精品解析：吉林省长春市宽城区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

八年级期末质量监测 数学 2026.1 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 分式的值是零，则的值为（ ） A 5 B. C. D. 2 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 了解某种灯泡的使用寿命 B. 了解一批冷饮的质量是否合格 C. 了解全国八年级学生的视力情况 D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多 4. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（ ） A 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 6. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. “相等的角是对顶角”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 10. 分解因式：______． 11 计算：______． 12. 某市教育局对八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为__________． 13. 如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为______． 14. 如图，在中，，，于点．、分别是边、上动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数． 18. 如图，在和中，，．求证：． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 20. 已知关于的方程． （1）求方程的解（用含的代数式表示）； （2）若这个方程的解是正数，求的取值范围． 21. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）补全频数分布直方图，并在直方图上方注明人数； （3）求扇形统计图中等级所占的百分比； （4）求扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数． 22. 小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在中，点是边的中点，，，，求的长． 【探索发现】 小明的思路是：延长至点，使，连接，构造全等三角形； 小丽的思路是：过点作，交的延长线于点，构造全等三角形． 请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求的长． 类比应用】 如图②，在四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，． 若，，，则的长为______． 23. 【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 24. 如图，在中，，，．点是边上一点，且．在上方作射线，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，连结、、．设点的运动时间为秒． （1）边的长为______； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）当时，探究与有怎样的数量关系，并说明理由； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末质量监测 数学 2026.1 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 分式的值是零，则的值为（ ） A 5 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式值为零的条件可得，且，再解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误，不符合题意； B．，故B错误，不符合题意； C．，故C正确，符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选C． 3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 了解某种灯泡的使用寿命 B. 了解一批冷饮的质量是否合格 C. 了解全国八年级学生的视力情况 D. 了解某班同学中哪个月份出生的人数最多 【答案】D 【解析】 【分析】根据全面调查的特点，结合抽样调查特点，逐项分析即可． 【详解】解：A、适合抽样调查，故不符合题意； B、适合抽样调查，故不符合题意； C、适合抽样调查，故不符合题意； D、适合全面调查，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查即普查，对总体中的每个个体都进行的调查称为全面调查，对于总体中个体数量比较大、具有破坏性或不可能也没必要时，不适宜采用全面调查，把握这一特点是解题的关键． 4. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】大于0而小于1的数用科学记数法表示，10的指数是负整数，其绝对值等于第一个不是0的数字前所有0的个数． 【详解】解：2.5μm=， 故选：C． 5. 如图，在中，、分别是边、上的点，过点作交的延长线于点．若，，，则的长是（ ） A. 0.5 B. 1 C. 1.5 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理求出，再利用垂直平分线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ； 故选． 8. 4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为．若，则a、b满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用a、b的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：， ， ∵， ∴， 整理，得， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. “相等的角是对顶角”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【解析】 【分析】先写出原命题的逆命题，再判断真假． 【详解】解：“相等的角是对顶角”的逆命题是对顶角相等，是真命题， 故答案为：真． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 10. 分解因式：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了负指数幂和零指数幂的运算法则，准确计算是解题的关键． 根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行计算． 【详解】解：，， ； 故答案为． 12. 某市教育局对八年级学生进行体质监测，共收集了200名学生的体重数据，并绘制成频数分布直方图．若从左往右每个小长方形的面积之比为，则其中第三组的频数为__________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，用总人数乘以第三组频数占总数的比例即可得． 【详解】解：第三组的频数为， 故答案为：80． 13. 如图，在中，在、上分别截取、，使，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则点到的距离为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，，得，再运用勾股定理列式计算得，根据作图过程，得出是的平分线，最后结合角平分线上的点到角的两边距离相等，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， 根据作图过程，得出是的平分线， ∵， ∴点到的距离， 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，于点．、分别是边、上的动点，且，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④平分．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟知等腰直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，证明进而得到对应边对应角相等，即可证明①正确；由对应边相等，得到，即可证明②正确；在中，利用，再进行线段转化，即可证明③正确；根据等腰三角形的性质，得到不一定成立，即可证明④不正确；最终得到结论即可． 【详解】解：对于①：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴①正确，符合题意； 对于②：由①得：， ∴是等腰直角三角形， ∴②正确，符合题意； 对于③：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴③正确，符合题意； 对于④：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵与不一定相等， ∴不一定成立， ∴平分不一定成立， ∴④不正确，不符合题意； 综上所述：所有正确结论的序号是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算．利用分式加减运算法则结合因式分解求解即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，原式 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算以及代数求值，实数的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 分别运用平方差公式，完全平方公式和单项式除以单项式法则进行化简，再把a、b的值代入求值即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 17. 某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数． 【答案】该游乐园原来平均每分钟接待游客20人． 【解析】 【分析】设游乐园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，根据接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】设该游乐园原来平均每分钟接待游客x人． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该游乐园原来平均每分钟接待游客20人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先根据，，，证明，故，最后由等角对等边，得，即可作答． 【详解】证明：，，， ． ． ． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 已知关于的方程． （1）求方程的解（用含的代数式表示）； （2）若这个方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】（1）当  时，解为 ；当  时，方程无解 （2），且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，求解分式方程时注意分母不为0是解题的关键． 首先根据去分母、去括号、合并同类项的步骤求解分式方程，表达出方程的解，再根据方程的解是正数，即可得到的取值范围． 小问1详解】 解： ， ， ； 当  时，即  时，分母为零，方程无解． 因此，方程的解为： 当  时，解为 ； 当  时，方程无解． 【小问2详解】 解：由题意得：且， ∴，且， ∴，且． 21. 为增强学生安全意识，某校举行了一次全校学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（；；；），并根据分析结果绘制了如下两幅不完整的频数分布直方图和扇形统计图．请根据图中信息，解答下列问题： （1）求的值； （2）补全频数分布直方图，并在直方图上方注明人数； （3）求扇形统计图中等级所占的百分比； （4）求扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数． 【答案】（1） （2）见解析 （3）扇形统计图中等级所占的百分比是 （4）扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数为 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，熟练掌握二者的相关性是解题的关键． （1）根据A等级的频数和所占的百分比，可以求得的值； （2）根据（1）中的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出等级的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整； （3）利用等级的频数除以总频数即可； （4）利用乘以等级所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：． 小问2详解】 解：，故等级的频数为人， 补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 【小问3详解】 解：， 所以扇形统计图中等级所占的百分比是． 【小问4详解】 解：， 所以扇形统计图中等级所对应扇形圆心角的度数为． 22. 小明与小丽共同探究一道数学题：如图①，在中，点是边的中点，，，，求的长． 【探索发现】 小明的思路是：延长至点，使，连接，构造全等三角形； 小丽的思路是：过点作，交的延长线于点，构造全等三角形． 请从小明和小丽的思路中选择一种方法，求的长． 【类比应用】 如图②，在四边形中，对角线、相交于点，点是的中点，． 若，，，则的长为______． 【答案】【探索发现】；【类比应用】 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边等知识点，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 【探索发现】小明：根据题意证明出，得到，然后求出，然后利用等角对等边求解即可； 小丽：根据题意证明出，得到，然后求出，然后利用等角对等边求解即可； 【类比应用】过点D作，交于点E，证明出，得到，然后利用勾股定理求出，然后得到，然后利用等角对等边求解即可． 【详解】【探索发现】解：小明：∵点是边的中点， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 小丽：∵ ∴， ∵点是边的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 【类比应用】解：如图，过点D作，交于点E， ∴，， ∴， ∵点O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 【问题原型】在学完因式分解之后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： ． ， ． ． 当，即时，的值最大，最大值是4． 根据上面的方法，求代数式的最大值； 【推广运用】某商品现在每件的利润为10元，每天的销售量为20件．市场调查发现：如果调整价格，每涨价1元，每天就要少卖1件商品．设每件商品涨价元． （1）涨价元后，每件商品的利润为______元，每天的销售量为______件；（用含的代数式表示） （2）求为何值时，每天的销售利润最大，并求出最大销售利润．（销售利润每件商品的利润销售量） 【答案】【初步思考】14； 【推广运用】（1），；（2）时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，能够读懂题意熟练运用完全平方公式是解题关键． 【初步思考】仿照题中例子配出完全平方公式求出的最大值即可； 【推广运用】（1）根据题意列出代数式即可； （2）仿照例题构建完全平方即可求解． 【详解】解：【初步思考】， ， ． ． 的最大值是14． 【推广运用】解：（1）∵现在每件的利润为10元，每件商品涨价元， ∴每件商品的利润为：元， ∵每件的利润为10元，每天的销售量为20件，每涨价1元，每天就要少卖1件商品． ∴涨价后每天的销售量为：件， 故答案为：，； 解：（2）∵， ， ． ． 当时，每天的销售利润最大，最大销售利润是225元． 24. 如图，在中，，，．点是边上一点，且．在上方作射线，动点从点出发，以每秒2个单位长度速度沿射线运动，连结、、．设点的运动时间为秒． （1）边的长为______； （2）当为等腰三角形时，求的值； （3）当时，探究与有怎样的数量关系，并说明理由； （4）当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）6 （2） （3），见解析 （4）或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、等腰三角形和等腰直角三角形的性质和三角形全等的判定和性质，结合勾股定理是解本题的关键．综合性较强． （1）利用勾股定理计算即可； （2）利用等腰直角三角形的性质即可解答； （3）根据直角三角形两个锐角互余，可证明，进一步证明，即证明，即得出答； （4）根据题意可求出的值和的最小值，可推断，即该等腰三角形不可能是．再分类讨论和两种情况结合勾股定理，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 若为等腰三角形，则只能是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故为等腰三角形时，． 【小问3详解】 解：当时，如下图所示： 由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：分类讨论： 当时，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， 此时； 当时： ∵，，， ∴， 点到直线的距离与长度一致，， ∵， 即，故该情况不存在； 当时，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 令，则， ∴，, ∵， ∴， ∴， 解得， 则， 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $