精品解析：新疆维吾尔自治区名校2025～2026学年高一上学期12月阶段检测数学试题

2025～2026学年12月高一年级•名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则中元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】求得，即可求解. 【详解】， 所以中元素个数为8， 故选：C 2. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式性质可知，即可对A判断；由不等式性质得，即可对B判断，利用特殊值可对C、D判断； 【详解】对A：由，所以，故A错误； 对B：由，所以，故B正确； 对C：由，令，则，故C错误； 对D：由，，令，所以，故D错误. 故选：B. 3. 已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（ ） A. 28 B. 36 C. 42 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】设扇形的弧长为，半径为，则，然后利用基本不等式可求出扇形面积的最大值. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则， 所以扇形的面积， 当且仅当，即时取等号， 所以该扇形的面积的最大值是36， 故选：B 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解指数不等式和对数不等式，求出两个命题的等价命题，进而根据充要条件的定义，可得答案． 【详解】“”“”， “” “”， “”是“”的充分而不必要条件， 故“”是“”的的充分而不必要条件， 故选：． 5. 若，且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式确定函数零点，从而确定，时函数值的正负从而排除选项即可得结论. 【详解】由于时，， 当时，由知，，排除AD． 当时，由知，，排除B． 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的基本关系可得，，然后根据两角差的正切公式，展开代入，即可得出答案. 【详解】由得，，则， 所以，. 故选：C. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数与指数函数单调性即可得到大小关系. 【详解】为上单调递增函数,则, 为上单调递减函数,则,且, 由为上单调递增函数,可得, 则, 故选：D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由幂函数的定义逐项判断. 【详解】幂函数是形如（为常数）的函数， 对于A：的系数是2，不是幂函数，A错误； 对于B：是，的情形，B正确； 对于C：是指数函数，C错误； 对于D：是，的情形，D正确； 故选：BD. 10. 若是三角形的一个内角，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意结合，得解. 【详解】因为，， 所以的值可以为或. 故选：AB. 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得函数与有4个不同的交点，根据图象可求得，，进而计算可判断每个选项的正误. 【详解】若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根， 则函数与有4个不同的交点， 在同一坐标系中作出函数与函数的图象如图所示： 当或，，又时， 则由图象可知函数与有4个不同的交点时，可得，故A正确； 且， 当时，是方程的两个实数根， 所以是方程的两个实数根， 由根与系数的关系可得，故B正确； 当时，是方程的两根， 所以，所以， 所以，， 所以，故C错误； 因为， 所以， ，当且仅当，即时，等号成立， 所认有最小值，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：D选项，关键在于利用，得到，进而结合基本不等式求得最小值. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的奇函数满足且．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】令，可求得，即的解析式，根据奇函数定义可构造方程求得结果. 【详解】令，则， ， ， 为定义在上的奇函数， ， 即， . 故答案为： 13. 若，则的最小值为______． 【答案】24 【解析】 【分析】由题意可得，先由基本不等式求出的最小值，再次利用基本不等式分析可得答案. 【详解】 又因为， 所以， 故有，当且仅当即时等号成立， 则原式 . 当且仅当且即且时等号成立， 故的最小值为24. 故答案为：24. 14. 已知，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，代入所求式子，结合诱导公式化简即可得出结果． 【详解】令，则，， 则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案. （2）根据诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】（1），解得或， 由于是第三象限角，所以， 所以 . （2）由两边平方并化简得， 由于，所以，所以， 所以， 所以. 16. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 因为，可知是方程的根， 则，解得． 【小问2详解】 因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． 【小问3详解】 因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 17. 某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. （1）求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； （2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 【答案】（1） （2）当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元. 【解析】 【分析】（1）依题意，由月销售利润=月销售收入－店租和水电成本－轻食成本，直接写出解析式，化简即可； （2）由（1）中求得的解析式，分别利用函数的单调性和基本不等式，求得两个式子的最大值，然后作比较，再取较大的值即可. 【小问1详解】 由题意， 当时，， 当时，. ∴； 【小问2详解】 当时，， 当且仅当，即时取等， 当时，， 因此，当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元. 18. 已知函数是定义域在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）若函数在上的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助偶函数性质计算即可得； （2）借助指数函数与对勾函数性质可得的单调性，结合为偶函数，利用因式分解解出即可得； （3）借助换元法，结合二次函数性质分类讨论即可得. 【小问1详解】 因为函数是定义域在上的偶函数， 所以，即， 则恒成立，故； 【小问2详解】 由，故， 当时，，由在上单调递增， 故在上单调递增， 又为偶函数，故在上单调递减， 故由可得， 即，所以， 则 ， 解得或或， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 ， ， 令，由，则， ， 当时，， 解得，不满足，舍去； 当时，，解得， 因为，故符合题意； 综上，. 19. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明：在上单调递增. （2）若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 【答案】（1）证明：，任取，且， 则 因为，且，所以，，， 所以，即，故在上单调递增. （2）（i）证明：由题意得， ， 故，故的图象关于直线对称. （ii）时，值域为；时，值域为；时，值域为. 【解析】 【分析】（1）由单调性的定义证明即可； （2）（i）只需证明成立即可；（ii）根据对称性可知，只需研究在区间上的值域即可，结合函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）由于的图象关于直线对称，所以只需研究区间， 由（1）知在上单调递增，令，则，整理得 ，又，解得. 当时，在单调递增，的值域为； 当时，， 所以在单调递减，在单调递增，的值域为； 当时，，在单调递减，又， 的值域为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年12月高一年级•名校阶段检测 数学试题 考生注意： 1.试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知，，则中元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 以上都不对 2. 若，，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知某扇形的周长是24，则该扇形的面积的最大值是（ ） A. 28 B. 36 C. 42 D. 50 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中是幂函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 若是三角形的一个内角，且，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若存在实数m使得方程有四个互不相等的实数根，，，，则下列叙述中正确的有（ ） A. B. C. D. 有最小值 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知定义在上的奇函数满足且．则的值为______． 13. 若，则的最小值为______． 14. 已知，则的值是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值； （2）已知，且，求的值． 16. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 17. 某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元. （1）求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式； （2）当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？ 18. 已知函数是定义域在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）解不等式； （3）若函数在上的最小值为，求的值. 19. 已知函数. （1）用函数单调性的定义证明：在上单调递增. （2）若，函数. （i）证明：的图象关于直线对称； （ii）求在上的值域（用含的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $