复习专题04 圆的方程10题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题04 圆的方程10题型分类 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．点与圆的位置关系 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 3．直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 4．圆与圆的位置关系 (1)几何法． 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝ |r1－r2| d< |r1－r2| (2)代数法． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （一） 1．求圆的方程 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 2．与圆有关的轨迹 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型1：求圆的方程 1．（2024高二下·陕西榆林·期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一下·云南红河·阶段练习）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 题型2：圆的对称问题 6．（2024高二上·江苏南通·期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024高二上·云南昆明·期末）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·内蒙古包头·期末）已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 题型3：点和圆的位置关系 9．（2024高二上·河北邢台·期末）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 11．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 12．（2024高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 题型4：圆的轨迹问题 13．（24-25高二上·广东江门·期末）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 14．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 15．（24-25高二上·安徽黄山·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 16．（2024高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． （二） 1．直线与圆的位置关系 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2．直线与圆相交弦长 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 求直线与圆的交点坐标，用两距离公式计算弦长 弦长公式法 联立方程消元，利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 题型5：直线与圆的位置关系 17．（2024高二下·贵州·期末）圆：与直线：的位置关系为（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 18．（2024高二下·黑龙江牡丹江·期末）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．（2024高二上·江苏连云港·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 题型6：圆的切线问题 21．（2024高二下·广东广州·期末）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 22．（2024高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 24．（2024高二上·河南商丘·期末）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 25．（2024高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型7：圆的弦长问题 26．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 27．（2024高二上·广西防城港·期末）直线截圆所得的弦长为（    ） A．4 B． C． D． 28．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（    ） A．或2 B．或12 C．或12 D．或1 （三） 1．两圆的位置关系 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 2．两圆的公共弦 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型8：圆与圆的位置关系 29．（2024高二上·浙江丽水·期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 30．（2024高二上·重庆·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 31．（2024高二上·湖南·期末）已知圆与圆相外切，，为正实数，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 32．（24-25高二上·北京·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 33．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 题型9：圆的公共弦长 34．（2024高二上·内蒙古包头·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 35．（2024高二上·浙江杭州·期末）圆和圆的交点为，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段中垂线方程为 D． 36．（2024高二上·四川资阳·期末）已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 37．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 38．（2024高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 39．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 题型10：圆的公切线问题 40．（2024高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二上·四川·期末）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 42．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2024高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 2．（2024高二上·海南·期末）已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 5．（2024高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 6．（24-25高三上·江苏扬州·期末）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 二、多选题 8．（24-25高二上·福建福州·期末）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有4条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）若圆：与圆：的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 10．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 三、填空题 11．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 12．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 13．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 14．（2024高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 15．（2024高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 16．（2024高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·四川·期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 18．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 19．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 20.（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. (1)当点的横坐标为2时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 21．（2024高一下·江苏·期末）已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 22．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学寒假能力提升精讲精练讲义（人教A版2019） 复习专题04 圆的方程10题型分类 1．圆的方程 (1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2． (2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 2．点与圆的位置关系 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点M在圆内 |CM|<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 3．直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 代数法： 由消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 4．圆与圆的位置关系 (1)几何法． 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d<r1＋r2 d＝ |r1－r2| d< |r1－r2| (2)代数法． 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 （一） 1．求圆的方程 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 2．与圆有关的轨迹 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等． 题型1：求圆的方程 1．（2024高二下·陕西榆林·期末）若圆经过点，，且圆心在直线：上，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解的中垂线方程，然后求解圆的圆心坐标，求解圆的半径，然后得到圆的方程. 【详解】圆经过点，， 可得线段的中点为，又， 所以线段的中垂线的方程为， 即， 由，解得， 即，圆的半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 2．（2024高一下·云南红河·阶段练习）过点，，且圆心在直线上的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得线段AB的中垂线的方程，再根据圆心又在直线上求得圆心，圆心到点A的距离为半径，可得圆的方程． 【详解】因为过点与， 所以线段AB的中点坐标为，， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 所以线段AB的中垂线的方程为， 又因为圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆心为， 所以圆的方程为. 故选：A 3．（2024高二上·天津和平·期末）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可. 【详解】设所求圆方程为, 因为，，三点都在圆上， 所以，解得， 即所求圆方程为：. 故选：C. 4．（2024高二上·辽宁丹东·期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（    ） A．12 B．6 C．24 D． 【答案】A 【分析】由两圆标准方程得圆心坐标和半径，由和可知，则四边形的面积，计算即可. 【详解】圆，圆心坐标为，半径， 圆化成标准方程为，圆心坐标为，半径， 圆与圆都过点，则，如图所示， 又，∴，由对称性可知，， ，，则四边形的面积. 故选：A 5．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知点，，. (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段AC的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）仿照（1），求出线段的垂直平分线的方程，再将两线段的中垂线方程联立，依次求出圆心和半径，即得圆的方程. 【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即； （2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即， 由解得：， 即圆心为，圆的半径为：, 故圆的方程为：. 题型2：圆的对称问题 6．（2024高二上·江苏南通·期中）圆：关于直线对称的圆的方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆心的中点在直线上，过两圆心的直线与已知直线垂直列方程组可得所求圆心坐标，然后可得. 【详解】解：表示以为圆心，以1为半径的圆． 设关于直线对称的点为，则有，解得：，， 所以：关于直线对称的圆的方程为． 故选：A． 7．（2024高二上·云南昆明·期末）若直线与圆的两个交点关于直线对称，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意分析得知：直线经过圆心，求出b；由直线与直线垂直，求出k； 【详解】∵直线与圆的两个交点关于直线对称， ∴直线经过圆心（-2,0）且直线与直线垂直， ∴解得： 故选：B 【点睛】(1)坐标法是解析几何的基本方法； (2)解析几何归根结底还是几何，寻找合适的几何关系可以简化运算． 8．（2024高二上·内蒙古包头·期末）已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为， 由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以, 所以线段的垂直平分线为. 所以线段的垂直平分线为. 故选：C 【点睛】方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解. 题型3：点和圆的位置关系 9．（2024高二上·河北邢台·期末）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】C 【分析】求出直线过的定点，判断定点和圆的位置可得答案. 【详解】直线方程整理为，即直线过定点， 而，所以定点在圆内， ∴直线与圆相交. 故选：C. 10．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知点在圆的外部，则的值可能为（   ） A．0 B．4 C．2 D． 【答案】ABD 【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于半径列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】化为， 所以圆心半径， 在圆的外部， 所以，解得或， 综上所述，的取值范围是. 因为， 故选：ABD. 11．（2024·河南·一模）已知圆，则下列说法错误的是（    ） A．点在圆外 B．直线平分圆 C．圆的周长为 D．直线与圆相离 【答案】D 【分析】根据方程可知圆心和半径，结合圆的性质和周长公式逐项分析判断. 【详解】由可知圆心坐标为，圆的半径为1． 对于选项A：由点到圆心的距离 所以点在圆外，故A正确； 对于选项B：因为圆心在直线上， 所以圆关于直线对称，故B正确； 对于选项C，圆的周长为，故C正确； 对于选项D，因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故D错误． 故选：D． 12．（2024高二上·上海·期末）点在圆外，则直线与该圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系分析判断. 【详解】因为点是圆外一点，故有， 则圆心到直线的距离为， ∴直线与该圆的位置关系是相交． 故答案为：相交. 题型4：圆的轨迹问题 13．（24-25高二上·广东江门·期末）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设，根据得到方程，整理得到曲线的标准方程； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，当斜率不存在时，满足要求，当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出答案. 【详解】（1）设，则， 故， 化简整理得， 故曲线的标准方程为； （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时到的距离为1，故与圆相切，满足要求， 当过点的直线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到的距离， 解得，故切线方程为，即， 综上，过点且与曲线相切的直线方程为或. 14．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知平面直角坐标系中，圆，点， (1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程； (2)过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）是线段的中点，利用中点坐标公式表示出点坐标，代入圆即可. （2）斜率存在时，设，则的圆心到直线的距离，解得，得到的直线方程，斜率不存在时也符合. 【详解】（1）设，，因为线段的中点为， 则，所以， 点在圆上，代入圆，得， 化简得，即为的轨迹方程； （2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 当直线的斜率存在时，设，即， 则的圆心到直线的距离， 所以，解得，故直线为； 当直线斜率不存在时，，也符合题意， 所以直线的方程为或. 15．（24-25高二上·安徽黄山·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点，点满足，则点的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 . 【答案】 【分析】设，由已知可得，化简即可得结果. 【详解】设，因为， 化简得到圆，是以为圆心，为半径的圆． 故答案为：. 16．（2024高二下·重庆·期末）已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解. 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D （二） 1．直线与圆的位置关系 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2．直线与圆相交弦长 几何法 利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋2解题 代数法 求直线与圆的交点坐标，用两距离公式计算弦长 弦长公式法 联立方程消元，利用根与系数的关系得弦长 l＝|x1－x2|＝ 题型5：直线与圆的位置关系 17．（2024高二下·贵州·期末）圆：与直线：的位置关系为（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】由圆心到直线的距离等于半径可判断相切. 【详解】由得， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 由得， 圆心到直线的距离为：， 故圆与直线相切， 故选：A 18．（2024高二下·黑龙江牡丹江·期末）“”是“直线与圆相离”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线和圆相离求得参数a的取值范围，比较该范围和的关系，即可判断出答案. 【详解】将配方，即， 表示圆需满足， 所以或，其圆心为，半径为， 因为直线与圆相离， 故圆心到直线的距离，解得， 结合或可得或， （） 则成立推不出直线与圆相离； 反之成立，故“”是“直线与圆相离”的必要不充分条件， 故选：B 19．（2024高二上·江苏连云港·期中）若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的恒过点，再将曲线转化为，可知其图象为圆的一部分，结合图形，即可求出的取值范围. 【详解】由题可知，直线可转化为，所以直线恒过点， 又因为曲线可转化为，则其表示圆心为原点，半径为的圆的上半部分， 当直线与该曲线相切时，点到直线的距离，解得. 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，需要即 故选：D 20．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由圆上至少有3个点到直线的距离为1， 所以. 故选：A. 题型6：圆的切线问题 21．（2024高二下·广东广州·期末）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】确定点在圆上，即可求得圆心和该点连线的斜率，即得过该点的切线的斜率，由直线的点斜式方程可得答案. 【详解】将点代入中，成立， 即点在圆上， 圆心和连线的斜率为 ， 故过圆上点的切线的斜率为 ， 则切线方程为，即， 故选：C 22．（2024高二上·安徽淮北·期末）从原点向圆引两条切线，则两条切线间圆的劣弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与圆相切求得直线的斜率，得到切线的倾斜角，结合图形求得两条切线间圆的劣弧所对的圆心角，用弧长公式即得. 【详解】    由配方得：，即圆心为,半径为. 如图，设过原点的圆的两条切线与圆切于点,连接. 设切线的方程为：，由圆心到切线的距离为，解得：， 设其中一条切线的倾斜角为，满足，解得：，故, 则两条切线间圆的劣弧长为. 故选：B. 23．（2024高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解. 【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为， 显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意； 设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切， 所以，所以解得， 所以满足题意的直线方程为或. 故选：D. 24．（2024高二上·河南商丘·期末）已知圆，过点作圆的一条切线，切点为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】 画出图形，求出的长，就能求出的长，根据求解. 【详解】因为圆的圆心，半径为 因为是圆的切线， 所以，即是以为直角的直角三角形 则 又因为 又因为 所以 所以 故选：A 25．（2024高二上·广西河池·期末）已知点是圆上的一点，过点作圆的切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得两圆心之间的距离，根据三点共线可知当 共线且点在之间时，最小，由勾股定理即可求解. 【详解】切线长，所以当取得最小值时，切线长取得最小值.当 共线且点在之间时， 最小，由于,所以min， 所以. 故选：.    题型7：圆的弦长问题 26．（2024高二下·甘肃白银·期末）已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理，分析出圆心和连线的直线垂直于直线时，所截得弦长最短. 【详解】      由于，故点在圆内， 化为标准方程：. 如图，设，垂足为，设直线和圆的交点是， 根据垂径定理，， 为使得最小，必须最大，显然， 重合的时候取得等号，此时，由于， 所以直线的斜率为，故直线的方程为， 即. 故选：C 27．（2024高二上·广西防城港·期末）直线截圆所得的弦长为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长. 【详解】由已知，圆， 则圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离为， 所以，直线被圆截得的弦长为. 故选：A. 28．（2024·全国·模拟预测）已知圆，直线.若直线与圆相交所得的弦长为8，则（    ） A．或2 B．或12 C．或12 D．或1 【答案】C 【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心与半径，再利用点线距离公式与弦长公式得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由圆的方程，得圆的标准方程为， 所以，解得或. 圆心到直线的距离， 又弦长为，即， 整理得，解得或，均满足圆的条件. 故选：C. （三） 1．两圆的位置关系 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 2．两圆的公共弦 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型8：圆与圆的位置关系 29．（2024高二上·浙江丽水·期末）若圆与圆外切，则实数（    ） A．－1 B．1 C．1或4 D．4 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件化简得，即两圆圆心为， 设其半径分别为，，所以有. 故选：D 30．（2024高二上·重庆·期中）已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得. 【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线垂直，得，解得， 当时，圆：，即的圆心，半径， 而圆：的圆心，半径， 于是，则圆与圆相交，符合题意， 所以的值为2. 故选：A 31．（2024高二上·湖南·期末）已知圆与圆相外切，，为正实数，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】由题意结合圆与圆相切的性质得，转化条件得，利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意圆的圆心，半径， 圆的圆心，， ， ， 当且仅当时等号成立. 故选：B. 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系的应用，考查了条件等式求最值，属于中档题. 32．（24-25高二上·北京·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】根据圆心距与半径的关系即可求解. 【详解】的圆心和半径为， 的圆心和半径为, 故两圆的圆心距离为, 故两圆为外切， 故选：C 33．（2024高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 题型9：圆的公共弦长 34．（2024高二上·内蒙古包头·期末）已知圆与圆交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两圆相交求出公共弦所在直线方程，再根据弦长公式求解即可. 【详解】由题意知，圆与圆相交，且公共弦所在直线方程为. 又圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 由弦长公式得. 故选：B. 35．（2024高二上·浙江杭州·期末）圆和圆的交点为，则有（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段中垂线方程为 D． 【答案】D 【分析】 对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程； 对于B，由弦长公式计算即可； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断； 对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故错误； 对于B，设到直线：的距离为， 则有， 则弦长公式得：，故错误； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线， 又因为，， 所以直线的方程为，故错误； 对于D，由，解得或， 取， 所以 所以， 所以，故正确. 故选：D. 36．（2024高二上·四川资阳·期末）已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】求得，由此求得四边形的面积. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为， 所以， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 所以四边形的面积为. 故选：A 37．（2024高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 38．（2024高二上·吉林白山·期末）已知圆与圆相交于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出公共弦所在的直线方程以及公共弦长，利用面积公式计算即可. 【详解】联立,相减可得直线：， 所以到直线的距离为， 利用圆与直线相交可得：， 所以. 故选：A. 39．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知，，动点满足，则点的轨迹与圆相交的弦长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据题设整理可得点P的轨迹方程为圆，由两圆方程消去二次项可得公共弦所在直线方程，然后由点到直线的距离公式和圆的弦长公式可得. 【详解】设，则， 整理得， 联立消去二次项得公共弦所在直线方程， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为1， 所以公共弦长为. 故选：A 题型10：圆的公切线问题 40．（2024高二上·山东聊城·期末）已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 41．（24-25高二上·四川·期末）已知圆：，圆：，则圆，的公切线条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】判断出两圆的位置关系即可得出圆，的公切线条数. 【详解】由已知得，圆：，圆心为，半径为； 圆：，圆心为，半径为，故， 而，故圆，相交，有两条公切线. 故选：. 42．（2024高二上·安徽滁州·期末）圆与圆公切线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据两圆的一般方程求出两圆圆心、半径，求出圆心距.根据圆心距与两半径之间的关系可得两圆外离，即可得出答案. 【详解】根据题意： 圆，， 其圆心为，半径； 圆，， 其圆心为，半径； 两圆的圆心距，所以两圆外离， 所以公切线条数有4条. 故选：D. 43．（2024高二上·四川成都·期末）平面直角坐标系内，与点的距离为且与圆相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】根据给定条件，判断以点为圆心，为半径的圆与已知圆的位置关系即可得解. 【详解】根据题意可知与点的距离为的直线始终与以点为圆心，为半径的圆相切， 而此直线又与圆相切，因此该直线是圆与圆的公切线， 又两圆圆心距离等于两圆半径和， 所以两圆外切，它们有3条公切线，即所求切线条数为3， 故选：C 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）点，点是圆上的一个动点，则线段PQ的中点的轨迹方程是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可设点，PQ中点，利用M和Q的关系得到，再通过点是圆上的一个点，代入圆方程化简即为的轨迹方程。 【详解】设，PQ中点， ∴，即， 又∵点是圆上的一个点， ∴，化简得， ∴的轨迹方程为. 故选：A 2．（2024高二上·海南·期末）已知点则以线段AB为直径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解 【详解】因为AB为直径， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为， 故选：C 3．（2024·江苏·模拟预测）已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解． 【详解】由， 则可设为参数，， 故，其中， 当时，取得最小值，最小值为． 故选：D． 4．（2024高一下·吉林白城·期末）某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度是36m，拱高是6m，在建造时，每隔3m需用一个支柱支撑，则支柱的长为（   ）    A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程，求解圆的方程，代入点，得解 【详解】如图，以线段所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A，B，P的坐标分别为，，．    设圆拱所在的圆的方程是． 因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是． 将点的横坐标代入上式， 结合图形解得. 故支柱的长为． 5．（2024高二下·甘肃·期末）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为（    ） A．32 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】分析可知，计算出，即可求得四边形的面积. 【详解】由，则圆心坐标是，半径是3．因为圆心到点的距离为， 所以点在圆内，最长弦为圆的直径， 由垂径定理，得最短弦和最长弦（即圆的直径）垂直， 故最短弦的长为，最长弦即直径， 所以四边形的面积为． 故选：D 6．（24-25高三上·江苏扬州·期末）过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，当时，弦的长度取得最小值，故先求出的长，再利用勾股定理可求出的最小值. 【详解】圆，即， 则圆心，半径为， 因为，所以点在圆内， 由圆的性质可知，当时，弦的长度取得最小值， 因为， 所以弦的长度的最小值为. 故选：B 7．（24-25高二上·河北衡水·期末）已知直线与圆相交于两点，且，则实数（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由题意得圆的圆心、半径，结合得点到直线的距离为，由此即可列方程求解. 【详解】由，得到，所以圆的圆心为，半径为， 因为，所以圆心到直线的距离为，又直线为， 所以，解得或． 故选：A． 二、多选题 8．（24-25高二上·福建福州·期末）点在圆上，点在上，则（    ） A．两个圆的公切线有4条 B．两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上 C．的取值范围为 D．两个圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】ABC 【分析】求出两圆圆心坐标和半径确定两圆位置判断AD；求出过两个圆心的直线判断B；利用圆上点最值关系判断C. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，，得圆外离，这两个圆有4条公切线，A正确； 对于B，直线的方程为，因此直线为两圆的公共对称轴，B正确； 对于C，，，则的取值范围为，C正确； 对于D，由圆外离，得圆不存在公共弦，D错误； 故选：ABC 9．（24-25高二上·江苏徐州·期末）若圆：与圆：的交点为，，则（    ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．过点作圆：的切线方程为 D．若实数，满足圆：，则的最大值为2 【答案】AD 【分析】将圆和圆的方程相减即可判断A，线段的中垂线即为直线，可判断B选项，易知点在圆外，讨论斜率是否存在即可求解切线方程，可判断C，令，代入圆的方程，解方程即可判断D. 【详解】易知圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 对于A，两圆心距为，此时，两圆相交； 所以两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为，即A正确； 对于B，由圆的性质可知，线段中垂线即为即为直线，其方程为， 化简可得，所以B错误； 对于C，易知点在圆：外， 当切线斜率不存在时，直线方程为，不合题意； 当切线斜率存在时，设直线方程为， 因此圆心到直线的距离为， 解得，所以切线方程为，即C错误； 对于D，令，代入圆的方程整理可得， 该方程有解，故，解得， 即的最大值为2，所以D正确. 故选：AD 10．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．的最小值为3 C．的最小值为 D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则 【答案】AC 【分析】根据直线的定点、圆的相乘、向量数量积运算、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，直线，即， 由解得，所以定点坐标为，A正确， 对于B，圆的圆心为，半径为， 点与圆心的距离为， 所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值， 故B错误， 对于C，设，则， 当，即直线方程为时， 取得最小值为，所以C正确， 对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个， 则圆心到直线的距离为， 所以， 整理得，所以D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到公共弦所在的直线的距离，再由可得答案. 【详解】将两个圆的方程作差得：， 即公共弦所在的直线为， 又知，则到直线的距离为： ，所以公共弦长为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·山东·阶段练习）与圆，都相切的直线有 条． 【答案】3 【分析】根据两圆心距离与两个圆的半径和差关系判断两圆位置关系，即可判断公切线条数. 【详解】圆的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为，因为， 所以圆与圆外切，与圆，都相切的直线有3条． 故答案为：3 13．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知直线：，圆：，若直线与圆交于两点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由直线过定点，可知圆心到直线的距离的范围，即可得弦长的取值范围. 【详解】 直线：过定点， 圆的标准方程为，所以圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内， 所以直线与圆相交， 设圆心到直线的距离为，当与直线垂直的时候最大，所以， 则. 故答案为：. 14．（2024高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 15．（2024高二下·陕西咸阳·期末）若直线与圆有公共点，则的一个取值是 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】由直线与圆有公共点，得直线和圆的位置关系为相切或相交，利用圆心到直线的距离公式及，建立的不等式求解即可. 【详解】直线恒过定点， 圆的圆心为，半径， 显然点在圆外，直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离， 化简得，解得. 又，则或1或2. 即的一个取值是. 故答案为：（填或填也正确） 16．（2024高二下·广东江门·期末）已知直线与圆交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用圆的弦长求法，结合面积可得方程求解即可. 【详解】由圆可知，圆心，半径， 设圆心到直线的距离为， 由垂径定理可知， 由面积为知：，解得或， 则由点到直线的距离公式得：， 当时，有，解得：， 当时，有，解得：， 故答案为：（取这三个中的任何一个都算对，答案不唯一）. 四、解答题 17．（24-25高二上·四川·期末）已知直线l：恒过点C，且以C为圆心的圆与直线相切． (1)求点C的坐标； (2)求圆C的标准方程； (3)设过点的直线与圆C交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线的点斜式方程求定点； （2）根据圆心到直线的距离等于半径，求圆的方程； （3）根据圆的弦长公式求解. 【详解】（1）直线l：，即， 所以直线l恒过点． （2）圆C的圆心为． 圆C的半径， 所以圆C的标准方程为． （3）由于点D在圆内部， 所以当直线AB与直线CD垂直时，取最小值．． ，，即的最小值为. 18．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线，圆． (1)若，求直线被圆所截得的弦长； (2)已知直线过定点，过点作圆的切线，求点的坐标及该切线方程． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据圆的弦长公式求解即可； （2）先求出定点，分切线的斜率是否存在，再根据圆心到切线的距离等于半径即可得解. 【详解】（1）圆的圆心，半径， ，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为； （2）直线变形得， 令，则， 所以直线过定点， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 则圆心到切线的距离为，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述所求直线方程为或. 19．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知圆内有一点，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为. (1)当时，求的长； (2)当弦被点P平分时，求直线l的方程. 【答案】(1)) (2) 【分析】（1）写出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理求得弦长； （2）求出圆心与点连线斜率，从而得直线l斜率，得直线方程； 【详解】（1）由题意直线的斜率为，直线方程为，即， 圆心为，圆半径为， 到直线距离为， 所以； （2）弦AB被点P平分，则，又，所以， 直线方程为，即； 20.（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为. (1)当点的横坐标为2时，求切线的方程； (2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程； （2）由题意可得，又，故求得的最小值即可. 【详解】（1）由圆，可得圆心，半径， 点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为， ①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，； ②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为， 即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：， ， 此时，切线方程为， 化简，得， 切线方程为或； （2）为公共边，， ， 又当最小时，最小， 由题意可知，当时，最小， 此时，， ， 四边形面积的最小值为. 21．（2024高一下·江苏·期末）已知圆上一点 (1)求圆在点处的切线方程； (2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先依题求得圆的方程，再求直线的斜率，即得切线斜率，由点斜式方程即得切线方程； （2）设直线的点斜式方程，代入圆的方程，由韦达定理求出点A的坐标，计算弦长和点到直线的距离，由三角形面积公式列方程，解之即得直线的方程. 【详解】（1）由题意，点在圆上，可得， 因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为， 故切线方程为，即； （2）如图， 由（1）知圆，又点，， 当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，， 点到的距离为3，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线，即， 代入中，整理得：， 设，由韦达定理，，即， 代入，可得，即， 于是， 则得， 点到直线的距离为：， 则，解得或， 故直线的方程为或. 22．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且点，在上. (1)求圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线经过点，且与圆相交于D，E两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出线段的垂直平分线所在的直线方程，与联立解出圆心坐标，再求出圆的半径即可； （2）由已知可得直线的方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理即可求解. 【详解】（1）设线段的中点为，则， 因为直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线所在的直线方程为， 由得， 所以圆心，半径为， 所以圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 又直线经过点，所以直线的方程为， 即， 所以点到直线的距离为， 所以. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$