期末复习04圆的期末冲刺必备讲义（1）(核心考点+常考题型精析+压轴题型通关)2025-2026学年北师大版九年级数学下册

该初中数学圆的期末复习讲义通过表格系统梳理知识体系，涵盖圆的定义、对称性、垂径定理等核心知识点，结合易错点警示分类呈现概念混淆、定理应用疏漏等问题，用框架化结构呈现知识内在联系，突出几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分层练习设计，常考题型精讲精炼覆盖12类基础应用，如点与圆位置关系最值问题培养推理意识，垂径定理解决油槽截面问题提升运算能力，压轴通关聚焦综合题。易错点集锦助力学生规避错误，教师可据此实施分层教学，支持不同层次学生提升。

期末复习04圆的期末冲刺必备讲义（1） 期末必备 知识点梳理 1.圆的定义 2.圆的相关概念 3.圆的对称性 4.垂径定理 5.圆周角与圆心角的关系 6.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.点与圆的位置关系判断方法 2.由点与圆的位置关系确定圆的半径 3.点与圆上一点的最值问题 4.弧,弦.圆心角的关系及计算应用 5.弧,弦.圆心角的关系证明题解法 6.垂径定理的基础求值应用 7.垂径定理的推论及应用 8.垂径定理的实际应用 9.圆周角定理的理解与应用 10.圆弧或等弧所对的圆周角相等 11.半圆(直径)所对的圆周角是直角 12.圆内接四边形的角度计算方法 期末备考 压轴通关 压轴题(15题) 【知识点01.圆的定义及相关概念】 1.圆的定义 集合定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。 轨迹定义：到定点的距离等于定长的所有点的集合。 圆心：固定的端点 O。 半径：线段 OA 的长度，通常用字母 r 表示。 直径：通过圆心的弦，是圆中最长的弦，通常用字母 d 表示。直径与半径的关系：d = 2r。 2.圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段。 弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示。 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 3.圆的对称性 轴对称图形：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 中心对称图形：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 【知识点02.圆的对称性】 1.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点03.垂径定理】 圆周角定理 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 推论 1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径。 推论 2：圆内接四边形的对角互补。 【知识点04.圆周角和圆心角的关系】 1.点与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心 O 的距离为 d，则： 点 P 在圆外 ⇔ d > r 点 P 在圆上 ⇔ d = r 点 P 在圆内 ⇔ d < r 2.直线与圆的位置关系 设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则： 直线 l 和⊙O 相离 ⇔ d > r 直线 l 和⊙O 相切 ⇔ d = r 直线 l 和⊙O 相交 ⇔ d < r 3.切线的性质与判定 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4.切线长定理 定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点到切点的线段的长度叫做切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 5.三角形的内切圆 定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 【知识点05.易错点警示】 一.概念类易错点 1.混淆弦与直径：直径是弦，但弦不一定是直径（需过圆心）。 2.优弧表示错误：优弧必须用三个字母表示（如⌒ACB），劣弧用两个字母。 3.圆周角判定疏漏：需同时满足“顶点在圆上、两边与圆相交”，缺一不可。二、二.定理应用类易错点 1.垂径定理推论：平分弦的直径垂直于弦，需补充“弦不是直径”的前提。 2.圆心角、弧、弦关系：仅在“同圆或等圆中”，一组量相等才对应其余量相等。 3.圆周角推论：90°角对直径，必须强调是“圆周角”（顶点在圆上）。 三、位置关系类易错点 1.距离判定混淆：点与圆看“点到圆心距离”，直线与圆看“圆心到直线距离”，均与半径比较。 2.切线判定遗漏条件：需同时满足“过半径外端、垂直于该半径”。 3.切线性质误用：切线仅垂直于“过切点”的半径，非任意半径。 四、逻辑表达类易错点 1.证明逻辑断裂：每步结论需有定理/条件支撑，尤其切线证明不可缺条件。 2.距离概念模糊：圆心到直线距离是“垂线段长度”，非点到点距离。 【题型1.点与圆的位置关系判断方法】 【典例】已知的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与的位置关系为（    ） A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解题意是解决本题的关键． 通过比较点P到圆心O的距离与圆的半径的大小关系，即可判断点P与圆的位置关系． 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为5，的半径为6，且， ∴点P在圆内． 故选：A． 【跟踪专练1】设的半径为2，点P到圆心O的距离，且m使得关于x的方程没有实数根，则点P与的位置关系为 ． 【答案】点P在圆外 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及点与圆的位置关系．先根据一元二次方程无实数根的条件，列不等式求出的取值范围；再确定点P与的位置关系． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴ ， 解得， ∵的半径为2， ∴点P到圆心O的距离， ∴点P与的位置关系为点P在圆外， 故答案为：点P在圆外． 【跟踪专练】已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是（   ） A．6 B．2 C．2或3 D．4或6 【答案】C 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径最小距离最大距离；②当点在圆外时，直径最大距离最小距离． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在圆内时，如图1， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为3； ②当点在圆外时，如图2， ∵点到圆上的最小距离，最大距离， ∴直径， 即半径为2． 故选：C． 【题型2.由点与圆的位置关系确定圆的半径】 【典例】圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，得出直径为，即可求出该圆的半径， 【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，，若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置的关系． 根据题意，则只有B点在圆内才满足条件，根据点与圆的位置关系求解即可． 【详解】解：连接， 在中，， 若以顶点A为圆心、r为半径作圆，若点B、C、D三点，只有一点在圆内， 则只有B点在圆内才满足条件， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，以顶点为圆心作半径为的圆，若要求另外三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理，根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，理解点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由图可知三个顶点、、中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则的取值范围是， 故答案为：． 【题型3.点与圆上一点的最值问题】 【典例】如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是（    ） A．a B． C． D．b 【答案】B 【分析】此题主要考查线段长度的最值， 只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上，且点C在之间时，S取到最小值，据此求解即可． 【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最小值． 故选：B． 【跟踪专练1】在中，，，，点是以点为圆心，为半径的圆上一点，连接，点为中点，线段长度的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，取的中点，连接，，，由勾股定理得，然后通过直角三角形性质可得，又是的中点，是的中点，则，通过即可求出线段长度的最大值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接，，， ∵，，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴最大值为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点，分别是，边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，最短路径． 由直角三角形斜边上中线的性质可得，可知点的轨迹为：以为圆心，为半径的圆弧（一部分），作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长，根据勾股定理可得，即可得的最小值． 【详解】解：，点为的中点， ， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧（一部分）， 作关于的对称点，连接，交于，当为与的交点时，的值最小，最小值为的长， ，， ， 在中，， ， 的最小值为， 故选：A． 【题型4.弧.弦.圆心角的关系及计算应用】 【典例】如图，在⊙O中，，，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握三者关系是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系和等式的性质解答即可． 【详解】解：在⊙O中，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点． 先根据等弧所对的圆周角相等得到，再求解即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，是以为直径的半圆上一点，上一点关于直线对称的点落在上，若，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的特征，圆周角与弦、弧之间的关系，解直角三角形，勾股定理，过点作于点，通过轴对称的性质，可证，，然后，不妨设，然后在利用勾股定理求得答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   上一点关于直线对称的点落在上， ， ， ， ， 是直径， ， ， ， ， ， 不妨设， ， ， ， （舍去）或， ． 故答案为：． 【题型5.弧.弦.圆心角的关系证明题解法】 【典例】若分别是圆上的两段劣弧，且，则弦与弦之间的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系是解题的关键． 根据两弧的关系，作出的中点E，则，再根据三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，设E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【跟踪专练1】如图，四边形内接于，连结，为的直径，E是的中点．过点E作的切线，交的延长线于点F，且，，，则的长为 ，的半径为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，弧与弦的关系，正确添加辅助线是解题的关键． 连接，则，由勾股定理得：，即；由圆周角定理得到，继而，则，可求直径，继而可求半径． 【详解】解：连接， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴半径为， 故答案为：5；． 【跟踪专练2】如图，平行四边形，，，以点为圆心，为半径画弧，分别交、于，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，圆心角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，求出，可证明是等边三角形，继而得到得出阴影部分的面积，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 弓形面积弓形面积， 阴影部分的面积， 故选：A 【题型6.垂径定理的基础求值应用】 【典例】如图，为的直径，弦于点E，若，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．连接，根据垂径定理得，在中，利用勾股定理得． 【详解】解：连接， ∵为的直径，， ∴， 在中，， ∴，即． 解得，． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，的直径垂直于弦，垂足为的长为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，通过等腰直角三角形得到是解题的关键． 先求出的度数，再结合垂径定理证是等腰直角三角形，求出的长度，即可求解． 【详解】解： 的直径垂直于弦 又 ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【题型7.垂径定理的推论及应用】 【典例】下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与x轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理的推论、三角形中位线等知识点，由题意得点是的中点，推出是的中位线，得出当最大时，线段取得最大，此时为的直径；即可求解； 【详解】解：∵为的弦，且， ∴点是的中点， ∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴，即当最大时，线段取得最大，此时为的直径； 如图所示： ∵点M坐标为，点A坐标为，垂直平分， ∴； ∵点M是的中点， ∴； ∵点D是的中点，，； ∴， 故答案为： 【跟踪专练2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且米，米．则的半径为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理及推论的应用、勾股定理，由是中弦的中点，则，所以，故有，（米），设的半径为米，则（米），然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是中弦的中点， ∴， ∴， ∴，（米）， 设的半径为米，则（米）， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【题型8.垂径定理的实际应用】 【典例】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面半径为10，油面宽为，如果再注入尽可能多的一些油后，油面宽变为，则油面上升了 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用． 由垂径定理和勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：当油面没超过圆心，油面宽为时，过作于，交于，连接，， 则， ，， 截面半径为， ， ， ， 则， 即当油面没超过圆心时，油上升了； 当油面超过圆心， 同理得， 则， 即油面上升了； 根据题意这时注入的油尽可能的多， 故答案为：14． 【跟踪专练1】一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形,上半部分为半圆形），则卡车的外形高必须低于（　　）． A．4.1米 B．4.0米 C．3.9米 D．3.8米 【答案】A 【分析】本题考查圆中的垂径定理与勾股定理的应用，掌握垂径定理常考模型是解题关键． 根据题意，卡车应在最中间通行，其高度要比距离隧道中线1.2米处的洞壁低，用勾股定理计算出高度即可． 【详解】解：如图，卡车应在最中间通行， ∵车宽为2.4米， ∴米， 由题意可知，半圆形的半径米， 在直角中，， ∴米， ∵下半部分为矩形， ∴米， ∴米， ∴卡车的外形高必须低于4.1米． 故选：A． 【跟踪专练2】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为 ． 【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，找出正确的圆心是解决本题的关键． 连接，设圆的半径为，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意得，圆心在所在直线上，连接，设圆的半径为， ∴，，， 在中，， 解得， 圆形工件的半径为． 故答案为：． 【题型9.圆周角定理的理解与应用】 【典例】如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，，的平分线交于D，若则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆的性质和勾股定理，过点A作于点E，连接，，根据题意可得，，利用勾股定理求得，则可求，在中可求得，即可求得． 【详解】解：过点A作交于点E，连接，，如图， ∵， ∴为直径， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 则． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，点、、在上，是的中点，交于点．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 如图所示，连接，首先求出，然后得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵，是的中点， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 【题型10.圆弧或等弧所对的圆周角相等】 【典例】如图，为的直径，点C，D在上．若，则的度数为 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，先根据直径所对的圆周角是直角得到，则由三角形内角和定理可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：为直径， ， ， ， ∵， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，、为的弦，为直径，、相交于点，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，三角形内角和定理． 根据圆周角定理得，根据得，可得，据此计算即可得． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，内接于，，为弧上一点，连结，交于点E，连结，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边对等角，同弧所对圆周角相等的知识，掌握以上知识，判定是解题的关键． 根据题意，可证，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 【题型11.半圆(直径)所对的圆周角为直角】 【典例】现有一个未知圆心的圆形纸片和一块足够大的直角三角板（无刻度）可以使用，下列操作能找到圆形纸片的直径的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，逐个判断图中弦所对应的角是否是直角即可． 【详解】解：∵直角所对的弦是直径， ∴四个选项中只有B选项中的所对应的角是直角，即是直径， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是的直径，若，，则的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得，由同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得的度数，继而求得的度数，最后由含角的直角三角形的性质与勾股定理，可求得、的长． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 【跟踪专练2】如图，为半圆O的直径，，都是弦，且平分，与、分别交于点E，F，下列说法错误的是（   ） A． B． C．若点F为中点，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推理即可判断A；由无法证明，得到，即可判断B； 如图所示，当点F为中点，证明出，得到，推出，然后证明出，得到，即可判断C；如图所示，若，证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，利用三线合一即可判断D． 【详解】解：∵平分， ∴ ∴ ∴，故A正确； ∵ ∴ ∵ ∴无法证明 ∴ ∴，故B错误； 如图所示，当点F为中点， ∴ ∵为半圆O的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，故C正确； 如图所示，若， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴是等边三角形 ∴，故D正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了垂径定理的推理，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型12.圆内接四边形的角度计算方法】 【典例】如图，四边形内接于，点E为延长线上一点，若，则的度数为 ． 【答案】60 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质．根据圆内接四边形的性质以及邻补角的性质可得． 【详解】解：四边形内接于， ， ，， ， 故答案为： 【跟踪专练1】如图，为的外接圆，且是的直径，点是上的一点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得，即得，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵为的外接圆， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】如图，是的弦，把沿弦对折，是对折后上的一点，是对折前优弧上的一点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形折叠的问题以及圆内接四边形的性质，解题的关键是翻折，点落在处，得出．由已知条件先求出，再利用圆内接四边形的性质即可求出的度数，分别得到和，相减即可． 【详解】解：如图所示，翻折，点落在处， ， ，， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ∴， 故答案为：． 1．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点是上的动点，点是线段的中点，则线段的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，取的中点，连接，由勾股定理求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由三角形中位线定理得到，由三角形三边关系定理得到，即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示： ∵， ， ， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 的半径为1， ， ∴， 由三角形三边关系可知，， ∴线段的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及点与圆的位置关系、坐标与图形、三角形中位线的判定与性质、三角形三边关系、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、勾股定理，掌握圆中动点最值问题的基本解法，构造出，进而由三角形三边关系得到是解决问题的关键． 2．一条排水管的截面为圆形，半径，下雨前水面宽，下雨后水面宽度变为8，则水面上升了 ． 【答案】或7 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和垂径定理的实际应用，通过计算下雨前后弦心距的变化，得到水面上升的高度即可． 【详解】解：如下图，过点O作于E，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 当水面没过圆心时， 当水面超过圆心时，， 即水管水面上升了1或7． 故答案为∶1或7． 3．在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ． 【答案】2或14 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 4．如图， 、是的两条弦，且．，， 垂足分别为点M、N，、的延长线交于点P，连接，下列结论①弧=弧； ②； ③； ④，正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 连接、，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、； ∵， ∴，故①正确 ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴，，故④正确， ∵， ∴，故③正确， 故选：D． 5．如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 6．如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（     ） A．4 B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线定理，二次函数的性质，抛物线与轴的交点，点与圆的位置关系，关键是明白当过圆心时，长最大，由三角形中位线定理即可求解． 连接，由抛物线关于轴对称，得到，因此是的中位线，得到，当过圆心时，长最大，长最大，求出的坐标是，得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接， 抛物线关于轴对称， ， ， 是的中位线， ， 当长最大时，长最大， 当过圆心时，长最大， 当时， ， 的坐标是， ， 的坐标是， ， ， 的半径是， ， ， ， 的最大值是 故选：B． 7．如图，已知在纸上有一点O．按下列尺规作图的步骤进行：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．四边形是菱形 B．点C是弧的中点 C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，根据已知条件可证和为等边三角形，结合菱形的判定定理可判断A选项；根据，可以推出B正确；求出，可以判定C正确；在中，可求出的长，进而可得四边形的面积即可判断D选项． 【详解】解：连接，设交于点H， 由题意可知，为线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， 由尺规作图可知， ， ，即为等边三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形，故A选项正确，不符合题意； ， ， 点C是弧的中点，故选项B正确，不符合题意； ， ， ，故选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 四边形的面积为，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定与性质、圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形的相关计算，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点．A，B是半径为2的上的两动点，且，M为弦的中点，点．当A，B两点在圆上运动时，面积的最大值是 ． 【答案】16 【分析】如图所示，过点E作于Q，连接、，由垂径定理得到，，勾股定理求出，得到点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动，当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大，然后利用等面积法求出，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于Q，连接、， ∵A，B是半径为2的上的两动点， ∴ ∵，M为弦的中点， ∴， ∴ ∴点M在以点E为圆心，为半径的圆上运动 ∴当点M，E，Q三点共线时，点M到的距离最大 ∵直线与x轴、y轴分别交于D，C两点 ∴当时， ∴ ∴ 当时， 解得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴面积的最大值是16． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点坐标，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 9．如图，等边内接于，，点为上一动点，于点，当点由点沿运动到点时，线段的最大值是 ． 【答案】 【分析】连接，，延长交于点，设的中点为，以点为圆心，为半径作，连接交于点，根据等边三角形及其外接圆的性质得，，再根据勾股定理得，，则，，根据得，则当点由点沿弧运动到点时，点在上运动，根据点与圆的位置关系得：当点于点重合时，为最大，最大值是线段的长，然后在中，由勾股定理求出，进而得的长，由此即可得出答案． 【详解】解：连接，，延长交于点，设的中点为，以点为圆心，为半径作，连接交于点，如图所示： 等边内接于，且， ，， ，，， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ， ， ， ， ， 的半径为6， 即， 于点， ， 点在上， 即当点由点沿弧运动到点时，点在上运动， 根据点与圆的位置关系得：当点于点重合时，为最大，最大值是线段的长， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 线段的最大值是． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 10．在半圆中作矩形，点C、D在圆弧上，点E在上，点F在上．连接交于点G，连接．若，则半圆的半径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形和全等三角形的判定与性质综合，垂径定理的推论等知识点，连接，证，得；；再证，推出，，；由题易知：，可推出，，即可求解； 【详解】解：连接，如图所示： ∵ ∴； ∵， ∴； ∴；； ∵， ∴； ∵ ∴； ∴，， ∴； 作，如图所示： 则； ∵， ∴四边形矩形， ∴； 同理可得：； ∴； ∴，，， ∴ 即， ∴， ∴， 故答案为： 11．弦把分成，连接、，过的中点A作，交于B，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，垂直平分线的性质，借助辅助线构造等边三角形是解题关键． 连接、、，延长交于点C，利用弦把分成1:3，可计算出，由于，所以，由于点A为的中点，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质可判断为等边三角形，则，根据，可求的度数． 【详解】解：如图，连接、、， ∵弦把分成， ∴， ∵， ∴， ∵点A为的中点， ∴点C为的中点， 即垂直平分， ∴， 而， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的度数为． 答：的度数为． 12．如图，在中，，． (1)当时，求； (2)将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，为的中点，过点作于点． ①补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)①补图见解析；②，证明见解析 【分析】（）过点作交于，可得是等腰直角三角形，即得，，进而得到，即得到，得到，最后根据三角形外角性质即可求解； （）①根据题意补全图形即可；②由可得点四点共圆，连接，作于，连接并延长交于点，可证，得到，进而由三线合一得到，即可得，得到，，即得到，又由即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作交于，    则， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①补图如下： ②，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， 如图，连接，作于，连接并延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形外角性质，旋转的性质，点和圆的位置关系，垂径定理，全等三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 13．某地有一座抛物线形拱桥（如图①），桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即）． (1)现有一艘宽，船舱顶部高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？ (2)若此桥为圆弧形拱桥（如图②，其中点O为圆心，） ①求出该圆弧形拱桥所在圆的半径的长度； ②那么宽，船舱顶部高出水面的货船能否通过这座桥？ 【答案】(1)货船不能顺利通过这座桥 (2)①该圆弧形拱桥所在圆的半径为；②货船能顺利通过这座拱桥 【分析】本题考查了垂径定理的应用、二次函数的应用．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用． （1）以D为坐标原点建立坐标系如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后把代入，求得函数值，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座桥； （2）①首先连接，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程，解此方程即可求得半径；②连接，则米，可求得此时的高，即可求得的长，比较，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥． 【详解】（1）解：货船不能顺利通过这座桥，理由： 以D为坐标原点建立坐标系如图， 根据题意得：，， ∴，，， 设抛物线为， 代入A的坐标得，， 解得， ∴抛物线为， 设， ∵轴， ∴， ∴M点横坐标为， 把代入，得， ∴， ∴货船不能顺利通过这座桥； （2）解：①连接， 根据题意得：，， 则， 设这座拱桥所在圆的半径为， 则，， 在中，， 则， 解得：， ∴该圆弧形拱桥所在圆的半径为； ②货船能顺利通过这座拱桥．理由： 连接， 设， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∵， ∴货船能顺利通过这座拱桥． 14．如图，内接于，点是上一点，连接，交于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，且，求的值； (3)若，过点作于点，当时，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用圆的相关性质结合三角形全等进行推理计算． （1）利用圆内接四边形的性质及圆周角定理，推导弧相等进而得到边相等； （2）结合弧中点的性质与垂直条件，证明为等边三角形，通过设设则，计算线段比值； （3）过点作，交的延长线于点，利用全等三角形的面积关系求解目标三角形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为圆的内接四边形 ， ， ， ， ， ， ； （2）如图： ∵点是的中点， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ∴为等边三角形， ， ， ， 设则， ， ， ， ， ； （3）过点作，交的延长线于点，如图， ， ，， ， ， 在中， ， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积． 15．中，，将绕点A逆时针旋转到，直线与直线交于点E，过点D作交延长线于点F． (1)如图1，当时，连接，若，求的长度； (2)如图2，若点G为的中点，连接，请用等式表示线段之间的数量关系并证明； (3)如图3，在（2）的条件下，，，连接，点P为边上一动点，连接，以为直角边在其右侧作等腰直角，，并将绕点Q旋转至，连接，请直接写出当和均取得最小值时的面积． 【答案】(1) (2)；见解析 (3) 【分析】（1）如图所示，过点D作于H，先证明是等边三角形，得到，再由旋转的性质得到，据此可得，进而得到，进一步证明，据此求出的长，再求出的长，即可得到答案； （2）延长到T，使得，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，导角证明，得到，再由直角三角形的性质得到，则可证明； （3）如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接，可证明，得到，由旋转的性质可得，则可证明；再证明四边形是正方形，得到， ，进而得到点Q在直线上运动，且K、D、F三点共线，则当时，有最小值，设此时点Q与重合，再证明点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动，则当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合；由勾股定理得，，由（2）的结论可知，则，；求出，，则；如图所示，过点作于N，则，证明，利用相似三角形的性质得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，延长到T，使得，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点G为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，以B为直角顶点，为直角边作等腰直角，连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∴点Q在直线上运动，且，则K、D、F三点共线， ∴当时，有最小值，设此时点Q与重合， ∵将绕点Q旋转至， ∴， ∴点M在以点Q为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当M、E、Q三点共线，且点E在上时，有最小值，设此时M与重合； 在中，由勾股定理得， ∵，G为的中点， ∴， 由（2）的结论可知， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图所示，过点作于N，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于构造相似三角形证明点Q的轨迹为直线，进而证明点M的轨迹为圆． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习04圆的期末冲刺必备讲义(1) 期未复习内容概率 期末必备 1.圆的定义 2.圆的相关概念 知识点梳 3.圆的对称性 4.垂径定理 理 5.圆周角与圆心角的关系 6.易错点警示 1.点与圆的位置关系判断方法 2.由点与圆的位置关系确定圆的 常考题型 半径 精讲精炼 3.点与圆上一点的最值问题 4.弧，弦.圆心角的关系及计算应用 5.弧，弦.圆心角的关系证明题解法 6垂径定理的基础求值应用 7.垂径定理的推论及应用 8垂径定理的实际应用 9.圆周角定理的理解与应用 10.圆弧或等弧所对的圆周角相等 11.半圆（直径）所对的圆周角是直角 12.圆内接四边形的角度计算方法 期末备考 压轴题(15题) 压轴通关 2 期末必备知识点梳理 【知识点01.圆的定义及相关概念】 1.圆的定义 集合定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点0旋转一周，另一个 端点A所形成的图形叫做圆。 轨迹定义：到定点的距离等于定长的所有点的集合。 圆心：固定的端点0。 半径：线段OA的长度，通常用字母r表示。 直径：通过圆心的弦，是圆中最长的弦，通常用字母d表示。直径与半径的关 系：d=2r。 2.圆的相关概念 弦：连接圆上任意两点的线段。 试卷第1页，共3页 弧：圆上任意两点间的部分。 优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示。 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示。 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 圆心角：顶点在圆心，两边都与圆相交的角。 圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角。 3.圆的对称性 轴对称图形：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 中心对称图形：圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 【知识点02.圆的对称性】 1.垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等。 【知识点03.垂径定理】 圆周角定理 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心 角的一半。 推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 推论2：圆内接四边形的对角互补。 【知识点04.圆周角和圆心角的关系】 1.点与圆的位置关系 设⊙0的半径为r,点P到圆心0的距离为d,则： 点P在圆外台d>r 点P在圆上台d=r 试卷第1页，共3页 点P在圆内台d〈r 2.直线与圆的位置关系 设⊙0的半径为r,圆心0到直线1的距离为d,则： 直线1和⊙0相离台d>r 直线1和⊙0相切台d=r 直线1和⊙0相交台d〈r 3.切线的性质与判定 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 4.切线长定理 定义：从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点到切点的线段的长度叫做切线长。 定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平 分两条切线的夹角。 5.三角形的内切圆 定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。 内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点。 【知识点05.易错点警示】 一.概念类易错点 1.混淆弦与直径：直径是弦，但弦不一定是直径（需过圆心)。 2.优弧表示错误：优弧必须用三个字母表示（如⌒ACB),劣弧用两个字母。 3.圆周角判定疏漏：需同时满足“顶点在圆上、两边与圆相交”，缺一不可。二、 二定理应用类易错点 1.垂径定理推论：平分弦的直径垂直于弦，需补充“弦不是直径”的前提。 2.圆心角、弧、弦关系：仅在“同圆或等圆中”，一组量相等才对应其余量相等。 3.圆周角推论：90°角对直径，必须强调是“圆周角”（顶点在圆上）。 三、位置关系类易错点 1.距离判定混淆：点与圆看“点到圆心距离”，直线与圆看“圆心到直线距离”， 均与半径比较。 2.切线判定遗漏条件：需同时满足“过半径外端、垂直于该半径”。 试卷第1页，共3页 3.切线性质误用：切线仅垂直于“过切点”的半径，非任意半径。 四、逻辑表达类易错点 1.证明逻辑断裂：每步结论需有定理/条件支撑，尤其切线证明不可缺条件。 2.距离概念模糊：圆心到直线距离是“垂线段长度”，非点到点距离。 常考题型精讲精练 【题型1.点与圆的位置关系判断方法】 【典例】己知⊙0的半径为6，点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙0的位置关系为() A.点P在圆内B.点P在圆上 C.点P在圆外 D.无法确定 【跟踪专练1】设⊙0的半径为2，点P到圆心O的距离0P=m,且m使得关于x的方程 2x2-2√2x+m-1=0没有实数根，则点P与⊙0的位置关系为 【跟踪专练】己知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是() A.6 B.2 C.2或3 D.4或6 【题型2.由点与圆的位置关系确定圆的半径】 【典例】圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是 【跟踪专练1】如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,若以顶点A为圆心、r为半径作 圆，若点B、C、D只有一点在圆内，则r的取值范围为() A D B A.3<r≤5 B.3<r≤4 C.3≤r<4 D.r>3 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，AD=8,AB=15,以顶点D为圆心作半径为r的 圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则 的取值范围是 试卷第1页，共3页 【题型3.点与圆上一点的最值问题】 【典例】如图，已知空间站A与星球B距离为a,信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行 驶，B,C之间的距离为b.数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是 () A.a B.a-b C.a+b D.b 【跟踪专练1】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是以点A为圆心，2 为半径的圆上一点，连接BD,点M为BD中点，线段CM长度的最大值为一 D 【跟踪专练2】如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别是AD,CD边上 的点，且EF=4,点M为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PM的最小值为() A.8 B.7 C.6 D.5 【题型4.弧.弦.圆心角的关系及计算应用】 【典例】如图，在⊙O中，AC=BD,∠1=20°，则∠2的度数为 试卷第1页，共3页 D A B 【跟踪专练1】如图，AB是O0的直径，BC=CD=DE,若∠AE0=54°，则LB0C=() E D A.28 B.32° C.36° D.40° 【跟踪专练2】如图，C是以AB为直径的半圆上一点，BC上一点D关于直线BC对称的点 落在AB上，若AC=3,BC=4,则BD的长是一· D B 【题型5.弧.弦.圆心角的关系证明题解法】 【典例】若AB,CD分别是圆上的两段劣弧，且B=2CD,则弦AB与弦CD之间的关系是 () A.AB=2CD B.AB>2CD C.AB<2CD D.无法确定 【跟踪专练1】如图，四边形ABCE内接于O0,连结AC,AC为⊙O的直径，E是ACB的 中点.过点E作⊙O的切线EF,交BC的延长线于点F,且EF⊥BC,EF=3,BF=4, 则AE的长为一，⊙0的半径为一 F 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】如图，平行四边形ABCD,AB=2,BC=3,以点C为圆心，CD为半径画 弧，分别交AD、BC于F,E,连接AE,若AE⊥BC,则图中阴影部分的面积为() E A.3 B.2π_3 C. D.33 2 32 2 【题型6.垂径定理的基础求值应用】 【典例】如图，AB为OO的直径，弦CD⊥AB于点E,若CD=8,BE=2,则⊙O的半径 为 【跟踪专练1】如图，⊙0的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=22.5,OC=4,CD的 长为() B A.2√5 B.4 C.4W2 D.8 【跟踪专练2】如图(1)，是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧.随 着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意.图(2)是月亮门的示意图， 弦AB长2m,拱门的半径为m,则该拱门的高CD为 试卷第1页，共3页 D 图(1) 图(2) 【题型7.垂径定理的推论及应用】 【典例】下列命题正确的是() A.平分弦的直线必垂直于弦 B.平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对 的两条弧 C.平分弦的直线必平分弦所对的两条弧D.垂直于弦的直线平分弦 【跟踪专练1】如图，点M坐标为(0,2，点A坐标为2，O),以点M为圆心，MA为半径 作⊙M,与x轴的另一个交点为B,点C是⊙M上的一个动点，连接BC,AC,点D是 AC的中点，连接OD,当线段OD取得最大值时，点D的坐标为 【跟踪专练2】如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果D 是OO中弦AB的中点，CD经过圆心交⊙0于点C,并且AB=12米，CD=9米.则O0的 半径为() 0 A.6米 号米 C.7米 【题型8.垂径定理的实际应用】 【典例】在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，己知截面⊙0半径为10cm,油面宽 4B为12cm,如果再注入尽可能多的一些油后，油面宽变为16cm,则油面AB上升了一 试卷第1页，共3页 cm A B 【跟踪专练1】一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道（下半部分为矩形，上 半部分为半圆形)，则卡车的外形高必须低于()· A 2.5米 H 4米 A.4.1米 B.4.0米 C.3.9米 D.3.8米 【跟踪专练2】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解 决方案是：在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D ，交AB于点C,测出AB=16cm，CD=4cm,则圆形工件的半径为 cm 【题型9.圆周角定理的理解与应用】 【典例】如图，在O0的内接四边形ABCD中，∠B0D=120°，那么LBCD的度数为() A.120° B.100° C.80° D.60 【跟踪专练1】如图，∠ACB=90°，∠ACB的平分线交⊙0于D,若CD=3,AC=√2则 AB的长为 试卷第1页，共3页 B D 【跟踪专练2】如图，点A、B、C在⊙O上，D是AB的中点，CD交OA于点E.若 LA0B=100°，∠0BC=20°，则∠0EC的度数是() A.50° B.80° C.95 D.105° 【题型10.圆弧或等弧所对的圆周角相等】 【典例】如图，AB为O0的直径，点C,D在O0上.若∠ABC=60°，则∠D的度数为 B D 【跟踪专练1】如图，AB、CD为⊙O的弦，BD为⊙O直径，AC、BD相交于点E,若 ∠A=50°，∠ABC=65°，则∠AEB=() A E 夕 A.95° B.100° C.105° D.110° 【跟踪专练2】如图，ABC内接于OO,AB=AC,D为弧BC上一点，连结AD,交BC 于点E,连结DB,若AD=I0,DE=2,则AC的长为一 试卷第1页，共3页