期末复习06弧长及扇形面积期末冲刺必备讲义(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学讲义通过表格系统梳理弧长及扇形面积知识体系，涵盖核心概念公式、推导理解、经典题型分类等要点，按“概念-公式-应用”逻辑组织，用分类框架呈现基础计算、组合图形、实际应用类题型，突出重难点内在联系，发展学生抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于“题型精讲+方法指导”设计，如钟表问题结合弧长公式计算路径，圆锥实际应用强化模型意识，典例与跟踪专练分层适配不同学生，易错点警示助学生规避公式混淆等问题，支持教师实施精准教学，提升学生运算能力与推理意识。

期末复习06弧长及扇形面积期末冲刺必备讲义 期未复习内容概率 期末必备 1.核心概念与公式 2.公式推导与理解 知识点梳理 3.经典题型分类 4.解题技巧 5.易错点警示 1.弧长的计算方法 2.扇形半径的求解技巧 常考题型 3.圆心角的计算思路 4.某点弧形运动路径长度的计算 5.扇形面积的求解方法 6.图形旋转扫过区域的面积计算 精讲精炼 7.弓形面积的计算方式 8不规则图形面积的求解策略 9.圆锥侧面积的计算步骤 10.圆锥底面半径的求解方法 11.圆锥侧面展开图圆心角的计算 12.圆锥相关的实际应用问题 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 2 期末必备知识点梳理 【知识点01.核心概念与公式】 1.基本概念 弧长：圆上两点间的曲线长度，是圆周长的一部分。 扇形：由两条半径和一段弧围成的封闭图形。 扇形面积：扇形所占平面的大小，是圆面积的一部分。 2.核心公式 弧长公式：1码 (n为圆心角度数，R为半径) 扇形面积公式： S=nR2 (n为圆心角度数，R为半径) 360 SR1为弧长，R为半径) 3.解题关键 识别扇形与圆的关系（部分与整体） 试卷第1页，共3页 灵活选择公式（已知条件决定公式选择） 注意单位统一（角度制、弧度制) 【知识点02.公式推导与理解】 1.弧长公式推导 圆周长C-21R,圆心角为的弧长占圆周长的30·因此： 360X2rR= 1 nπR 180 2.扇形面积公式推导 n 圆面积SrR心，圆心角为n的扇形面积占圆面积的360：因此： s0o×R-R 360 将弧长公式代入扇形面积公式， 可得：S号×8xR 【知识点03.经典题型分类】 一、基础计算类 1.已知半径和圆心角，求弧长 直接使用弧长公式：1= Γ180 2.已知半径和圆心角，求扇形面积 直接使用扇形面积公式：SmR 360 3.已知弧长和半径，求圆心角 πR 变形弧长公式：n-1807 4.已知扇形面积和半径，求弧长 360S 方法一：先求圆心角n= nR2,再求弧长1= 180 试卷第2页，共3页 方法二：直接使用S1R,变形得12 二、组合图形类 1.扇形与三角形组合 分析：阴影部分面积=扇形面积士三角形面积 方法：分别计算扇形和三角形的面积，再根据图形关系进行加减 2.扇形与矩形组合 分析：阴影部分面积=矩形面积士扇形面积 方法：分别计算矩形和扇形的面积，再根据图形关系进行加减 3.扇形与圆组合 分析：阴影部分面积=大圆面积-小圆面积士扇形面积 方法：分别计算各部分面积，再根据图形关系进行加减 三、实际应用类 1.钟表问题 分析：分针或时针尖端走过的路程是弧长，转过的角度是圆心角 方法：确定圆心角（分针每分钟转6°，时针每小时转30°），再用弧长公式 计算 2.滑轮问题 分析：绳子绕滑轮的长度是弧长，滑轮的半径是扇形的半径 方法：确定圆心角（通常是180°或360°的倍数），再用弧长公式计算 3.扇形统计图 分析：各部分占总体的百分比对应扇形的圆心角 方法：圆心角=360°.×百分比，再用扇形面积公式计算 四、解题通用方法 1.审题：明确已知条件和所求问题，圈出关键词 2.画图：根据题意画出图形，标注已知量和未知量 3.列式：选择合适的公式，列出算式 4.计算：仔细计算，注意单位统一和工的取值 5.检查：检查公式是否正确，计算是否有误，结果是否合理 【知识点04.解题技巧】 试卷第3页，共3页 1.公式选择技巧 nπR 已知圆心角和半径，优先使用1 180和S-mR2 360 己知弧长和半径， 优先使用S-1R 2。单位转换技巧 角度制与弧度制转换：1°180弧度 长度单位转换：米、厘米、毫米等 3.图形分析技巧 分解组合图形 寻找图形间的关系 利用对称性 【知识点05.易错点警示】 1.公式混淆 错误：弧长与扇形面积公式中半径的指数写反。 关键：弧长是“线”，用R;面积是“面”，用R。 2.单位问题 角度制：北师大版教材统一使用角度制，公式中的代表圆心角的度数。 单位统一：计算前务必将所有长度单位（如cm,m)统一。 3.概念误解 弧长ⅴs弦长：弧长是曲线长度，弦长是直线距离，切勿混淆。 扇形Vs弓形：弓形面积=扇形面积-三角形面积。 圆心角vs圆周角：公式中的n是圆心角。若题目给的是圆周角，需先乘以 2。 4.计算失误 粗心：分数化简、π的取值（如3.14)需仔细。 审题：注意“半圆”、“优弧”、“劣弧”等关键词，按要求计算。 常考题型精讲精练 试卷第4页，共3页 【题型1.弧长的计算方法】 【典例】若扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的孤长为() 3 A.2π B.2元 C.3π D.6n 【跟踪专练1】如图，用扇形PAA'围成一个圆锥（接缝处忽略不计），若扇形PPA'的半径 为18，∠APA'=100°，则圆锥的底面半径为一· 【跟踪专练2】如图，AB是⊙O的直径，点D,E在⊙O上，点C在EB的延长线上，连接 CD.若∠DEB=25°，∠ADC=115°，AB=4.关于结论①，②，下列判断正确的是 () 5π ①BD的长为g:②cD是oo的切线 B A.只有①正确 B.只有②正确 C.①、②都正确 D.①、②都不正确 【题型2.扇形半径的求解技巧】 【典例】已知120°的圆心角所对的弧长是4π，则此弧所在圆的半径为一 【跟踪专练1】如图，PM切⊙O于点P,弦PQ∥OM,若∠OMP=30°，劣弧PQ的弧长 为3，则线段OM的长为() 试卷第5页，共3页 A.1 B.2 C.3 D.π 【跟踪专练2】用一个圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为2cm, 则扇形的半径为_cm 【题型3.圆心角的计算思路】 【典例】一个扇形的半径为8，弧长等于6π，则扇形的圆心角度数为() A.120° B.135 C.150° D.270° 【跟踪专练1】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应 用，图1是陈列在展览馆的仿真模型.图2是模型驱动部分的示意图，其中⊙M,⊙W的 半径分别是lcm和l0cm,当⊙M顺时针转动2周时，⊙W上的点P随之旋转n°，则n=- M N 图1 图2 【跟踪专练2】如图，B,C,D是半径为6的⊙0上的三点，已知8C的长2元，且 OD∥BC,则BD的长为() 3V5 A B.6 C.6W5 D.12 【题型4.某点弧形运动路径长度的计算】 试卷第6页，共3页 【典例】时钟的时针长9cm,从上午8：00到中午I2:00,这个时针的针尖经过的路程为 cm 【跟踪专练1】直径为1个单位长度的圆上有一点4，现在将点4与数轴上表示5的点重 合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表 示的数是() -3-2-101A234 4. 2π-V5 B.π-V3 C.3-π D.3-2x 【跟踪专练2】如图，将三角尺ABC(其中∠ABC=60°，∠C=90°)绕点B按顺时针转 动一个角度到ABC的位置，使得点A、B、C在同一条直线上，若BC的长为15cm,那 么顶点A从开始到结束所经过的路径长为一· A 【题型5.扇形面积的求解方法】 【典例】如图，将长为10d的铁丝4B首尾相接围成半径为2的扇形，则S影=() 10 A B A(B) 6dm 10dm2 A B 6πdm2 D. 10πdm2 【跟踪专练1】如图，在半径为l0cm的⊙O中，弦AB垂直平分半径OC,则扇形OAB的 面积为一· 试卷第7页，共3页 B 【跟踪专练2】如图，已知扇形OAB,在其内部作一个菱形ODCE,其中点D、E分别在 OA OB B上，点C在AB上.若01=2，∠10B=60 ,则图中阴影部分的面积为() πV3 π2√5 2π2V5 2πV5 A.33 B.33 C.33 D.33 【题型6.图形旋转扫过区域的面积计算】 【典例】钟面上分针的长为5cm,经过20min,分针在钟面上扫过的面积是_cm2. 【跟踪专练1】如图，在△AOC中，OA=3cm,将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到 △BOD,则OA边在旋转过程中所扫过的图形的面积为() 3cm' B.9 cm? 3 cm C.8 9π A. 4 D.8 cm2 【跟踪专练2】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变 为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往 试卷第8页，共3页 PO O 复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动.静止时，活塞处于点处， 0,P,0三点 共线，当活塞运动到点Q处时，完成一次进气过程，已知OP=40mm,且完成一次进气过 600π 程，OP扫过的扇形面积为 3 mm2, 则完成一次进气过程中，点。运动的路径长为一 mm. 曲轴截面 连杆 活塞 汽缸 【题型7.弓形面积的计算方法】 ⊙0 ⊙0 ∠AOB=60° 【典例】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若 ,则图中阴影 部分的面积为() B A. 3-2 3π-V5 B. 25 2.3 C.3π- 2 D.3-3 【跟踪专练1】如图，已知AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上的点，OC∥BD且与AD交 于点E,连接BC.若AB=8,∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积为一· 《 【跟踪专练2】如图是6×4的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连 试卷第9页，共3页 接AB,在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O,点C是格点且在半圆上，连接 BC,则图中阴影部分的面积是() 5π-10 5π+10 A.5元-10 B.4元-10 C. 4 D. 6 【题型8.不规则图形面积的求解策略】 【典例】如图，点C在以AB为直径的半圆上运动，连接BC,AC,若AB=2,则半圆中 的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为一· 【跟踪专练1】如图，AB为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转36°，使点A恰好旋转 到点C的位置.若AB=10,则图中阴影部分的面积为() B A.2π B.2.5π C.5π D.10元 ⊙0 CA/∥BD.OD 【跟踪专练2】如图，点B,点C,点D都在直径为6的上，过C点作 交 的延长线于点A,连接BC,∠B=∠BD0=30°，则图中阴影部分的面积等于一· (结果 保留π) 试卷第10页，共3页 期末复习06弧长及扇形面积期末冲刺必备讲义 期末必备 知识点梳理 1.核心概念与公式 2.公式推导与理解 3.经典题型分类 4.解题技巧 5.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.弧长的计算方法 2.扇形半径的求解技巧 3.圆心角的计算思路 4.某点弧形运动路径长度的计算 5.扇形面积的求解方法 6.图形旋转扫过区域的面积计算 7.弓形面积的计算方式 8.不规则图形面积的求解策略 9.圆锥侧面积的计算步骤 10.圆锥底面半径的求解方法 11.圆锥侧面展开图圆心角的计算 12.圆锥相关的实际应用问题 期末备考 压轴通关 压轴题(16题) 【知识点01.核心概念与公式】 1.基本概念 弧长：圆上两点间的曲线长度，是圆周长的一部分。 扇形：由两条半径和一段弧围成的封闭图形。 扇形面积：扇形所占平面的大小，是圆面积的一部分。 2.核心公式 弧长公式：l=（n为圆心角度数，R为半径） 扇形面积公式： S=（n为圆心角度数，R为半径） S=lR（l为弧长，R为半径） 3. 解题关键 识别扇形与圆的关系（部分与整体） 灵活选择公式（已知条件决定公式选择） 注意单位统一（角度制、弧度制） 【知识点02.公式推导与理解】 1. 弧长公式推导 圆周长C=2πR，圆心角为n∘的弧长占圆周长的，因此： l=×2πR= 2. 扇形面积公式推导 圆面积S=πR2，圆心角为n∘的扇形面积占圆面积的，因此： S=×πR2= 将弧长公式代入扇形面积公式， 可得：S=××R=lR 【知识点03.经典题型分类】 一、基础计算类 1.已知半径和圆心角，求弧长 直接使用弧长公式：l= 2.已知半径和圆心角，求扇形面积 直接使用扇形面积公式：S=​ 3.已知弧长和半径，求圆心角 变形弧长公式：n= 4.已知扇形面积和半径，求弧长 方法一：先求圆心角n=，再求弧长l=​ 方法二：直接使用S=lR，变形得l= 二、组合图形类 1.扇形与三角形组合 分析：阴影部分面积 = 扇形面积 ± 三角形面积 方法：分别计算扇形和三角形的面积，再根据图形关系进行加减 2.扇形与矩形组合 分析：阴影部分面积 = 矩形面积 ± 扇形面积 方法：分别计算矩形和扇形的面积，再根据图形关系进行加减 3.扇形与圆组合 分析：阴影部分面积 = 大圆面积 - 小圆面积 ± 扇形面积 方法：分别计算各部分面积，再根据图形关系进行加减 三、实际应用类 1.钟表问题 分析：分针或时针尖端走过的路程是弧长，转过的角度是圆心角 方法：确定圆心角（分针每分钟转 6°，时针每小时转 30°），再用弧长公式计算 2.滑轮问题 分析：绳子绕滑轮的长度是弧长，滑轮的半径是扇形的半径 方法：确定圆心角（通常是 180° 或 360° 的倍数），再用弧长公式计算 3.扇形统计图 分析：各部分占总体的百分比对应扇形的圆心角 方法：圆心角 = 360°.× 百分比，再用扇形面积公式计算 四、解题通用方法 1.审题：明确已知条件和所求问题，圈出关键词 2.画图：根据题意画出图形，标注已知量和未知量 3.列式：选择合适的公式，列出算式 4.计算：仔细计算，注意单位统一和π的取值 5.检查：检查公式是否正确，计算是否有误，结果是否合理 【知识点04.解题技巧】 1. 公式选择技巧 已知圆心角和半径，优先使用l=和S= 已知弧长和半径，优先使用S=lR 2. 单位转换技巧 角度制与弧度制转换：1=弧度 长度单位转换：米、厘米、毫米等 3. 图形分析技巧 分解组合图形 寻找图形间的关系 利用对称性 【知识点05.易错点警示】 1.公式混淆 错误：弧长与扇形面积公式中半径的指数写反。 关键：弧长是 “线”，用 R；面积是 “面”，用 R²。 2.单位问题 角度制：北师大版教材统一使用角度制，公式中的n代表圆心角的度数。 单位统一：计算前务必将所有长度单位（如 cm, m）统一。 3.概念误解 弧长 vs 弦长：弧长是曲线长度，弦长是直线距离，切勿混淆。 扇形 vs 弓形：弓形面积 = 扇形面积 - 三角形面积。 圆心角 vs 圆周角：公式中的 n 是圆心角。若题目给的是圆周角，需先乘以 2。 4.计算失误 粗心：分数化简、π 的取值（如 3.14）需仔细。 审题：注意 “半圆”、“优弧”、“劣弧” 等关键词，按要求计算。 【题型1.弧长的计算方法】 【典例】若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长的求解，解题的关键是熟练掌握弧长公式． 直接应用扇形弧长公式求解． 【详解】解：. 故该扇形的弧长为， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，用扇形围成一个圆锥（接缝处忽略不计），若扇形的半径为，，则圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【分析】此题考查了弧长公式，弧长与圆锥底面圆周长的关系，熟记弧长与圆锥底面圆周长的关系是解题的关键．根据弧长等于圆锥底面圆周长即可求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径是， 根据题意，得， 解得， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，是的直径，点D，E在上，点C在的延长线上，连接．若，，．关于结论①，②，下列判断正确的是（   ） ①的长为；②是的切线 A．只有①正确 B．只有②正确 C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理、弧长公式、切线的判定等知识．根据圆周角定理求出，利用弧长公式即可求出的长，再证明，即可证明是的切线． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴ ∴的长为， 故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线 故②正确， 故选：C 【题型2.扇形半径的求解技巧】 【典例】已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ，， 解得：． 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】用一个圆心角为的扇形围成一个圆锥，若圆锥底面圆的半径为，则扇形的半径为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了扇形和圆锥的有关计算，解题关键是明确扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，然后由弧长公式和圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴，解得：． 答：扇形的半径为． 故答案为：6． 【题型3.圆心角的计算思路】 【典例】一个扇形的半径为，弧长等于，则扇形的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长公式的应用，根据弧长公式 ，代入半径 和弧长 求解圆心角 【详解】解：设圆心角度数为 根据 ， 可得：， 整理可得：， 化简得：， 两边乘以 可得：， ， 扇形的圆心角度数为 ． 故选：B． 【跟踪专练1】“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型．图2是模型驱动部分的示意图，其中，的半径分别是和，当顺时针转动2周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了求弧长．先求出点移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵的周长为， ∴顺时针转动2周时，点P移动的弧长为， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】 如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长2π，且，则的长为（   ）    A． B． 6 C． D． 12 【答案】C 【分析】连接交于点E，则由弧长公式可求得，从而是等边三角形，进而由平行线的性质得，由圆周角定理得，则平分，由等边三角形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，在中由勾股定理求得的长，即可求得． 【详解】解：如图，连接交于点E， 设，则， 解得：， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，弧长公式等知识，熟悉这些知识并灵活应用是关键． 【题型4.某点弧形运动路径长度的计算】 【典例】时钟的时针长，从上午到中午，这个时针的针尖经过的路程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式．先根据题意得到时针转过的角度为，再根据弧长公式进行计算即可求解． 【详解】解：时钟从上午到中午，转过的角度为， 因为时钟的时针长， 所以时针的针尖经过的路程为． 故答案为： 【跟踪专练1】直径为1个单位长度的圆上有一点A，现在将点A与数轴上表示的点重合，并将圆沿数轴无滑动地向左滚动两周，如图，若点A到达数轴上的点B处，则点B表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是数轴的特点及圆的周长公式，解题的关键是掌握圆的周长公式是：． 圆从原点沿数轴向左滚动两周，可知运动距离为，再根据数轴的特点即可解答． 【详解】解：直径为1个单位长度的圆从沿数轴向左滚动两周到达， ， 而点在数轴上表示的点， 点对应的数是． 故选：D 【跟踪专练2】如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，角直角三角形的性质，解题的关键是找出旋转角，熟记弧长公式． 根据旋转得出旋转角为，求出的度数即可，然后求出，则，然后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：旋转角为， ∵，， 又由旋转知， ∴； 又∵，， ∴， ∴顶点A从开始到结束所经过的路径长为：． 故答案为： ． 【题型5.扇形面积的求解方法】 【典例】如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，在半径为的中，弦垂直平分半径，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式等知识点． 弦垂直平分半径OC得到，结合得到为等边三角形，再利用扇形面积公式即可得到答案． 【详解】解：弦垂直平分半径， ， ， 为等边三角形， ， ∵，， ， 扇形的面积， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 【题型6.图形旋转扫过区域的面积计算】 【典例】钟面上分针的长为，经过，分针在钟面上扫过的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的面积和角度计算，掌握知识点的应用是解题的关键. 根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的，根据圆的面积公式，把数据代入公式进行解答即可． 【详解】解：根据分针小时（分钟）转周，扫过的面积是一个圆的面积，分针扫过的面积是圆面积的， ∴分针在钟面上扫过的面积是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【跟踪专练2】曲柄连杆机构是发动机的主要运动机构，其功能是将活塞的往复运动转变为曲轴的旋转运动，从而驱动汽车车轮转动，其结构示意图如图所示，当活塞在汽缸内往复运动时，通过连杆带动曲轴做圆周运动．静止时，活塞处于点处，且三点共线，当活塞运动到点处时，完成一次进气过程，已知，且完成一次进气过程，扫过的扇形面积为，则完成一次进气过程中，点运动的路径长为 mm． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积和弧长的求法：设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形，设根据扇形面积公式求出n，再根据弧长计算方法计算出弧长即可． 【详解】解：如图， 设与交于点，完成一次进气过程，扫过的扇形为扇形， 设 完成一次进气过程，扫过的扇形面积为 ，解得 ， 由题意得，完成一次进气过程，点运动的路径即为， 点运动的路径长为． 故答案为：． 【题型7.弓形面积的计算方法】 【典例】如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，已知是的直径，C，D是上的点，且与交于点E，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积，先根据是的直径，得，因为得，，运用圆周角定理得，，则，，即可算出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ， 则. 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A和B是格点，连接AB，在网格中画出以AB为直径的半圆，圆心为点O，点C是格点且在半圆上，连接BC，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴ ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【题型8.不规则图形面积的求解策略】 【典例】如图，点在以为直径的半圆上运动，连接，，若，则半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，垂径定理，明确当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小是正确解答此题的关键． 当的面积最大时，阴影部分面积之和最小，据此求解即可． 【详解】解：当的面积最大时，半圆中的空白部分（两个弓形）面积之和最小， 此时，为圆的半径， 则（两个弓形）面积之和为：． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点B，点C，点D都在直径为6的上，过C点作交的延长线于点A，连接，，则图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，找到阴影面积可以由哪些规则图形的面积作和或差得到是解题关键． 连接，通过平行关系得到，通过圆周角定理得到，从而得到，再通过用三角形面积减去扇形面积作差即可得到阴影面积． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直径为6， ∴半径为3， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型9.圆锥侧面积的计算步骤】 【典例】若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥的侧面积可通过扇形面积公式计算，即底面周长母线长． 【详解】解：∵底面半径 ，母线长， ∴侧面积． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，小丽同学用纸板制作一个高为 、底面半径为 的圆锥形漏斗模型 (无底面)，若不计接缝和损耗，则她所用纸板的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积公式，勾股定理． 根据勾股定理可得母线长，再求出弧长，再根据扇形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵圆锥的母线长，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图是一个几何体的三视图，根据图纸标注的数据，求得这个几何体的侧面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图，几何体侧面积的计算，解题的关键是根据三视图想象出该几何体的形状，由三视图可知，该几何体是一个圆锥，根据圆锥的侧面积公式求解． 【详解】解：由三视图可知，该几何体是一个圆锥，且底面圆的半径是，母线长是， 底面的周长是， 侧面积为：， 故选B． 【题型10.圆锥底面半径的求解方法】 【典例】一个扇形，半径为，圆心角为90度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查求圆锥的底面半径，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，通过弧长公式计算弧长，再根据周长公式求底面半径即可． 【详解】解：由题意，圆锥的底面周长为：． 设圆锥的底面半径为，则，解得． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，从边长为的等边三角形中剪一个最大的扇形，若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算和弧长公式，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 根据圆锥的底面周长为扇形的弧长即可求出底面半径． 【详解】解：如图，连接， 则，， ， 设圆锥底面半径为， ， ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，正方形的性质，勾股定理，设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，即，进而求出正方形的对角线长，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，, ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11.圆锥展开图圆心角的计算】 【典例】已知圆锥的底面半径为2，母线为5，则圆锥侧面展开图的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的有关计算和弧长公式，根据底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长以及弧长公式求解即可，正确理解圆锥的母线是圆锥侧面展开图的扇形半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解决本题的关键． 【详解】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 根据题意，得， ， 圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 故选：C． 【跟踪专练1】如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一个物体三视图（主视图，左视图，俯视图）的基本概念，由三视图得到圆锥体的高以及底面圆的半径是解本题的关键． 首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径为，由勾股定理求得圆锥的母线长，最后由求解． 【详解】解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形， 该圆锥底面半径， 该圆锥母线长为， 该圆锥底面周长为， ∴该物体侧面展开图的面积， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，圆锥的母线长为6，底面直径长为4，为的中点．将圆锥侧面沿母线剪开并展平，在展开图中，之间的距离为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，根据圆锥的底面圆周长是其侧面展开图得到是的扇形弧长可求出侧面展开图扇形的圆心角度数，过点M作于D，分别求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为， 由题意得，， ∴， 如图所示，在扇形中，， 过点M作于D， ∴， ∴， ∴， ∴在展开图中，之间的距离为， 故选：D． 【题型12.圆锥相关的实际问题应用】 【典例】某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 【跟踪专练1】把一个圆心角为扇形纸片围成一个底面圆的半径为的圆锥侧面，则扇形半径是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据圆锥，扇形的弧长，掌握相关知识是解决问题的关键．圆锥的底面周长等于它的侧面展开图扇形的弧长，据此列方程求解． 【详解】解：设扇形半径为，圆锥底面半径为， 则底面周长为， 扇形圆心角为， 弧长为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 【跟踪专练2】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积为（    ）m2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三视图，计算表面积；通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的表面积即可． 【详解】解：圆锥的母线长为， ∴该几何体的表面积为， 故选：C． 1．如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 2．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 路程， 故选：C． 3．一个底面直径为12的圆锥体沿着它的高切开，表面积增加了120，则这个圆锥的体积是 （保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算等知识，熟知圆锥相关概念是解题关键．根据题意得到一个圆锥体沿着它的高切开，切面是两个完全相同的三角形，每个三角形的底为圆锥的底面直径，三角形的高为圆锥的高，据此求出圆锥的高为10，再根据圆锥的体积公式即可求解． 【详解】解：由题意得表面积增加的两个三角形的面积， ∴圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故答案为： 4．一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是，用这堆沙子在宽的公路上铺厚的路面，能铺 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生运用圆锥体积公式解决实际问题的能力． 先根据底面周长求出底面半径，再计算圆锥体积，最后利用长方体的体积公式进一步计算即可求解． 【详解】一个圆锥形沙堆的高是，底面周长是， 底面半径 ， 圆锥体积 ． 铺路厚度， 设能铺长， 长方体体积， 即， ． 故答案为：． 5．如图，现有一张圆心角为的扇形纸片，该扇形纸片的半径为40cm．小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片的圆心角度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键. 先根据圆锥底面半径求出底面周长，此周长即为圆锥侧面展开图的弧长，再根据弧长公式求出剩余扇形的圆心角，最后用原扇形的圆心角减去剩余扇形的圆心角得到剪去扇形的圆心角即可. 【详解】解：由， 解得， 剪去的扇形纸片的圆心角度数为， 故答案为：． 6．如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与分别相切于E、F、H，连接，可证明四边形是正方形，由，，，求得，，由，，求得，则，则，由，，求得，则，所以阴影部分扇形的圆心角为，再根据扇形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：设与分别相切于E、F、H，连接， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ，，， ，， ，， ， ， ， ∵是的内切圆， 平分，平分， ，， ， ， 阴影部分扇形的圆心角为， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、勾股定理、三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、正方形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 7．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 【解答】解：设该圆锥的母线长为l． 由题意，得． ∴（cm）， ∴． 故答案为：． 8．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 9．如图，在扇形中，，半径，C是上一点，连接，沿将扇形折叠，使得点B落在的延长线上的点D处，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查不规则图形的面积的计算，勾股定理，熟知扇形面积的计算公式及勾股定理的巧妙运用是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，即可求出的面积，再将余下的阴影部分的面积转化为右上方弓形的面积即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，且， ∴， 由折叠可知， ， 则． 设长为， 则， 在中， ， 解得， 所以． 又因为余下的阴影部分的面积与右上方的弓形面积相等， 则， 故． 故答案为：． 10．如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，证明．，得到， 根据，解答即可． 【详解】解：设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键． 11．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是 ． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 12．综合与实践 问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料． (1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）． (2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n； (3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值． 【答案】(1)相等； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解； （2）根据求解即可； （3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等． 故答案为：相等． （2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得： 则：，即：． （3）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ∴， ∵，C是中点， ∴， ∴在中，， ∴彩带长度的最小值为． 13．【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 【答案】(1)； (2)①；②PC的最小值为． 【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作，求得，进而求得，根据可求得，根据即可求出劣弧的长度； （2）①根据已知条件可得，证明，即可求得； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点，由题意的由“定弦定角”模型，可知，，作出的外接圆，圆，设圆的半径为，则的最小值即为，根据勾股定理即可求得，，从而求得最小值． 【详解】（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作， ，， ， ， ，， ， ， ∴劣弧的长为 故答案为：； （2）①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知，， 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了“定弦定角”模型，圆周角定理，解直角三角形，线段最短距离，勾股定理正方形的性质，三角形全等的性质与判定，理解题意作出图形是解题的关键． 14．如图，在菱形中，边长是10，点，在直线上，且与直线相交所得的锐角为．点在直线上．且，，，以为直径，在左侧作半圆，点是半圆上任意一点． (1)连接，则的最小值是______，最大值是______ (2)菱形不动，半圆沿着直线向左平移，设平移距离是． ①当边与半圆相切时，求的值 ②当点落在上时，求半圆和菱形重合部分的面积． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)如图，连，，由三角形的三关系和点是半圆上任意一点即可求出最大值和最小值； (2)①如图，边与半圆相切于点时，连，，由切线长定理和勾股定理即可得出的值；②当点落在上时，连，作，由勾股定理和扇形面积公式分别算出，，进而即可得解． 【详解】（1）解：如图，连，， ∴， ∵， ∴的最小值是， 当M点与E点重合时，的最大值是， 故答案为：，； （2）解：①如图，边与半圆相切于点时，连，， ∵， ∴， ∴与与半圆相切， ∴，， ∴， 由勾股定理得，此时， ∴； ②如图，当点落在上时，连，作， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，此时， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线长定理，切线的性质定理，三角形的三边关系，直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，扇形的面积公式等知识点，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 15．如图①，圆锥的母线长为6cm，其侧面展开图扇形的圆心角的度数为现利用一张矩形纸片剪出一张扇形纸片和一张圆形纸片，作为该圆锥的侧面和底面． (1)该圆锥的底面圆的半径为______cm； (2)已知矩形纸片的边长分别为， （i）按如图②所示的方式剪出作为圆锥侧面的扇形纸片，且扇形与矩形纸片的两边相切于点P，Q，点A，B在矩形纸片的一边上． ①当时，利用剩余的纸片能否剪出作为圆锥底面的圆形纸片？并说明理由； ②当矩形纸片的边长a最短时，且利用剩余的纸片能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，请画出相应的示意图，并直接写出对应的a的值． （ii）若矩形纸片能剪出满足条件的扇形纸片和圆形纸片，请直接写出a的取值范围． 【答案】(1)5 (2)（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片，理由见解析；②作图见解析，；（ii） 【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长求解即可； （2）（i）①由（1）知底面圆的半径为，求出剩余纸片的长和宽，再与直径比较即可； ②当底面圆形纸片与边相切，据此求解即可； （ii）分情况讨论，情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切，据此求出的值，再进行比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， 解得 故答案为：； （2）（i）①能剪出作为圆锥底面的圆形纸片， 理由：作，垂足为C，延长，交于点D，交于点 ， 是等边三角形 在中， 在四边形中， 四边形是矩形 、 能剪出作为圆锥底面的圆形纸片； ②示意图如图所示，此时； 如图，设底面圆圆心为O，连接交切点为K，过N作于点G， 则，， 在中， ； （ii）情况一：扇形缺口向右，扇形圆心和底面纸片圆心在同一水平线上，如图， 此时， 此时； 情况二：扇形缺口向右，底面纸片圆心与上边或下边相切时，如图， 、 此时 ． 【点睛】本题考查圆锥的性质、扇形的性质、圆的性质、矩形的性质，熟练扇形弧长公式、相关性质是解题的关键． 16.．如图，四边形和均为正方形，将绕点旋转； (1)如图①，连接，判断直线的位置关系并说明理由； (2)如图②，连接，若，探索并证明线段的数量关系； (3)如图③，若正方形、边长分别为，绕点旋转一周，直线与相交于点，直接写线段的最小值及点运动轨迹的长度． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，证明见解析 (3)的最小值为，点的运动轨迹的长度为 【分析】（1）延长交的延长线于点，延长交于点，证明，进而可证明，即可得结论； （2）将绕点顺时针旋转至，连接，证明，得，，，将绕点逆时针旋转至，连接，同理可得，，，，进而可得三点共线，，用勾股定理即可得结论； （3）作于，得 ，在正方形绕点旋转过程中，，当时，最大，此时最大，得，，由（1）可知，， 得点在以为直径的上，解直角三角形，利用勾股定理定理即可求出相关结论． 【详解】（1）解：，理由如下，延长交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，理由如下， 四边形是正方形， ，， 如图，将绕点顺时针旋转至，连接， ， ， ， ， ，，，， 如图，将绕点逆时针旋转至，连接， 同理可证， ，，，， ， ， 三点共线， ， ，， ， ， 在中，， 即， ； （3）解：正方形绕点旋转一周，， 在以为圆心，2为半径圆上，如图所示： 作于，中，， 在正方形绕点旋转过程中，， 当时，最大， 此时最大，， ， ， 由（1）可知，， ， 连接，取中点，连接， 在以为直径的上， ，， ， ， ， 此时、重合，最小，如图所示： 作，交的延长线于， ，， ， 由（1）知，， ，， ， ， ， 当点在左侧时，如图所示： 同理可得，， 点从左侧运动到右侧，点在上转过的角度为， 点从右侧运动到左侧，点在上转过的角度为， 正方形的边长为4， ， 点的运动轨迹为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的性质及判定，求动点的运动轨迹等动态几何问题，综合性强，难度较大，能正确作出辅助线并结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $