精品解析：北京市广渠门中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试卷

北京市广渠门中学2025－2026学年度第一学期试卷 高三年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意解一元二次不等式，求出集合的元素，根据交集的概念求出结果即可. 【详解】由题意得，解得，即， 则； 故选：C. 2. 在复平面内，复数对应的点分别是，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数与复平面内点的对应关系，写出复数表达式，再根据复数除法，求出结果. 【详解】复数对应的点分别是，，则， 可知. 故选：B. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 【详解】对于A，是奇函数，在上单调递增，满足条件； 对于B，是奇函数，因为导函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在上不是单调函数，不满足条件； 对于C，的定义域为，不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，不满足条件； 对于D，是奇函数，但在上不是单调函数，不满足条件. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上， 所以到准线的距离为， 又到直线的距离为， 所以，故. 故选：D. 5. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，从而得出圆心坐标，将其代入直线中得出，从而将目标转化为求二次函数的最小值. 【详解】可化为，故圆心为， 因直线经过圆心，则， 则，此二次函数开口朝上，对称轴方程为， 故其最小值为. 故选：B 6. 已知，则的值域为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化为利用二次函数求值域即可 【详解】因为，所以，由，得 ，所以. 故选B 【点睛】本题考查二倍角公式，二次型函数求值域，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 7. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合函数的图象与性质可判断A；结合函数的图象与性质可判断B；举出反例说明可判断C；利用作差法可判断D. 【详解】实数，满足，则， 对于A，因为在不单调， 所以、、都有可能，故A错误； 对于B，因为函数在上单调递减，所以，故B错误； 对于C，取，，，故C错误； 对于D，， 因为，所以，即， 所以，故D正确. 故选：D 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，求得，再设消除的污染物对应事件为，消除的污染物对应事件为，得到方程，，求解即可； 【详解】由题意可知：，即，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 设消除的污染物对应事件为，即， 两式相除可得：， 即， 所以：， 即从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历， 故选：A 9. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】取，若对任意的恒成立， 即对任意的恒成立，故，故中元素存在最小值， 但即为单调递增数列，故无最大值. 若有最大值，不妨设最大值为，因为对任意的恒成立， 所以即中元素存在最小值为， 故“中元素存在最小值是“有最大值”的必要不充分条件， 故选：B. 10. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值. 【详解】设， 则由得， 由得 因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为 【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法. 二．填空题 11. 双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线上的点和离心率列式求的值，确定双曲线的方程. 【详解】因为双曲线过点， 则有①， 又离心率为2，则②， 由①②可得，，， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 12. 已知，则______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 16 【解析】 【分析】根据二项式定理令，可得的值；令，则， 赋值即可得所求． 【详解】由题意令，可得， 令，则， 令，得， 令，得， 所以． 故答案为：1；16． 13. 已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用一次函数和二次函数在各自区间，先求值域，再取并集即可；利用分类讨论，来分析一次函数和二次函数在各自区间的值域，再结合题意作出判断即可. 【详解】当时，， 则当时，， 当时，， 所以根据二次函数和一次函数的值域可知：的值域是； 当时，由一次函数在区间上单调递增，故无最大值， 当时，，可得有最大值，故不符合题意， 当时，二次函数对称轴为， 故二次函数在区间上有最大值， 一次函数在区间上单调递减，即， 所以必有最大值，故不符合题意， 综上的取值范围是， 故答案为：， 14. 在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】延长，，到，，，使，，，如图： 则为三棱柱，且. 因为棱，，互相平行，且两两之间距离均为1，所以三棱柱的直截面是边长为1的正三角形. 所以. 所以. 故答案为： 15. 设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有______． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据已知可知元素构成一个等比数列，计算可得然后根据分类，即可判断①项；列举法即可判断②项；将中所有元素同时除以后可得，然后根据等比数列前项和公式计算，然后根据分类，即可判断③项；根据等差数列的性质，可推得，，共有组（剩余元素为，从中剔除之后，从剩余的数据中选出组分配到中．结合公差，可得出，也可分为两组，即可判断④项． 【详解】对于①项，构成了以1为首项，2为公比的等比数列， 且， 所以，当时，中所有元素之和也小于，不满足要求； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求． 综上可知，①正确； 对于②项，如果，则由“可拆等和集”的定义，得，解得； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故， 此时因集合已含有元素2，故舍去； 如果，则由“可拆等和集”的定义，得，故， 如果，则由“可拆等和集”的定义，得． 综上可知：可取6个值，分别为，，，6，4，8，②正确； 对于③项，将中所有元素同时除以后可得， 由等比数列前项和公式可得． 又因为，所以，故，所以． 所以当时，中所有元素之和也小于， 不满足要求，显然同时乘以后还是不满足； 当含有以及之外的其余元素时，也不满足要求，显然同时乘以后还是不满足． 不存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”，③错误； 对于④项，易知集合中的元素个数为，， ，， 共有组（剩余元素为），从中剔除之后，剩余组． 从这组相同的数据中任意选出组，将对应的元素分到集合中； 又，则， 而， 不妨将，这两个元素也分到集合中， 满足，中的元素之和相等，④正确． 故选：①②④． 三．解答题 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，平面平面，是的中点，平面交于． （1）求证：是的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明: 为菱形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 又因为平面，平面平面，所以． 又因为是的中点，所以是的中点． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面，然后利用线面平行的性质定理证明，结合中位线性质可证； （2）先证明两两垂直，然后建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量公式计算可得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为底面是边长为2的菱形，，所以， 又因为是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 因为，所以， 因为平面，平面，所以，， 因为，，，平面，所以平面． 又因为平面，所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，，可取， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 【答案】（1） （2） 选①：不符合题意； 选②：三角形唯一确定，的面积； 选③：唯一，的面积． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，即，再结合为三角形内角可求角. （2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意. 选②：根据正弦定理可求边，再利用求，再利用三角形的面积公式求三角形面积. 选③：先由求得，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为，所以，则，即，所以. 【小问2详解】 选①：由余弦定理可得，即，解得或3，不符合题意； 选②：因为，，所以， 由正弦定理可得， 此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意， 又， 此时的面积； 选③：因为边上的高，所以，则， 由余弦定理，即，解得，（舍去）， 故唯一，符合题意， 此时的面积． 18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 【答案】（1） （2） （3）2018年和年 【解析】 【分析】（1）按古典概型的概率计算求解. （2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列. （3）计算产销率，可直接得到结论. 【小问1详解】 记事件为“工业机器人的产销率大于”． 由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年． 所以． 【小问2详解】 因为，， 所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为． 所以的所有可能的取值为． ，，． 所以的分布列为： 故的数学期望． 【小问3详解】 2018年和年． 19. 已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． （1）当时，求的值； （2）若点满足且，求的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，将直线的方程与椭圆方程联立，求出交点的坐标，再利用弦长公式可求得的值； （2）设点、，设线段的中点为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出、，利用勾股定理求出，可求出的值，可得出的值，进而可得出的值. 【小问1详解】 设点、，当时，直线的方程为， 联立可得或， 所以. 【小问2详解】 设点、，设线段的中点为， 因为，则，且， 联立，可得， 则， 由韦达定理可得，， 则，故点， 所以，， ， ， 又因为，， 因为，则，故. 20. 已知三次函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围； （3）当时，若，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，当时，，，进而可得切线方程； （2）当时，在R上不具有单调性；对函数求导，令，按和分别判断单调性，列不等式可求得的取值范围； （3）先证明：，由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2），因为，不妨设，则， 按和分别证明不等式成立，再证明对任意，不成立即可． 【详解】由可得： （1）当时，，. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由已知可得 ①当时，令得，. 与在区间_上的情况如下： x 0 （0,2） 2 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 因为在上具有单调性，所以. ②当时，与在区间上的情况如下： x 0 （0,2） 2 － 0 ＋ 0 － 减 极小值 增 极大值 减 因为在上具有单调性， 所以，即. 综上所述，a的取值范围是. （3）先证明：. 由（2）知，当时，的递增区间是，，递减区间是（0，2）. 因为，不妨设，则. ①若，则. 所以. ②若，因为， 所以，当且仅当时取等号. 综上所述，. 再证明：的取值范围是. 假设存在常数，使得对任意，. 取，且则 ， 与矛盾. 所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查导数研究函数的单调性，考查导数证明不等式，本题解题的关键为利用第（2）问的单调性，由和，确定出，再按和分类讨论，利用放缩法证明，以及利用反证法证得不成立，考查了学生分类讨论思想和逻辑思维能力，属于难题． 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 【答案】（1）；；；. （2）不存在，理由如下： 假设存在满足条件的数列， 则满足，有，或，或． 所以与同为奇数或同为偶数． 所以是偶数． 所以是偶数． 又是奇数，矛盾． 所以假设不成立，不存在满足条件的数列． （3）7 【解析】 【分析】（1）分析得，再写出满足题意的数列即可； （2）假设存在满足条件的数列，则分析有是偶数，则得到与条件相反的结论，即可证明不存在； （3）首先分析得当时，有，再分和讨论即可. 【小问1详解】 因为数列，所以中的数列满足．因为， 所以中所有满足的数列有 ；；；. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当数列是的“恒元”时， 因为数列中，是个连续正整数的一个排列， 所以当时，有，且至多一项为1． 不妨记，所以，且． 当时，. 当时，有. 此时，或． 又，所以，，或，． ①当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，. 因为，，所以．所以． 当时，有，，，，所以（舍）． ②当时，有，或，所以，或者． 当时，有，，，， 所以，，, 所以． 当时，有，，，， 所以．所以（舍）． 又由于数列和满足条件． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2025－2026学年度第一学期试卷 高三年级数学学科 考试时间：120分钟 满分：150分 2025.12 一、选择题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点分别是，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 5. 已知直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 6. 已知，则的值域为 A. B. C. D. 7. 已知实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，如果前消除了的污染物，那么从消除的污染物到消除的污染物大约需要经历（ ） A. B. C. D. 9. 已知无穷数列，，则“中元素存在最小值”是“有最大值”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 A. B. C. 2 D. 二．填空题 11. 双曲线的离心率为2，且过点，则双曲线的方程为______． 12. 已知，则______，______． 13. 已知函数，当时，的值域是______；若没有最大值，则的取值范围是______． 14. 在如图五面体中，棱，，互相平行，且两两之间距离均为1.若，，.则该五面体的体积为_______. 15. 设有限集合，其中，，非空集合，，若存在集合，使得中的所有元素之和相等，则称集合是“可拆等和集”，则下列说法正确的有______． ①集合不是“可拆等和集” ②若集合是“可拆等和集”，则的取值共有6个； ③存在公比为正整数，且公比不为1的等比数列，使得集合是“可拆等和集”； ④若，，数列是等差数列且公差，则集合是“可拆等和集”． 三．解答题 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，且，平面，平面平面，是的中点，平面交于． （1）求证：是的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 设的内角的对边分别为，且． （1）求角大小； （2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积． 条件①：，； 条件②：，； 条件③：边上的高，． 18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示． 年份 产量万台 销量万台 记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”． （1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率； （2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望； （3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明 19. 已知椭圆．设直线交椭圆于不同的两点、，与轴交于点． （1）当时，求的值； （2）若点满足且，求的大小． 20. 已知三次函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上具有单调性，求的取值范围； （3）当时，若，求的取值范围. 21. 已知有穷整数数列，满足.记集合为，或，或，.若数列，则称数列是的“恒元”. （1）已知数列，请写出中所有满足的数列； （2）当时，是否存在数列满足，且是的“恒元”?若存在，请写出一个满足条件的数列；若不存在，请说明理由； （3）当数列是的“恒元”时，若是个连续正整数的一个排列，求数列的项数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $