精品解析：江苏省常州市西夏墅高级中学2025-2026学年高一上学期第二次学情调研数学试题

常州市西夏墅高级中学2025—2026学年度第一学期第二次学情调研 高一数学试卷 2026.1.5 考试时间120分钟 本试卷共19题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 与终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则（ ） A. 的值为或 B. 当时，的值为 C. 当时，的值为 D. 当为第三象限角时，的值为 11. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是________. 13. 已知，则__________. 14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，若第一象限角满足，则的取值范围_____. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值 （1）； （2）； 16. 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 17. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 18. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 19. 已知函数，函数是上的偶函数. （1）求函数的定义域； （2）求的值，并求函数的最小值； （3）若，，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市西夏墅高级中学2025—2026学年度第一学期第二次学情调研 高一数学试卷 2026.1.5 考试时间120分钟 本试卷共19题 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合、，由此求得. 【详解】， ， 所以. 故选：B 2. 与终边相同的最小正角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将表示为，即可得答案. 【详解】因为,, 故与终边相同的最小正角是， 故选：C 3. 已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将角度转换为弧度后借助扇形面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则. 故选：A. 4. 关于的不等式的解集是，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知、为关于的方程的两根，结合韦达定理可得出、的值，结合对数的运算性质可得出的值. 【详解】由题意可知，、为关于的方程的两根， 由韦达定理可得，解得，故. 故选：B. 5. 已知且，则函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对函数的图象特征分和判断. 【详解】当时，在R上单调递减且恒过 ，在 上单调递减且恒过 ，B不符合，D符合， 当时, 在R上单调递增且恒过，在 上单调递增且恒过，A、C不符合. 故选：D. 6. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可. 【详解】因为函数，，所以. 所以. 故选：B. 7. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系. 【详解】因为， ， ， 所以. 故选：D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法： （1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减； （3）借助于中间值，例如：0或1等. 8. 已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合偶函数的对称性可确定时函数性质，然后结合分式不等式的求法可求． 【详解】因为是定义在,上的偶函数，当时，单调递减，， 所以时，函数单调递增，, 所以的解集,,，的解集， 当时，的解集,,， 时的解集,,， 则不等式可转化为或， 解得或或． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【详解】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10. 已知，则（ ） A. 的值为或 B. 当时，的值为 C. 当时，的值为 D. 当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用同角三角函数得基本关系：，，结合象限符号和的范围依次判断各选项的正误. 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（   ） A. 函数（且）的图象所过定点的坐标为 B. 函数的单调递增区间是 C. 若直线与函数的图象有两个公共点，则m的取值范围是 D. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】求出定点坐标判断A；求出单调递增区间判断B；举例说明判断C；由单调性列式求出范围判断D. 【详解】对于A，对，当时，恒有，因此 所求定点坐标为，A错误； 对于B，函数的定义域为R，函数在上单调递增 ， 在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此所求递增区间为，B正确； 对于C，当时，，而，解得， 即直线与函数的图象只有1个交点，C错误； 对于D，由函数在上单调递增， 得，解得，D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零，即可得到不等式组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为． 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】用换底公式将换成以2为底的对数，进而根据对数的运算性质得到答案. 【详解】. 故答案为：. 14. 已知定义在实数集上的偶函数在区间上单调递增，若第一象限角满足，则的取值范围_____. 【答案】， 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性解不等式，结合象限角即可求出范围. 【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递增，所以在区间上单调递减. 又，所以，所以， 解得，或，. 又为第一象限角，此时，. 所以，，. 故答案为：，. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值 （1）； （2）； 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数和指数运算求得正确答案. （2）根据诱导公式求得正确答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 函数的值域为，的定义域为 （1）求； （2）若求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 因为在上单调递减，所以当时有最大值，且最大值为， 当，有最小值，且最小值为. 所以. 【小问2详解】 由，得，解得，所以，， 因为，所以，解得. 故实数的取值范围. 17. 如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边、分别与单位圆交于、两点，，，. （1）若的横坐标为，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系可求得，由题意得出，可求出的值，再利用诱导公式化简可求得所求代数式的值； （2）由诱导公式结合已知条件可得出，利用同角三角函数的平方关系可求出的值，联立方程组求出、的值，再利用同角三角函数的商数关系可求得的值. 【小问1详解】 因为点在单位圆上且横坐标为，所以， 因为，所以. 因为，所以，所以. 所以. 【小问2详解】 因为，所以①， 由，得， 所以. 因为，所以，所以②， 联立①②得，，， 所以. 18. 已知函数，其中. （1）化简； （2）若，求 的值； （3）若，求的值. 【答案】（1）且； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）运用诱导公式规则，分别化简分子、分母中每个三角函数（如，等），再对化简后的分式进行约分，最终转化为基本三角函数（正切）的形式化简求值； （2）先利用同角三角函数的平方关系（），将所求式子中的“”“”转化为含的表达式，再将“弦函数（，）表达式”转化为“切函数（）表达式”，化简求值即可； （3）先将，代入已知等式，结合诱导公式（）化简等式，再结合同角三角函数的平方关系，建立关于的方程，解方程得的值（即）即可. 【小问1详解】 由且， 所以且. 【小问2详解】 由题设及（1）知， 且 因为，所以， 所以 ； 【小问3详解】 由题知，得 所以代入原式得：， 即， 又， 整理得， 所以， 可得， 所以， 因为，所以， 等式两边同时除以得： 所以， 即 . 19. 已知函数，函数是上的偶函数. （1）求函数的定义域； （2）求的值，并求函数的最小值； （3）若，，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）；2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于零列不等式组得，然后解指数函数不等式即可求解定义域； （2）利用偶函数的概念列式求得，然后利用基本不等式求解的最小值； （3）由题意，由（2）可知，然后利用指数函数单调性及二次函数性质求得的值域，进而按照和分类讨论，利用对数函数单调性求得的最大值，列不等式即可求解. 【小问1详解】 ， 要使函数有意义，则，所以，所以， 所以函数的定义域为； 【小问2详解】 因为函数是上的偶函数，所以， 所以，所以，所以， 由对恒成立，所以，所以； ，当且仅当即时等号成立， 所以函数的最小值为2； 【小问3详解】 ，， 因为，，恒成立，所以， 由（2）可知函数在上的最小值为2，所以， 记，因为，所以，所以， 当时，，则，所以，所以或，又，所以； 当时，，则，所以，所以，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $