精品解析：天津市南开中学2025-2026学年高三上学期数学统练14

2026届高三数学统练14 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：A 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的知识确定正确答案. 【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，使得”的否定为“，使得 ”. 故选：C 3. 函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，利用特值排除AB；利用单调函数的定义确定在上单调性判断CD. 【详解】观察图象知，函数图象过原点， 对于AB，，，不符合题意，排除AB； 对于C，，任取，， 则，即， 因此函数在上单调递增，C不符合题意，排除C，D符合. 故选：D 4. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的第25百分位数为65 D. 估计评分的平均数为76.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用频率和为1求出判断A；利用频率求出频数判断B；求出下四分位数判断C；求出评分的平均数判断D. 【详解】对于A，由，得，故A正确； 对于B，评分在的频率为，评分在的人数约为，故B正确； 对于C，评分在的频率为，评分在的频率为， 则评分的第25百分位数在内，由，解得，故C错误； 对于D，评分的平均数，故D正确. 故选：C. 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数平移后得到偶函数可得，再结合充分不必要条件判断可得. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，得到， 因为图象关于轴对称，所以函数为偶函数， 则， 则的一个充分不必要条件为. 故选：B. 6. 已知两个不同的平面和，两条不同的直线和，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线线、线面的位置关系逐项判断即可. 【详解】若，则和可能平行、相交或异面，故A错误； 若，则，故B错误； 若，且和相交，则，故C错误； 对于D，因为，过直线作一平面与平面相交，其交线必与平行, 同理，因为，过直线作一平面与平面相交，其交线也必与平行，可得交线平行交线， 由线面平行的判定定理可得，，由线面平行的性质定理可得， 由平行公理4可得，正确 故选：D 7. 已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（ ） A. 30 B. 32 C. 42 D. 46 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列、等比数列前项和公式列式求解即可. 【详解】依题意，，显然， ，则， 又，故， 所以，由，得， 则，解得，所以. 故选：A 8. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是正三角形及双曲线的对称性可得，从而可求，故可得正确的选项. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 左右焦点为，（其中，）， 因为，故， 由双曲线的对称性可得，故， 故，故，而在第一象限的渐近线上，故， 而，故，故， 因此最终渐近线方程为：. 故选：B. 9. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质与得到，进而化得，再由当时，得到在上单调递增且，故由可得，再由可得，从而得知. 【详解】因为是在上的奇函数，所以，故， 所以， ， ， 当时，，则在上单调递增， 又因为，所以，即， 因为，所以，则，故， 又因为，所以，故， 所以， 故， 综上：， 所以，即，故， 因为，则，所以，即， 综上：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其”桥梁“作用，来比较大小. 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法法则将化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】， 复数在复平面内对应点的坐标为. 故答案为：. 11. 的展开式中的系数为__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】由二项展开式通项公式即可求解. 【详解】的通项公式为， 令，则， 则系数为， 故答案为： 12. 已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积公式计算即得. 【详解】设圆台的上下底面圆半径为，母线长， 则该圆台的侧面积为. 故答案为：. 13. 如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为_____；当点为圆弧上的动点时，的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 0 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点坐标，利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 因为正方形的边长为，所以，，，， 当为圆弧的中点时，， 此时，， 则，， 所以在上的投影向量的模长为； 当点为圆弧上的动点时，设，，， 所以满足，则，所以， 所以，， 则， 因为，所以当时，取得最小值. 故答案为：；. 14. 已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围. 【详解】曲线可化为， 可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半圆， 又由， 可得表示点与点两点间的直线的斜率， 当直线与曲线相切时，设直线的方程为， 有，解得（舍去）或， 设曲线与直线的一个交点为， 因为点和点两点间的直线的斜率为， 所以，由图形可知的取值范围为， 可得的取值范围为. 故答案为：. 15. 若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得、是的两根，、是的两根，且 （数轴上，的中点是，根据，不妨设，，再不妨设，，根据韦达定理可得 且，，整理化简可得，解得即可得的取值范围. 【详解】于的方程有且仅有四个实根，其中， 因为，所以， 则方程的两根为，方程的两根为， 则 （数轴上，的中点是， 因为， 不妨设，， 因为，是的两根， 所以，， 再不妨设， 因为，是的两根， 则 ，， 所以， 则，又， 因为，则， 故的取值范围为. 故答案为：. 三､解答题（16题14分，17-19题每愿15分，20题16分，共75分） 16. 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得，从而求得角； （2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得得到的周长. 【小问1详解】 由已知可得， ，即， 由可得，则； 【小问2详解】 ， 又， ，， 的周长为. 【点睛】考点：正余弦定理解三角形. 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 【答案】（1） 正方形中，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面，平面 ，，又，， 中，， ，， ，，， 又，平面，平面， 平面. （2） 以点为原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 设点，， ， ，， ，， 设平面的法向量为， ， 令，，，， 显然，平面的法向量为， ， 即，即， 解得或（舍去）， 所以存在点，且时，使得二面角的余弦值为. 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可得，再得出即可证明； （2）设，求出平面和平面的法向量，利用向量关系建立方程求出即可得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆G：的左、右焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，若的周长为，且该椭圆过点． （1）求椭圆G的方程； （2）斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求直线l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形周长结合椭圆的定义及椭圆所过的点列方程组求椭圆参数，即可得方程； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、直线斜率公式、等腰三角形的性质进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 解得， 故椭圆的方程 【小问2详解】 设直线的方程为，与椭圆方程联立，得 ， 方程的判别式， 所以， 设， 设的中点为， 因为以为底边作等腰三角形，顶点为，所以， ， ， 所以直线的方程为. 19. 已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列． （1）若求的值； （2）若，如果存在使得，求的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）的最小值为4，此时为29 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质及等比数列的性质表示出，利用条件解方程即可得结果； （2）根据等差数列通项公式及等比数列通项公式分别求出，结合条件分情况讨论得出结果. 【小问1详解】 ， 又， 解得 【小问2详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，从而得． 因为，从而得， 因为，， 因为， 为有理数．要使（*）成立，则必须为有理数， ．若，则为无理数，不满足条件，同理，不满足条件． 当时，．要使为有理数，则必须为整数． 又所以仅有满足条件．所以， 从而得． 综上，的最小值为4，此时为29． 【点睛】结论点睛：等差数列常用结论：①等差数列通项公式；②若，则，③数列成等差数列. 20. 已知函数，当时，恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）若函数，当实数a取最大值时，是否存在整数t，使得关于x的不等式恒成立，若存在，请求出t的最大值，若不存在，请说明理由； （3）已知，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明:当时，右边，左边，左边=右边，原不等式成立，                                      下面考虑时的情况， 由（1）知在上恒成立，即， 令，且，则，                                                        所以, 则，故， 所以，                                            综上，当时，成立. 【解析】 【分析】（1）由题设在上恒成立，利用导数研究单调性，判断函数值符号求参数范围； （2）由题设及（1）得，利用导数研究函数的性质得到且，再根据函数单调性求出函数的值域，根据不等式恒成立确定的最大值，即可得解； （3）由（1）知在上恒成立，令且代入不等式，两侧累加并整理即可证. 【小问1详解】 由题设在时恒成立，等价于在上恒成立， 令，，则， 令，且， 当，即时，，即， 此时在上单调递增，则，满足题设； 当，即时，，对称轴， 所以，使，在时，，即， 所以在上单调递减，此时，不满足题设； 综上，. 【小问2详解】 由题设，由（1）知，则， 令，则，故在上单调递增， 由，即使， 所以时，．所以在上单调递减， 时，，所以在上单调递增， 则，而，即， 故， 设函数，则，当时，， 故在上单调递增，则，故， 所以，又恒成立，即，即整数t的最大值为. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学统练14 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，使得 D. ，使得 3. 函数，，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（ ） A. B. 评分在的人数约为20 C. 估计评分的第25百分位数为65 D. 估计评分的平均数为76.5 5. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个不同的平面和，两条不同的直线和，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，．若的前5项和与的前4项和都等于，则（ ） A. 30 B. 32 C. 42 D. 46 8. 已知 、 是双曲线 的左右焦点，点 是其渐近线在第一象限内的一点，直线 与 轴相交于点 ， 是正三角形，则该双曲线的渐近线方程是 （ ） A. B. C. D. 9. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 复数（其中i是虚数单位）在复平面内对应点的坐标为________． 11. 的展开式中的系数为__________（用数字作答）. 12. 已知一个圆台它的母线长为5，且两底面半径分别为，则该圆台的侧面积为__________. 13. 如图，已知正方形的边长为2，圆弧是以为直径的半圆弧．当点为圆弧的中点时，在上的投影向量的模长为_____；当点为圆弧上的动点时，的最小值为_____． 14. 已知点是曲线上的动点，则的取值范围为_____. 15. 若关于的方程有且仅有四个实根，其中，且，则的取值范围为_____． 三､解答题（16题14分，17-19题每愿15分，20题16分，共75分） 16. 的内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求角； （2）若，，求的周长. 17. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）证明：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在请说明理由． 18. 已知椭圆G：的左、右焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，若的周长为，且该椭圆过点． （1）求椭圆G的方程； （2）斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求直线l的方程． 19. 已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列． （1）若求的值； （2）若，如果存在使得，求的最小值及此时的值． 20. 已知函数，当时，恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）若函数，当实数a取最大值时，是否存在整数t，使得关于x的不等式恒成立，若存在，请求出t的最大值，若不存在，请说明理由； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $