湖北省武汉市第一中学2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试卷

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知直线2x+y＝0与直线6x﹣my+5＝0平行，则m＝（　A　） A．﹣3 B．3 C．12 D．﹣12 【解析】 因为直线2x+y＝0与直线6x﹣my+5＝0平行，所以﹣2m＝6且0≠﹣5，解得m＝﹣3． 2．已知向量，且，则k的值为（　C　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 【解析】 （2，0，1），（1，1，0），则， 因为，所以，解得k＝2． 3．圆x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圆心在第三象限，则m的取值范围为（　A　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【解析】 由题可得：圆的方程为：（x﹣2m）2+（y+1）2＝m2﹣2m﹣3，圆心坐标为（2m，﹣1）． 因为圆心在第三象限，所以，解得m＜﹣1． 4．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且|F1F2|，|BF2|，|F1F2|+|BF2|依次成等比数列，则C的离心率为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 设椭圆的半焦距为c，则|F1F2|＝2c，|BF2|＝a，所以2c，a，2c+a依次成等比数列，即a2＝2c•（2c+a），也即a2＝4c2+2ac，故，即4e2+2e﹣1＝0，解得，又0＜e＜1，则C的离心率为． 5．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　D　） A． B． C． D． 【解析】 因为等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，所以到， 因为，所以，即 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…第n层有an个球，则数列的前n项和为（　B　） A． B． C． D． 【解析】 由a1＝1，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，a4﹣a3＝4，…，an﹣an﹣1＝n，n≥2，上面各式相加可得an＝1+2+3+4+...+nn（n+1），显然a1＝1满足上式，由，可得数列的前n项和为：Sn＝2（1...）＝2（1）． 7．双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点，若|PF1|+|PF2||，则双曲线E的渐近线为（　D　） A． B． C． D． 【解析】 如图所示，由题意可知PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2，设|PF1|＝t（t＞2a），则|PF2|＝t﹣2a，|F1F2|＝2c，又因为|PF1|+|PF2||，即t+t﹣2a2c，所以tc+a，又t2+（t﹣2a）2＝（2c）2，即t2﹣2at+2a2﹣2c2＝0，把以tc+a，代入上式，整理可得，即，故双曲线E的渐近线为：y＝±x． 8．在三棱锥A﹣BCD中，，，，AB中点为M，点N为棱CD上的动点，当取最小值时，线段DN的长度为（　C　） A． B． C D． 【解析】 三棱锥A﹣BCD中，，，，AB中点为M，点N为棱CD上的动点，如图所示，将三棱锥A﹣BCD补全为长方体，设长方体的长宽高分别为a，b，c， 则有，解得，如图所示，以点D为原点建立空间直角坐标系，则，设DN＝λDC，λ∈[0，1]，则N（0，2λ，λ），故，所以，则当时，取得最小值，此时． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＞S7，S7＜S9，则（ ACD ） A．S11＜0 B．a11＜0 C．S16＞0 D．a16＞0 【解析】 等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＞S7，S7＜S9，由题意，得S7﹣S4＜0，则a5+a6+a7＝3a6＜0，所以a6＜0，所以，故A正确；由题意，得S9﹣S7＞0，则a8+a9＞0，所以S16＝8（a1+a16）＝8（a8+a9）＞0，故C正确；因为a6+a11＝a8+a9＞0，所以a11＞﹣a6＞0，故B错误； 由a6＜0＜a11知，等差数列{an}单调递增，所以a16＞a11＞0，故D正确． 10．已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（　ACD　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．当a＝8时，圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线 【解析】 直线l的方程为（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），变形可得：m（x+1）+x+2y﹣1＝0， 令，解得，所以直线恒过定点（﹣1，1），故A正确；圆C：（x+2）2+y2＝4，其圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，当m＝0时，直线l的方程为x+2y﹣1＝0，圆心C（﹣2，0）到直线l的距离为，由于，所以圆上只有2个点到直线的距离为1，故B错误；因为直线过定点P（﹣1，1），且点P在圆C内，则经过P（﹣1，1），C（﹣2，0）两点的直线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，此时圆心C到直线l的距离为， 所以最小弦长为，故C正确；当a＝8时，圆的方程为（x﹣1）2+（y+4）2＝9，其圆心为（1，﹣4），半径为3，又圆C：（x+2）2+y2＝4，其圆心为C（﹣2，0），半径为r＝2，则有，则两圆外切，共有三条公切线，故D正确． 11．设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　ACD　） A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18 【解析】 如图所示，由题意可得 ，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|，所以A正确； 由通径最短，可得|AB|≥2p＝6，所以C正确；设，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得y2﹣6my﹣9＝0，y1+y2＝6m，y1y2＝﹣9，所以，所以，当m＝0时，，|AB|＝2p＝6，|AE|3，此时|AB|＝6，|AE|≠|AB|，所以B不正确；此时，当m≠0时，，E，则|EF|，所以，，综上|AE|•|BE|≥18，所以D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　　 ．2 【解析】 根据题意可得a1+a2+a3+a4＝4，a5+a6+a7+a8＝68﹣4＝64，所以a5+a6+a7+a8＝（a1+a2+a3+a4）×q4＝4×q4＝64，解得q＝2（q＝﹣2舍）． 13．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点P0（x0，y0，z0），点P（x，y，z）．（1）若直线l经过点P0，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面α经过点P0，且以为法向量，P是平面α内的任意一点，求证：a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为x﹣y+2z﹣7＝0，直线l是平面x+2y﹣3＝0与x+z+1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 　　 ． 【解析】 因为平面α的方程为x﹣y+2z﹣7＝0，所以平面α的一个法向量为，同理可得，平面x+2y﹣3＝0的一个法向量为，平面x+z+1＝0的一个法向量为，设平面x+2y﹣3＝0与平面x+z+1＝0的交线的方向向量为，则，取y＝1，则x＝﹣2，z＝2，所以，设直线l与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos，|，即直线l与平面α所成角的正弦值为． 14．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为　　 ．2 【解析】 双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，如图所示，根据双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝2a，由于|AB|＝|AF1|，|AB|＝|AF2|+|BF2|，则|AF2|+|BF2|＝|AF1|， 所以|BF2|＝2a，|BF1|＝4a．设∠F1F2B＝θ，由题可得，则，在△BF1F2中，由余弦定理，可得，整理得2c2﹣ac﹣6a2＝0，即2e2﹣e﹣6＝0，因e＞1，则可得 e＝2． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）在等差数列{an}中，a3＝9，a6＝3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值． 【解析】 （1）在等差数列{an}中，a3＝9，a6＝3，设等差数列{an}的公差为d，则，解得a1＝13，d＝﹣2，∴an＝a1+（n﹣1）d＝13+（n﹣1）×（﹣2）＝﹣2n+15． （2）由（1）知，an＝﹣2n+15，令an＝﹣2n+15≥0，解得n≤7.5，由d＜0，知数列{an}是递减数列，∴等差数列{an}的前7项为正数，从第8项起为负数，∴49． 16．（本小题15分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（5，4）． （1）求圆C的标准方程； （2）过点A（1，0）的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 【解析】 （1）设圆C的圆心为（a，a+1），则|CP|＝r，即，解得a＝4，圆心为C（4，5），所以圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣5）2＝2； （2）由（1）可知圆C的圆心为C（4，5），半径，设圆心到直线l的距离为d，则，解得，①当直线l的斜率不存在时，直线为x＝1，此时d＝|4﹣1|＝3，不符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k＝0，由，整理得22k2﹣75k+62＝0，即（k﹣2）（22k﹣31）＝0，解得k＝2或，直线l的方程为y＝2x﹣2或，即2x﹣y﹣2＝0或31x﹣22y﹣31＝0．综上所述，满足条件的直线l的方程为2x﹣y﹣2＝0或31x﹣22y﹣31＝0． 17．（本小题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面是以PD为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：AB⊥PC． （2）在棱PC上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）在棱PA上是否存在点N，使得三棱锥N﹣BCD外接球的球心在平面ABCD内？若存在，求出AN的长度；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）证明：由题易知△PAD是以PD为斜边的等腰直角三角形．故，AB2+AC2＝BC2，所以AB⊥AC 面PAD⊥面ABCD，AD⊥PA，面PAD∩面ABCD＝AD，PA⊂面PAD，故PA⊥面ABCD，又AB⊂面ABCD，故PA⊥AB，又PA∩AC＝A，PA，AC⊂面PAC，故AB⊥面PAC， 又PC⊂面PAC，故可以证得AB⊥PC； （2）建立空间直角坐标系，如图所示：A（0，0，0），，，P（0，0，2），，，，， 设，λ∈[0，1]，故， 设平面ADM的一个法向量为，则，，令，则，由题易知平面ABCD的法向量为，，整理得3λ2+2λ﹣1＝0，解得或λ＝﹣1（舍），所以存在M为棱PC靠近点P的三等分点时满足要求，此时； （3）假设棱PA上存在点N，使得三棱锥N﹣BCD外接球的球心在平面ABCD内，设三棱锥N﹣BCD外接球的球心O（a，b，0），N（0，0，t），t∈[0，2] 所以，即，解方程得，，所以棱PA上存在点N，使得三棱锥N﹣BCD外接球的球心在平面ABCD内，此时． 18．（本小题17分）设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知b1＝2a1＝2，b2＝a2+2，b3＝2a3+2． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn，求数列{cn}的前2n项和S2n； （3）设dn，数列{dn}的前n项积为Pn，证明：Pn． 【解析】 （1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由b1＝2a1＝2，b2＝a2+2，b3＝2a3+2， 得，解得．∴an＝1+（n﹣1）×1＝n，； （2）当n为奇数时， An＝c1+c3+...+c2n﹣1＝1；当n为偶数时，cn＝a2n﹣1bn＝（2n﹣1）•2n，Bn＝c2+c4+...+c2n＝3×22+7×24+...+（4n﹣1）×22n＝3×4+7×42+...+（4n﹣1）×4n，...+（4n﹣1）×4n+1，﹣3Bn＝12+4（42+43+...+4n）﹣（4n﹣1）×4n+1 ＝12+4（4n﹣1）×4n+1， ∴4n+1．； （3）证明：，，当n＝1，2时，dn+1﹣dn＞0，当n≥3时，dn+1﹣dn＜0，即d1＜d2＜d3＞d4＞d5＞...，又，d2＝1，，d4＝1，，∴，，当n≥5时，dn＜1，Pn+1＜Pn，∴Pn． 19．（本小题17分）已知椭圆的右顶点为A（2，0），且椭圆的离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知F为C的右焦点，M（0，m），N（0，n）（m＞0＞n）为y轴上两动点，且MF⊥NF． （i）若△MFN的外接圆与C在第二象限的交点为P，直线PN交x轴于点Q，记△QMN的面积为S1，△PQM的面积为S2，求； （ii）若直线AM，AN分别与C交于点D，E，求证：直线DE恒过定点． 【解析】 （1）设椭圆C的焦距为2c，因为椭圆的右顶点为A（2，0），所以a＝2． 因为椭圆C的离心率为，所以，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆． （2）（i）如图所示，由MF⊥NF，F（1，0），得．Rt△MFN中，外接圆圆心为MN中点，半径为．所以外接圆方程为，整理得x2+y2﹣（m+n）y+mn＝0，设P（x0，y0）（x0〈0，y0〉0），则，消去x0，整理得，即，化简得（y0+3m）（y0+3n）＝0，又y0＞0，所以y0＝﹣3n．过点P作PG⊥x轴，则Rt△NOQ～Rt△PGQ，所以．所以． （ii）如图所示，设直线DE的方程为x＝sy+t，D（x1，y1），E（x2，y2），联立，消去x，整理得（3s2+4）y2+6sty+3t2﹣12＝0，因为直线DE与C交于D、E，所以Δ＝（6st）2﹣4×（3s2+4）（3t2﹣12）＝48（3s2﹣t2+4）＞0，即3s2﹣t2+4＞0．．因为，所以，所以，即，即，化简得（t﹣2）（t+1）＝0，因为t≠2，所以t＝﹣1，所以直线DE恒过定点（﹣1，0）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/6 16:00:23；用户：15972902576；邮箱：15972902576；学号：21498003 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷 （测试范围：选择性必修第一册+数列） 1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知直线2x+y＝0与直线6x﹣my+5＝0平行，则m＝（　　） A．﹣3 B．3 C．12 D．﹣12 2．已知向量，且，则k的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．3 3．圆x2+y2﹣4mx+2y+3m2+2m+4＝0的圆心在第三象限，则m的取值范围为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，0） C．（﹣1，3） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 4．已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且|F1F2|，|BF2|，|F1F2|+|BF2|依次成等比数列，则C的离心率为（　　） A． B． C． D． 5．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若，则（　　） A． B． C． D． 6．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球…第n层有an个球，则数列的前n项和为（　　） A． B． C． D． 7．双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P是以F1F2为直径的圆与双曲线E的一个交点，若|PF1|+|PF2||，则双曲线E的渐近线为（　　） A． B． C． D． 8．在三棱锥A﹣BCD中，，，，AB中点为M，点N为棱CD上的动点，当取最小值时，线段DN的长度为（　　） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＞S7，S7＜S9，则（　　） A．S11＜0 B．a11＜0 C．S16＞0 D．a16＞0 10．已知圆C：（x+2）2+y2＝4，直线l：（m+1）x+2y﹣1+m＝0（m∈R），则（　　） A．直线l恒过定点（﹣1，1） B．当m＝0时，圆C上恰有三个点到直线l的距离等于1 C．直线l被圆C截得的最短弦长为 D．当a＝8时，圆C与圆x2+y2﹣2x+8y+a＝0恰有三条公切线 11．设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A、B，过F且垂直于AB的直线交准线l：x于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　） A．|AD|＝|AF| B．|AE|＝|AB| C．|AB|≥6 D．|AE|•|BE|≥18 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．若一个正项等比数列的前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为 　 　 ． 13．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量，点P0（x0，y0，z0），点P（x，y，z）．（1）若直线l经过点P0，且以为方向向量，P是直线l上的任意一点，求证：；（2）若平面α经过点P0，且以为法向量，P是平面α内的任意一点，求证：a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为x﹣y+2z﹣7＝0，直线l是平面x+2y﹣3＝0与x+z+1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为 　 　 ． 14．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2作斜率为的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，若|AB|＝|AF1|，则双曲线C的离心率为　 　 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题13分）在等差数列{an}中，a3＝9，a6＝3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn的最大值． 16．（本小题15分）已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为，且圆C经过点P（5，4）． （1）求圆C的标准方程； （2）过点A（1，0）的直线l与圆C交于M，N两点，若，求直线l的方程． 17．（本小题15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面是以PD为斜边的等腰直角三角形． （1）证明：AB⊥PC． （2）在棱PC上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）在棱PA上是否存在点N，使得三棱锥N﹣BCD外接球的球心在平面ABCD内？若存在，求出AN的长度；若不存在，请说明理由． 18．（本小题17分）设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知b1＝2a1＝2，b2＝a2+2，b3＝2a3+2． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）设cn，求数列{cn}的前2n项和S2n； （3）设dn，数列{dn}的前n项积为Pn，证明：Pn． 19．（本小题17分）已知椭圆的右顶点为A（2，0），且椭圆的离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）已知F为C的右焦点，M（0，m），N（0，n）（m＞0＞n）为y轴上两动点，且MF⊥NF． （i）若△MFN的外接圆与C在第二象限的交点为P，直线PN交x轴于点Q，记△QMN的面积为S1，△PQM的面积为S2，求； （ii）若直线AM，AN分别与C交于点D，E，求证：直线DE恒过定点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $