精品解析：江苏省常州中天实验中学2025-2026学年上学期九年级数学月考试卷

2025－2026学年第一学期常州中天实验学校十二月月考初三数学试卷 满分：100分 时间：90分钟 12.27 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 1. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据常见特殊角的三角形函数值，即可获得答案． 【详解】解：． 故选：C． 2. 一元二次方程的根的情况是（） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以做一个圆 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 三角形的外心到三边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据确定圆的条件、垂径定理的推论、圆心角、弧、弦的关系、三角形的外心的知识进行判断即可． 【详解】解：A、经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，A错误； B、平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，B错误； C、等弧所对的圆心角相等，C正确； D、三角形的外心到各顶点的距离相等，D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、确定圆的条件、垂径定理的推论和三角形外心的知识，掌握相关定理并灵活运用是解题的关键． 4. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可． 【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多， 故这组数据的众数为5， 所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键． 5. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据题意，点、、、在同一圆上，设圆心为点，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：直角三角板的斜边与量角器的直径重合，且， 点、、、在同一圆上，如图所示： 设圆心为点， ， ， ． 故选：B． 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在中，，在其内部放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，解题的关键是找到相似三角形，用含的式子表达对应边．根据题意可推出，得到，即，用含的式子表达对应边，得到关于的方程，即可求解． 【详解】解：对图形进行点标注，如图所示： 由题意可得：， ，，，，， ，， ， ，即， ，，， ，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 故选：A． 8. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为( ) A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，令即，所以当直线于相切时，最大，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 为直径的， ∴ ∴垂直， 点关于点的对称点为点， ∴， ∴垂直平分， ∴ ， ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动， 令 则 要求值最大， 越往上越大， 当直线与相切时，最大， 设直线与轴交于点，切点为，连接，则， 由直线比例系数可知，直线与坐标轴所夹锐角为， 为等腰直角三角形， 即 的最大值为 故选：B． 【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂直平分线的性质，切线的性质，一次函数，勾股定理；根据题意得出点的运动轨迹是解题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 已知，则________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的拆分与代数式的求值，熟练掌握分式的拆分变形并结合已知比例代入计算是解题的关键．将所求分式拆分为含的形式，再代入已知的值计算． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为． 10. 已知是方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得． 故答案为：． 11. 在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出图形，进而得出cosB= 求出即可． 【详解】解：∵∠A=90°，AB=3，BC=4， 则cosB==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确把握锐角三角函数关系是解题的关键． 12. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角等于，直角三角形的两个锐角互余，圆的内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径得，进而求得，再根据圆的内接四边形对角互补得，即可求解． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求圆锥的侧面积，根据公式，把相关数值代入即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故答案为：． 14. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是____． 【答案】11πcm 【解析】 【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点，．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据弧长公式计算即可． 【详解】作，，和相交于点，如图， ∵，分别与所在圆相切于点，． ∴， ∵， ∴， ∴优弧对应的圆心角为， ∴优弧的长是：cm， 故答案为：cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 15. 小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义及平均数的计算，解题的关键是从方差公式中识别数据点并计算平均数． 由方差公式可知式子中的数据点为、、、，然后通过算术平均数公式计算即可． 【详解】解：由方差公式可得数据点为、、、，则平均数 故答案为：． 16. 如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE上．若BE＝9，则小正方形EFGH的边长_____． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形ABCD为正方形，得到四个角为直角，四条边相等，在直角三角形ABE中，利用勾股定理求出AE的长，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABE与三角形EFC相似，由相似得比例，求出EF的长，即为小正方形EFGH的边长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝12，CE＝3， 在Rt△ABE中，AB＝12，BE＝9， ∴AE＝＝15， ∵∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CEF，且∠B＝∠C＝90°， ∴△ABE∽△ECF， ∴＝．即＝， 解得：EF＝， 则小正方形EFGH的边长． 故答案为： 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理，勾股定理，平行线的性质，先作交格点于点，连接，然后根据平行线的性质可以得到，再根据勾股定理可以得到、和的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，即可求得的值，从而可以得到的值． 【详解】解：作交格点于点，连接，如图所示， ， ， 设每个小正方形的边长为， 由图可知：， ， ， ， 是直角三角形， ， ， 故答案为：． 18. 已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O的半径为________． 【答案】． 【解析】 【分析】作OD⊥AB于D、OE⊥BC于E，过D作DF⊥OE于F，过B作BG⊥DF于G，由垂径定理知∠DOE=∠BDG=∠FDO=45º，由作法知四边形BGFE为矩形，DG=BG=EF=x，在Rt△DBG中，由勾股定理解方程，再求OE，在Rt△COE中由勾股定理用OC=求解即可． 【详解】作OD⊥AB于D、OE⊥BC于E，过D作DF⊥OE于F，过B作BG⊥DF于G， 由垂径定理知∠DOE=∠AOD+∠COE=45º ，AD=BD=，BE=CE=， ∴∠BDG=∠FDO=45º， 由作法知四边形BGFE为矩形， DG=BG=EF=x，GF=BE=CE=， 在Rt△DBG中，由勾股定理即， 解得， 则OE=EF+OF=EF+DF=EF+DG+GF=2BG+BE=1+， 在Rt△COE中由勾股定理得 OC=， ⊙O的半径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查辅助线，垂径定理，等腰直角三角形，矩形，勾股定理，掌握引辅助线的方法，会用垂径定理解决角等与线段相等，利用等腰直角三角形解决边角关系，利用矩形解决线段相等，会利用勾股定理求边长问题． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．其中，第19题6分，第20～25题每小题8分，第26～28题每小题10分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数求值，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数．根据特殊角三角函数值代入求解即可得到答案． 【详解】解： 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）先移项，然后再运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 所以，． 【小问2详解】 解：， ， ， 所以． 21. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 【答案】（1）9，，； （2）选甲更合适， 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3） 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、方差、平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式进行计算，再比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：由甲得分的折线统计图可知，甲得分的排序为：10、9、9、8、8， 甲得分的中位数为9， 由乙得分的条形统计图可知， 乙得分的方差为， 由丙得分的扇形统计图可知，有2名评委打分为10，有3名评委打分为8， 丙得分的平均数为， 故答案为：9，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：去掉一个最高分和一个最低分之后，甲的平均数为， 甲的方差为， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了中位数，平均数，方差，理解相关定义与意义，熟记方差公式解题关键． 22. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”．“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小明购买了四张邮票，分别是“立春、立夏、秋分、大寒”，现将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面形状和大小完全相同）． （1）若从中随机抽取一张，抽到的是“立夏”的概率是 ； （2）小明的妹妹想要“立春”和“秋分”，小明让妹妹从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率以及用概率公式直接求概率， （1）根据概率公式直接求概率即可; （2）列出所有等可能的结果数以及妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“大寒”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，一共有四张邮票， ∴抽到的是“立夏”的概率是， 故答案为：． 【小问2详解】 列表，得 第一张 第二张 A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，恰好是“立春”和“秋分”的结果有2种， ∴P（“立春”和“秋分”） ． 23. 某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？ 【答案】票价应定为35元. 【解析】 【分析】可设票价应定为x元，根据票价×销售的票数=获得门票收入，即可列出一元二次方程解题． 【详解】设票价应定为元，依题意得： 解之得x1=x2=35 答：票价应定为35元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用.根据题意正确列出方程式解题的关键. 24. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） （2）通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 【答案】（1）支点离桌面的高度为； （2）当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．作合适的辅助线构建直角三角形是解决本题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，易得四边形为矩形，那么可得，，所以，利用的三角函数值可得长，加上长即为支点离桌面的高度； （2）过点作，过点作于点，分别得到与所成的角为和时的值，相减即可得到面板上端离桌面的高度增加或减少了． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， ． 由题意得：， 四边形为矩形， ，． ， ． ， ． ． 答：支点离桌面的高度为； 【小问2详解】 解：过点作，过点作于点， ． ，， ． 当时，； 当时，； ； 当从变化到的过程中，面板上端离桌面的高度是增加了，增加了约． 25. 如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： 如图，连接， ， 为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ，即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练利用切线的性质，进行角度的转换是解题的关键． （1）连接，可得，根据，可得； （2）求得，即可求得，，根据勾股定理求得，根据三角函数可得，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的半径为3， ， ， ，， ， ， 为直径， ， 根据三角函数可得， 即， ． 26. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 【答案】（1） 即为所求； （2）变强 （3），理由如下： 连接，则：， ∴， ∵为切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵水滴弧的长度为：， ∴， ∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键． （1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求； （2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可； （3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可； （4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可． 【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接； ②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心； ③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求； （2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强， 故材料的疏水性随着接触角的变大而变强； 故答案为：变强； （3）略 （4）略 27. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． （1）根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） （2）当与相似时，求的值； （3）连接、，当时，求的值． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当时，；当时，，再根据，，，，代入计算即可； （3）过作于点，，交于点，则有，，，根据，得出，代入计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意知：，， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，，， ； 分两种情况讨论： ①当时，， ，，，， ， 解得， ②当时，， ， 解得，； ∴当与相似时，或； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，，交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得（经检验是原方程的解）． 28. 定义：对于的弦和外一点（、、三点不共线，且点、在直线的异侧），当时，则称点是线段关于点的“友好点”．如图①是点为线段关于点的“友好点”的示意图． 运用：如图②，在平面直角坐标系中，的半径为2，点，，在上． （1）线段的长是______，的度数是______． （2）在，，三点中，是线段关于点的“友好点”的是______； （3）若点是线段关于点的“友好点”，求的面积； （4）若点是线段关于点的“友好点”，动点满足时，直接写出的范围． 【答案】（1）； （2）点和点 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数，按照题意画出辅助圆是解题的关键． （1）根据勾股定理可得的长，连接，可得为等边三角形，即可求得； （2）若点是线段关于点的“友好点”，则，可得，根据圆周角定理得到线段关于点的“友好点”在圆上，分别计算各个点到圆心的距离是否等于半径即可判断； （3）得到三点共线，可得，求得即可解答； （4）当时，点在圆上，根据距离公式列方程即可求得此时的值，根据图形可得当点在左边或在右边时，，即可解答． 【小问1详解】 解：根据勾股定理可得， 如图，连接， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：若点是线段关于点的“友好点”，则， ， ， 如图，过点作轴，且，则， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 点在以为圆心，半径为的圆上，且在优弧上， 即线段关于点的“友好点”在圆上， ， , 是线段关于点的“友好点”， ， , 是线段关于点的“友好点”, ， , 不是线段关于点的“友好点”， 故答案为：点和点； 【小问3详解】 解：， 点在直线上， 当时，， 点在直线上， 即三点共线， ， 垂直平分， 设与交于点， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：， 点在直线上， 点是线段关于点的“友好点”， ， ， 当时，点在圆上，即， 可得方程， 解得， 当点F在左边或在右边时，， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期常州中天实验学校十二月月考初三数学试卷 满分：100分 时间：90分钟 12.27 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．） 1. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 3. 下列说法正确的是（ ） A. 经过三点可以做一个圆 B. 平分弦的直径垂直于这条弦 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 三角形的外心到三边的距离相等 4. 从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应的刻度值为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，在其内部放置边长分别为，，的三个正方形，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点的坐标是，点是以为直径的上的一动点，点关于点的对称点为点，则的最大值为( ) A. 3 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 9. 已知，则________． 10. 已知是方程的一个根，则的值为______． 11. 在中，，，则______． 12. 如图，是的直径，点、在同一半圆上，，则的度数为__________ 13. 若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积为______． 14. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是____． 15. 小明在计算一组数据的方差时，列出下面没有化简的式子：，根据这个式子，可以计算出这组数据的平均数是______． 16. 如图，正方形ABCD的边长为12，其内部有一个小正方形EFGH，其中E、F、H分别在BC，CD，AE上．若BE＝9，则小正方形EFGH的边长_____． 17. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为______． 18. 已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O的半径为________． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．其中，第19题6分，第20～25题每小题8分，第26～28题每小题10分） 19. 计算：． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分．将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）完成表格； 平均数/分 中位数/分 方差/分 甲 ______ 乙 9 ______ 丙 ______ 8 （2）从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由； （3）在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则______．（填“”或“”或“”） 22. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”．“二十四节气”是中华上古农耕文明的产物，蕴含了中华民族悠久的文化内涵和历史沉淀．小明购买了四张邮票，分别是“立春、立夏、秋分、大寒”，现将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面形状和大小完全相同）． （1）若从中随机抽取一张，抽到的是“立夏”的概率是 ； （2）小明的妹妹想要“立春”和“秋分”，小明让妹妹从中随机抽取一张后（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求妹妹抽到的两张邮票恰好是“立春”和“秋分”的概率．（立春、立夏、秋分、大寒可以分别用A，B，C，D表示） 23. 某剧院举办文艺演出.经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么售出的门票就减少30张.要使门票收入达到36750元，则票价应定为多少元？ 24. 为了保护视力，某人购买了可升降夹书阅读架（图①），将其放置在水平桌面上的侧面示意图（图②），测得底座高为，，支架为，面板长为，为．（厚度忽略不计） （1）求支点C离桌面的高度；（结果保留根号） （2）通过查阅资料，当面板绕点C转动时，面板与桌面的夹角满足时，能保护视力．当从变化到的过程中，问面板上端E离桌面的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到，参考数据：，，） 25. 如图，在中，是直角，为的切线，交的延长线于点．过点作，与的延长线交于点． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若的半径为3，，求的长． 26. 材料的疏水性 扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质． 【概念理解】 材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气−液界线的切线与固−液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）． 【实践探索】 实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）． （3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由． 【创新思考】 （4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化． 27. 如图，在中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为t秒（），连接． （1）根据题意知：______，______；（用含的代数式表示） （2）当与相似时，求的值； （3）连接、，当时，求的值． 28. 定义：对于的弦和外一点（、、三点不共线，且点、在直线的异侧），当时，则称点是线段关于点的“友好点”．如图①是点为线段关于点的“友好点”的示意图． 运用：如图②，在平面直角坐标系中，的半径为2，点，，在上． （1）线段的长是______，的度数是______． （2）在，，三点中，是线段关于点的“友好点”的是______； （3）若点是线段关于点的“友好点”，求的面积； （4）若点是线段关于点的“友好点”，动点满足时，直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $