精品解析：河北省石家庄市第四十八中学2025--2026学年上学期九年级第二次月考数学试卷

石家庄市第四十八中学2025-2026学年12月限时作业初三数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分．四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数的图像上有两点与，则（ ）． A. B. C. D. 无法确定 3. 在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 14 4. 如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为的外接圆，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ） A. B. C. 点O到直线的距离是5 D. 7. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 9. 有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）． A. 嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B. 嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C. 两人说的都不对 D. 两人说的都对 10. 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 11. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 二次函数的图象的顶点坐标为_____． 14. 如图，已知，以为直径的分别交，于点D，E，连接，，若，的半径为4，则的长为____． 15. 如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 16. 如图，植物园新建了一个半径为的圆形牡丹园，牡丹园两侧有两条平行的小路，其中小路穿过牡丹园，出入口、之间的距离为，若两条小路的距离为，则另外一条小路____（填“穿过”或“不穿过”）牡丹园． 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 18. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有280人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 19. 如图，已知直线与双曲线的图象交于，两点，且点的坐标为，设点，过点作轴，交直线于点，交双曲线于点． （1）求反比例函数解析式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）当直线在轴的左侧，且线段的长为3时，求的值． 20. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 22. “工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． （1）天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； （2）下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 24. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十八中学2025-2026学年12月限时作业初三数学试卷 满分：120分 时间：120分钟 一、选择题（12个小题，每小题3分，共36分．四个选项中，只有一项符合题意） 1. 已知反比例函数的图象在第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象在第一，三象限，则，属于基础题，根据反比例函数的性质：图象在第一，三象限，则，即可列出含的不等式，得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一，三象限， ， ， 故选：B． 2. 已知二次函数的图像上有两点与，则（ ）． A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，在解题时要能灵活应用二次函数的图象和性质以及点的坐标特征是本题的关键． 根据二次函数的增减性，即可判断出的大小关系． 【详解】解：由可得抛物线的对称轴为轴，开口向上， ， ， 故选：B． 3. 在半径为6的中有一条弦，则的长度不可能是（） A. 3 B. 6 C. 12 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径， ∴直径， ∵弦长满足， ∴， 选项D中，故不可能， 故选：D 4. 如图，在中，点A、B、C、D在圆上，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 5. 如图，为的外接圆，，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键． 求得，根据圆周角定理即可求得，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，已知的半径为5，直线经过上一点P，下列条件不能判定直线与相切的是（ ） A. B. C. 点O到直线的距离是5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可． 【详解】解：A、，不能判定直线与相切，符合题意； B、由，得到，且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； C、点O到直线的距离是5，等于半径，能判定直线与相切，不符合题意； D、且点P在上，能判定直线与相切，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的判定；熟练掌握切线的判定是解题的关键． 7. 如图，正五边形内接于，点是优弧上一点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正五边形的中心角的计算，圆周角定理的应用，连接，求得，结合圆周角定理，计算求得即可． 【详解】解：如图，连接， 正五边形内接于， ， ， 故选：B． 8. 下列抛物线中，顶点为，且与抛物线的开口方向相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；首先根据顶点坐标和开口向上，对选项中的抛物线逐一判断，然后可得答案． 【详解】解：所求抛物线与抛物线的开口方向相同， 所求抛物线开口向上， A、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线不相符； B、的顶点为，开口向上，与题干所要求的抛物线相符； C、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； D、的顶点为，开口向下，与题干所要求的抛物线不相符； 故选：B 9. 有3个二次函数，甲：；乙：；丙．嘉嘉说：甲的图象向左平移3个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到乙的图象；淇淇说：乙的图象向右平移6个单位长度，向上平移5个单位长度可以得到丙的图象．下列说法正确的是（ ）． A. 嘉嘉说的对，淇淇说的不对 B. 嘉嘉说的不对，淇淇说的对 C. 两人说的都不对 D. 两人说的都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：甲向左平移3个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与乙：不符， ∴嘉嘉的说法错误； 乙向右平移6个单位、向上平移5个单位后的函数解析式为，与丙：不符， ∴淇淇的说法错误， ∴两人说的都不对， 故选：C． 10. 如图，等边三角形的内切圆的半径为2，则的边长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，解直角三角形求得，进而得出结果． 【详解】解：如图， 连接，，设与相切于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵是的内切圆， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，切线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 11. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据图象与y轴交点即可判定，再利用二次函数的对称性和与轴交点求出对称轴，根据图象即可判断当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，再由当时，可得． 【详解】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴， ∴，A选项的结论不正确，不符合题意； 二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为，故B选项的结论不正确，不符合题意； 由图象知：当时，图象位于对称轴右侧，随的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意； 当时，，故D选项的结论不正确，不符合题意． 故选：C． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心为坐标原点，半径为，若直线与相交，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是求出圆心到直线的距离； 求出直线与圆相切时的值，即可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与相切，且与轴交点为，与轴交点为，过O点作于，则C为切点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，直线切于点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴若直线与相交，则. 故选：B． 二、填空题（4个小题，每题3分，共12分） 13. 二次函数的图象的顶点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，通过配方法将二次函数解析式化为顶点式，从而求出顶点坐标． 【详解】解：， 所以二次函数的图象的顶点坐标为， 故答案为：． 14. 如图，已知，以为直径的分别交，于点D，E，连接，，若，的半径为4，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形，三线合一，勾股定理，熟练利用相关性质是解题的关键． 通过得到，再利用圆内接四边形和角度的转换得到，可利用三线合一得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，若从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的计算方法进行求解是解决本题的关键．根据圆的周长公式计算出剪去圆周的一个扇形的周长，这个扇形的周长就是圆锥底面圆的周长，根据圆的周长公式计算出圆锥底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】解：半径为的圆，剪去圆周的一个扇形的弧长为， 设圆锥的底面半径为r，高为h，则母线， 则有， 解得：， ∴． 故答案为：． 16. 如图，植物园新建了一个半径为的圆形牡丹园，牡丹园两侧有两条平行的小路，其中小路穿过牡丹园，出入口、之间的距离为，若两条小路的距离为，则另外一条小路____（填“穿过”或“不穿过”）牡丹园． 【答案】不穿过 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，关键是垂径定理的应用； 根据题意求出圆心到的距离，再求得圆心到另一条小路的距离，将它与半径做比较即可得出结论. 【详解】解：设另一条小路为，过点作于点，交于点， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离， 即：另一条小路不穿过牡丹园． 故答案为：不穿过. 三、解答题（8个小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练计算是解题的关键． （1）利用直接开平方法即可解答； （2）利用因式分解法即可解答； （3）先计算特殊角的三角函数值和算术平方根，再加减即可． 【小问1详解】 解： 可得， 解得； 【小问2详解】 解： 可得或， 解得，； 【小问3详解】 解： ． 18. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据：67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 88 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ， ， ； （2）在此次测验中，有280人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15，88.5，96 （2）73人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：， 即， ∵A款的评分非常满意有（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴众数； 故答案为：15，88.5，96； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计此次测验中对聊天机器人不满意的大约共有73人． 19. 如图，已知直线与双曲线的图象交于，两点，且点的坐标为，设点，过点作轴，交直线于点，交双曲线于点． （1）求反比例函数解析式； （2）根据图象直接写出的解集； （3）当直线在轴的左侧，且线段的长为3时，求的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数结合，掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据一次函数解析式确定的值，进而可得的坐标，然后将的坐标代入即可求得的值； （2）先求得点的坐标，结合函数图象直接求解即可； （3）根据题意分别表示出，的坐标，根据建立方程，解方程求解即可，注意分类讨论． 【小问1详解】 解：已知直线与双曲线的图象交于，两点，且点的坐标为． ， 的坐标为． 把代入，得： ， ∴； 【小问2详解】 解：联立 解得或 ， 由函数图象可知：不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：如图所示，当在点B的右侧时， 点， ， ， ， 解得， 当直线在轴的左侧， ， 当在B点的左侧时， 同理可得：， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或． 20. 如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵为直径， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定定理及勾股定理． （1）连接，根据为直径得出，由已知条件推得，从而证得，进而得出结论； （2）利用勾股定理得出，根据已知条件得出，解得的值，进而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴， ∴， ∴的半径为3． 21. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线上，为等边三角形，，与分别交于，两点，点，是上两点，，过作于点，交于点，交于点．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积．（结果保留π） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用垂径定理求值、求其他不规则图形的面积、三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键； （1）连接，推出，得，即可求解； （2）由（1）可知：,推出，根据为等边三角形，求出，，结合，即可求解； 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知：, ∵． ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积 22. “工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点E处（），C，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞”,于点O，支杆与树干的横向距离． （1）天晴时打开“晴雨伞”，若，求遮阳宽度； （2）下雨时收拢“晴雨伞”，使由减少到，求点E下降的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳宽度为； （2）点E下降的高度为． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可解答； （2）过点E作于点F，得，再在中锐角三角函数的定义可得，最后求出和时的长即可解答． 【小问1详解】 解：由对称性可知，， 在中，， ， ， ， 答：遮阳宽度为； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点F， ， ，， ， ， ， 在中， ， 当时， ， 当时， ， ∴点E下降的高度为， 答：点E下降的高度为． 23. 推动互联互通，促进兴边富民，磨憨边民互市贸易平稳有序，一辆辆满载香蕉、百香果、菜豆等农副产品的大货车从国门进入后，徐徐驶入磨憨边民互市场，现某超市销售一批成本为每箱30元的香蕉，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求香蕉每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）销售单价定为多少元时，才能使销售香蕉每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元． 【答案】（1）； （2）销售单价定为元时，最大利润是元． 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数、二次函数的应用及二次函数最大值求法，解题的关键是根据题意列出函数关系． （1）将点、代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得，根据x的范围以及二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设香蕉每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得：， 函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得：， ， 抛物线开口向下，， 当时，有最大值，此时， 答：销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是元． 24. 已知二次函数． （1）当时， ①求该函数图象的顶点坐标． ②当时，求的取值范围． （2）当时，的最大值为2；当时，的最大值为3，求二次函数的表达式． 【答案】（1）①；②当时， （2） 【解析】 【分析】（1）①将代入解析式，化为顶点式，即可求解； ②已知顶点，根据二次函数的增减性，得出当时，有最大值7，当时取得最小值，即可求解； （2）根据题意时，的最大值为2；时，的最大值为3，得出抛物线的对称轴在轴的右侧，即，由抛物线开口向下，时，的最大值为2，可知，根据顶点坐标的纵坐标为3，求出，即可得解． 【小问1详解】 解：①当时，， ∴顶点坐标为． ②∵顶点坐标为．抛物线开口向下， 当时，随增大而增大， 当时，随增大而减小， ∴当时，有最大值7． 又 ∴当时取得最小值，最小值； ∴当时，． 【小问2详解】 ∵时，的最大值为2；时，的最大值为3， ∴抛物线的对称轴在轴的右侧， ∴， ∵抛物线开口向下，时，的最大值为2， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴二次函数的表达式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，顶点式，二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $