精品解析：云南省曲靖市部分学校2026届高三上学期1月月考数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. B. C. D. 4. 数据的方差为（ ） A. 4 B. 8 C. 2.4 D. 9 5. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 6. 已知圆锥的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（ ） A. 150种 B. 240种 C. 180种 D. 120种 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内所对应的点在第二象限 10. 设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点在抛物线上，则 D. 抛物线上恰好存在两个满足题意的点 11. 设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（ ） A. B. 共有512个子集 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 13. 若是函数的两个零点，则的最大值为______，的最小值为______． 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，H是C上异于顶点的点.若，的面积为12，则C的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 16. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 17. 如图，平面，，，分别为的中点，，． （1）证明：平面． （2）证明：． （3）求平面与平面的夹角． 18. 已知椭圆，圆是圆上任意一点． （1）证明：直线是圆的一条切线． （2）若，直线与交于两点，求． （3）过点作圆的切线与交于两点，若，证明：过4个定点． 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. “”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定直接判断即可. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 故选：D 2. 已知向量，，若与共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标运算求解. 【详解】向量，，因为与共线，则， 所以. 故选：B. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用正切二倍角公式化简即可. 【详解】由正切二倍角公式可得. 故选：A. 4. 数据的方差为（ ） A. 4 B. 8 C. 2.4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用方差的定义直接求解即可. 【详解】数据的平均数为， 所以数据的方差为. 故选：B 5. 在等比数列中，，则公比（ ） A. 6 B. 3 C. 或6 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 6. 已知圆锥的底面半径为12，高为9，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出圆锥的轴截面，设内切球半径，求得对应线段长，然后利用相似三角形边的关系建立方程，解得球的半径，然后求得球的表面积. 【详解】画出该圆锥的轴截面，如图所示， ， 设该圆锥的内切球的球心为，半径为， 则，，， ∵，∴，即，解得． 故所求内切球的表面积为． 故选：C. 7. 某校园诗歌朗诵大赛共有5名同学进入决赛，决赛要求这5名同学均从《琵琶行》《蜀道难》《离骚》中选择1篇进行参赛，且这3篇诗歌中每篇均有同学选择，则这5名同学诗歌篇目的选择情况共有（ ） A. 150种 B. 240种 C. 180种 D. 120种 【答案】A 【解析】 【分析】由题意人数分配只能是“2,2,1”与“3,1,1” 两种组合，分类求解即可. 【详解】5名同学分配到3篇诗歌（每篇至少1人），人数分配只能是 “2,2,1” 或 “3,1,1” 两种组合， 若人数分配为“2,2,1”，则有种不同选择情况； 若人数分配为“3,1,1”，则有种不同选择情况； 综上，共有种不同选择情况. 故选：A 8. 已知定义在上的函数的导函数为，若恒成立，且，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，将原不等式转化为辅助函数的不等式，结合单调性求解自变量的范围. 【详解】构造函数， 则， 由，得，故在上单调递减. 计算. 将变形为，即. 因单调递减，故，解得. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. 的虚部为 D. 在复平面内所对应的点在第二象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算可得，再根据共轭复数、复数的模、虚部及复数的几何意义对选项逐一分析即可. 【详解】，所以，即，所以， 对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：的虚部为，故C错误； 对于D：在复平面内所对应的点为， 所以在复平面内所对应的点在第三象限，故D错误. 故选：AB. 10. 设抛物线的焦点为，抛物线的准线过点．若点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在以为圆心，为半径的圆上 C. 若点在抛物线上，则 D. 抛物线上恰好存在两个满足题意的点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义、两点间距离公式等知识逐项计算即可. 【详解】对于A：因为抛物线的准线为，所以，A错误； 对于B：，设，则. 因为，所以， 化简得，即. 所以点在以为圆心，为半径的圆上，即点在以为圆心，为半径的圆上，B正确； 对于C：由，得，即，解得， 所以，所以，C错误； 对于D：根据C求出的点有两个，或，所以D正确. 故选：BD. 11. 设为任意的两个非空数集，定义集合且为的笛卡尔积，记为的任何子集都称为到的关系，特别地，当时，称为上的关系．在平面上用实心圆点分别标出中元素的点（称为结点），如果，那么用实心圆点标出中元素的点即可．若，则自结点至结点作一条有向边，箭头指向，若，则结点到没有有向边连接，采用这种方法连接起来的图称为的关系图．若均为到的关系，则定义存在满足，且．设集合，现给出如下5个上的关系，的关系图，其中，则（ ） A. B. 共有512个子集 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的定义及关系图，求出，再逐项求解判断. 【详解】对于B，， 共9个元素，因此共有个子集，B正确； ， ，， ，, 对于C，，，C错误； 对于A，，A正确； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求出极限值. 【详解】函数，求导得， 所以. 故答案为：8 13. 若是函数的两个零点，则的最大值为______，的最小值为______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用降幂公式与辅助角公式进行化简，然后找到最大值与周期进行求解. 【详解】因为， 所以的最大值为2， ，相邻两零点间距离为，即的最小值为 故答案为：2； 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，H是C上异于顶点的点.若，的面积为12，则C的离心率为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据已知条件，双曲线定义，勾股定理列式计算求出，得解. 【详解】根据双曲线的对称性，不妨设点H在第一象限，设，，则. 因为，所以，即. 因为的面积为12，所以. 由，得，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在锐角三角形中，角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，进而计算可求得，进而可求角的大小； （2）由余弦定理可得，可求得，进而可求面积. 【小问1详解】 由，可得，所以， 因为，所以，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，在三角形中，由余弦定理得， 又因为，所以， 又，所以，解得， 所以. 16. 某会员店因为商品品控出色，所以吸纳了大量会员，只有成为该会员店的会员才能在该店进行消费．根据统计数据，该店的本地会员占，外地会员占．现对该店会员开展商品质量满意度调查，已知本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． （1）从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； （2）从该店所有会员中随机抽取2名会员，记这2名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列： 0 1 2 P 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可. 【小问1详解】 设事件：抽取的是本地会员，事件：抽取的是外地会员，事件B：对该店质量满意， 则由题意可知：， 所以； 【小问2详解】 易知可能取值，则， ，， 即的分布列如下： 0 1 2 P 期望为. 17. 如图，平面，，，分别为的中点，，． （1）证明：平面． （2）证明：． （3）求平面与平面的夹角． 【答案】（1） 证明：（方法一）连接． 因为分别为的中点，且，所以，． 平面，平面，所以平面． 平面，平面，所以平面． 又，平面，平面，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （方法二）过作，交于，过作，交于，过作，交于，连接． ，，． 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面． （2） 证明：因为平面，平面，所以． 又因为，平面，所以平面． 因为平面，所以． 因为，所以． （3）． 【解析】 【分析】（1）方法一:根据线面平行判定定理得出平面及平面，进而应用面面平行判定定理得出平面平面，最后得出线面平行；方法二:过作，交于，过作，交于，得出四边形是平行四边形，最后应用线面平行判定定理证明； （2）应用线面垂直判定定理得出平面，再应用平行证明线线垂直； （3）方法一：应用空间向量法求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解；方法二：应用二面角定义得出为平面与平面的夹角，再结合边长计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （方法一）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，则． 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，且， 则， 即平面与平面的夹角为． （方法二）连接，，， ，所以，所以． 因为，，， 所以， 所以，则，所以， 则（或的补角）即为平面与平面的夹角， 又，所以平面与平面的夹角为． 18. 已知椭圆，圆是圆上任意一点． （1）证明：直线是圆的一条切线． （2）若，直线与交于两点，求． （3）过点作圆的切线与交于两点，若，证明：过4个定点． 【答案】（1） 由圆，则圆心，半径为，且， 所以圆心到直线的距离， 所以直线是圆的一条切线. （2） （3） 由（1）直线是圆的一条切线，将点代入得， 所以点在直线上，即为过点圆的切线， 所以，设，， 联立，消去，整理得， ，，， 所以， 由，得，即， ， ，即， ，即， 上式对任意的均成立，故，即， 所以椭圆的方程可化为，即， 由可得， 所以椭圆必过个定点：，，，. 【解析】 【分析】（1）求出圆心到直线的距离与圆的半径比较，得证； （2）联立直线和椭圆方程，利用弦长公式求解； （3）联立切线、椭圆方程，结合韦达定理及，化简得到，从而得到，进而可解决问题. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，椭圆，设，， 联立，消去，整理得， ，，， . 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）； （3）由（2）可得，当时，对任意恒成立， 即对任意恒成立． 令，则， 当 时，，此时满足，即不等式成立． 当 时，， 所以， ， 以上累加得， 则，即． 综上可知，对所有的． 【解析】 【分析】（1）求导得，再对分类讨论即可； （2）设，求导后再对进行分类讨论； （3）根据（2）得到结论对任意恒成立，再令，最利用累加法和裂项相消法即可得到证明. 【小问1详解】 由题意得的定义域为． 当时，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上可知，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 依题意可得当时，对任意恒成立． 令，则． ①当时，， 则，所以， 则在上单调递增，则，符合题意． ②当时，有两根， 因为且，所以， 所以由，即，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则，则不符合题意． 故的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $