专题02 直线和圆的方程-2024-2025学年寒假高二数学大单元复习（人教A版2019版）

专题02 直线和圆的方程 一、核心知识 1.直线的斜率： （1）倾斜角为的直线的斜率. （2）直线经过两点，，其斜率. 2.两条直线的平行和垂直： (1)若，，则; . (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,则 ①（排除重合）； ② 3.常用直线系方程 (1)平行直线系方程： 直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程． 与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量． (2)垂直直线系方程： 与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量． （3）过两直线的交点的直线系方程： 为参数，不包括在内） （4）过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0) 4.两点间的距离:若，则 5.点到直线的距离：点到直线：的距离 6.两平行直线的距离：两平行直线与间的距离 7.圆的标准方程：设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 8.圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程， 圆心为,半径为. 9.点圆位置关系：点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 10.直线与圆的位置关系：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离 11.圆与圆位置关系：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）;（4）; （5）. 11.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 12.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减） 13.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 二、热门考点 考点一：直线倾斜角与斜率 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）若直线过点，，则此直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西防城港市·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 强化训练： 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·吉林·期末）经过，两点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 4．（24-25高二上·北京·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·四川达州·期末）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 考点二：直线方程 经典基础题: 1．（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·海南海口·期末）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广西玉林市·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 强化训练： 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 4．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 5．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 6．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 考点三：平行与垂直求参 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设直线，若，则实数 . 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= . 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 强化训练： 1．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）直线与直线平行，则 . 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知直线：，：，若，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．3或 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线，若，则实数的值为 ． 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点四：圆的方程 经典基础题: 1．（22-23高二上·广西桂林·期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 3．（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）若圆的圆心是，则该圆的半径为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（18-19高一下·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点五：距离及弦长问题 经典基础题: 1．（22-23高二上·广西桂林·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 2．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（24-25高二上·江西·期末）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 6．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 2．（22-23高二上·广西防城港市·期末）两平行直线与之间的距离是 . 3．（24-25高二上·山东·期末）直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（22-23高二上·天津·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 5．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 6．（24-25高二上·山东·期末）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为 . 9．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 10．（2019·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：位置关系问题 经典基础题: 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）两圆和的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 4．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）（多选）若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（    ） A． B．1 C．3.8 D．4.2 6．（24-25高二上·江西·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（24-25高二上·吉林·期末）（多选）过点且与圆相切的直线方程为(    ) A． B． C． D． 2．（22-23高二上·江苏淮安·期末）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 4．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ． 5．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）. A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 6．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）（多选）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 7．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点七：圆相关最值问题 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是（    ） A．6－2 B．8 C．4 D．10 3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）圆上的动点到直线距离的最大值为 . 5．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 6．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 7．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 强化训练： 1．（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·北京·期末）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·河南·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 考点八：解答题 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知直线与直线相交于点.(1)求点的坐标；(2)求过点，且倾斜角为的直线的方程. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）求符合下列条件的直线的方程： (1)过点，且斜率为；(2)过点，；(3)过点且在两坐标轴上的截距相等． 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆方程；(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 4．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程. 5．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知圆．(1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；(2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 强化训练： 1．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形中，，，边所在直线过点．求： （1）边所在直线的方程；（2）对角线所在直线的方程． 2．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． （1）求直线的方程；（2）若直线恒过定点，求点到直线的距离． 3．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 4．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆和圆．（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程． 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知四边形的三个顶点，，．(1)求过A，B，C三点的圆的方程．(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.(1)求出建筑物的中心的坐标；(2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据.） 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直线和圆的方程 一、核心知识 1.直线的斜率： （1）倾斜角为的直线的斜率. （2）直线经过两点，，其斜率. 2.两条直线的平行和垂直： (1)若，，则; . (2)若,,且A1、A2、B1、B2都不为零,则 ①（排除重合）； ② 3.常用直线系方程 (1)平行直线系方程： 直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程． 与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量． (2)垂直直线系方程： 与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量． （3）过两直线的交点的直线系方程： 为参数，不包括在内） （4）过定点（x1,y1）的直线系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全为0) 4.两点间的距离:若，则 5.点到直线的距离：点到直线：的距离 6.两平行直线的距离：两平行直线与间的距离 7.圆的标准方程：设圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为： 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为：. 8.圆的一般方程：当时，方程叫做圆的一般方程， 圆心为,半径为. 9.点圆位置关系：点与：或（）， 设到圆心的距离为，即，则： （1）则点在外； （2）则点在上； （3）则点在内. 10.直线与圆的位置关系：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则 （1）直线与圆相交；（2）直线与圆相切；（3）直线与圆相离 11.圆与圆位置关系：设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，，则 （1）; （2）; （3）;（4）; （5）. 11.一般地过圆：与圆：的交点的圆的方程可设为 12.若圆：与圆：相交，则两圆公共弦所在直线的方程为.（两圆方程相减） 13.直线与圆相交所得弦长：(d为圆心到直线的距离) 二、热门考点 考点一：直线倾斜角与斜率 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西南宁市·期末）若直线过点，，则此直线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线经过，，所以直线的斜率为，故选：A. 2．（23-24高二上·浙江·期中）若直线的一个方向向量，则的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设的倾斜角为，，由题意得的斜率，则，故选：C． 3．（22-23高二上·广西防城港市·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为，倾斜角满足，，故.故选：C 4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）过两点、的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为过两点、的直线的倾斜角为，所以，即，解得.故选：D 强化训练： 1．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，则直线的斜率，故选：C. 2．（24-25高二上·吉林·期末）经过，两点的直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以经过两点的直线斜率为，又直线的倾斜角范围为，所以其倾斜角为．故选：D． 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线l的一个方向向量是，则直线l的倾斜角是 ． 【答案】 【详解】因为直线l的方向向量为，所以直线的斜率为，即直线的倾斜角的大小是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·北京·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，倾斜角为.故选：D 5．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意直线的斜率为，因此倾斜角为．故选：C． 6．（24-25高三上·四川达州·期末）已知为直线的倾斜角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为为直线的倾斜角，∴直线斜率，所以.故选：A. 7．（23-24高二上·广东·期末）已知直线的斜率为，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为的斜率为，所以，则.故选：B. 考点二：直线方程 经典基础题: 1．（24-25高二上·四川成都·期末）若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率于是直线的方程为，即.故选:A. 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）过点，且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线的斜率，过点的直线与直线平行，所以该直线的斜率，设该直线的方程为，且该直线过点，则，得，所以该直线的方程为，即.故选：. 3．（23-24高二上·海南海口·期末）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得两直线交点，由第一条直线的斜率为，得到所求直线的斜率为， 所求直线的方程为：，即．故选：C 4．（23-24高二上·广西玉林市·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心，直线方程为，或，将点代入上式，解得，直线的方程为或.故选：C. 强化训练： 1．（24-25高二上·北京朝阳·期末）经过点且倾斜角为的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的倾斜角为可知斜率为，再因为直线经过点，由点斜式直线方程得：，整理得：，故选：B. 2．（23-24高二上·河北邢台·期末）已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，所以，整理得的方程为，又点在直线上，且点满足方程， 综上所述，的方程为.故选：B. 3．（23-24高二上·山东青岛·期末）直线在轴､轴上的截距分别是和，则直线的一般式直线方程为 . 【答案】 【详解】由题意，直线l的截距式方程为，化为一般式方程为. 4．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即;当截距不为0时，设的方程为，由过点，得，解得，所以的方程为.故答案为：或 5．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【详解】当时，直线方程为，不符合题意，当时，令时，令时，依题意有，解得：或，综上：或. 6．（23-24高二上·浙江金华·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意设直线方程为：，因为该直线过点，所以，解得，所以直线方程为：，故选：C 7．（23-24高二下·江西·开学考试）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设与直线平行的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是．故选:A 8．（23-24高二上·广西南宁市·期末）（多选）下列说法错误的有（    ） A．若，则直线l：的斜率大于0 B．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 C．斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为 D．经过点且在x轴和y轴上截距（截距均不为0）相等的直线方程为 【答案】ACD 【详解】对于A，，则直线l：的斜率为，A错误； 对于B，过点且斜率为的直线的点斜式方程为，B正确； 对于C，斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为，C错误； 对于D，截距不为0时，设在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，将代入，即，，即得，所以经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线方程为，D错误. 故选 ：ACD. 考点三：平行与垂直求参 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）若直线和平行，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为直线和平行，所以，解得或； 当时，此时直线和平行，满足题意；当时，此时直线和重合，不满足题意，舍去.综上所述：.故选：A. 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知直线与直线平行，则实数（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【详解】已知直线与直线平行，则当且仅当，解得或.故选：C. 3．（24-25高二上·北京朝阳·期末）设直线，若，则实数 . 【答案】 【详解】直线，若，则，所以，故答案为： 4．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知， 若直线 与直线 相互垂直，则a= . 【答案】0或2 【详解】两直线垂直，故，解得或2.故答案为：或2 5．（24-25高二上·河南驻马店·期末）“”是“直线与直线互相垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为“直线与直线互相垂直”可得,所以，故或.所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A. 强化训练： 1．（24-25高二上·山东烟台·期中）已知直线和直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】因为直线和直线平行，所以，解得，当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意，舍去.故选：B 2．（23-24高二上·广西玉林市·期末）直线与直线平行，则 【答案】1 【详解】因为，所以，解得或，当时，直线与直线重合，不合题意；当时，直线与直线平行，符合题意，综上所述：.故答案为：1 3．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知直线：，：，若，则a的值为（    ） A． B．3 C． D．3或 【答案】C 【详解】因为，则，解得或，当时，：，：，两直线重合，故舍去，当时，：，：，两直线平行，符合题意，综上所述，.故选：C. 4．（24-25高二上·云南文山·期末）已知直线，若，则实数的值为 ． 【答案】 【详解】因为直线，且，所以，解得．故答案为： 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当时，直线为，直线为，两直线重合； 当直线与直线平行时，，解得或，而时，两直线重合，当时，直线为，直线为，两直线平行，因此直线与直线平行时，，则，所以“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件.故选：D 考点四：圆的方程 经典基础题: 1．（22-23高二上·广西桂林·期末）已知圆的方程为，则圆心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为,所以圆心的坐标为.故选:C. 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知圆的方程为，则圆的半径为 ． 【答案】 【详解】由圆，整理可得：，则圆的半径为. 3．（24-25高二上·四川成都·期末）过三点的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】设圆的方程为，代入三点，有解得故圆的方程为,故圆的标准方程为.故答案为： 4．（24-25高二上·河北石家庄·期末）“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则线段的中点为，即圆的圆心为，圆的半径，所以圆的方程为.故选：A. 5．（23-24高二上·四川乐山·期末）已知圆的圆心在轴上且经过两点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意设圆的标准方程是，因为圆经过两点， 所以，解得，所以圆的标准方程是，故选：A 强化训练： 1．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知圆，则圆心和半径分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的方程可化为.所以圆心的坐标为，半径为，故选：B. 2．（22-23高二下·河北石家庄·期末）若圆的圆心是，则该圆的半径为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题意可知，，则，所以圆的方程为，即， 所以圆的半径为2.故选：C 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由圆经过点和，可知圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以的坐标为，半径，所以圆的面积为．故选：D． 4．（18-19高一下·浙江·期末）圆心为且过原点的圆的一般方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原点与的距离为，则圆心为半径为的圆的方程为， 则该圆的一般方程是故选：D 5．（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是，所以圆的方程为.故选：D 6．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，即，则，整理可得．故选：C. 考点五：距离及弦长问题 经典基础题: 1．（22-23高二上·广西桂林·期末）已知点到直线的距离为1，则的值为（    ） A．5或15 B．5或15 C．5或15 D．5或15 【答案】D 【详解】因为点到直线的距离为1，所以,解得或5. 故选:D. 2．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知直线，相互平行，则、之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线，相互平行，所以，解得，所以，即，所以、之间的距离.故选：A. 3．（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，过点作于，由到直线的距离为,则,故的面积为.故选：B. 4．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知直线和圆相交于两点．若，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】由圆心为原点，则圆心到直线距离，又， 所以.故选：C 5．（24-25高二上·江西·期末）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】直线：过定点，圆的标准方程为，所以圆心为，半径为，因为，所以点在圆内，所以直线与圆相交，设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以，则.故答案为：. 6．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以直线恒过定点，，因为，所以点在圆内，所以当时，弦最短,设直线的斜率为，则, 所以直线的方程为，即.故选：D. 强化训练： 1．（22-23高二上·广西防城港·期末）已知点到直线的距离相等，则（    ） A．－1或0 B． C．－1 D．2 【答案】C 【详解】根据点到直线距离公式和已知可得，解得.故选：C 2．（22-23高二上·广西防城港市·期末）两平行直线与之间的距离是 . 【答案】 【详解】因为，所以有，所以直线的方程为：，化简为：，因此这两条平行直线之间的距离为：，故答案为： 3．（24-25高二上·山东·期末）直线与圆交于A，B两点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】圆M半径，圆心，则圆心M到直线l距离，故． 4．（22-23高二上·天津·期末）直线被圆所截得的弦长为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【详解】根据圆的标准方程得，圆心坐标，圆的半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离为：，所以弦长为.故选：C 5．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知直线与交于，两点，则的面积为 . 【答案】 【详解】的圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，直线被圆截得的弦长为. 面积为.故答案为：. 6．（24-25高二上·山东·期末）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点到直线的距离为，所以圆C的半径为，则圆C的方程为.故选：A. 7．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知两条直线与被圆截得的线段长均为2，则圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为两条直线与，所以，所以与间的距离为， 所以圆心到直线的距离为1，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，所以圆的面积为.故选：A. 8．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，圆被直线截得的弦长2，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得. 9．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为，因为，所以圆心到直线的距离为，又直线为，所以，解得或．故选：A． 10．（2019·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆，可化为，则其圆心为，半径为，且，即，圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6，所以，解得，综上，，即.故选：D. 考点六：位置关系问题 经典基础题: 1．（22-23高二下·河北石家庄·期末）直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，到直线的距离，所以直线与圆相离.故选：D 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）圆心为且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】点到直线的距离，因为圆与直线相切，所以圆的半径，所以圆的方程为.故选：B 3．（22-23高二上·广西桂林市·期末）两圆和的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【详解】因为圆的圆心，半径，圆圆心，半径，而,，，两圆和相交.故选：B 4．（23-24高二上·广西三新联考·期末）已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则两直线与的交点为，依题意得，解得.故选：B. 5．（23-24高二上·广西三新联考·期末）（多选）若圆M：与圆N：相交，则k的取值可能为（    ） A． B．1 C．3.8 D．4.2 【答案】AC 【详解】两圆的圆心分别为，，圆心距，半径分别为，，因为圆M与圆N相交，所以，解得或.故选：AC. 6．（24-25高二上·江西·期末）在平面直角坐标系中，以点为圆心，且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，变形可得，所以该动直线过定点， 则以点为圆心且与直线相切的所有圆中，圆心到定点的距离为最大半径，所以半径的最大值为，则半径最大的圆的标准方程为. 故选:D. 强化训练： 1．（24-25高二上·吉林·期末）（多选）过点且与圆相切的直线方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意知，圆的圆心，半径，当斜率不存在时，过点，则直线，圆心到此直线的距离等于半径1，满足题意；当斜率存在时，设斜率为，过点，则直线方程为，由直线与圆相切，所以圆心到此直线的距离等于半径1，得，解得，故切线方程为.故选：AB. 2．（22-23高二上·江苏淮安·期末）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为点为圆心到直线的距离为，所以圆的半径为，圆的方程为.故选：D. 3．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知圆与圆，则两圆心之间的距离为 . 【答案】5 【详解】由题意可知：两圆心坐标分别为，，所以两圆心之间的距离为. 故答案为：5. 4．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ． 【答案】相交 【详解】根据两圆的方程，得，，，，两圆相交．故答案为：相交. 5．（24-25高二上·重庆秀山·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ）. A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【详解】圆的圆心为，半径为，圆方程可化为，圆的圆心为，半径为，圆心距，因为，所以两个圆的位置关系是相交.故选：C. 6．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）（多选）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 【答案】ABD 【详解】化为，所以圆心半径， 在圆的外部，所以，解得或，综上所述，的取值范围是.因为，故选：ABD. 7．（23-24高二上·广西北海市·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则由，得到，整理得到，又点在圆上，所以与圆有交点，又的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以，解得，故选：D. 考点七：圆相关最值问题 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西贵港市·期末）若直线是圆的一条对称轴，则点与该圆上任意一点的距离的最小值为 ． 【答案】1 【详解】由题可知，该圆的圆心为，直线过圆心，则，解得，则该圆的方程转化为，该圆圆心为，半径为，易知圆心与的距离为，故点与该圆上任意一点的距离的最小值为．故答案为：1 2．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是（    ） A．6－2 B．8 C．4 D．10 【答案】B 【详解】由反射定律得 点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=8，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为 8．故选B． 3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（    ） A．4 B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】设，由直线，可得，由直线，可得，因为直线与直线满足，所以，所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和，由，，得AB中点为，半径为1，所以点P到点的距离的最大值为，故选：A 4．（23-24高二上·广东深圳·期中）求圆上的动点到直线距离的最大值 ． 【答案】 【详解】圆可化为，其圆心为，半径为1，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为.故答案为：. 5．（2024·广东珠海·一模）已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【详解】两点，，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D 6．（2023·北京西城·模拟预测）已知圆，过直线上的动点作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示：连接，则，当最小时，最小，，故的最小值为.故选：C. 7．（23-24高二上·江西九江·期末）已知点在直线上，过作圆的两条切线，切点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆心到直线的距离为，即l与圆相离， 由于，故， 故当时，最小，此时最大，则也取最大值，此时，，故选：C. 强化训练： 1．（23-24高二上·安徽安庆·期末）已知是以点为圆心，为半径的圆上的点，则点到原点的最小距离为 . 【答案】4 【详解】原点到圆心的距离为，因此点在圆外，故点到原点的最小距离为.故答案为： 2．（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】圆:可化为表示点到点的距离的平方,因为，所以的最小值为.故选：B. 3．（24-25高二上·北京·期末）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆，所以其圆心，半径，所以圆心到直线的距离，则所求距离的最小值为.故选：A. 4．（23-24高二上·贵州铜仁·期末）已知直线：和圆：，若点在圆上运动，则其到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心，所以点到直线：的距离为， 所以点在圆上运动，则其到直线的最短距离为：.故选：A. 5．（23-24高二上·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（    ） A． B．9 C．10 D． 【答案】D 【详解】因为圆：，所以，因为：，即，所以过定点，直线：，令，则；令，则，则，，，作出图象如图所示，因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，所以点到的最大距离为，所以面积的最大值为.故选：D. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知，所以直线与始终垂直，又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点，所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上，所以该圆的圆心坐标为，半径为，圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点.圆心到直线的距离，所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和，又到直线的距离为，应舍去，所以取值集合是.故选：D. 7．（24-25高二上·云南文山·期末）已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆，又直线经过定点，由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大，即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为.（理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点，在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 8．（22-23高二上·广西河池市·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时，最小，由于,所以min， 所以.故选：.   7．（24-25高二上·河南·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，是满足的阿氏圆上的任意一点，该阿氏圆在点处的切线与直线交于点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设点，依题意，，即，则，整理得，所以所求圆的标准方程为；该阿氏圆的圆心为，半径，点到直线的距离，依题意，，当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为： 考点八：解答题 经典基础题: 1．（23-24高二上·广西桂林市·期末）已知直线与直线相交于点.(1)求点的坐标；(2)求过点，且倾斜角为的直线的方程. 【详解】（1）联立，解得，即点. （2）因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为，又因为直线过点，故直线的方程为，即.因此，直线的方程为. 2．（23-24高二上·广西北海市·期末）求符合下列条件的直线的方程： (1)过点，且斜率为；(2)过点，；(3)过点且在两坐标轴上的截距相等． 【详解】（1）∵所求直线过点，且斜率为，∴，即； （2）∵所求直线过，，∴，∴，即； （3）当直线过原点时，设直线方程为， ∵ 直线过点，∴，直线方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为， 将点代入上式，得，解得， 故直线的方程为，综上，直线方程为或． 3．（23-24高二上·广西百色市·期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆方程；(2)若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系. 【详解】（1）已知圆经过点和，则线段的垂直平分线过圆心，又圆心在直线上，由，解得，即圆心，圆的半径. 所以圆的标准方程为. （2）圆的方程为，则圆心，半径.   圆与圆的圆心距，， 所以圆与圆相交. 4．（23-24高二上·广西南宁三新联考·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上.(1)求圆C的方程；(2)过点的直线l与圆C交于P，Q两点，若，求直线l的方程. 【详解】（1）因为，A，B的中点为，故AB的垂直平分线所在的直线方程为，即，由解得，故圆心为，半径，故圆C的方程为； （2）当直线l斜率不存在时，直线l的方程为，此时与圆C没有交点，不合题意； 当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，即， 由，可得圆心到直线l的距离为，解得或0， 故直线l的方程为或. 5．（23-24高二上·广西南宁市·期末）已知圆．(1)已知直线，求该直线截得圆C的弦AB的长度；(2)若直线过点且与圆C相交于两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程． 【详解】（1）法1：圆C的圆心坐标为，半径，圆心C到直线的距离.    则截得的弦长； 法2：设，联立方程组得，,消得， ； 法3：设，联立方程组得，,消得， 解得，则， . （2）圆C的圆心坐标为，半径， 当直线的斜率不存在时，与圆没有交点，舍去， 设直线的方程为，即，则圆心C到直线的距离为， 又的面积，所以当时取最大值8， 由，得，解得，， 所以直线的方程为或. 强化训练： 1．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形中，，，边所在直线过点．求： （1）边所在直线的方程；（2）对角线所在直线的方程． 【解答】（1）因为边所在直线过点，所以直线的方程为：， 即，在菱形中可知， 所以设直线的方程为，将点代入， 所以，所以直线的方程为：； （2）由题意可得线段的中点，，即，， 因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的斜率为， 所以所在的直线方程为，即． 2．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点． （1）求直线的方程；（2）若直线恒过定点，求点到直线的距离． 【解答】（1）直线的倾斜角为，，，则，故直线的斜率为， 这条直线经过点，则直线的方程为，即； （2）直线，即， 令，解得，故定点，， 点到直线的距离为． 3．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【解答】（1）根据，，可得的中点为． 由、，得， 因为四边形为平行四边形，所以，得， 而直线，可知直线的斜率为， 所以直线的方程为，整理得． （2）设，根据，，， 可得，，结合，得，，，即， 根据，，得，即， 所以点到的距离为， 因此，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为． 4．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆和圆．（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程． 【解答】（1）圆圆心，半径， 圆的圆心，半径 ，，圆心距， ，得两圆的位置关系是相交； 圆和圆． 圆和圆的方程两边对应相减，化简得，即为两圆公共弦所在直线方程． （2）设切线方程为，即，圆心到切线的距离等于半径2， ，解得或，切线方程为，即，或 所以，所求的直线的方程是，或． 5．（23-24高二上·广西贵港市·期末）已知四边形的三个顶点，，．(1)求过A，B，C三点的圆的方程．(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程． 【详解】（1）方法一：因为，，，则，， 由，得，则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点， 半径，所以过A，B，C三点的圆的方程为； 方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，则，解得， 故过A，B，C三点的圆的方程为，即. （2）设，由题意可得：，， 因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，则，解得， 即． 方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点， 所以直线l的方程为，整理得； 方法二：设l与相交于点，则，由直线l平分四边形的面积，可得，则，解得，即，所以直线l的方程为，整理得. 6．（23-24高二上·广西玉林市·期末）如图，四边形是一块长方形绿地，是一条直路，交于点，交于点，且.现在该绿地上建一个标志性建筑物，使建筑物的中心到三个点的距离相等.以点为坐标原点，直线分别为，轴建立如图所示的直角坐标系.(1)求出建筑物的中心的坐标；(2)由建筑物的中心到直路要开通一条路，已知路的造价为150万元，求开通的这条路的最低造价.（附：参考数据.） 【详解】（1）解法一：由题可知，由题可知经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心，设圆的方程为，则，解得， 圆的方程为，即， 建筑物的中心的坐标为. 解法二：由题可知，由题可知 经过点的圆的圆心即为所建建筑物的中心， 线段中点为，且线段的垂直平分线为， 线段中点为，且，线段的垂直平分线为， 联立，得，所以建筑物的中心的坐标为. （2）因为为建筑物的中心坐标， 设线段的中点为，由垂径定理得的长度为点到的最小距离， ，圆的半径为，点到的距离为， 开通的这条路的最低造价为（万元）. 30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$