寒假作业04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系常考题型归纳（5知识点+9大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系常考题型归纳 一、圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、直线与圆的三种位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 三、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 四、直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线；②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 五、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 3、圆与圆的公共弦 设:，: 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求圆的方程 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）设点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的定义和方程进行求解即可. 【详解】因为，为直径，所以其中点即为圆心， 那么圆心坐标为，半径为， 所以圆的方程为. 故选：D. 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求交点坐标，再由圆过点，可得，再写出圆的方程即可． 【详解】联立，解得，即， 以点为圆心，且过点， ， 则圆的方程为， 故选：D． 3．（25-26高二上·湖北·月考）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，结合点关于直线对称的性质进行求解即可. 【详解】， 因此圆的圆心坐标为，半径为，设圆的圆心坐标为， 因为圆心和圆心关于直线对称， 所以有，即圆的圆心坐标为， 因为圆和圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等， 所以圆的方程为， 故选：B 4．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出圆的一般方程，代入三点坐标，即可求解联立方程求解. 【详解】设圆的方程为， 代入三点，有 解得， 故圆的方程为， 故圆的标准方程为. 故答案为： 5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心在直线上，可设，结合圆过两点，可知，解方程即可得圆心与半径，即可得解. 【详解】根据圆心在直线上， 则设圆心坐标为， 又圆过两点，， 则， 即， 解得， 所以圆心， 半径， 即圆的方程为， 故答案为：. 题型二 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点与圆的位置关系，代入求解，即可得答案. 【详解】由在圆内，得，解得． 故选：A 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 【答案】C 【分析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果. 【详解】， 在圆外， 故选：C. 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 4．（2025高二上·湖北荆州·专题练习）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆及点在圆外得到不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意可知：表示圆， 可得：，解得， 又在圆外，所以，得， 所以k的取值范围为. 故选：C 5．（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 【答案】B 【分析】根据已知直线与圆相离，得到圆心到直线的距离大于半径，进行计算求解. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径.直线到圆心的距离为，根据相离条件，即，整理得，这表明点到原点的距离的平方小于4，即点在圆内部. 故选：B. 题型三 圆的轨迹方程与实际问题 1．（25-26高二上·广东佛山·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标运算建立等式，然后通过配方法即可. 【详解】设动点，则，， 因为，所以， 则，即， 所以点的轨迹就是以圆心为，半径为2的圆. 故选：B 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得为线段中点，再利用坐标代换法求出轨迹方程. 【详解】设点，由，得为线段中点，则点， 而点在圆上，因此，即， 所以点的轨迹方程为. 故选：B 3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线与过切点的圆的半径垂直，得到点满足的条件，用坐标表示可得点的轨迹方程. 【详解】如图： 圆表示以为圆心，1为半径的圆. 由题意，且，所以. 所以点在以，半径为的圆上， 所以点的轨迹方程是． 故选：A 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设动点，根据两点间距离公式，列方程即可求解. 【详解】设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 【答案】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 题型四 直线与圆的位置关系判断及参数问题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较大小，即可得到结论. 【详解】圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离. 故选：C. 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出圆的圆心和半径，然后利用几何法逐项判断即可. 【详解】圆：可化为，其圆心为，半径， 对于A, 圆心到该直线的距离等于，所以该直线与圆相切； 对于B, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于C,同理圆心到该直线的距离，所以该直线与圆相切； 对于D, 圆心到该直线的距离，所以该直线与圆不相切. 故选：D 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）若直线与圆相切，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】联立直线与圆的方程，利用判别式列式求解. 【详解】由直线与圆相切，得方程组有唯一解， 即关于的一元二次方程有等根，因此，所以. 故选：A 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】先确定直线过定点，再根据点与圆的位置关系进行判断. 【详解】因为直线：， 所以直线经过定点. 因为，所以点在圆：内， 所以直线与圆：相交. 故选：A 5．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个，所以，解得， 即r的取值范围是． 故选：B． 6．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得圆心到直线的距离为，结合题意，得到，进而求得的取值范围，得到答案. 【详解】由圆，可化为， 则圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 要使得圆上至少有3个点到直线的距离为3，则满足， 即，可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线表示的上半部分，且含端点，由图象可得，当与半圆左上部相切时，根据点到直线距离公式，可得k值，分析即可得答案. 【详解】由得，表示圆的上半部分，且含端点， 由直线恒过定点，一般方程为， 作出图象： 由图知，当与半圆左上部相切时， 可得且，解得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 题型五 切线方程、切线长、切点弦问题 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由直线与圆的位置关系，应用点到直线距离公式列方程求参数值. 【详解】由的圆心为，半径为1， 由直线与圆相切，则，可得. 故选：C 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆心与切点连线和切线垂直可求出切线斜率，再根据点斜式可得答案. 【详解】，由切线与直线垂直， 得：，得：， 又因为切线经过， 所以切线的方程为：， 即. 故选：A 3．（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或. 故选：A. 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【详解】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为. 故选：D. 5．（25-26高二上·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图象，利用二倍角公式求解即可. 【详解】由可得， 因为平分，且，， 所以， 故选：D. 6．（25-26高二上·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 题型六 直线与圆相交（含弦长问题） 1．（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【分析】先求出圆心和半径，可得圆心到直线的距离d，根据条件，结合弦长公式，可得d，联立即可得答案. 【详解】将圆变为标准方程可得， 圆心坐标为，半径为， 设圆心到直线的距离为d，则， 又直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 所以，解得或. 故选：C 3．（25-26高二上·广西河池·月考）直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】方法1：利用点到直线距离公式求得点O到直线的距离，再利用弦长公式求得，进而代入面积公式求解即可. 方法2：易知，然后利用直角三角形求解面积即可. 【详解】方法1：点O到直线的距离， 又，所以. 方法2：根据图象可知，所以.    故选：D. 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心，当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短，两垂直直线的斜率乘积等于可求直线方程 【详解】，圆心为， 圆心与连线所在直线斜率为：， 因为， 所以点在圆内， 所以当过点的直线与过点的直径垂直时,与圆相交所得的弦长最短. 所以，最短弦所在的直线斜率满足：，所以， 由点斜式方程得，最短弦所在的直线为：， 整理得： 故选：B 5．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）直线与圆相交于A，B两点，当取最小值时，k的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过定点，然后再由圆中弦的性质和两直线垂直斜率关系可得. 【详解】直线方程变形为，即直线恒过点，设为， 当时，取最小值，此时. 故选：A    6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径、弦长可求出圆心到弦的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出直线的斜率，从而得到直线方程. 【详解】圆的圆心，半径，圆心到直线的距离为3， 此直线与圆相切，因此直线的斜率存在． 设直线的方程为，即， 由，得圆心到直线的距离， 于是，解得或，所以直线的方程为或． 故答案为：或． 题型七 圆与圆的位置关系及参数问题 1．（25-26高二上·广东佛山·月考）圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，再应用圆心距与半径的关系确定两圆的位置关系. 【详解】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含. 故选：D 2．（25-26高二上·广西·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心距，再与两圆半径和差进行比较即可判断作答. 【详解】把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 把圆的方程化成标准方程，得， 则圆的圆心是，半径. 圆与圆的圆心距为. 圆与圆的两半径之和，两半径之差， 因为，即，所以圆与圆相交. 故选：D 3．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】先求得公共弦所在直线的方程，联立直线方程与其中一个圆的方程可得交点坐标. 【详解】圆和圆, 两圆方程相减可得公共弦方程为， 联立方程，解得或， 可得两圆的交点坐标为和， 故选：B． 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，，由两圆外切，可得，代入数据，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得. 故选：A 5．（23-24高二上·河南南阳·月考）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 【答案】B 【分析】根据两圆外切求圆的半径，即可求解. 【详解】由题意可知，两圆的圆心距为5，设圆的半径为， 因为两圆相外切，则，得， 所以圆的方程为. 故选：B 6．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得两圆的圆心与半径，然后根据两圆的位置关系列出不等式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为，则圆心距为， 由与相交得，，解得. 故选：D. 题型八 公切线问题 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论. 【详解】将圆化为标准式，得圆心，半径； 圆化为标准式，得圆心，半径. 圆心距， 因为，即， 故两圆相交，则这两圆的公切线有条. 故选：B. 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数. 【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3， 两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条. 故选：A. 3．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．49 【答案】C 【分析】根据两圆外切列方程求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 由题意知，圆与圆外切，且， 所以，解得. 故选：C 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·月考）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 5．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 【答案】，，（三个方程写出一个即给满分） 【分析】据圆与圆的位置关系得到两个圆的公切线的条数，然后结合图像写出公切线方程. 【详解】因为，的半径均为1，则外切，结合图像可知，的公切线方程为，，． 故答案为：，， 6．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 题型九 公共弦问题 1．（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程直接作差，整理可得所求直线方程. 【详解】即①，②， ①－②化简可得直线的方程为. 故选:A. 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程作差得到公共弦所在直线方程，再利用垂径定理及勾股定理计算可得. 【详解】圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，，则两圆相交，其公共弦所在方程为， 点到的距离， 所以. 故选：A 3．（23-24高二上·河南濮阳·月考）若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两圆圆心，根据线段的垂直平分线即为直线，进而求解即可. 【详解】由圆，即， 则圆心为，半径为， 由圆，即， 则圆心为，半径为， 由于线段的垂直平分线即为直线， 而，则直线的方程为，即. 故选：D 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 【答案】B 【分析】利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 【详解】两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标写出以为直径的圆的方程即可. 【详解】直线与两坐标轴的交点为， 则， 则以为直径的圆半径为，圆心即为中点坐标为， 所以以为直径的圆的方程为， 化简得：. 故选：A 2．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知直线是圆的一条对称轴，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 【答案】D 【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，再将点坐标代入中求出，再利用圆心距和半径判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心，半径， 圆化为标准方程为， 所以圆的圆心，圆的半径， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上，则，得， 故圆的圆心，圆的半径， 则，则， 所以圆和圆外离. 故选：D 3．（25-26高二上·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的性质可知，圆心为直线与线段垂直平分线的交点，联立方程组即可求得圆心，半径则为圆心到圆上任一点之间的距离. 【详解】由点，在圆上，，中点坐标为， 则线段的垂直平分线所在直线方程为，即， 则圆心为直线与线段的垂直平分线的交点， 联立方程组：，解得，则圆心为，半径， 所以圆的方程为：. 故选：A 4．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆相切的关系及点到直线的位置关系即可求解. 【详解】已知的圆心，半径是的圆心是，半径是2． 由题知直线是和的公切线， 当时，直线为，此时直线与圆不相切，所以， 由，解得， 则有． 故选：A． 5．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先由题意设圆心，得到半径为，求出圆心到直线的距离为，再由弦长公式求出参数a即可求解. 【详解】由题意可设圆心，且半径为， 又圆心到直线的距离为， 因为直线被圆M截得的弦长为， 所以或， 所以圆心且半径为，或圆心且半径为， 所以圆M的方程为或. 故选：A 6．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为圆与圆有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即可求的取值范围. 【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆， 因此问题转化为圆与圆有两个交点， 易知，，，，， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由定点在圆的外部得，求得的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【详解】因为点在圆外， 所以，解得， 所以或， 所以的取值范围为或， “点在圆外部”是“，或”的充分不必要条件. 故选：A. 8．（25-26高二上·安徽·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量关系找到相关点的坐标关系，再代入相关点坐标即可得动点轨迹方程. 【详解】设，，由，得： ，则有， 因为为圆上任意一点， 所以，代入可得： ，整理得：， 即方程就是动点的轨迹方程. 故选：A 9．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论. 【详解】由，可得， 所以圆心的坐标为, 半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个. 故选：B. 10．（25-26高二上·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心坐标和半径，然后根据圆与圆之间的位置关系、勾股定理等知识逐项计算即可. 【详解】将圆和圆化成标准方程为： 圆和圆， 所以两个圆的圆心坐标和半径分别为. 因为与轴的距离为1，小于该圆的半径2，所以圆与轴不相切，A错误； 因为，所以两圆相交， 所以两圆的公共弦所在直线方程为两个圆的方程相减，得到方程， 即，所以B错误； 因为两圆的位置关系是相交，所以有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线，C正确； 根据勾股定理可得，公切线段长为，D错误； 故选：C. 11．（25-26高二上·四川达州·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为，则（　　） A．2 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得该圆圆心坐标与半径，再借助切线性质可得、，最后利用等面积法计算即可得. 【详解】圆化为标准方程为， 则，半径，则， 由切线定义可得， 则四边形的面积可表示为，也可表示为， 即有，故. 故选：B. 12．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 【答案】C 【分析】先求出两圆的圆心和半径，对A，判断出两圆的位置关系，即可求解；对B，两圆相减，即可求解；对C，利用圆的弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对D，连接，从而得，即可求解. 【详解】由，得，所以圆的圆心为，半径为， 由，得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，因为，则，所以两圆相交， 则两圆有2条公切线，所以A正确， 对于B，由①，②，两式相减得， 即，所以B正确， 对于C，因为到直线的距离为，所以，故C错误， 对于D，连接，易知，则四边形的面积为， 由选项C知，，又，所以，故D正确， 故选：C. 13．（25-26高二上·上海·月考）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 【答案】C 【分析】利用点线距离公式求圆心与直线距离，结合点与圆的位置关系判断与圆的半径大小，即可判断各项直线与圆的位置关系. 【详解】圆心到直线l的距离， 若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确； 若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确； 若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误； 若点在直线l上，则，即，所以，直线l与圆C相切，故D正确． 故选：C 14．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出圆的圆心及半径，再求出公共弦所在的直线方程，进而求出弦长最长时的值. 【详解】圆的圆心，半径， 显然原点在圆内，又在圆内， 因此两圆必相交，直线方程为，而弦最大值为6， 即为圆的直径，此时直线过点， 则，所以. 故选：C. 15．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求解三个圆的方程，求出相交弦的方程，结合勾股定理可得答案. 【详解】由题意可得圆的方程为，圆的方程为， 圆的方程为； 圆与圆的相交弦所在直线方程为； 到直线的距离为， 所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为， 故选：A 16．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线与圆交于两点为坐标原点.若则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由相交求得的一个范围，再设，直线方程代入圆方程应用韦达定理，代入再得一个范围，两者相交即得结论． 【详解】圆心为即为坐标原点，半径为2， 直线与圆相交，则，， 设，由得． 所以， 则， 所以，或， 所以或， 故选：B． 17．（25-26高二上·重庆渝北·期中）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 可知直线与圆相离， 由题意可知：， 当且仅当与直线垂直时，等号成立， 所以线段的最小值为5. 故选：B. 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知曲线是以为圆心、半径的上半圆，代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，数形结合可得出的最大值. 【详解】由，两边平方整理得， 所以曲线是以为圆心、半径的上半圆， 代数式表示曲线上的点与定点连线的斜率，如下图所示： 由图可知，当点的坐标为，直线的斜率最大，即取最大值，且最大值为， 故选：C. 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心和半径，利用算两次思想计算四边形面积，进而得到，要想最小，只需最小，求出最小值，进而得到答案. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 故直线与圆相离， 由题意得⊥，⊥，且与全等， 则四边形的面积为， 又⊥，则四边形的面积为， 故，其中， 故， 要想最小，只需最小， 显然当与直线垂直时，最小，最小值为， 此时. 故选：C. 20．（25-26高二上·河南南阳·月考）（多选题）圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用圆的性质，结合点到直线距离公式求出符合条件的范围即判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1，则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是， 选项A不满足，选项BCD满足. 故选：BCD 21．（25-26高二上·重庆·月考）（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到的距离为1 D．若圆上有且只有两个点到的距离为1，则 【答案】BD 【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值；B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论；C项，由几何知识即可得出结论；D项，根据圆上有且只有两个点到的距离，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论. 【详解】对于A，由已知，因为，且， 所以，故A错误； 对于B，重心坐标即, 所在直线， 线段的中点, ∴的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， ∴外心 ∴过和，，即， 因为弦长为2，即圆的直径，故圆心在欧拉线上，得，故B正确； 对于C，若圆上存在三个点到的距离为1，则圆的直径需大于2，而圆半径，故C错误. 对于D，若圆上有且只有两点到的距离为1，则圆心到欧拉线的距离小于2， 即，解得，故D正确； 故选：BD 22．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据题意设的坐标，利用平面向量线性运算与模的坐标表示，结合求轨迹的相关点法即可得解. 【详解】依题意，设，又，， 则，，， 因为，所以， 则，故， 因为，所以， 所以，则， 所以D点的轨迹方程为. 故答案为：. 23．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程. 【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上， 因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为， 所以与两边分别作差，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 24．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 【答案】 【分析】根据切线长定理结合勾股定理转化为求圆心C与点P距离最小值即可得解． 【详解】依题意，圆的圆心，半径，过点P作圆C的切线为切点， 连接，如图3：显然，在中，， 因此，要切线长最短，当且仅当线段长最短即可， 而线段长是定点C与直线l上任意一点P之间的距离， 于是得线段长的最小值是点C到直线l的距离d， 而，因此，， 所以切线长最短为． 故答案为：． 25．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质，以及两点间的距离公式，列出方程，求出点的轨迹方程. 【详解】 由题意得，圆的半径为3，如图，设线段的中点为，连接，，， 易得，在中，，所以， 得， 化简得， 即. 所以线段中点的轨迹方程为. 故答案为：. 26．（25-26高二上·安徽安庆·月考）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求，进而得圆心和半径，可得圆C的标准方程. （2）问题转化为已知弦长，求弦所在直线方程问题求解.注意要讨论弦所在的直线的斜率是否存在. 【详解】（1）设圆心为，依题意 ， 所以解得（满足） ． 故圆的标准方程为． （2）由的长度为，则， ①若l斜率不存在，则，代入圆C得 解得或， 满足． ②若l斜率存在，设斜率为k，则直线，即， 由圆心C到直线l的距离为， 即，所以 所以． 综上，所求直线方程为或． 27．（25-26高二上·天津·期末）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程； (3)求直线被圆C所截得的弦长. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设圆C的方程为，将点A、B代入，结合圆心在直线上，即可求解； （2）讨论直线斜率的存在性，设直线方程，利用直线与圆的位置关系计算即可求解； （3）根据点到直线的距离公式和弦长公式即可求解． 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 则由题意得，解得， 故圆C的标准方程为； （2）因为，所以点在圆外， 当直线l的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为1，等于半径，故满足题意； 当直线l的斜率存在时，设，即， 则点到直线l的距离，解得， 此时，即； 综上，直线l的方程为或； （3）因为圆心到的距离为， 所以弦长． 1．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由题意和题中条件求出点的轨迹方程，由题意得直线与圆相交，由此能求出实数的取值范围，进而得到最大值． 【详解】设，在直线上存在点，满足， 可得，化简整理得点P的轨迹方程为：， 由题意得直线与圆相交，所以， 化简可得，即得．故的最大值为. 故选：C． 2．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 【答案】B 【分析】根据方程，得到阿波罗尼斯圆的圆心的坐标及半径的值，再利用阿氏圆的常用公式，快速求出的值，即可得解. 【详解】设阿波罗尼斯圆的圆心为，半径为， 因为阿波罗尼斯圆方程为，所以. 因为，，所以， 代入阿氏圆的常用公式，可得，又，解得. 又由阿氏圆的常用公式，可得. 所以． 故选：B 3．（25-26高二上·河北唐山·月考）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，分析出当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值.利用直线和圆相切时，圆心到直线的距离求出，即可得解. 【详解】将变形可得， 可知圆心，半径. 令，则直线在轴上的截距的最大值就是的最大值，， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值. 此时，圆心到直线的距离， 即，解得. 所以的最大值为. 故选：C 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知成等差数列，过作直线的垂线，垂足为，同时点在圆上运动，则点到点的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差中项可得，进而直线过定点，即可得的轨迹为圆：，最后根据圆的位置关系求解最值即可. 【详解】由成等差数列，得. 直线的方程可化为，即. 由得，所以直线过定点. 由题知在以为直径的圆上运动， 圆的方程为，圆心，半径. 又因为在圆上运动，圆心，半径， 所以，所以圆内含于圆， 所以，即. 故选：D. 5．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的弦长得出，再计算出圆心到直线的距离为换元令，结合一元二次方程的判别式求出的取值范围进而得到答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 又因为圆截轴所得弦长为，所以，即， 所以，即①， 圆心到直线的距离为， 设，则代入①中有， 即，该方程有实数根的条件为， 即，故，即， 所以，因此圆心到直线的距离， 所以圆的圆心到直线的距离的最小值为. 故选：D 6．（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设是切点弦，连接交于，由求得点到直线的距离，进而求出圆内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积，进而求出切点弦区域面积. 【详解】如图所示，是切点弦，连接交于，若圆内的点不在任何切点弦上， 则该点到圆的圆心的距离应小于，这些点构成了以原点为圆心，半径为的圆的内部． 连接，由题意知，，， 则，所以， 则原点到直线的距离为定值， 故切点弦始终与圆相切， 在圆内不与切点弦相交的区域面积为． 所以切点弦所形成的区域为圆与圆之间的圆环， 故所形成的区域的面积为. 故选：C 7．（25-26高二上·天津和平·期中）已知，是圆：上两点，.若存在，使直线：与：的交点恰为线段的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆相交的弦长可得中点的轨迹为，又根据直线，的方程可知，交点的轨迹方程为，若恰为的中点，即圆与圆有公共点，根据圆与圆的位置关系可得实数的取值范围. 【详解】圆的圆心为，半径为， 设中点为，则，解得， 所以点的轨迹方程为， 又直线，即，过定点， 直线，即，过定点， 且，可知， 则点是两垂线的交点，可知在以为直径的圆上， 则圆心，半径， 所以点的轨迹方程为， 由于直线的斜率存在，所以点的轨迹要除去点， 则， 若点恰为中点可知圆与圆有公共点， 则， 可得或， 解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 8．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件确定点的轨迹，这是一个圆。然后，利用圆的对称性和点到直线的距离公式，结合两点之间线段最短的原理，求出的最小值. 【详解】已知，且，设， 根据距离公式列方程：， 化简整理得：， 因此，点的轨迹是以为圆心、半径的圆， 在圆上运动，根据圆上点到定点的距离性质， 到的最小距离为，当在与的连线上且靠近时取等号， 在圆上运动，同理，到的最小距离为， 当在与的连线上且靠近时取等号， 作 关于直线的对称点， 直线的斜率为，因此的斜率为，其方程为， 求与直线的交点：解方程组，得交点为， 由中点坐标公式，的坐标为， 此时，，当在与直线的交点时取等号， ， ， 故选：C. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业04 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系常考题型归纳 一、圆的定义与方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 4、圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 5、圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 6、在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 二、直线与圆的三种位置关系 1、直线与圆的三种位置关系 直线与圆 的位置关 系的图象 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2、判断直线与圆的位置关系的两种方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相交。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相切。 ； 。 圆心到直线的距离：。 圆与直线相离。 （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交 ②直线与圆相切 ③直线与圆相离 三、直线与圆相交 记直线被圆截得的弦长为的常用方法 1、几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离） ②弦长公式： 2、代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 四、直线与圆相切 1、圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线；②过圆上一点，可以作圆的一条切线 ③过圆内一点，不能作圆的切线 2、过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3、切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 五、圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系 (1)圆与圆相交，有两个公共点； (2)圆与圆相切(内切或外切)，有一个公共点； (3)圆与圆相离(内含或外离)，没有公共点. 图象 位置关系 图象 位置关系 外 离 外 切 相 交 内 切 内 含 2、圆与圆的位置关系的判定 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为. ①当时，两圆相交； ②当时，两圆外切； ③当时，两圆外离； ④当时，两圆内切； ⑤当时，两圆内含. 3、圆与圆的公共弦 设:，: 联立作差得到：即为两圆共线方程 4、圆与圆的公切线 与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种． （1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； （2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； （3）两圆相交时，只有2条外公切线； （4）两圆内切时，只有1条外公切线； （5）两圆内含时，无公切线． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 求圆的方程 1．（25-26高二上·贵州遵义·月考）设点，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津津南·月考）已知直线：与直线：的交点为，则以点为圆心，且过点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北·月考）与圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川广安·开学考试）过三点的圆的标准方程为 ． 5．（25-26高二上·江苏徐州·期中）若圆过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 . 题型二 点与圆的位置关系 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点与圆的位置关系为（    ） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．与的值有关 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·湖北荆州·专题练习）点在圆外，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河南·期中）若直线与圆相离，则点（   ） A．在圆O外 B．在圆O内 C．在圆O上 D．与圆O的位置关系不确定 题型三 圆的轨迹方程与实际问题 1．（25-26高二上·广东佛山·月考）在平面直角坐标系中，已知点，若动点P满足，则点P的轨迹为（   ） A．椭圆 B．圆 C．射线 D．直线 2．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）设为圆上的动点，是圆的切线，且，则点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知，动点满足，则动点的轨迹的方程为 . 5．（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 题型四 直线与圆的位置关系判断及参数问题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交且过圆心 C．相离 D．相交且不过圆心 2．（25-26高二上·云南曲靖·期中）下列直线中，与圆：不相切的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·陕西西安·月考）若直线与圆相切，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（25-26高二上·广东惠州·月考）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（25-26高二上·江苏淮安·月考）若圆上到直线距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·贵州遵义·期中）若圆上至少有3个点到直线的距离为3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 切线方程、切线长、切点弦问题 1．（25-26高二上·重庆·期中）直线与圆相切，则实数m等于（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高二上·河北石家庄·月考）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 4．（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·云南·期中）过点作的两条切线，切点分别为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江苏·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 题型六 直线与圆相交（含弦长问题） 1．（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 3．（25-26高二上·广西河池·月考）直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（    ） A．1 B． C． D． 4．（24-25高二上·天津·期中）已知圆O的方程是，则圆O中过点的最短弦所在的直线方程是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·贵州铜仁·月考）直线与圆相交于A，B两点，当取最小值时，k的值为（   ） A． B．1 C．4 D． 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线经过点，且与圆相交于两点，若，则直线的方程为 ． 题型七 圆与圆的位置关系及参数问题 1．（25-26高二上·广东佛山·月考）圆与圆的位置关系为（　　） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 2．（25-26高二上·广西·月考）圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 3．（25-26高二上·全国·期中）圆和圆的交点坐标是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．（25-26高二上·福建厦门·月考）若圆与圆外切，则m=（ ） A．14 B．28 C．9 D． 5．（23-24高二上·河南南阳·月考）以为圆心，且与圆相外切的圆C的方程为（    ） A． B． C．=16 D． 6．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）已知圆，圆，若与相交，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型八 公切线问题 1．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知圆，圆，则两圆的公切线有（   ）条 A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河南郑州·期中）圆与圆的公切线的条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆与圆有三条公切线，则（    ） A．3 B．7 C．9 D．49 4．（23-24高二上·甘肃庆阳·月考）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 5．（24-25高二上·广东·月考）已知圆，圆，则的公切线方程为 ．（写出一条即可） 6．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 题型九 公共弦问题 1．（25-26高二上·河北·期中）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·河南濮阳·月考）若圆与的交点为，则线段的垂直平分线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 1．（23-24高二上·浙江·期中）若直线与两坐标轴的交点为，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知直线是圆的一条对称轴，则圆和圆的位置关系是（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 3．（25-26高二上·北京·期中）若圆C经过点，，且圆心在直线上，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 4．若直线是与的公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州遵义·期末）已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（   ） A．或 B．或 C． D． 6．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·山东济宁·期中）“点在圆外部”是“，或”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二上·安徽·月考）已知为圆上任意一点，，若点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·山东泰安·月考）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（25-26高二上·天津南开·月考）已知圆和圆，则下列结论中正确的是（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 11．（25-26高二上·四川达州·月考）过点作圆的两条切线，切点分别为，则（　　） A．2 B． C． D．2 12．（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知圆与圆交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A．两圆有2条公切线 B．圆与圆的公共弦所在直线的方程是 C． D．四边形的面积为2 13．（25-26高二上·上海·月考）已知直线l：与圆C：，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 14．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知圆与圆交于，两点，当弦最长时，实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 15．（25-26高二上·福建宁德·期中）如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（    ）    A． B． C． D． 16．（25-26高二上·湖北·月考）已知直线与圆交于两点为坐标原点.若则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·重庆渝北·期中）过直线上一动点作圆的切线，切点为，则线段的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 18．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·江苏·期末）已知圆，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高二上·河南南阳·月考）（多选题）圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 21．（25-26高二上·重庆·月考）（多选题）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，其“欧拉线”为，圆，则（    ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为4 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．存在，使圆上有三个点到的距离为1 D．若圆上有且只有两个点到的距离为1，则 22．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知，，点C，D满足，，则D点的轨迹方程为 . 23．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 . 24．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知为直线上一点，过作圆的切线，则最短切线长为 ． 25．（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 26．（25-26高二上·安徽安庆·月考）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 27．（25-26高二上·天津·期末）已知圆C经过点和，且圆心C在直线上， (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆C的切线l，求直线l的方程； (3)求直线被圆C所截得的弦长. 1．（25-26高二上·重庆·月考）已知平面内两点，若在直线上存在点，满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知两定点，，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．4 3．（25-26高二上·河北唐山·月考）实数满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知成等差数列，过作直线的垂线，垂足为，同时点在圆上运动，则点到点的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·辽宁大连·期中）设圆的圆心坐标为，圆截轴，轴所得弦长分别为和，则圆的圆心到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东临沂·期中）设是圆上的一个动点，过向圆引切线，两切点间的线段称为切点弦，则当点在上运动时，切点弦所形成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·天津和平·期中）已知，是圆：上两点，.若存在，使直线：与：的交点恰为线段的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·河南驻马店·月考）已知，，点满足，点在圆：上运动，点在直线上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $