精品解析：江苏省徐州市铜山区铜山启星中学2025-2026学年上学期第三次质量检测 九年级数学试题

启星中学2025-2026学年度第一学期第三次质量检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 2. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个白球和个红球，随机摸出个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式的应用，牢记概率公式：概率所求情况数与总情况数之比是解答本题的关键． 根据随机事件概率大小的求法，找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小． 【详解】解：随机从装有形状、大小、质地完全相同的个白球和个红球的不透明的袋子中摸出一个球，共有种等可能的结果，其中摸到红球有种可能结果， 所以摸到红球的概率为， 故选：D． 3. 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数、方差的定义，观察数据，出现次数最多的是47，据此解答即可． 【详解】解：A、平均数是一组数据总和除以总数，跟被涂污数字有关，故A不符合题意； B、中位数是将一组数据按照一定顺序排列后，取最中间这个数或最中间两个数的平均数，跟被涂污数字有关，故B不符合题意； C、数据中出现次数最多的数是47，即众数是47，与被涂污数字无关； D、方差是一组数据中每个数据与这组数据平均数差的平方的平均数，跟被涂污数字有关，故D不符合题意； 故选： 4. 如图，是⊙的直径，、是⊙上直径两侧的两点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，熟练运用同弧所对圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．连接，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半进行求解． 【详解】解：如图所示，连接， ，， ∴， ， ， ， 故选：B． 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例得，进而可求得的长度． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 6. 商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出形如即可． 【详解】根据题意，得． 故选：B． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 8. 二次函数的图像如图所示．下列结论：；方程一定有两个不相等的实数根；；；（为常数，且）．其中所有正确的序号有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据抛物线的开口方向、与坐标轴的交点的位置确定二次函数解析式中各项系数的取值范围．根据抛物线的开口方向、对称轴的位置可以判断正确；根据抛物线与轴有两个不同的交点，可以判断，从而可以判断，所以可得方程有两个不相等的实数根，所以可得正确；根据抛物线与轴的交点和抛物线对称轴的位置可以判断当时，函数值，所以可得错误；根据抛物线的对称轴的位置可得，可得，所以可得正确；根据抛物线与轴的一个交点的坐标是，可得当时有，当时，有，所以可得：，所以可得正确． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 对称轴在轴的右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程中， 可得：， ，， ， 有两个不相等的实数根， 故正确； 抛物线的对称轴在轴的右侧，抛物线与轴的一个交点坐标是， 抛物线与轴的交点到对称轴的距离小于， 抛物线与轴的另一个交点的坐标一定在的右侧， 当时，， 故错误； 由图象可知：，， ， 移项得：， 故正确； ， ， 当时，， ， 整理得：， 故正确． 正确的有个． 故选：C． 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质设，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解：， 设，， 则 故答案为： 10. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点，且， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 若为锐角，且，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值进行计算即可解答． 【详解】解：∵是锐角，， ∴， 故答案为：． 12. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．将A、B、C代入求解即可． 【详解】解：，，为二次函数的图象上的三点， ，，， ， 故答案为：． 13. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，弧长公式，扇形的面积等知识．设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R．利用扇形的面积公式求出r，再根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长，构建方程求出R即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，圆锥的底面半径为R． 由题意，， 解得：或（舍弃）， ∵扇形的弧长=圆锥底面圆的周长， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 已知二次函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先根据判断出抛物线的开口向下，故有最大值，对称轴，然后根据当时，在对称轴的两侧，代入求得最小值求得答案即可． 【详解】解：二次函数中， 抛物线开口向下，有最大值为，抛物线的对称轴为轴， 当时，在对称轴的两侧， 当时，， 当时， 当，的取值范围是， 故答案为． 15. 如图，已知，以为直径作半圆，分别交于点，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，如图所示，先由圆中弦、弧、角的关系，圆周角定理，得到，进而由平行线的判定与性质及相似三角形的判定得到，再由相似三角形的性质及圆的性质得到，结合已知条件求出相关线段长，设，则，从而得到，利用圆的内接四边形性质及相似三角形的判定得到，最后由相似三角形性质列出关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， ， ，则，即， ，解得（负值，舍去）或， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似三角形的性质求线段长，涉及圆中弦、弧、角的关系，圆周角定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质及解一元二次方程等知识，熟练掌握圆的性质及三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 16. 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转变换，正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，解直角三角形等知识，作出点A的运动轨迹是图中红线．延长交弧线于H，线段的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离，解题的关键是理解题意，学会正确寻找点A的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：如图， ， 根据正六边形，可得，, ，， 正方形的边长为2， ， ， ， ， ， 在滚动过程中点A距出发点的最大距离为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解一元二次方程，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，算术平方根定义，特殊角的三角函数值，进行计算即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，，， ， ∴， 即． 18. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 由题意得，选到的概率为 故答案为： 【小问2详解】 列表如下： 由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种， 二人所选金属均能置换出氢气的概率为． 19. 射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，__________，__________； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】（1）8，，； （2） 甲的射击成绩更好， 理由：甲，乙两人的平均数相等，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定； （3）变小 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、中位数、方差，掌握各统计量的意义是解题的关键． （1）根据平均数，中位数，方差的定义计算即可； （2）比较两个数据的平均数和方差，平均数越高、方差越小，成绩越好； （3）计算出方差，比较大小即可． 【小问1详解】 解：由题意知， ； 将乙的10次数据从小到大排列为：6，7，7，7，7，8，9，9，10，10， 中位数； 甲的方差：； 故答案为：8，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：乙再射击1次，命中8环时， 平均数为：； 方差为：， 乙射击成绩的方差将变小， 故答案为：变小． 20. 如图，在中，点D在上，，点E，F分别在，上，． （1）求证∽； （2）若，，，，则______． 【答案】（1） 证明：，， ， ， 又 ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过证明∽，可得，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ，，， ， ，， ， ∵ ， ， ， ∴， 故答案为： 21. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴， 即， ∴与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由是的直径，得到，根据三角形中位线的性质得到，得到，于是得到结论； （2）连接，由勾股定理求出，根据三角形中位线的性质得，则，再由勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∴， ∵半径为，， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的中位线， ∴， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的中位线的性质，平行线的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 【答案】（1）48 （2）350元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确列出二次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：依题意得：（个， 故答案为：48； 【小问2详解】 解：设每个房间定价增加元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， （元， 即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值． 23. 学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量． 数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作于点，作于点，由题意得：，，根据三角函数的定义得到，，根据矩形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由题意得：，， 在中，∵，， ∴，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 24. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 【答案】（1）如图： （2）如图： （3）如图： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、圆的基本性质、切线以及勾股定理： （1）先连接，连接，并延长交于点，连接，因为都是半径，所以，同理，连接并延长交于点，连接，连接，此时就是的内接正方形； （2）连接，连接，并延长交于点，根据直径所对的圆周角是直角，构造等腰直角三角形即可得到； （3）连接，作，则是的切线． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 25. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交于E，根据点D和点E坐标可表示出的长，进而表示出三角形的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质可得，进而求得点P的坐标，根据菱形性质，进一步求得点Q坐标． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴设抛物线的表达式：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图1， 作于F，交于E， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：设，的中点坐标为 ∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴， 设，则： ，， 解得：，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启星中学2025-2026学年度第一学期第三次质量检测九年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 在一个不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的个白球和个红球，随机摸出个球，恰好是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 如图，是⊙的直径，、是⊙上直径两侧的两点，设，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 商品原售价400元，经过连续两次降价后售价为225元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 8. 二次函数的图像如图所示．下列结论：；方程一定有两个不相等的实数根；；；（为常数，且）．其中所有正确的序号有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 9. 如果，那么______． 10. 已知线段，点C为线段的黄金分割点，且，则______． 11. 若为锐角，且，则________． 12. 若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是______． 13. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图的扇形的圆心角是，则这个圆锥底面圆的半径是______． 14. 已知二次函数，当时，的取值范围是_______． 15. 如图，已知，以为直径作半圆，分别交于点，若，则的长为_______． 16. 如图，正方形与正六边形的边长相等，先将正方形与正六边形的某条边重合，再将该正方形绕正六边形按顺时针方向滚动一周．若正方形的边长为2，则在滚动过程中点A距出发点的最大距离为______． 三、解答题（本大题共9小题，共84分） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气） （1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________； （2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率． 19. 射击比赛中，甲，乙两人在相同的条件下各射击10次，成绩统计如下： 甲，乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲 8 c 乙 8 1.8 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，__________，__________； （2）你认为谁的射击成绩更好？为什么？ （3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差将_________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 20. 如图，在中，点D在上，，点E，F分别在，上，． （1）求证∽； （2）若，，，，则______． 21. 如图，是的直径，是弦延长线上的一点，且，的延长线交于点，作于点． （1）求证：与相切； （2）若半径为，，求的长． 22. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）房价定为200元时，则有_______个房间有游客居住； （2）房价定为多少时，宾馆利润最大？ 23. 学科实践：风力发电是一种利用风能转化为电能的技术，它通过风力发电机将风的动能转换为机械能，进而通过发电机将机械能转换为电能．某校实践活动小组到当地的电力部门安装的一批风力发电机场地进行实地调研，并对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量． 数据采集：如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点，，，均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，，） 24. 图①、图②、图③均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，为的弦，点、、均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，以为边画的内接正方形； （2）在图②中，作，点在圆周上，且为格点； （3）在图③中，过点作的切线． 25. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． （1）求抛物线的表达式； （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $