寒假作业05 有理数的加减运算（巩固培优）七年级数学新教材北师大版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 有理数的加减运算 一、有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 二、有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 三、有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 四、有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数加法运算 1.在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 题型二 有理数加法中的符号问题 2.a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 题型三 有理数加法在实际生活中的应用 3．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 题型四 有理数减法的运算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 有理数减法的实际应用 5．在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 题型六 省略加号和括号的形式 6．为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 题型七 有理数加减的混合运算 7．大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 题型八 有理数加减中的简便运算 8．简便计算： (1)； (2)． 题型九 有理数加减混合运算的应用 9．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如下表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 1．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　 　 ；（2）||＝　 　 ； （3）||＝　　 ；（4）||＝ 　 ； （5）用合理的方法计算：||+||﹣||． 2．甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3．试分别在，，，，，，，的前面添上“+”或“﹣”号，使这些正数与负数的和为1，你能写出两种不同的添法吗？ 4．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家． （1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？ （2）小彬家距中心广场多远？ （3）小明一共跑了多少千米？ 5．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从A地出发，晚上到达B地，当天航行纪录如下 （单位：千米）：14，﹣9，18，﹣7，13，﹣6，10，﹣5，问： （1）B地在A地何方，相距多少千米？ （2）若船行驶每千米耗油0.5升，则这天共耗油多少升？ 6．计算：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220． 7．探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2﹣5|＝ 　3　 ；数轴上表示数3和﹣1的两点距离为|3﹣（﹣1）|＝ 　 　 ； 则|6+3|的意义可理解为数轴上表示数 　 和 　 　 这两点的距离； |x+4|的意义可理解为数轴上表示数 和 　 这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　 　 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式|x+3|+|x﹣4|的最小值是 　 　 ，此时x的范围是 　 　 ； ②代数式|x+6|+|x+3|+|x﹣2|的最小值是 　 　 ，此时x的值为 　 　 ； ③代数式|x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值是 　 　 ，此时x的范围是 　 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/8 14:51:19；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．某公司去年1﹣3月平均每月亏损1.5万，4﹣6月平均每月盈利2万元，7﹣10月平均每月盈利1.7万元，11﹣12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？ 2．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 有理数的加减运算 一、有理数加法法则 同号两数相加 和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和 异号两数相加 绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差 互为相反数的两个数相加得0 a，b互为相反数，则 一个数与0相加 仍得这个数 二、有理数加法运算律 1. 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．加法交换律：． 2. 在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．加法结合律：． 三、有理数减法法则 1. 减去一个数，等于加这个数的相反数，即 ． 2. 有理数的减法是有理数的加法的逆运算． 3. 减法转化为加法时，减数一定要改变符号． 四、有理数加减混合运算 1. 有理数加减混合运算 （1）先将加减法统一成加法，再运用加法的交换律和结合律简化运算． （2）运用加法交换律交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换． 2. 省略加号的和式及读法：统一成加法运算的算式，可以改写成省略加号和括号的形式，这种形式的算式一般有两种读法．例如：，可读作负2、负3、正27、负24的和，也可以读作负2减3加27减24． 方法一：减法转化成加法 方法二：省略括号法 （1）减法变加法: （1）省略括号 （2）运用加法交换律和结合律将同号的数分别相加 （2）同号的数相结合 （3）按有理数加法法则计算 （3）进行加减运算 3. 有理数加减混合运算的一般步骤 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 有理数加法运算 1.在虚拟环境中，输入“”可以让虚拟机器人向右走2格，输入“”可以让虚拟机器人向左走2格，如图，虚拟机器人在起点O处，若先输入“”，再输入“”，则虚拟机器人会走到数字 的位置上． 【答案】 【解析】解：输入“”，机器人从原点O向右走格，此时位置是． 再输入“”，机器人从的位置向左走格，位置变为 ． 故答案为：． 题型二 有理数加法中的符号问题 2.a，b，c三个数的位置如图所示，下列结论错误的是（    ）    A．b＋a＞0 B．b＋c＜0 C．a＋b＜0 D．a＋c＞0 【答案】A 【分析】根据数轴上点的位置判断出a，b，c的大小，利用有理数的加法法则逐一判断即可． 【解析】根据数轴上点的位置得：-4＜b＜-3＜-1＜a＜0＜1＜c，即|a|＜|c|＜|b|， ∴b+a＜0，故A选项错误，符合题意， b+c＜0，故B选项正确，不符合题意， a+b＜0，故C选项正确，不符合题意， a+c＞0，故D选项正确，不符合题意， 故选：A． 题型三 有理数加法在实际生活中的应用 3．快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递，每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：）如图所示，则小明骑行的最短距离为（   ） A．4.5 B．5.2 C．6 D．6.2 【答案】B 【解析】找出所有可能路线计算： P→B→A→C→P，距离为km； P→B→C→A→P，距离为km P→A→B→C→P，距离为km； P→A→C→B→P，距离为km； P→C→A→B→P，距离为km； P→C→B→A→P，距离为km 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故选：B 题型四 有理数减法的运算 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4)． 【解析】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型五 有理数减法的实际应用 5．在“趣味数学”社团活动上，陈老师策划了一个“猜数”游戏，她准备了50张同样的卡牌，正面分别写有数字1，2，3，…，49，50．游戏规则：先将卡牌顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上（如图），这五张卡牌分别记为A，B，C，D，E．陈老师依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪张卡牌上的数字最大．小明同学参与了该游戏，他将抽取的五张卡牌如图放置，并将陈老师告诉他的相邻两张卡牌上的数的和记录如下表，则他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是 ．（填A，B，C，D，E） 卡牌编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数的和 74 70 71 67 72 【答案】A 【解析】解：由题意可得：①， ②， ③， ④， ⑤， 由①④可得：，由②可得，由⑤可得：， ∴， ∴他所抽取的这五张卡牌上数字最大的是， 故答案为：． 题型六 省略加号和括号的形式 6．为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【解析】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 题型七 有理数加减的混合运算 7．大家都知道，九点五十五分可以说成十点差五分．这启发人们设计了一种新的加减记数法．比如：9写成，198写成；7683写成，，总之，数字上画一杠表示减去它，按这个方法请计算： ． 【答案】 【解析】解：由题意知 ， 题型八 有理数加减中的简便运算 8．简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)；(2)． 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 题型九 有理数加减混合运算的应用 9．元旦放假期间，小湖与同学相约外出游玩．已知他当日微信钱包的初始余额为10元，当日微信钱包的账单如下表所示，请你解决如下问题：                        表 交易 金额（元） 微信红包—来自妈妈 手机充值—中国移动 转账—来自小华 美团支付 滴滴出行支付 (1)账单中支出费用最大的交易是______________； (2)求小湖当日的微信钱包余额是多少？ 【答案】(1)美团支付；(2)143元 【解析】（1）解：由图可得，账单中支出费用最大的交易是美团支付155元； （2）解：（元） 答：小湖的当日的微信红包余额是143元． 1．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　21﹣7　 ；（2）||＝　0.8　 ； （3）||＝　　 ；（4）||＝　2.8﹣3.2　 ； （5）用合理的方法计算：||+||﹣||． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）|7﹣21|＝21﹣7； （2）||＝0.8； （3）||； （4）||2.8﹣3.2； （5）原式． 2．甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数＝0.5﹣0.8﹣0.5+1.5+1.2＝1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 3．试分别在，，，，，，，的前面添上“+”或“﹣”号，使这些正数与负数的和为1，你能写出两种不同的添法吗？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）1； （2）1． 4．小明早晨跑步，他从自家向东跑了2千米到达小彬家，继续向东跑了1.5千米到达小红家，然后向西跑了4.5千米到达中心广场，最后回到家． （1）以小明家为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能在数轴上表示出中心广场，小彬家和小红家的位置吗？ （2）小彬家距中心广场多远？ （3）小明一共跑了多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【解析】（1）解：能，如图： （2）解：2+|﹣1|＝3， 答：小彬家距中心广场3千米． （3）解：|2|+|1.5|+|4.5|+|1|＝9， 答：小明一共跑了9千米． 5．一艘轮船在海面上沿着东西方向航行，约定向东为正，早晨轮船从A地出发，晚上到达B地，当天航行纪录如下 （单位：千米）：14，﹣9，18，﹣7，13，﹣6，10，﹣5，问： （1）B地在A地何方，相距多少千米？ （2）若船行驶每千米耗油0.5升，则这天共耗油多少升？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）14+（﹣9）+18+（﹣7）+13+（﹣6）+10+（﹣5）＝28（千米）． 答：B地在A地的正东方，相距28千米． （2）0.5×（|14|+|﹣9|+|18|+|﹣7|+|13|+|﹣6|+|10|+|﹣5|） ＝0.5×82 ＝41（升）． 答：这天共耗油41升． 6．计算：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：2﹣22﹣23﹣24﹣…﹣218﹣219+220 ＝（2+220）﹣（22+23+…+219）， 令S＝22+23+…+219， 则2S＝23+…+219+220， 所以S＝2S﹣S＝220﹣22， 所以原式＝（2+220）﹣（220﹣22）＝2+22＝6． 7．探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．例如数轴上表示数2和5的两点距离为|2﹣5|＝ 　3　 ；数轴上表示数3和﹣1的两点距离为|3﹣（﹣1）|＝ 　4　 ； 则|6+3|的意义可理解为数轴上表示数 　6　 和 　﹣3　 这两点的距离； |x+4|的意义可理解为数轴上表示数 x 和 　﹣4　 这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　点A、点B之间　 才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　点B 才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在 　点B、点C之间　 才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式|x+3|+|x﹣4|的最小值是 　7　 ，此时x的范围是 　﹣3≤x≤4　 ； ②代数式|x+6|+|x+3|+|x﹣2|的最小值是 　8　 ，此时x的值为 　﹣3　 ； ③代数式|x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|的最小值是 　18　 ，此时x的范围是 　﹣4≤x≤2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解析】解：（1）|2﹣5|＝3， |3﹣（﹣1）|＝4， |6+3|＝|6﹣（﹣3）|， |x+4|＝|x﹣（﹣4）|， 故答案为：3、4、6、﹣3、x，﹣4． （2）①＜1＞当点P在点A左边， PA+PB＝2AP+AB， ＜2＞当点P在点A时， PA+PB＝AB， ＜3＞当点P在点A右边， PA+PB＝2PB+AB． ∴当点P在点A、点B之间时才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小． ②＜1＞当点P在点A左边， PA+PB+PC＝2PA+AC+BP， ＜2＞当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ＜3＞当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC＝AC+BP， ＜4＞当点P在点C右边， PA+PB+PC＝AC+BP+2PC， ∴点P应设在点B时才能使P到A，B，C三点的距离之和最小． ③＜1＞当点P在点A左边， PA+PB+PC+PD＝4PA+2AB+CB+AD， ＜2＞当点P在点A、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝2PB+BC+AD， ＜3＞当点P在点C、点B之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD， ＜4＞当点P在点C、点D之间时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2PC， ＜5＞当点P在点D右边时， PA+PB+PC+PD＝BC+AD+2DC+4PD， ∴当点P在点C、点B之间时，P到A，B，C，D四点的距离之和最小． （3）①由探究材料2得，当﹣3≤x≤4时，有最小值，最小值为7． |x+3|+|x﹣4|＝x+3+4﹣x＝7， ∴有最小值，最小值为7． ②由探究材料2得，这是在求点x到﹣6、﹣3、2三点的最小距离， ∴当x＝﹣3时，有最小值，最小值为8， |x+6|+|x+3|+|x﹣2|＝|﹣3+6|+|﹣3+3|+|﹣3﹣2|＝8． ③由探究材料2得，这是在求点x到﹣7、﹣4、2、5四点的最小距离， ∴当﹣4≤x≤2时，有最小值，最小值为18， |x+7|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣5|＝x+7+x+4+2﹣x+5﹣x＝18． 故答案为：①7，﹣3≤x≤4，②8，﹣3，③18，﹣4≤x≤2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/8 14:51:19；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/7 23:05:02；用户：刘祥军；邮箱：13408468771；学号：23734772 1．某公司去年1﹣3月平均每月亏损1.5万，4﹣6月平均每月盈利2万元，7﹣10月平均每月盈利1.7万元，11﹣12月平均每月亏损2.3万元，这个公司去年总的盈亏情况如何？ 【答案】见试题解答内容 【解析】解：规定：亏损为负，盈利为正． 由题意：3×（﹣1.5）+3×2+4×1.7+2×（﹣2.3） ＝﹣4.5+6+6.8﹣4.6 ＝3.7（万元） 答：这个公司去年总的盈利3.7万元． 2．小嘉全班在操场上围坐成一圈．若以班长为第1人，依顺时针方向算人数，小嘉是第17人；若以班长为第1人，依逆时针方向算人数，小嘉是第21人．求小嘉班上共有多少人（　　） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【解析】解：根据题意小嘉和班长两次都数了， 所以17+21﹣2＝36． 故选：A． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $