精品解析：吉林省四平市铁东区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

铁东区2025~2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方的运算法则依次进行运算即可． 【详解】A：，故此选项错误 B：，故此选项正确 C：，故此选项错误 D：，故此选项错误 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除，积的乘方运算，熟悉运用运算法则运算是解题的关键． 2. 若把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的1.5倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把和都扩大3倍后，原式为，约分后缩小为原来的． 故选：C． 3. 一个三角形两边长分别为和，则该三角形的第三边可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三边关系，确定第三边的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵一个三角形两边长分别为和， ∴第三边， 即：第三边， 选项中满足题意的，只有； 故选C． 【点睛】本题考查三角形三边关系．熟记三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是解题的关键． 4. 如图，小西做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． 由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：A． 5. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角平分线的尺规作图，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理得到，再由作图方法可知平分，则，即可利用三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可知平分， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于E，如果，，那么的大小是（ ） A. 24° B. 30° C. 32° D. 36° 【答案】C 【解析】 【分析】由是的垂直平分线，得到，根据等腰三角形的性质得到，由是的平分线，得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， 是的平分线， ， ， ，， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式的结果为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键．先找出公因式，然后提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 8. 人体血液中每个成熟红细胞的平均直径为米，用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据将一个数写成直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 9 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则______ 【答案】##53度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质及直角三角板，解题关键是熟练掌握平行线的性质及直角三角板各个内角的度数．由平行线的性质可得，求得，再求解即可． 【详解】解：如图， 由平行线的性质可得（两直线平行，同位角相等）， ， ， ， ． 故答案为：． 10. 等腰三角形的一个角为，则另两个角的度数为_________． 【答案】，或， 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等．分两种情况：角为顶角和角为底角，分别计算另外两个角即可．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．注意：遇到求等腰三角形的角时，常常要进行分类讨论． 【详解】解：若角为顶角，则另外两个底角为：； 若角为底角，则另外一个底角也为，则顶角为：． 故答案为：，或，． 11. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，为的三等分角．若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，即；然后再运用三角形外角的性质可得，即，进而得到，最后根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方的运算法则展开，再合并同类项即可． （2）根据乘法公式展开，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 13. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，0． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先化简原整式，再将，代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 14. 求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 把进行因式分解得到，即可证明． 【详解】证明：∵ ， 又∵ ， 且， ∴ ， ∵ n是整数， ∴是8的倍数， 故两个连续奇数的平方差是8的倍数． 15. 一服装厂要在学校开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校服？ 【答案】原计划每天能完成125套校服 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设原计划每天能完成x套校服，则实际每天能完成套校服，根据题意列方程即可． 【详解】解：设原计划每天能完成x套校服 ∵现每天完成的校服比原计划多了， ∴实际每天能完成套校服 由题意得： 解得： ∴原计划每天能完成125套校服 16. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算，三角形内角和定理，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平分，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，再由平分，，即可求解． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， ， 平分， ， ， ． 17. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 【答案】（1）绿化部分的总面积为平方米 （2）绿化部分的总面积为13200平方米 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的四则混合运算的应用，代数式求值等知识． （1）根据图形可知，绿化的总面积等于长方形的面积减去两个小正方形的面积，然后再把式子去括号化简即可得出答案； （2）把，，代入（1）中算出的式子即可得出答案． 【小问1详解】 解：绿化部分的总面积 平方米． 答：绿化部分的总面积为平方米． 【小问2详解】 当，时， 原式（平方米）． 答：绿化部分的总面积为13200平方米． 18. 如图，，，，，垂足分别为，，连接. （1）填空：图中有一组全等三角形为______； （2）证明（1）的结论； （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理并结合图形分析即可得解； （2）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （3）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可得：图中有一组全等三角形为； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形的面积． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出与关于直线l成轴对称的； （2）如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； （3）在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）图见解析 【解析】 【分析】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）先画出点C关于直线的对称点，再连接，与l相交于点P． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 如图所示，可以作3个． 【小问3详解】 如图，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： （1）如图1，用两种不同方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： 　． （2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值； （3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）a2+ b2＝（a+b）2-2ab （2）29 （3）6 【解析】 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系． （2）由（1）得到的等量关系：a2+b2=（a+b）2-2ab，代入数值求解即可； （3）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2，可得a+b＝8，a2+b2＝40，根据（1），求出ab的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分面积可以表示为两个边长分别为a，b的小正方形的面积之和，即a2+b2，也可表示为边长是a+b的大正方形的面积减去两个长、宽分别为a，b的小长方形的面积，即（a+b）2-2ab． ∴等量关系为a2+ b2＝（a+b）2-2ab； 【小问2详解】 解∶由（1）得，a2+ b2＝（a+b）2-2ab， ∵a+b＝7，ab＝10， ∴a2+ b2＝72-2×10=29 ； 【小问3详解】 解∶设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则S1＝a2，S2＝b2， ∵AC+BC=8， S1+S2＝40， ∴a+b＝8，a2+b2＝40， ∵a2+ b2＝（a+b）2-2ab， ∴40＝64-2ab， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积为ab＝6． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 21. 已知在等边中，为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作等边，连接． 【发现问题】如图①，当点在边上时：和之间的数量关系是______； 【探究问题】如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图③，在中，且，当点在的延长线上时，作等腰，，，若，，则______，______． 【答案】【发现问题】； 【探究问题】，理由见解析； 【拓展延伸】； 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定（）与性质． 借助等边（或等腰）三角形的“边相等、角相等”的性质，结合角的和差关系，证明三角形全等，进而得到边和角的关系，是解题的关键． 【发现问题】根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等进一步得到答案． 【探究问题】根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形的对应边相等进一步得到答案． 【拓展延伸】根据等腰三角形的性质证明，根据全等三角形的对应边、对应角相等进一步得到答案． 【详解】【发现问题详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【探究问题详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【拓展延伸详解】 解：∵在中，， 在中，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 22. 如图①，在中，，，点D为的中点，连结．点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结．设． （1）的度数为__________． （2）当是钝角三角形时，求x的取值范围． （3）当是轴对称图形时，求x的值． （4）如图②，作点B关于直线的对称点，连结、，当与重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值． 【答案】（1） （2）或 （3）27或76.5 （4）42或51或84或75 【解析】 【分析】（1）先由等边对等角，求出，运用三角形内角和进行列式，得，结合等腰三角形的三线合一，即可作答； （2）根据为钝角，为钝角，这两种情况进行列式作答即可； （3）根据是轴对称图形，即是等腰三角形，进行分类讨论，即可作答． （4）分为点P在和上两种情况，作图，结合三角形的内角和以及三角形的外角性质，即可作答． 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴ 即 ∵点D为的中点， ∴ 即的度数为； 【小问2详解】 解：当为钝角，即， ∵， ∴， 即， 当为钝角， ∵， ∴， ∵点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时， ∴当点P与点C重合时，， ∴ 即； 综上：当是钝角三角形时， x的取值范围为或 【小问3详解】 解：当是轴对称图形时， 即是等腰三角形 当时，，则； 当时，，则， 此时点P与点C重合，故舍去； 当时，，则； 综上：当是轴对称图形时， x的值为27或76.5 【小问4详解】 解：点P在上时，记与的交点为 ∵作点B关于直线的对称点， ∴ 当时，， ∵ 则， 解得； 当时，则， 即； 点P在上时，记与的交点为 易知， 则， 那么 则 当时，则，解得； 当时，则，此时不存在； 当时，则，解得； 综上：当与重叠部分为轴对称图形时，x的值为42或51或84或75． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，钝角三角的定义，三角形的内角和，以及三角形的外角性质，难度适中，综合性较强，学会分类讨论以及正确作图是解题的关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铁东区2025~2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 （考试时间：120分钟满分：120分） 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若把分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大为原来的3倍 C. 缩小为原来的 D. 缩小为原来的1.5倍 3. 一个三角形两边长分别为和，则该三角形的第三边可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小西做了一个角平分仪，其中，，将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上，过点，画一条射线，就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，与边分别交于点，再分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点．作射线与边交于点．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线交的平分线于E，如果，，那么的大小是（ ） A 24° B. 30° C. 32° D. 36° 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 分解因式的结果为___________ 8. 人体血液中每个成熟红细胞的平均直径为米，用科学记数法表示为______米． 9. 将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则______ 10. 等腰三角形的一个角为，则另两个角的度数为_________． 11. 借助如图所示“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，为的三等分角．若，则的度数是________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 计算： （1）； （2）． 13. 先化简，再求值：，其中，． 14. 求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差是8的倍数． 15. 一服装厂要在学校开学前赶制3000套校服，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的校服比原计划多了，结果提前4天完成任务，问原计划每天能完成多少套校服？ 16. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 17. 如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地． （1）用含有，的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式） （2）若，，求出绿化部分的总面积． 18. 如图，，，，，垂足分别为，，连接. （1）填空：图中有一组全等三角形______； （2）证明（1）的结论； （3）若，，求四边形的面积． 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． （1）在图1中画出与关于直线l成轴对称的； （2）如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； （3）在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 20. 在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，请认真观察图形，解答下列问题： （1）如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系： 　． （2）若图1中a、b满足a+b＝7，ab＝10，求a2+b2的值； （3）如图2，C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形，AC+BC=8，两正方形面积和S1+S2＝40，求图中阴影部分面积． 21. 已知在等边中，为直线上的一动点（点不与点，重合），以为边作等边，连接． 【发现问题】如图①，当点在边上时：和之间的数量关系是______； 【探究问题】如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】如图③，在中，且，当点在的延长线上时，作等腰，，，若，，则______，______． 22. 如图①，在中，，，点D为的中点，连结．点P在线段上从点B出发向点C运动，当点P不与点B、C重合时，连结．设． （1）的度数为__________． （2）当是钝角三角形时，求x的取值范围． （3）当是轴对称图形时，求x的值． （4）如图②，作点B关于直线对称点，连结、，当与重叠部分为轴对称图形时，直接写出x的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $