看几何体 7.小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组同学制作的图形，其中______（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)综合实践小组同学用制作的8个正方体纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面，从左面，从上面观察图2几何体看到的形状图； ②若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为 ． 题型八 从不同方向看到的图形确定几何体 8.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，其从正面和从左面看到的形状图如图所示，则要摆出这样的几何体最多需要 个小立方块． 1．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 2．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（　　） A．60π B．70π C．90π D．160π 3．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（　　）碗． A．8 B．9 C．10 D．11 4．如图所示，小王用几个棱长2cm的正方体积木塔了一个几何体（没有视线看不见的正方体），则这个几何体的体积是　 　 cm3，表面积是　 　 cm2． 5．如图，在边长为20的大正方形中，剪去四个小正方形，可以折成一个无盖的长方体盒子．如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1、2、3、…、9、10时，则小正方形边长为 　 　 时，所得到的无盖的长方体盒子容积最大． 6．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　 　 ，最小是　 　 ． 7．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　 　 个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 8．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？ 9．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体． （1）请画出可能得到的几何体简图． （2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积×高） 10．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状． （1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积； （2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积． （3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积． 11．如图是某种几何体的三视图， （1）这个几何体是　 　 ； （2）若从正面看时，长方形的宽为10m，高为20m，试求此几何体的表面积是多少m2？（结果用π表示）． 1．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝　 　 ． 2．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是 　 　 ．（结果保留π） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 丰富的图形世界 一、立体图形的相关概念 1.定义：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形． 立体图形除了按照柱体、锥体、球分类，也可以按照围成几何体的面是否有曲面划分：①有曲面：圆柱、圆锥、球等；②没有曲面：棱柱、棱锥等. 2.棱柱的有关概念及其特征: ①在棱柱中，相邻两个面的交线叫作棱，相邻两个侧面的交线叫作侧棱，棱柱所有侧棱长都相等，棱柱的上下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；棱柱的侧面形状都是平行四边形. ②棱柱的顶点数、棱数和面数之间的关系：底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，n条侧棱，有n+2个面，n个侧面. 二、点、线、面、体的关系 定义：①体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点． ②点动成线，线动成面，面动成体． ③点、线、面、体组成几何图形，点、线、面、体的运动组成了多姿多彩的图形世界． 三、正方体的展开图 定义：正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种；二三一型有3种；三三型有1种；二二二型有一种. 拓展： 正方体展开图口诀：  ①一线不过四;田凹应弃之；  ②找相对面：相间，“Z”端是对面； ③找邻面：间二，拐角邻面知. 四、截面 定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 几何体及其构成 1.将下图中的立体图形分类． 柱体 ；锥体 ；球体 ． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥/⑥④ ③ 【解析】解：柱体：①②⑤⑦⑧；锥体：④⑥；球体：③． 故答案为：①②⑤⑦⑧；④⑥；③． 题型二 几何体中的点、棱、面 2．如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则第二个几何体有（　　）个面． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】解：因为从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，增加了三个边长为的正方形面， 所以第二个几何体有9个面． 故选：D． 题型三 点、线、面、体间的关系 3．如图下面的图形绕直线l旋转一周后得到的立体图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，该图形旋转后上部分得到的几何体是一个圆锥，下部分得到的几何体是一个圆台， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 题型四 几何体的展开图 4．如图是一个底面为正方形的四棱柱的展开图，图上的数字代表棱柱各条棱的长度（单位：cm），则该棱柱的表面积是 cm2．         【答案】66 【解析】解：由题图可知，该棱柱的底面是边长为的正方形，侧面由四个长，宽的长方形组成，所以侧面积为：，底面积为：表面积为． 故答案为：66． 题型五 正方体的展开图 5.下图中，经过折叠能围成如图所示的几何体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由图可知：能围成该几何体的只有C选项符合； 故选C． 题型六 截一个几何体 6.一物体外形是正方体，其内部构造不详，用一个竖直的平面截这个物体，截了七次，得到一组自左向右的截面（如图），则这个正方体的内部构造可能是空了一个 体． 【答案】圆锥 【解析】解：由题意得，这个正方体的内部构造可能是空了一个圆锥体． 故答案为：圆锥． 题型七 从不同方向看几何体 7.小林所在的综合实践小组准备制作一些大小相同的正方体纸盒，收纳班级讲台上的粉笔（盒盖单独制作）． (1)图1是综合实践小组同学制作的图形，其中______（填序号）经过折叠能围成无盖正方体纸盒； (2)综合实践小组同学用制作的8个正方体纸盒摆成如图2所示的几何体． ①在图3中画出从正面，从左面，从上面观察图2几何体看到的形状图； ②若每个小正方体的棱长为，则这个几何体的表面积为 ． 【答案】(1)①，③，④(2)①见解析；② 【解析】（1）解：由图可知：过折叠能围成无盖正方体纸盒的有①，③，④； 故答案为：①，③，④． （2）如图所示， ②这个几何体的表面积为 故答案为：． 题型八 从不同方向看到的图形确定几何体 8.一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，其从正面和从左面看到的形状图如图所示，则要摆出这样的几何体最多需要 个小立方块． 【答案】16 【解析】解：由从正面看到的形状图可以看出几何体从左到右共四列，第一列最多2层，第二列最多1层，第三列2层，第四列2层；由从左面看到的形状图可以看出，几何体共三排，第一排最多2层，第二排最多1层，第三排最多2层；如图，它最多需要16个小正方体． 故答案为：16． 1．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由“相间Z端是对面”可知A、D不符合题意，而C折叠后，圆形在前面，正方形在上面，则三角形的面在右面，与原图不符， 只有B折叠后符合，故选：B． 2．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（　　） A．60π B．70π C．90π D．160π 【答案】B 【解答】解：观察三视图发现该几何体为空心圆柱，其内圆半径为3，外圆半径为4，高为10， 所以其体积为10×（42π﹣32π）＝70π， 故选：B． 3．某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面，如图是它们的三视图，则货架上的红烧牛肉方便面至少有（　　）碗． A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解答】解：易得第一层有4碗，第二层最少有3碗，第三层最少有2碗，所以至少共有9个碗． 故选：B． 4．如图所示，小王用几个棱长2cm的正方体积木塔了一个几何体（没有视线看不见的正方体），则这个几何体的体积是　72　 cm3，表面积是　128　 cm2． 【答案】72；128 【解答】解：搭建这个几何体共用9个棱长为2cm的小正方体，因此体积为：2×2×2×9＝72 cm3， 搭建这个几何体的三视图如图所示， 因此表面积为：（2×2）[（5+5+6）×2]＝128 cm2， 故答案为：72，128． 5．如图，在边长为20的大正方形中，剪去四个小正方形，可以折成一个无盖的长方体盒子．如果剪去的小正方形边长按整数值依次变化，即分别取1、2、3、…、9、10时，则小正方形边长为 　3　 时，所得到的无盖的长方体盒子容积最大． 【答案】3 【解答】解：四个角都剪去一个边长为acm的小正方形，则V＝a（20﹣2a）2； 填表如下： a（cm） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 V（cm3） 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 由表格可知，当a＝3时，即小正方形边长为3时，所得到的无盖的长方体盒子容积最大． 故答案为：3． 6．有同样大小的三个立方体骰子，每个骰子的展开图如图1所示，如果把每个骰子点数是4的一面放在桌子上，那么其它五个可以看到的面上的数字的和是17，现在把三个骰子放在桌子上（如图2），凡是能看得到的点数之和最大是　51　 ，最小是　26　 ． 【答案】51；26 【解答】解：根据题意，得：露在外面的数字之和最大是：3+4+5+6+4+5+6+3+4+5+6＝51， 最小值是：1+2+3+4+1+2+3+1+2+3+4＝26， 故答案为：51，26． 7．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　4　 个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　20　 个． （2）求出第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）观察图形可得第1个几何体中最底层的4个角的小立方体只有2个面涂色；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有5×4＝20个． 故答案为：4，20； （2）观察图形可知：图①中，只有2个面涂色的小立方体共有4个； 图②中，只有2个面涂色的小立方体共有12个； 图③中，只有2个面涂色的小立方体共有20个． 4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式， 因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）＝8n﹣4， 则第100个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有8×100﹣4＝796； （3）（8×1﹣4）+（8×2﹣4）+（8×3﹣4）+（8×4﹣4）+（8×5﹣4）+…+（8×100﹣4） ＝8（1+2+3+4+…+100）﹣100×4＝40000． 故前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的个数的和为40000． 8．探究：有一长6cm，宽4cm的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作： 方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①； 方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②． （1）请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （2）如果该矩形的长宽分别是5cm和3cm呢？请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大； （3）通过以上探究，你发现对于同一个矩形（不包括正方形），以其一组对边中点所在直线为轴旋转得到一个圆柱，怎样操作所得到的圆柱体积大（不必说明原因）？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方案一：π×32×4＝36π（cm3）， 方案二：π×22×6＝24π（cm3）， ∵36π＞24π，∴方案一构造的圆柱的体积大； （2）方案一：π×（）2×3π（cm3）， 方案二：π×（）2×5π（cm3）， ∵ππ，∴方案一构造的圆柱的体积大； （3）由（1）、（2），得 以较长一组对边中点所在直线为轴旋转得到的圆柱的体积大． 9．小明学习了“面动成体”之后，他用一个边长为3cm、4cm和5cm的直角三角形，绕其中一条边旋转一周，得到了一个几何体． （1）请画出可能得到的几何体简图． （2）分别计算出这些几何体的体积．（锥体体积底面积×高） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）以4cm为轴，得 ； 以3cm为轴，得 ； 以5cm为轴，得 ； （2）以4cm为轴体积为π×32×4＝12π（cm3）， 以3cm为轴的体积为π×42×3＝16π（cm3）， 以5cm为轴的体积为π（）2×5＝9.6π（cm3）． 10．棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状． （1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积； （2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积． （3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．故该物体的表面积为36a2； （2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．故该物体的表面积为1260a2； （3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2．故该物体的表面积为3n（1+n）a2． 11．如图是某种几何体的三视图， （1）这个几何体是　圆柱　 ； （2）若从正面看时，长方形的宽为10m，高为20m，试求此几何体的表面积是多少m2？（结果用π表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据图形得到这个几何体为：圆柱， 故答案为：圆柱； （2）表面积为：2（25π）+10π×20＝250π（m2） 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 0:51:03；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v），面数（f），棱数（e）之间存在一个有趣的数量关系：v+f﹣e＝2，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点都有3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则x+y＝　14　 ． 【答案】14 【解答】解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； ∴共有24×3÷2＝36条棱，那么24+f﹣36＝2，解得f＝14， ∴x+y＝14．故答案为：14． 2．有一个不完整圆柱形玻璃密封容器如图1，测得其底面半径为a，高为h，其内装蓝色液体若干．若如图2放置时，测得液面高为；若如图3放置时，测得液面高为．则该玻璃密封容器的容积（圆柱体容积＝底面积×高）是 　．　 ．（结果保留π） 【答案】． 【解答】解：设该玻璃密封容器的容积为V，依题意有：π×a2h＝V﹣π×a2×（hh）， 解得V． 故答案为：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $