专题5.5二次函数的应用核心讲义(核心考点+题型突破+期末冲刺)2025-2026学年九年级数学下册全国通用

该初中数学二次函数应用核心讲义通过分类整合12类常考题型构建知识体系，用表格梳理各题型核心公式和等量关系，以框架图呈现“审题定变量-建模列解析式-求解用性质-检验写答案”的解题步骤，清晰呈现图形问题、销售问题等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层专练设计与建模方法指导，基础巩固含单选、填空、解答题夯实基础，能力提升题强化综合应用，如拱桥问题通过建坐标系用顶点式y=ax²+k建模培养模型意识和抽象能力。典例与跟踪专练结合，助力学生举一反三，教师可据此实施精准教学，提升不同层次学生的数学思维和应用能力。

专题5.5二次函数的应用核心讲义 常考题型 精讲精炼 1.二次函数应用:图形问题 2.二次函数应用:图形运动问题 3.二次函数应用:拱桥问题 4.二次函数应用:销售问题 5.二次函数应用:投球问题 6.二次函数应用:喷水问题 7.二次函数应用:其他应用问题 8.二次函数综合:线段周长问题 9.二次函数综合:面积问题 10.二次函数综合:特殊三角形问题 11.二次函数综合:特殊四边形问题 12二次函数综合:其他综合问题 分层 专练 基础 巩固 单选题(7) 填空题(5) 解答题(5) 能力 提升 单选题(5) 填空题(8) 解答题(7) 1.审题定变量：找两个相关变量，明确自变量取值范围和求解目标（最值 / 特定值）。 2.建模列解析式：设未知数，根据等量关系列二次函数（选标准式 / 顶点式 / 交点式）。 3.求解用性质：算顶点横坐标x=−，判断是否在取值范围内： 在范围内 → 顶点纵坐标为最值； 不在范围内 → 按函数单调性求最值。 4.检验写答案：验证结果符合实际意义，规范作答。 【题型01.二次函数应用:图形问题】 3 个核心式子 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)，求最值用） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（与x轴交于(x1​,0)、(x2​,0)） 2 个关键等量关系 面积类：矩形S=长宽；三角形S=底高 最值类：顶点纵坐标 = 最值（a>0最小，a<0最大） 【典例】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【跟踪专练1】某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【跟踪专练2】圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【题型02.二次函数应用:图形运动问题】 1.核心公式：二次函数优先用顶点式（y = a(x - h)² + k），核心是顶点坐标(h, k)；平移、对称等图形运动只需变换顶点坐标，再代入顶点式。 2.等量关系：将几何条件（如面积、长度、等腰 / 直角 / 平行四边形）转化为用坐标表示的代数方程。 【典例】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【题型03.二次函数应用:拱桥问题】 一、 核心建模方法 1.建坐标系：以拱桥顶点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2（最简形式）；或 以拱桥底部中点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2+k。 2.求参数a：代入已知点坐标（如桥脚坐标、水面宽度对应的点），解方程得a。 二、 核心等量关系 1.桥高：顶点到x轴的距离（即∣k∣或顶点纵坐标绝对值）。 2.水面宽度：水面高度y=h时，解方程ax2=h（或ax2+k=h）得两个x值宽度=∣x1−x2∣. 【典例】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【跟踪专练1】如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【跟踪专练2】悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【题型04.二次函数应用:销售问题问题】 一、 2 个核心等量关系 单件利润 = 单件售价 − 单件成本 总利润 = 单件利润 × 销售数量 二、 1 个函数模型（求最值用顶点式） 设 售价提高 / 降低x元（或直接设售价为x） 表示： 单件利润 = 原单件利润 ±x（提价用+，降价用−） 销售数量 = 原销量 ∓bx（提价销量减少，降价销量增加，b为销量变化系数） 列总利润函数：y=(单件利润)(销售数量) → 整理为 y=ax2+bx+c 用顶点纵坐标求最大利润（a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值） 【典例】某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【跟踪专练1】某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【跟踪专练2】根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【题型05.二次函数应用:投球问题】 1.核心公式： 顶点式：y = a(x - h)² + k 顶点坐标：(h, k)，其中 k 代表最大高度，h 代表到达最大高度时的水平距离。 一般式：y = ax² + bx + c，当已知抛物线上的三个点时使用。 2.等量关系： 建立坐标系：通常将物体的起点（如投球点、喷水口）作为坐标原点 (0, 0)。 代入已知点：题目会给出一些关键信息，如最大高度、射程或经过的某一特定点的坐标。将这些点的坐标代入函数解析式，即可求出系数 a、b、c。 3.求解问题： 最大高度：直接读取顶点的纵坐标 k。 射程：求抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标（即 y = 0 时的 x 值）。 判断命中：将目标的横坐标代入解析式，求出对应的 y 值，与目标的高度进行比较。 【典例】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【跟踪专练1】在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【跟踪专练2】综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池，达到最大射程米． (1)最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ (2)目标城池中心与投石线间的距离是多少？ (3)目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 【题型06.二次函数应用:喷水问题】 一、 建模关键（坐标系） 以喷水起点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，设函数为y=ax2+bx（a≠0，过原点，常数项c=0） 若已知喷水最高点（顶点），直接用顶点式y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)即最高点坐标） 二、 2 个核心等量关系 1.喷水高度：对应函数的y值（竖直高度） 2.喷水水平距离：对应函数的x值（水平射程）；落地时y=0，解方程得x1,x2​，∣x1−x2∣为总射程 【典例】为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【跟踪专练1】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【跟踪专练2】综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 【题型07.二次函数应用:其他应用问题】 二次函数在其他实际问题中的应用，核心是建模与求最值。 简单来说，就是： 找关系：从问题中找出两个变量之间的等量关系。 列函数：根据关系列出一个二次函数 y = ax² + bx + c。 求最值：因为二次函数图像是抛物线，所以可以找到它的最高点（a<0时）或最低点（a>0时），这个点的纵坐标就是我们要找的最大或最小值。 常见类型： 几何最值：如用固定长度的材料围图形，求最大面积。 利润成本：如生产多少产品，利润最大。 物理关系：如自由落体的距离与时间。 一句话：把实际问题变成二次函数，然后找它的顶点。 【典例】汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【跟踪专练1】为助力城市道路交通安全宣传，某中学数学实践小组对某品牌家用轿车的制动性能开展实地调研． 调研表明：从驾驶员发现危险到车辆完全停止的“制动非安全距离”由“反应距离”和“制动距离”两部分组成．其中，“反应距离”是指驾驶员从发现危险到踩下刹车的过程中，车辆以原车速匀速行驶的距离（据资料查验，人类平均反应时间约为秒）；“制动距离”是指驾驶员踩下刹车后，车辆减速至停止的距离． 实践小组获得该轿车不同车速（车速不超过）下的制动距离数据，具体数据如下： 车速 0 30 45 60 90 120 制动距离 0 请结合以上信息完成下列任务： (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的制动距离与车速之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)已知反应距离=车速×反应时间．在（1）的情况下解决下列问题： ①若该款轿车在城市道路行驶时，驾驶员突然发现前方有故障车辆，紧急制动后测得制动痕迹长，且并未追尾故障车辆，求驾驶员发现时离故障车辆距离至少为多少（保留符合题意的最小整数）； ②在高速公路上经常有警示牌提醒与前车保持的距离，请结合以上信息进行说明． 【跟踪专练2】小明为了研究过山车项目中的数学知识，将某游乐场过山车滑道的一部分抽象出来，如图所示建立平面直角坐标系（以1米为一个单位长度），使点在轴上，点在轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点和点到轴的距离都为2米，滑道的最高点到轴的距离为4米，且点到轴的距离为2米． (1)求抛物线的解析式； (2)将过山车看作一个点，当过山车距离水平地面的高度为3米时，求此时过山车与点之间的水平距离； (3)若、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米，求的取值范围． 【题型06.二次函数综合:线段周长问题】 核心公式 水平线段：|x₂ - x₁| 竖直线段：|y₂ - y₁| 任意线段：等量关系 周长 = 所有边的长度之和。 当求周长的最大值或最小值时，周长会被表示为一个关于 x 的函数，然后求这个函数的最值。 一句话：周长是各边长度的总和，而各边长度可以用坐标公式计算出来。 【典例】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【跟踪专练1】.如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【跟踪专练2】.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【题型09.二次函数综合:面积问题】 一、2 个核心公式 矩形 / 正方形：S=长宽 三角形：S=底高 二、1 个建模步骤 设关键线段长为x（如矩形的一边、三角形的底） 用已知条件（如总长、周长）表示另一相关线段长 代入面积公式，列面积S关于x的二次函数 S=ax2+bx+c 三、最值求法 当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是最大面积 当 a>0 时，抛物线开口向上，结合自变量取值范围（边长为正）取端点最值 四、关键注意 自变量x的取值必须符合图形存在的实际意义（如边长>0） 【典例】已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型10.二次函数综合:特殊三角形问题】 解决这类问题的根本思路是：“代数计算” 与 “几何分析” 相结合。 几何分析：首先，根据题目给出的 “特殊三角形” 的条件（如等腰、直角、等边等），分析其几何性质。这通常会转化为边与边之间的相等关系或垂直关系。 代数计算：然后，将这些几何关系用坐标来表示，转化为代数方程或不等式进行求解。 建系与设点：这是解决此类问题的基础。 建系：通常以二次函数的对称轴为 y 轴，或根据题目中的直角、平行线等条件建立平面直角坐标系。 设点：对于待求的动点，通常设其坐标为 (x, y)，其中 y 可以用二次函数的表达式 y = ax² + bx + c 来表示。 【典例】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【跟踪专练2】已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点 (1)若直线经过，两点，求直线和抛物线的表达式 (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与点到点的距离之和最小，直接写出点的坐标__________ (3)设点为抛物线的对称轴上一个动点，直接写出使为直角时的点坐标_______ 【题型11.二次函数综合:特殊四边形问题】 解决二次函数中的特殊四边形问题，核心是数形结合。 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式列方程求解。 矩形：在平行四边形的基础上，增加邻边垂直的条件，可用斜率乘积为 - 1或勾股定理逆定理来判定。 菱形：在平行四边形的基础上，增加四边相等或对角线垂直的条件。 正方形：需同时满足矩形和菱形的所有条件。. 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【跟踪专练1】抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型12.二次函数综合:其他综合问题】 3 类高频综合类型 函数混搭：联立解析式求交点，割补法算面积 相似三角形：对应边成比例，分情况讨论对应顶点 圆结合：点到圆心距离 = 半径，直径对直角用勾股 通用 4 步解法求函数解析式 → 设关键点坐标 → 用几何性质列方程 → 求解验证 【典例】已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【跟踪专练1】如图所示，抛物线与直线相交于A，B两点，已知A的坐标为． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求另一交点B的坐标． 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 一.单选题 1．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 2．如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 4．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 6．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 7．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 二.填空题 8．公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行 米才能停下． 9．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 10．如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 12．如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当 时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 三.解答题 13．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 16．为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形种植南瓜．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 17．如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 一.单选题 1．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图1，运动点从处出发，沿线段向目的地处运动．设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．则的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 3．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 4．将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（    ） A． B． C． D． 二.填空题 6．某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 7． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 8．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 9．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 10．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 11．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为 ． 12．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 13．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形，相邻两边和分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线，如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当时， ； ②a关于n的关系式是 ． 三.解答题 14．综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． (3)如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 15．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 16．某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ (3)实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案的最大净利润更高，并说明理由． 17．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 (1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； (2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 18．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 19．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 20.．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.5二次函数的应用核心讲义 常考题型 精讲精炼 1.二次函数应用:图形问题 2.二次函数应用:图形运动问题 3.二次函数应用:拱桥问题 4.二次函数应用:销售问题 5.二次函数应用:投球问题 6.二次函数应用:喷水问题 7.二次函数应用:其他应用问题 8.二次函数综合:线段周长问题 9.二次函数综合:面积问题 10.二次函数综合:特殊三角形问题 11.二次函数综合:特殊四边形问题 12二次函数综合:其他综合问题 分层 专练 基础 巩固 单选题(7) 填空题(5) 解答题(5) 能力 提升 单选题(5) 填空题(8) 解答题(7) 1.审题定变量：找两个相关变量，明确自变量取值范围和求解目标（最值 / 特定值）。 2.建模列解析式：设未知数，根据等量关系列二次函数（选标准式 / 顶点式 / 交点式）。 3.求解用性质：算顶点横坐标x=−，判断是否在取值范围内： 在范围内 → 顶点纵坐标为最值； 不在范围内 → 按函数单调性求最值。 4.检验写答案：验证结果符合实际意义，规范作答。 【题型01.二次函数应用:图形问题】 3 个核心式子 一般式：y=ax2+bx+c（a≠0） 顶点式：y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)，求最值用） 交点式：y=a(x−x1)(x−x2)（与x轴交于(x1​,0)、(x2​,0)） 2 个关键等量关系 面积类：矩形S=长宽；三角形S=底高 最值类：顶点纵坐标 = 最值（a>0最小，a<0最大） 【典例】为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)能围成一个面积为384的矩形花园，的长为8或12 【分析】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先用x分别表示出、、、，再根据矩形面积公式求得函数表达式； （2）转化为二次方程求根，并注意验证解的合理性（边长必须为正）． 【详解】（1）解：设边为x，， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）能围成一个面积为384的矩形花园． 令，则， 即， ∴，， ∴的长为8或12． 【跟踪专练1】某校开辟了一块矩形菜地作为劳动教育基地，如图所示，已知矩形菜地的一面靠墙（墙的最大可用长度为20米），其余用长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆） (1)设菜地的宽为米，则_____米（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，围成的菜地面积最大？ 【答案】(1) (2)当为米，围成的菜地面积最大． 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米，进行列式化简，即可作答． （2）结合长方形的面积等于长乘宽，则，再根据二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵长为39米的篱笆围成，菜地靠前的边上预留了一个宽为1米的小门（小门不用篱笆）,且设菜地的宽为米， ∴（米） （2）解：设围成的菜地面积为， 依题意， ， ∵， ∴在时， 此时（米），取得最大值，且为平方米， ∴当为米，围成的菜地面积最大． 【跟踪专练2】圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形． (1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，请求出的度数； (2)如图2，四边形内接于，为的直径，，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长． (3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，求与的关系式，并求出的最大值 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案； （2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可． （3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：连接，过点作，交于点．如图： 在中， ，， ， 此时为等腰直角三角形，， 在中， ，， ， ． （3）解：如图，连接， ，， 垂直平分， 为中点， 为的中位线，有，， 设，则，，， 在中，， 在中，， 于是有：，整理得，， ， 当时， 【题型02.二次函数应用:图形运动问题】 1.核心公式：二次函数优先用顶点式（y = a(x - h)² + k），核心是顶点坐标(h, k)；平移、对称等图形运动只需变换顶点坐标，再代入顶点式。 2.等量关系：将几何条件（如面积、长度、等腰 / 直角 / 平行四边形）转化为用坐标表示的代数方程。 【典例】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当点Q移动到点C后停止移动，点P也随之停止移动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么的面积S随时间t的变化而变化，请写出S关于t的函数解析式及t的取值范围； (2)几秒时的面积等于？ 【答案】(1) (2)3秒 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、二次函数的性质． （1）利用三角形的面积公式求解即可； （2）把代入（1）的函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，；． ∴， ， ∴S关于t的函数解析式为； （2）解：当时，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 答：3秒时，的面积等于． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，二次函数与实际问题，二次函数的性质． （1）根据路程速度时间就可以表示出，再根据求出； （2）根据点Q运动到点C时，两点停止运动得到，根据列出函数解析式； （3）根据（2）的函数解析式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当运动t秒时，， ∴． 故答案为： ． （2）解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为， 点Q从点B运到到点C，需要时间为， 又点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴． ∵，，，，， ∴， ， ∴， ∴S与t的函数解析式为． （3）解：∵， ∵， ∴当时，阴影部分的面积S最小，为． 【题型03.二次函数应用:拱桥问题】 一、 核心建模方法 1.建坐标系：以拱桥顶点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2（最简形式）；或 以拱桥底部中点为原点，对称轴为y轴，设函数为 y=ax2+k。 2.求参数a：代入已知点坐标（如桥脚坐标、水面宽度对应的点），解方程得a。 二、 核心等量关系 1.桥高：顶点到x轴的距离（即∣k∣或顶点纵坐标绝对值）。 2.水面宽度：水面高度y=h时，解方程ax2=h（或ax2+k=h）得两个x值宽度=∣x1−x2∣. 【典例】如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．      【答案】此时水面的宽度为 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：由题意，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 由题意可知，点 在此抛物线上， 则 ， 解得， ， 当水面上升时，，则：， 解得， 此时水面的宽度为． 答：此时水面的宽度为． 【跟踪专练1】如图是抛物线形的拱桥，水面米，拱顶C离水面2米． (1)求抛物线的解析式． (2)若水面下降1米，则水面的宽度是多少米？ 【答案】(1) (2)水面宽度为米 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式及二次函数的实际应用，解题关键熟练运用二次函数解决实际问题． （1）先求出三点坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）求出时，x的坐标，进而可求解． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴点的坐标为：，点坐标为：，点坐标为：， 设抛物线的解析式为，将点坐标代入得到， 解得：， 故所求的抛物线的解析式为，即； （2）解：∵水面下降1米， ∴当时，， 解得， ∴此时水面的宽度为：米． 【跟踪专练2】悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 【题型04.二次函数应用:销售问题问题】 一、 2 个核心等量关系 单件利润 = 单件售价 − 单件成本 总利润 = 单件利润 × 销售数量 二、 1 个函数模型（求最值用顶点式） 设 售价提高 / 降低x元（或直接设售价为x） 表示： 单件利润 = 原单件利润 ±x（提价用+，降价用−） 销售数量 = 原销量 ∓bx（提价销量减少，降价销量增加，b为销量变化系数） 列总利润函数：y=(单件利润)(销售数量) → 整理为 y=ax2+bx+c 用顶点纵坐标求最大利润（a<0时，抛物线开口向下，顶点为最大值） 【典例】某超市以每个元的价格进了一批新型儿童玩具，当每个售价为元时，超市平均每天可售出个．国庆期间为了扩大销售，增加盈利，在售价不低于进价的前提下超市决定采取降价促销方式招揽顾客，经调查发现：在一定范围内，当玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个，设每个玩具售价下降了元，超市每天的销售利润为元． (1)降价后超市平均每天可售出______个玩具； (2)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)超市将每个玩具的售价定为多少元时，可使每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)售价为元，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式、二次函数的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）根据“玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个”即可获得答案； （2）根据“利润等于单个玩具利润乘以销售量”，即可获得答案； （3）将二次函数解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可获得答案． 【详解】（1）解：玩具的单价每降低元，超市每天可多售出个， 降价后超市平均每天可售出个玩具， 故答案为：； （2）解：由题意，可得， 函数关系为， 即， 其中的取值范围是； （3）解：， ， ∵，， 当时，有最大值为， 此时玩具的售价为：（元）， 答：该超市将每个玩具的售价定为元时，可使每天获得的利润最大，最大利润是元． 【跟踪专练1】某超市销售一种玩具，每个进价为40元．当每个售价为50元时，日均销售量为200个，经市场调查表明，售价每增加1元，日均销售量减少10个． (1)当每个售价为多少元时，所得日均总利润为2000元； (2)当每个售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？ 【答案】(1)50元或60元 (2)当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及一元二次函数的最值，解决本题的关键是根据题意建立等式 （1）设每个售价为元，表示出日均销售量计算即可； （2）设日均利润为元，将二次函数配方为顶点式求解最大值即可． 【详解】（1）解：设每个售价为元， 根据题意可得：， 整理得， 解得：，， 答：当每个售价为50元或60元时，所得日均总利润为2000元； （2）解：设日均利润为元， 则 ， ∵， 当时，取最大值，最大值为2250， 答：当每个售价为55元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为2250元． 【跟踪专练2】根据下列素材，按要求完成任务． 如何设计利润最大方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析…… 销售单价x（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量y（件） … 72 64 56 48 40 … 任务一 确定销售量与销售单价之间的关系 请求出每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系； 任务二 预估销售单价 若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ 任务三 拟定销售方案 设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】任务一：；任务二：40元；任务三：销售单价定为50元时，最大利润为800元 【分析】本题考查了求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 任务一：根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件，则与之间的关系是一次函数关系，再利用待定系数法即可求解； 任务二：设每件商品的售价应定为元，根据题意列出方程，求出的值即可解答； 任务三：由题意得，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：任务一： 根据素材2知，销售单价每增加4元，每天的销售量减少8件， 每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系是一次函数关系， 设函数关系式为， 代入和，得， 解得， ； 任务二： 设每件商品的售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：每件商品的售价应定为40元； 任务三： 由题意得，， ， 当时，有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 【题型05.二次函数应用:投球问题】 1.核心公式： 顶点式：y = a(x - h)² + k 顶点坐标：(h, k)，其中 k 代表最大高度，h 代表到达最大高度时的水平距离。 一般式：y = ax² + bx + c，当已知抛物线上的三个点时使用。 2.等量关系： 建立坐标系：通常将物体的起点（如投球点、喷水口）作为坐标原点 (0, 0)。 代入已知点：题目会给出一些关键信息，如最大高度、射程或经过的某一特定点的坐标。将这些点的坐标代入函数解析式，即可求出系数 a、b、c。 3.求解问题： 最大高度：直接读取顶点的纵坐标 k。 射程：求抛物线与 x 轴的另一个交点的横坐标（即 y = 0 时的 x 值）。 判断命中：将目标的横坐标代入解析式，求出对应的 y 值，与目标的高度进行比较。 【典例】如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) (4)小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出当时y的值即可得到答案； （2）求出当时x的值即可得到答案； （3）求出当时x的值即可得到答案； （4）把函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）解：在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）解：在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）解：∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【跟踪专练1】在校园足球社团课上同学们一起踢足球，球射向球门的路线呈抛物线形，小罗同学从球门正前方的处射门，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面，球门高为． (1)请建立适当平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式； (2)小罗此次射门能否射入球门内？请通过计算说明理由． 【答案】(1)该抛物线对应的函数表达式为； (2)小罗此次射门不能射入球门内，理由见解析． 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，解题关键是根据题意正确求出二次函数解析式． （1）先根据题意建立平面直角坐标系，得到顶点坐标和点坐标，设抛物线解析式为，将点代入即可求解； （2）当时，，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：以为原点，为轴，建立平面直角坐标系， ， 抛物线顶点为，经过点， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， 该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由题意得，当时，， 小罗此次射门不能射入球门内． 【跟踪专练2】综合与实践 山西省实验中学为贯彻勇于探索的创新精神和善于解决问题能力的主题，在科技节中举行“星际战车”投石车竞技赛，设计制作一辆有轮子的投石车，并用沙包完成目标城池打击，比赛场地如图1所示，城池尺寸：底面，样式如图． 沙包在最大档位和最小档位的力度发射出去，从投石线处开始的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，如图，抛物线方向始终与水平方向保持一致，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最小档位可以精准命中目标城池中心处，最大档位抛物线最高点离投石线的水平距离为米，最高高度为米，恰好命中目标城池，达到最大射程米． (1)最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是多少？ (2)目标城池中心与投石线间的距离是多少？ (3)目标城池放置在距投石线，离地约的高处，且城池边缘高度为，投石车后撤米可保证命中目标城池内部，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是米； (2)目标城池中心与投石线间的距离是米； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移，求二次函数解析式，掌握知识点的应用及利用数形结合的思想是解题的关键． （）根据题意设顶点式，求出的值，得到函数解析式，再求出当时，则，即可得到答案； （）由最大档位时抛物线的函数解析式为，则有对称轴为直线，故点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的，所以的坐标为，从而求解； （）由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为，投石机车撤米后解析式为，然后找到临界点即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得, 最高点为 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， 当时，则， ∴最大档位时，沙包经过投石线上方时的高度是； （2）解：∵最大档位时抛物线的函数解析式为， ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移米得到的， ∴的坐标为， 即目标城池中心与投石线间的距离是米； （3）解：由（）得最大档位时抛出沙包的抛物线的函数解析式为， ∴投石车后撤米后解析式为， 根据题意得结合城池的范围为米和范围为米， ∴保证命中目标城池内部，则当经过点和时， ∴，解得：或（舍去）， ，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是：． 【题型06.二次函数应用:喷水问题】 一、 建模关键（坐标系） 以喷水起点为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，设函数为y=ax2+bx（a≠0，过原点，常数项c=0） 若已知喷水最高点（顶点），直接用顶点式y=a(x−h)2+k（顶点(h,k)即最高点坐标） 二、 2 个核心等量关系 1.喷水高度：对应函数的y值（竖直高度） 2.喷水水平距离：对应函数的x值（水平射程）；落地时y=0，解方程得x1,x2​，∣x1−x2∣为总射程 【典例】为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度（m）与水流到高楼的水平距离（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流是否到达点处，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求出的值，即可得到答案； （1）由题意得消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，令可得，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为． 将点代入， ， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：不能 理由：由题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移得到的， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令， ， 消防员第二次灭火时水流所在抛物线不过， 水流不能到达处． 【跟踪专练1】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【跟踪专练2】综合与实践 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水能否洗灌到整个绿化带？请你说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到的，可得点的坐标． （3）根据米，米，米，可求得点的坐标为，当时，求出的值，再与比较，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：喷水口离地竖直高度为米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米， 则， ∴是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， （2）解：由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为 ∴对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 当时，， 解得(舍去)， ∴点的坐标为， 故答案为：； （3）解：不能，理由如下： 依题意，米，水平宽度米，竖直高度米， ∴（米）， ∴点的坐标为， 由（1）得上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， ∵， ∴函数在时，随着的增大而减小， ∴灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【题型07.二次函数应用:其他应用问题】 二次函数在其他实际问题中的应用，核心是建模与求最值。 简单来说，就是： 找关系：从问题中找出两个变量之间的等量关系。 列函数：根据关系列出一个二次函数 y = ax² + bx + c。 求最值：因为二次函数图像是抛物线，所以可以找到它的最高点（a<0时）或最低点（a>0时），这个点的纵坐标就是我们要找的最大或最小值。 常见类型： 几何最值：如用固定长度的材料围图形，求最大面积。 利润成本：如生产多少产品，利润最大。 物理关系：如自由落体的距离与时间。 一句话：把实际问题变成二次函数，然后找它的顶点。 【典例】汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【答案】超速了 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，再把代入，把求出的与进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入 得 解得 ∴函数关系式为 将代入，则 整理得， 解得 (负值已舍去)， ∵， ∴超速． 【跟踪专练1】为助力城市道路交通安全宣传，某中学数学实践小组对某品牌家用轿车的制动性能开展实地调研． 调研表明：从驾驶员发现危险到车辆完全停止的“制动非安全距离”由“反应距离”和“制动距离”两部分组成．其中，“反应距离”是指驾驶员从发现危险到踩下刹车的过程中，车辆以原车速匀速行驶的距离（据资料查验，人类平均反应时间约为秒）；“制动距离”是指驾驶员踩下刹车后，车辆减速至停止的距离． 实践小组获得该轿车不同车速（车速不超过）下的制动距离数据，具体数据如下： 车速 0 30 45 60 90 120 制动距离 0 请结合以上信息完成下列任务： (1)认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的制动距离与车速之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)已知反应距离=车速×反应时间．在（1）的情况下解决下列问题： ①若该款轿车在城市道路行驶时，驾驶员突然发现前方有故障车辆，紧急制动后测得制动痕迹长，且并未追尾故障车辆，求驾驶员发现时离故障车辆距离至少为多少（保留符合题意的最小整数）； ②在高速公路上经常有警示牌提醒与前车保持的距离，请结合以上信息进行说明． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系时计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）根据题意画出图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式； （2）①取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值，然后计算反应距离，即可求解；②结合表格及题意即可求解． 【详解】（1）解：根据表格画出函数图象如图所示， 根据图象可得制动距离和车速x之间为二次函数， 设， 把代入可得 ， 解得， 制动距离与车速之间的函数关系式为：； （2）解：①当时，可得， 解得（舍去）， ∴反应距离为：， ∴驾驶员发现时离故障车辆距离至少为：， 未追尾故障车辆， ∴驾驶员发现时离故障车辆距离至少为； ②解：当时，， 反应距离为：， ∴，会发生碰撞， ∴在高速公路上经常有警示牌提醒与前车保持的距离，主要是由于速度快，反应距离和制动距离会更远，容易引发事故． 【跟踪专练2】小明为了研究过山车项目中的数学知识，将某游乐场过山车滑道的一部分抽象出来，如图所示建立平面直角坐标系（以1米为一个单位长度），使点在轴上，点在轴上．已知滑道是抛物线的一部分，滑道是抛物线的一部分，点和点到轴的距离都为2米，滑道的最高点到轴的距离为4米，且点到轴的距离为2米． (1)求抛物线的解析式； (2)将过山车看作一个点，当过山车距离水平地面的高度为3米时，求此时过山车与点之间的水平距离； (3)若、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米，求的取值范围． 【答案】(1) (2)米或米 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据题意，求出的坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值即可得出结果； （3）由对称性求出点坐标，分别求出、间的水平距离为和时，点的坐标，待定系数法求出的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，，，且点为抛物线的顶点， ∴设，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当， 解得或， ∴当过山车距离水平地面的高度为3米时，此时过山车与点之间的水平距离为米或米； （3）解：∵，点和点到轴的距离都为2米， ∴抛物线的对称轴为直线，且关于对称轴对称， ∴， ∴当、间的水平距离为米时，，当、间的水平距离为米时，， 把，，代入，得 ，解得； 把，，代入，得 ，解得； ∵、间的水平距离不得少于2米，但又不大于4米， ∴． 【题型06.二次函数综合:线段周长问题】 核心公式 水平线段：|x₂ - x₁| 竖直线段：|y₂ - y₁| 任意线段：等量关系 周长 = 所有边的长度之和。 当求周长的最大值或最小值时，周长会被表示为一个关于 x 的函数，然后求这个函数的最值。 一句话：周长是各边长度的总和，而各边长度可以用坐标公式计算出来。 【典例】如图，已知抛物线的对称轴l为直线，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的值最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题． （1）根据题意得，利用待定系数法即可求得n的值，继而求得抛物线的解析式； （2）首先连接交抛物线对称轴l于点P，则此时的值最小，然后利用待定系数法求得直线的解析式，继而求得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点的坐标为， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 令，则， 解得或， ∴点， 设直线的解析式为：， ∵点，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴当的值最小时，点的坐标为． 【跟踪专练1】.如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 【跟踪专练2】.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求函数解析式和点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标； (3)第一象限内的抛物线上有一动点M，连接、，求面积的最大值，以及取得最大值时点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)面积的最大值为4，此时点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数的应用、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）根据二次函数的对称性可得点的坐标，再利用待定系数法即可得函数解析式； （2）连接，交直线于点，连接，根据轴对称的性质和两点之间线段最短可得点即为所求，先利用待定系数法求出直线的解析式，再将代入求解即可得； （3）过点作轴于点，交于点，设，则，利用三角形的面积公式可得面积与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，点的坐标是，抛物线的对称轴是直线， ∴， 将点代入得：，解得， ∴函数解析式为． （2）解：把代入得，， ∴， 如图，连接，交直线于点，连接， 由轴对称的性质可得， 由两点之间线段最短可知，，此时点即为所求， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在对称轴直线上， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴点的坐标为． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点， 设，则， ∴． ∵，， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∴， 由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为4， 此时， 所以面积的最大值为4，此时点的坐标为． 【题型09.二次函数综合:面积问题】 一、2 个核心公式 矩形 / 正方形：S=长宽 三角形：S=底高 二、1 个建模步骤 设关键线段长为x（如矩形的一边、三角形的底） 用已知条件（如总长、周长）表示另一相关线段长 代入面积公式，列面积S关于x的二次函数 S=ax2+bx+c 三、最值求法 当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点纵坐标就是最大面积 当 a>0 时，抛物线开口向上，结合自变量取值范围（边长为正）取端点最值 四、关键注意 自变量x的取值必须符合图形存在的实际意义（如边长>0） 【典例】已知二次函数的图象如图所示，点在第二象限的函数图象上，点的坐标为．连接、，若，求点的坐标． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，设点到轴的距离为．则，解得．当时，，从而即可得解． 【详解】解：点的坐标为， ． 设点到轴的距离为． ， ． 当时，， 点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求解及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法是解题的关键． 先求出二次函数与轴的交点、的坐标，得到的长度；再求出与轴交点的坐标，得到点到轴的距离；最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴，点到轴的距离为． ∴． 【跟踪专练2】如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，连接，，P为抛物线上一动点(不与点A,B重合)，图中虚线是抛物线对称轴．    (1)求该二次函数的解析式； (2)当点在上方时，连接，，求的最大值； (3)点M在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点M，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，过点P作轴于点C，交于点D，设点P的横坐标为，则，根据，结合二次函数的性质，即可得出答案； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设点M的坐标为，点P的坐标为，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式列出方程组，解方程组，得出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：， ， 将代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将代入得：， ∴直线的解析式为， 如解图，过点P作轴于点C，交于点D，    设点P的横坐标为， 则， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：存在； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点M的坐标为，点P的坐标为， 由已知可知：， 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 当为对角线时，， 解得：， ∴此时点M的坐标为； 综上：点M的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 【题型10.二次函数综合:特殊三角形问题】 解决这类问题的根本思路是：“代数计算” 与 “几何分析” 相结合。 几何分析：首先，根据题目给出的 “特殊三角形” 的条件（如等腰、直角、等边等），分析其几何性质。这通常会转化为边与边之间的相等关系或垂直关系。 代数计算：然后，将这些几何关系用坐标来表示，转化为代数方程或不等式进行求解。 建系与设点：这是解决此类问题的基础。 建系：通常以二次函数的对称轴为 y 轴，或根据题目中的直角、平行线等条件建立平面直角坐标系。 设点：对于待求的动点，通常设其坐标为 (x, y)，其中 y 可以用二次函数的表达式 y = ax² + bx + c 来表示。 【典例】如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数的图象与轴的一个交点为，与轴的交点为，过、的直线为． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)由图象写出满足的自变量的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点，使得△是以为底边的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或， 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量为零，可得点坐标； （2）根据一次函数图像在上方的部分是不等式的解集，可得答案； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得在线段的垂直平分线上，所以作的垂直平分线交坐标轴两点，利用方程思想和勾股定理求解出两个坐标． 【详解】（1）解：将点坐标代入，得， 解得， 二次函数的解析式为， 点坐标为； （2）解：由图象得直线在抛物线上方的部分，是或， 或时，； （3）解： 如图，作的垂直平分线，交于，交轴于，交轴于，连接， 由垂直平分线性质得，，， ，， ，， 设，， 在中，， ，解得， ， 设， ，， ，解得， ， 综上所述：点的坐标或，使得是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用函数与不等式的关系求不等式的解集，利用线段垂直平分线的性质和方程思想，通过勾股定理解出满足题意的坐标． 【跟踪专练2】已知抛物线的对称轴是直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点 (1)若直线经过，两点，求直线和抛物线的表达式 (2)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与点到点的距离之和最小，直接写出点的坐标__________ (3)设点为抛物线的对称轴上一个动点，直接写出使为直角时的点坐标_______ 【答案】(1)直线的解析式为，抛物线的解析式为： (2) (3) 【分析】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度，难度适中，是一道不错的中考压轴题． （1）先由对称性可得点B的坐标，利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式； （2）根据最短路径问题可得M的位置：直线与对称轴的交点为M，根据直线的解析式可得M的坐标； （3）设，根据勾股定理计算得：，，．然后根据为直角列方程可得t的值． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，点， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把和代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设直线与对称轴的交点为M，根据点A、B关于抛物线对称轴对称及两点之间线段最短可知：此时的值最小． 把代入直线得， ∴， 即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，M的坐标为， 故答案为； （3）解：设，又，， ∴根据勾股定理得：，，， ∵为直角， ∴，即， 解得：， ∴； 故答案为． 【题型11.二次函数综合:特殊四边形问题】 解决二次函数中的特殊四边形问题，核心是数形结合。 平行四边形：利用对角线互相平分的性质，通过中点坐标公式列方程求解。 矩形：在平行四边形的基础上，增加邻边垂直的条件，可用斜率乘积为 - 1或勾股定理逆定理来判定。 菱形：在平行四边形的基础上，增加四边相等或对角线垂直的条件。 正方形：需同时满足矩形和菱形的所有条件。. 【典例】如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【跟踪专练1】抛物线的图像经过，，与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求、、点的坐标； (3)为坐标平面内一点，如果以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足条件的点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及二次函数与特殊四边形综合问题，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）将，，代入即可求解； （2）分别令，令，即可求解； （3）分类讨论为对角线时：为对角线时：为对角线时：三种情况即可求解； 【详解】（1）解：依题意得：， 解得． ∴； （2）解：由知，令，得； 令，即， 解得． ∴ （3）解：如图：设点 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 为对角线时： ，解得 ∴； 综上所述： 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点，重合），过点作轴交抛物线于点， (1)求抛物线的表达式； (2)设 的横坐标为，请用含的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点是抛物线对称轴上的一个点，点是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点、，使得四边形是菱形？ 若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，最大值是4 (3)存在，或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据抛物线与轴交点可得交点式，化简即可求解； （2）求出点坐标后可求得直线的表达式，设点，则，利用二次函数的性质即可求出的最大值； （3）当四边形是菱形时，，设点，由方程，求出的值即得答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线与轴交于点、， ， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线的表达式为， 时，，即， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得， 则直线的表达式为， 设点，则， 则， ， 其中， 有最大值，当时，取最大值； （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 抛物线的表达式为， 抛物线对称轴为， 设点，而， 四边形是菱形， ， 即， 解得， 即点的坐标为或． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数综合、二次函数交点式、求一次函数解析式、二次函数的图象与性质、菱形的性质、一元二次方程的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【题型12.二次函数综合:其他综合问题】 3 类高频综合类型 函数混搭：联立解析式求交点，割补法算面积 相似三角形：对应边成比例，分情况讨论对应顶点 圆结合：点到圆心距离 = 半径，直径对直角用勾股 通用 4 步解法求函数解析式 → 设关键点坐标 → 用几何性质列方程 → 求解验证 【典例】已知抛物线与直线的图象交于两点（点在点的左侧），试分别求两点的横坐标． 【答案】点的横坐标为，点的横坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图象的交点，根据题意，联立方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，联立方程组得， ，整理，得， 解得，或， ∴交点坐标为， ∵点在点 的左侧， ∴点的横坐标为，点的横坐标为． 【跟踪专练1】如图所示，抛物线与直线相交于A，B两点，已知A的坐标为． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求另一交点B的坐标． 【答案】(1)抛物线为；直线的表达式 (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）根据A点坐标可得出直线的解析式，抛物线的解析式． （2）联立两个解析式，可解出B点坐标． 【详解】（1）解：由题意，抛物线与过， 抛物线为 直线过， 直线的表达式 （2）解：由题意，联立方程组， 或 又， 【跟踪专练2】在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的对称轴（用含a的代数式表示）； (2)已知点，是抛物线上的两点．若对于，，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）根据对称轴表达式，直接代入系数计算或者根据配方法配成顶点式，即可求解； （2）由题意可分当和进行分类讨论，然后结合二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴对称轴为直线． （2）解：①当时，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； ②当时，点P在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，点Q的对称点在对称轴右侧， 在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵ ， ∴ 点P在点右侧， ∴ ， ∴， 综上，或． 【点睛】本题考查抛物线的对称轴与二次函数的最值问题，涉及的知识点是抛物线对称轴公式、二次函数的增减性与最值．解题中用到的思想是分类讨论思想，根据开口方向分析区间内的最值位置；方法技巧是利用对称轴与区间的位置关系，简化最值的计算．解题关键是准确判断区间内的最值点，避免因开口方向或区间位置分析错误导致不等式列错．易错点是忽略区间与对称轴的位置关系，直接取区间端点计算最值，导致结果偏差． 一.单选题 1．某小区有一块绿地如图中等腰直角所示，计划在绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中点P，M，N分别在边上，记，， 图中阴影部分的面积为Sm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（ ）    A．一次函数关系，二次函数关系 B．一次函数关系，反比例函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．一次函数的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出函数解析式是解题的关键． 设（m为常数），根据等腰直角三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，得到，根据三角形和矩形的面积得到结论． 【详解】解：设（m为常数）， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ 即， ∴y与x成一次函数关系， ∵， ∴S与x成二次函数关系． 故选：A． 2．如图，在中，，点分别从出发向、匀速运动，若的速度大小相等，则的面积最大为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，设的速度为a，根据题意可得：的面积为，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：设的速度为a， 根据题意可得：的面积为， ∴最大值为：， 故选：C． 3．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 4．某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论： ①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是； ②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元； ③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元． 其中，正确的结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用． ①根据题意列出函数关系式即可； ②设利润为W元，，再根据单件该商品的利润率不能超过列出不等式，求出，再根据二次函数的性质求最值即可； ③根据题意，得，解方程，再根据，即可得出结论． 【详解】解：①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式是， 故①正确，符合题意； ②设利润为W元， ， 由题意可得：， ∴， ∵，开口向下，当时，W随x的增大而增大， ∴时，W 最大为8840元， 故②不正确，不符合题意； ③令， 解得，， ∵， ∴， 即当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元， 故③不正确，不符合题意； 综上所述，正解的有①，一共1个． 故选：B． 5．如图，某同学在校运会跳高比赛中采用背跃式，跳跃路线是一条抛物线．他跳跃的高度y（单位：m）与跳跃时间x（单位：s）之间具有函数关系，那么他能跳过的最大高度为（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法求抛物线的最值，熟练进行配方是解题的关键．利用配方法把一般式转化为顶点式，确定二次函数的最值即为所求． 【详解】解： ， 当时，有最大值为， 他能跳过的最大高度为. 故选：A ． 6．广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠距离水面的高度（米）关于水珠和喷头之间的水平距离（米）的函数解析式是，如果水珠与喷头之间的水平距离为2米，那么此时水珠距离水面的高度为（   ） A．3米 B．5米 C．6米 D．8米 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的实际应用，把代入函数解析式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当水珠与喷头之间的水平距离为2米，即时，， ∴此时水珠距离水面的高度为8米； 故选D． 7．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 二.填空题 8．公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况需要急刹车时，由于惯性汽车会滑行一段距离才能停下来．若某辆汽车从开始急刹车时滑行的距离（米）与滑行的时间（秒）的函数关系式为，则该辆汽车急刹车时需要滑行 米才能停下． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握求二次函数的最值是解题的关键． 由题意得，此题实际是求从开始急刹车到停止所走的路程，即的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：该函数关系式化成顶点式为， 当时，汽车停下来，滑行了米， 故该辆汽车急刹车时需要滑行米才能停下． 故答案为：． 9．以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点所构成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，三角形的面积，先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，进而根据三角形的面积公式计算即可，掌握二次函数图象与坐标交点坐标的求法是解题的关键． 【详解】解：如图，设抛物线与相交于点，与轴相交于点， 把代入，得， 解得，， ∴，， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，所得新拋物线的顶点为D，并与y轴交于点A，对称轴与函数的图象的交点为，若新抛物线存在点P使以D为底的等腰三角形，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定等，求得关键点的坐标是解题的重点． 利用平移规律求得平移后的函数解析式，即可求得的坐标，基本求得点的坐标，由等腰三角形的性质可知点的纵坐标为 2 ，代入新的函数解析式即可求解． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到，即， ， 把代入得， ， ， 若新抛物线存在点使以为底的等腰三角形，则点的纵坐标为 2 ， 把代入，解得：， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 12．如图，在中，，P是边上的一个动点（不与端点A，B重合），过点P分别作于点E，于点F．当 时，四边形的面积最大，最大面积为 ． 【答案】 6 【分析】此题主要考查了矩形的面积公式以及直角三角形30°定理，得出矩形面积与x的函数关系式是解题关键. 利用30°定理和勾股定理表示出的长，进而利用矩形面积求法以及二次函数最值求法得出即可. 【详解】解：在中，， ． ， 四边形为矩形，为直角三角形． 设，则 ． ， 当，即时，矩形的面积最大，最大面积为． 三.解答题 13．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，直线交轴于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是第三象限内抛物线上的一个动点，作轴交于点． ①求线段的最大值及此时点的坐标； ②是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，或 【分析】题目主要考查二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，最值问题，理解题意，熟练掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）根据题意利用待定系数法即可确定函数解析式； （2）①设，则，其中，确定，即可求解； ②根据待定系数法确定直线的解析式为，得出点的坐标为，分别过点、作轴于点轴于点，由，得，然后分两种情况讨论：I．当时，，II．当时，，即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得 该抛物线的表达式为； （2）①当时，， ∴， 设直线的解析式是：， 则，解得：， ∴直线的解析式是：， 如图1，设，则，其中， 则， 当时，线段有最大值，为，， 此时点的坐标为． ②存在，理由如下： ， 使用待定系数法同理可得：直线的解析式为． 令，则， 点的坐标为． ， ，且， ． 如图1，分别过点、作轴于点轴于点． 由，得， ∴． 分两种情况讨论： I．当时，， 即， 解得，满足， 此时点的坐标为． II．当时，， 即， 解得，满足，此时，点的坐标为． 综上所述，存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似， 点的坐标为或． 14．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，与轴交于点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，连接，，若在上方的抛物线上存在点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数与二次函数交点问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）将点和点坐标代入求解即可； （2）由题意可知，进而求出解析式，联立方程组求解． 【详解】（1）解：由条件可得， 解得 抛物线， 顶点； （2）解：如图， 当时，， 则， 设直线表达式为，则由题意得： ， 解得： ∴直线表达式为， 由条件可知， 设直线的解析式为， 将点的坐标代入得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：舍或， ． 16．为进一步激发学生的劳动热情和创新创造活力，盐城市鹿鸣路初级中学李老师在“空翠圃”劳动实践基地开展劳动节田间管理专题实践活动．如图，正方形菜圃的边长为8米，现将它阴影部分的4个全等的直角三角形种植青菜，剩余的四边形种植南瓜．设的长为x，四边形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式； (2)四边形的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形的面积存在最小值，最小值为 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确表示出二次函数的解析式，是解题的关键. （1）分割法求出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，米， ∴； （2）解：存在， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值为； 故四边形的面积存在最小值，最小值为． 17．如图1，在中，，，，点从点出发，以的速度沿折线运动，同时点从点出发，以的速度沿线段运动，当点到达点时，停止运动．设点运动的时间为，的面积为． (1)请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； (2)在图2平面直角坐标系中，画出的函数图象，并写出这个函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据运动路径和速度确定的取值范围，再分和两种情况，利用三角形的面积公式求解即可得； （2）根据二次函数和一次函数的图象的画法即可得； （3）根据函数图象找到两个临界位置，将点和代入求出的值，再结合图象动态分析即可得． 【详解】（1）解：由题意得，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， 当时，，， 此时的面积； 当时，，， ∴， 此时的面积； ∴综上，与的函数关系式为； （2）解：画出的函数图象如下： 这个函数的一条性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； （3）解：如图，有2个临界位置， 将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∵的函数图象与直线有两个交点， ∴． 一.单选题 1．如图1所示的矩形窗框的周长及其两条隔断、的总长为米，且隔断、分别与矩形的两条邻边平行，设的长为米，矩形的面积为平方米，关于的函数图象如图2，给出的下列结论：①矩形的最大面积为8平方米；②与之间的函数关系式为；③当时，矩形的面积最大；④的值为12．其中正确的结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和性质，观察图2，得出当时，函数值最大，根据题意确定a的值，并可求出二次函数解析式，即可做出正确判断． 【详解】解：由图2可知，函数图象最高点为，经过原点， 设二次函数解析式为， 代入，得： 解得， ∴， 由此判断：①矩形最大面积是4平方米，说法错误； ②二次函数解析式为，说法正确； ③矩形面积最大时，，说法错误； ④当时，矩形面积取最大值， ∴， ∴，说法正确． 所以，说法正确的是②④，共2个， 故选：B． 2．如图1，运动点从处出发，沿线段向目的地处运动．设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．则的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、，根据题意和图象可知，，再根据勾股定理可求得m的值，最后根据抛物线的对称性即可求得n的值． 【详解】解：如图，过点P作于G，在上取点H，使，连接、、， ∵， ∴当时，动点Q运动到了点H的位置， 则由图象可知，， 当点Q运动到点G的时候，最小，即，， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∵关于的函数图象最低点，且经过和两点 ∴抛物线的对称轴为直线，且点关于抛物线的对称轴对称， ∴． 故选：C． 3．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（  ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 4．将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 5．一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则推出铅球的水平距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的实际应用、一元二次方程的解法．铅球落地时高度，解二次方程求x的正根即可． 【详解】解：当时， 令，得方程， ， 解得（水平距离为正，舍去负根）， 综上，推出铅球的水平距离为， 故选：B． 二.填空题 6．某处有高低不同的各种喷泉，其中有一支高度为1m的喷水管，喷水最高点离地面3m，此时点离喷水口的水平距离为．在如图所示的平面直角坐标系中，这支喷泉的函数表达式为 （不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【分析】设抛物线的顶点式 ，将点代入即可求解抛物线的解析式． 【详解】解：∵点是抛物线的顶点， ∴可设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点 ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，设顶点式是解题的关键． 7． 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 8．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶的时间（单位：）的函数解析式是，则汽车刹车后到停下来前进了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可知汽车刹车后行驶的距离s关于时间t的函数是二次函数，二次函数的最大值对应汽车停下来时的前进距离，据此求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴当，即时，s有最大值，最大值为， ∴汽车刹车后到停下来前进了， 故答案为：． 9．如图，直线与抛物线交于A、B两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 联立二次函数和一次函数求得A、B两点坐标，因为长度不变，所以当最小时，即的周长最小．过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，当三点共线时，最小，即的周长最小，利用待定系数法求出直线的函数表达式，即可求出点P坐标． 【详解】解：直线与抛物线交于A、B两点， 联立，得或， ，， ． 过点A作y轴的对称点，连接交y轴于点，如图所示． ． 不变， 当三点共线时，最小，即的周长最小． ， ． 设直线的函数表达式为，将，代入得， ，解得， ， 当时，． ． 故填：． 10．如图，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，确定出与阴影部分面积相等的三角形是解题的关键． 确定出抛物线的顶点坐标，然后求出抛物线的对称轴与原抛物线的交点坐标，从而判断出阴影部分的面积等于三角形的面积，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图， 抛物线的顶点坐标是， ， 平移后抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， ， 关于x轴对称， 平移后阴影部分的面积等于的面积， ， 故答案为：27． 11．如图，已知抛物线的图象交轴于，两点（点在点左侧），点在第二象限的抛物线上，连接，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的判定与性质，连接，作轴于，先求出，设，则，，求出为等腰直角三角形，得出，即，求出的值即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作轴于， 在中，令，则， 解得：，， ∴， ∵点P是抛物线上一动点， ∴设，则，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， 解得：或， ∵点P在第二象限， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，请写出“抛物线三角形”是等腰直角三角形且抛物线顶点在轴上时，抛物线的表达式 ．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与几何的综合应用，根据题意易得抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等，由此写出一个符合题意的二次函数解析式即可。 【详解】解：由题意，抛物线与轴的两个交点关于轴对称，且抛物线与轴的交点在轴上，抛物线与坐标轴的3个交点到原点的距离相等， ∴满足题意的一个抛物线的解析式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 13．如图1，在平面直角坐标系中，将n个边长为1的正方形并排组成矩形，相邻两边和分别落在x轴和y轴的正半轴上．现将矩形绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上（如图2），设抛物线，如果抛物线同时经过点O、B、C： ①当时， ； ②a关于n的关系式是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，解二元一次方程组，勾股定理等知识点的理解和掌握． ①当时，，设所求抛物线解析式为，过C作于点D，则，得出，设，则，根据勾股定理，求出t，得出C的坐标，把B、C坐标代入抛物线解析式即可得到方程组，求出a即可；②根据和①总结规律，可以得到答案． 【详解】解：①如图当时，， 设所求抛物线解析式为， 过C作于点D， 则， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴把B、C坐标代入抛物线解析式，得， 解得：， 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴， 同理①得，， ∴， 设所求抛物线解析式为， ∴， 解得：； 同理当时，； ∴可以得出a关于n的关系式是：． 故答案为：． 三.解答题 14．综合与实践 问题情境：冬季来临，温度渐低，为保证蔬菜产量与品质，某农户给蔬菜大棚加固钢材长度及安装供暖设备． 数学建模：如图1、该蔬菜大棚其形状可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，以所在直线为轴，以地面（所在直线）为轴建立平面直角坐标系，现要在大棚上的点处（点在点的右侧）焊接内部加固钢材，，且，． 数据展示：已知大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米． 问题解决： (1)求抛物线对应的函数表达式． (2)若点在大棚上，且加固大棚需要8米钢材，求点的坐标． (3)如图2，在加固钢材上方安装矩形供暖设备，其中点，在抛物线上，点，在上，米，若当点到保温墙的距离为米时，直接写出供暖设备所占的面积． 【答案】(1)函数表达式为 (2)点的坐标为 (3)所占的面积为 【分析】本题考查二次函数的应用，正确理解题意并掌握数形结合是解题的关键． （1）根据题意，判断出顶点的坐标以及点的坐标，采用顶点式表示其函数表达式，利用待定系数法进行计算，得出其函数表达式即可； （2）结合题意，可知点、点关于直线对称，，结合，得出点的坐标为，代入函数表达式进行求解即可； （3）由点横坐标，得点纵坐标，结合，可得点纵坐标，又米，得点纵坐标，代入函数表达式，求出点、点的横坐标，即可得出所占的面积． 【详解】（1）解：∵大棚的跨径米，顶端点到保温墙的距离为米，到地面所在的直线的距离为米， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令抛物线对应函数表达式为， ∵点为顶点坐标， ∴故，， ∴，将点， 代入得， 解得， ∴函数表达式为． （2）解：∵， ∴点、点关于抛物线对称轴对称， 抛物线对称轴所在直线为， ∵， 假设，， ∴点的坐标为， 将该坐标代入， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴，， 故点的坐标为． （3）解：∵点到保温墙的距离为7.5米， ∴点横坐标为， 代入求其纵坐标为， ∵，， ∴点纵坐标为， ∴， 解得或， ∵轴， ∴点横坐标为，点横坐标为， ∴， ∵， ∵， 得所占的面积为． 15．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱桥结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件，如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点为原点，以所在直线为轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)受天气影响，水位上升米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1)； (2)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为再把，代入进行计算，即可作答； （2）依题意，得平移后抛物线的解析式为把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题可知，，，抛物线的顶点为点， 可设抛物线的解析式为将，代入得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此时该货船能安全过桥；理由如下： 由题意得：水位上升0.5米， 相当于将抛物线向下平移0.5个单位长度， 平移后抛物线的解析式为， 把代入， ． ， 此时该货船能安全过桥． 16．某超市要经营一种新上市的文具，进价为20元／件．试销阶段发现：当销售单价是28元时，每天的销售量为220件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．试销期间每天还要支付其他固定开销450元． (1)写出超市销售这种文具，每天净利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的净利润最大？最大是多少元？ (3)实际销售时无法实现净利润最大，超市营销部结合实际情况，提出了A、B两种营销方案： 方案：该文具的销售单价高于进价且不超过30元； 方案：每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元． 请比较哪种方案的最大净利润更高，并说明理由． 【答案】(1) (2)销售单价为35元时，最大净利润为1800元 (3)方案A和方案B的最大净利润相同，均为1550元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值情况，一元一次不等式组的应用，解题的关键在于根据题意建立函数关系式，以及不等式组． （1）根据“每天净利润（销售单价进价）每天的销售量每天支付的其他固定开销”列出关系式即可； （2）将（1）中二次函数关系式化顶点式，再结合二次函数最值求解，即可解题； （3）由二次函数解析式可知二次函数对称轴为直线，结合二次函数的增减性，一元一次不等式组的应用，以及得到的方案A和方案B中销售单价取值范围进行求解，即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 二次函数开口向下，在时，有最大值，且最大值为， 即销售单价为35元时，该文具每天最大净利润为1800元； （3）解：， 二次函数对称轴为直线， 在对称轴左侧，随的增大而增大， 当时，净利润最大， 方案A的最大净利润为元； 每天销售量不少于50件，且每件文具的利润至少为20元， ， 解得， 在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，净利润最大， 方案B的最大净利润为元； ， 即方案A和方案B的最大净利润相同，均为1550元． 17．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，男生小明同学进行了一次投掷，从投掷到落地的过程中，通过设备测得实心球与地面的竖直高度m与出发点的水平距离m的相关数据信息，如下所示： 信息1：小明投掷时，实心球的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 2 6 竖直距离 信息2：无锡市初中生实心球得分标准． 水平最大距离 男生得分 9 8 7 水平最大距离 女生得分 9 8 7 (1)请你根据以上数据判断小明同学的得分，并说明理由； (2)实验小组研究发现：如图，在投掷实心球的运动中，会产生竖直向上的速度和水平向前的速度，设实心球出手时水平向前的速度为，竖直向上的速度为．出手速度满足．实心球在空中运动时，其水平距离与时间的关系为：．竖直高度与时间的关系为：． ①在小明同学的一次投掷中，测得，；根据以上信息，则与的函数表达式为___________；关于的函数表达式为___________； ②研究表明：当这两个速度相等时，投掷距离最远．小明同学在一次投掷中，测得，点为投掷点，实心球落在圆心角为的区域内时成绩有效，以实心球的落地点与投掷点的距离为学生的投掷距离，已知落地点在区域内且到边界的距离，，请求出小明投掷的距离，并求出投掷实心球的出手速度． 【答案】(1)分 (2)①，；②； 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确理解题意，构建二次函数模型是解题关键； （1）设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：，代入，即可求解； （2）①将，代入，．即可求解； ②作，推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，求得；推出投掷距离； 联立，得：；代入点即可求解； 【详解】（1）解：得分为10分； 理由如下： 设运动轨迹所在的抛物线的解析式为：， 将代入得： ，解得：， ∴； 令，解方程得：； ∴小明投掷时，最大水平距离为； ∴小明得分为分； （2）解：①由题意得：，； 联立，得：； 故答案为：，； ②连接，作于点，作于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴； ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴； 即：投掷距离为； ∵， ∴，， 联立，得：； ∵投掷距离为； ∴经过点，即：，解得：（舍）， ∴， ∴出手速度 18．如图，已知二次函数的图象经过点、和原点，为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． (1)求出二次函数的解析式． (2)当点在直线的上方时，求线段的最大值和点的坐标． (3)当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)，的最大值为 (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）设二次函数的解析式为，将、、代入解析式计算即可得出结果； （2）求出直线的解析式为，由题意可得，，得到，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）由（2）可得，，，由勾股定理可得，，结合为等腰三角形，分三种情况：当时，；当时，；当时，，分别求解即可得出结果． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为， 将、、代入解析式可得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将、代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为，此时， ∴； （3）解：由（2）可得：，，， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，两点重合，不符合题意； 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点，，符合题意； 当时，，如图： 解得：或或， ∵， ∴不符合题意，舍去， 当时，，此时点,，符合题意； 当时，，此时点,，符合题意； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，二次函数综合—线段问题，二次函数综合—特殊三角形问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 19．已知：二次函数的图象与轴交于两点，其中点坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一点，求面积的最大值； (3)抛物线的对称轴上有一动点，当是以边为腰的等腰三角形时，求出点坐标． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)点坐标为或或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求解析式，二次函数与面积综合，二次函数与等腰三角形综合等知识点； （1）把，代入后解方程即可； （2）先求出，再求出直线 解析式为，过作轴，交于点，设，则，再根据求出最大值为； （3）设，根据，，表示出、、的长度，再根据当是以边为腰的等腰三角形时，或，据此列方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，解得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 解析式为， 过作轴，交于点，如图， 设，则， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为； （3）解：的对称轴为直线， ∴设抛物线的对称轴上有一动点， ∵，， ∴，，， 当是以边为腰的等腰三角形时，或， 当时，，即，解得，此时或； 当时，，即，解得，此时或， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴在直线上，即A、D、M三点共线，不符合题意； 综上所述，当是以边为腰的等腰三角形时，点坐标为或或． 20.．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)点为直线上的一点，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标； (3)如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请直接写出这个最小值． 【答案】(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）求出，，用待定系数法求二次函数的解析式，并令，解方程即得； （2）设，则，，则，，由，得，求解方程即可； （3）在上取点D，使，连接，求出，由，，得，，，得，得，判断，得，    ，得，的最小值为，即得的最小值为． 【详解】（1）解：对， 令，则， 解得， 令，则， ∴，， 将点，代入， 得， 解得， ∴二次函数的表达式：， 令，则， 解得或， ∴， （2）解：设，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 当时， 整理得， 解得，， 当时， 整理得， 解得，， ∴点横坐标为或或或； （3）解：在上取点D，使，连接， 由（1）知，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，∴， ∴， ∴    ， ∴， 当C，Q，D三点共线时，，取得最小值， 即取得最小值， ∴此时，取得最小值， 最小值为． 【点睛】本题考查二次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质和一次函数的图像和性质，解绝对值方程，分类讨论，勾股定理，相似三角形的判定和性质，线段性质，是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $