专题02相交线与平行线寒假预习核心讲义（2）(知识点梳理+常考题型精析+强化巩固)2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题02相交线与平行线寒假预习核心讲义（2） · 掌握平行线的三条性质，能区分平行线的性质与判定，解决简单几何推理题。 · 理解图形平移的概念和性质，能识别平移现象，画出简单图形平移后的图形。 · 提升几何直观和逻辑推理能力，为后续几何学习打基础。 预习必备 知识点梳理 1.平行线的性质 2.平行线性质与判定的区别 3.平移的定义与性质 4.易错点警示 常考题型 精讲精炼 1.平行线性质:同位角相等 2.平行线性质:内错角相等 3.平行线性质:同旁内角互补 4.用平行线性质探究角的关系 5.借助平行线性质求角的度数 6.平行线判定与性质:角度计算 7.平行线判定与性质:证明应用 8.生活中的平移现象 9.图形平移的概念与特征 10.利用平移的性质求解 11.利用平移解决实际问题 强化巩固 题型通关 (15题) 【知识点01.平行线是性质】 1.平行线的性质（核心） 前提条件：两条平行线被第三条直线所截 性质序号 性质内容 几何语言 性质 1 两直线平行，同位角相等 若 a∥b，则 ∠1=∠2 性质 2 两直线平行，内错角相等 若 a∥b，则 ∠2=∠3 性质 3 两直线平行，同旁内角互补 若 a∥b，则 ∠2+∠4=180∘ 【知识点02.平行线性质与判定的区别】 类别 条件 结论 用途 判定 角的关系 线的平行 由角定线，证明两直线平行 性质 线的平行 角的关系 由线定角，求角的度数或关系 易错点提醒 (1)性质的前提必须是 “两直线平行”，无此条件不能直接用同位角相等、内错角相等。 (2)注意区分同位角、内错角、同旁内角的位置关系，避免找错角。 【知识点03.平移的定义与性质】 1.平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 平移的两大要素：平移方向、平移距离。 平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。 2.平移的性质 (1) 平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等； (2) 平移后，对应角相等； (3) 平移后，连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.画平移后图形的步骤 (1) 确定：确定原图形的关键点（如顶点、端点）； (2) 平移：按平移方向和距离，平移每个关键点，得到对应点； (3) 连接：按原图形的形状，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 【知识点04.易错点警示】 1.平行线的性质 缺前提：无 “两直线平行”，不能用同位角 / 内错角相等、同旁内角互补。 混判定与性质：判定是角→线，性质是线→角，逻辑方向别搞反。 找错角：先定截线和被截线，再按位置辨同位角、内错角、同旁内角。 不会作辅助线：拐角题过拐点作平行线，拆分角度再计算。 2.图形的平移 丢要素：平移必须同时确定方向和距离，二者缺一不可。 误解性质：平移不改变图形形状、大小、方向；对应点连线平行（或共线）且相等。 画错图：必须选关键点（顶点、端点）平移，再连线成图。 辨错变换：平移是直线移动，和轴对称（翻转）、旋转（绕点转）要区分开。 【题型1.平行线性质:同位角相等】 【典例】如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直线平行的性质，根据“两直线平行，内错角相等”即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故选：B． 【跟踪专练1】如图，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 【跟踪专练2】下列说法正确的个数（    ） ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ③两边及一组角分别相等的两个三角形全等 ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、垂线段最短、全等三角形的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 根据对顶角的定义可判定①；垂线段最短的性质可判定②；根据不能判定全等可判定③；根据距离是长度而非线段可判定④；两直线平行、同位角相等可判定⑤． 【详解】解：①对顶角需两边互为反向延长线，仅有公共顶点且相等的角不一定是对顶角（如角平分线分出的角），则①错误． ②垂线段最短是垂线的基本性质，则②正确； ③两边及一组角相等（非夹角）时，可能存在两种不同三角形（不必然全等），即③错误； ④点到直线的距离是垂线段的长度，而非线段本身，故④错误； ⑤同位角相等需两直线平行，否则不一定成立，故⑤错误． 综上，仅②正确，正确个数为1． 故选A． 【题型2.平行线性质:内错角相等】 【典例】如图，直线，被直线所截，若，，，则 度．    【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等，平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由对顶角相等求得，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，    故答案为：80． 【跟踪专练1】如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行（），且索道AB，BC均是直的．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握通过作辅助线构造平行线，利用内错角相等将未知角转化为已知角是解题的关键． 本题过点作平行于的平行线，利用平行线的传递性使该辅助线同时平行于，再借助内错角相等的性质，将拆分为与已知角相等的两个角，进而求出其度数． 【详解】解：如图，过点B作． ∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【题型3.平行线性质:同旁内角互补】 【典例】如图，，交于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质， 根据“两直线平行同旁内角互补”得，则此题可解. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 故选：D. 【跟踪专练1】如图，已知直线、被直线，所截，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定：同位角相等，两直线平行；平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由，得出，、为同位角，所以.由，，得出，所以 【详解】解：如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4.用平行线性质探究角的关系】 【典例】已知，的两条角边分别平行，，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：和的两条角边分别平行，且， 和相等或互补， 的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知，连接得到，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 由得，由得，整理可得． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 【跟踪专练2】如图，已知，点是直线与外一点，连接．过点作的角平分线，过点作的角平分线，过作交直线于点，则 ．（可用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，可得出，即可证明，，根据角平分线的定义得出，根据得出，进而得出，即可得答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的角平分线，为的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴． 【题型5.借助平行线性质求角的度数】 【典例】如图，直线与直线，都相交．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 【跟踪专练1】如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 【跟踪专练2】如图，直线，将一个含角的三角板如图摆放，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【题型6.平行线的判定与性质:角度计算】 【典例】如图，点在直线上．当的度数为 时，． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质和判定，结合图形得到要，即要满足，进而即可求得的度数． 【详解】解：要， 即要， 则有， ， ； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，则，根据平行线的性质可得，据此先求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，直线被直线所截，平分交于点F，平分交于点E，，则的度数为 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键．根据角平分线的定义，推出，进而得到，得到，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵平分交于点F，平分交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90 【题型7.平行线的判定与性质:证明应用】 【典例】如图，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质．利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、若，则（两直线平行，同旁内角互补），故本选项不符合题意； B、若，则（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、若，则（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、若，无法得出，故本选项符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】如图，已知平分平分．下列结论：①；②；③；④若，则．其中，正确的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线、三角形的内角和定理及外角性质等知识点，正确利用平行线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质和三角形的内角和得到，再根据平行线的性质、三角形外角性质、三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵平分平分， ，， 又∵， ，, ∴，故①正确； ， ∴，故②错误； 由现有条件无法证明，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴, ∴，即④正确． 综上，正确的有①④． 故答案为①④． 【跟踪专练2】甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知，甲说：“若还知道，则能得到．”乙说：“若还知道，则能得到”则下列说法正确的（    ） A．甲乙两人说法都不正确 B．甲乙两人说法都正确 C．甲说法正确，乙说法不正确 D．乙说法正确，甲说法不正确 【答案】B 【分析】本题考查垂直定义，平行线性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 利用垂直定义推出，结合，进而证明，利用平行线性质即可判断甲说法，先证明，推出，再结合，即可判断乙说法． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， ， 故甲说法正确； ， ， 即， ， ， ， ， 故乙说法正确； 故选：B． 【题型8.生活中的平移现象】 【典例】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 【跟踪专练1】如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图案可以通过平移图案①得到？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据平移变换只改变图形位置，不改变大小和方向进行求解即可． 【详解】解：∵平移变换只改变位置，不改变大小和方向， ∴只有图③是可以经过平移得到的， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是 ． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 【题型9.图形平移的概念与特征】 【典例】如图，经过怎样的平移得到（   ） A．把向左平移个单位，再向下平移个单位 B．把向右平移个单位，再向下平移个单位 C．把向右平移个单位，再向上平移个单位 D．把向左平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】本题考查了平移变换的性质以及网格图形，准确识别图形是解题的关键．根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 【详解】解：由图可知，向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得到， 故选：A． 【跟踪专练1】如图，将沿着射线方向平移，得到．若的周长是19，四边形的周长是24，则平移的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解本题的关键． 根据平移，得到，结合三角形和四边形的周长进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 的周长是， 四边形的周长是， ， 即平移的距离是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，平移距离为6，则阴影部分面积为（   ） A．60 B．48 C．36 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质得出，，然后根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：根据图形平移的性质可得，，， ， ， 故选：A． 【题型10.利用平移的性质求解】 【典例】将线段平移1cm，得到线段，则对应点与的距离为 ． 【答案】1cm 【分析】本题考查平移的性质，解题关键是理解平移的性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等．根据平移的性质，将线段平移1cm得到线段，那么对应点与的距离就等于平移的距离，即1cm． 【详解】解：将线段平移1cm，得到线段， 则. 故答案为1cm． 【跟踪专练1】几何直观  如图所示，，将直角三角形沿着射线的方向平移，得三角形，已知，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是平移的性质，解题关键是由平移性质得到，，． 根据平移性质得到，，，再由即可得解． 【详解】解：根据平移性质可知：，，， ， ， ， ， ． 故选：． 【跟踪专练2】如图，长方形中，，．若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形．当将长方形平移 时，两长方形的重叠部分的面积是． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质与长方形面积公式，掌握平移后对应边相等，长方形面积=长×宽是解题的关键． 先根据平移的性质确定重叠部分是长方形，且其一边长等于的长度；再利用重叠部分的面积公式求出另一边长；最后结合原长方形的边长，计算出平移的距离． 【详解】解：由平移的性质可得． ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【题型11.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D→乙；②甲→B→D→乙；③甲→B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？（    ） A．①最近 B．②最近 C．③最近 D．①②③一样近 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象，将三条路线进行恰当的平移是解题的关键． 将三条路线分别平移，可知这三条路线的长度都是长方形周长的一半． 【详解】解：如图所示： 三条路线的长度都等于大长方形周长的一半． 故选：D． 【跟踪专练1】如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为，则绿化的面积为    【答案】540 【分析】此题主要考查了生活中平移现象，将长方形地块内部修筑的两条”之”字路平移到长方形的最上边和最左边，使余下部分是一个长方形，是解决本题的关键． 把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形，根据矩形的面积公式即可求出结果． 【详解】解：如图，      把两条”之”字路平移到长方形地块的最上边和最左边，则余下部分是长方形． （米），（米）， 矩形的面积（平方米）． 答：绿化的面积为． 故答案为：540 【跟踪专练2】如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 1．已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等．根据对顶角相等得出，，，，根据同旁内角互补，两直线平行逐个分析，即可得出与不是平行线、、与不是平行线，根据平行线的性质得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出与不是平行线，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵直线与直线，相交，直线与直线，相交， ∴，，，， ∵， ∴与不是平行线；即A选项错误； ∵， ∴；即D选项正确； ∴， ∵， ∴与不是平行线；即B选项错误； ∵， ∴与不是平行线；即C选项错误； 故选：D． 2．2023年5月底，由中国商飞公司制造的圆满完成商业首飞，对中国涉足国际航空领域大国政治具有象征意义．如图是机翼设计图，已知，，与水平线的夹角为，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质的实际应用，作，，则，根据平行线得到，，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图，作，，点在点右边，点在点右边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与水平线的夹角为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 4．如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ∵，向右平移距离为，点的对应点为点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键． 5．如图，一块长、宽的长方形土地，上面修了两条小路，宽都是，将阴影部分种上草坪，则草坪的面积是（）．    A．5225 B．4500 C．4750 D．4950 【答案】B 【分析】由题意可知：求阴影部分的面积，实际上就是求长为米，宽为米的长方形的面积，利用长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：， （平方米） 答：阴影部分的面积是4500平方米． 故选：B． 【点睛】解答此题的关键是：利用“压缩法”，将小路挤去，即可求出阴影部分的面积． 6．如图，，，点C在上，点F在上．设与相等的角的个数为m，与互补的角的个数为n，若，则的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查对平行线的性质、邻补角的性质等知识点，理解和掌握平行线的性质成为解题的关键． 如图：设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角，因为，即可推出∠β互补的角的个数，然后求即可． 【详解】解：如图：设的延长线为， ∵，， ∴，， ∴与∠β互补的角有， ∴， ∴． 故选：D． 7．如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点的位置不同，分别画出图形，从中探求出与的关系，再作出选择． 【详解】解：，， ∴， ∵平分， ∴， 如图所示，过点P作， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 即，故A是可能的； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，故C成立，故D不可能成立； 如图所示，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，平行公理，解题关键是掌握平行线的性质和判定，角平分线的概念． 8．如图，将一张长方形纸片ABCD沿着BE折叠，使C，D点分别落在，点处．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用折叠的性质得到相等的角，结合长方形的直角和已知角的度数，求出折叠后相关角的度数；再根据折叠后线段的平行关系，利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质可知． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查折叠的性质与平行线的性质，掌握折叠前后对应角相等、两直线平行时同旁内角互补是解题的关键． 9．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①根据平行线的传递性可以判断出来；②所以，然后根据两直线平行同旁内角互补可得，即，联立可求得结果；③根据以及，可求得结果；④根据即以及，可求得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴，即， ①∵，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 即， 故②正确； ③由①可得， ∴， ∴，即， 又， ∴， 即， 将代入， 化简可得：， 故③正确； ④∵，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 正确的个数共有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、平行线的传递性、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算，准确找到角度之间的关系是解题的关键． 10．如图，三角形为直角三角形，，将三角形沿某一个方向平移6个单位，记三角形扫过的面积为S，则下列说法正确的是（   ） S的最大值为36； S的最小值为20； 当时，存在两种不同的平移方式； 当时，存在四种不同的平移方式． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形平移的性质．解决问题的关键是理解平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积． 三角形的面积为，平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积．据此分析四个说法是否正确． 【详解】解：三角形的面积为， 平移时三角形扫过的面积是一个平行四边形的面积加上三角形的面积． 如图，当三角形沿着与垂直的方向平移时，三角形扫过的面积最大， 是一个长6宽5的长方形面积加上三角形的面积，即，所以①正确； 三角形沿着与垂直的方向平移时（），可以向左下平移，也可以向右上平移，存在两种不同的平移方式，所以③正确； 如图，三角形平移时，偏离与垂直的方向一定的角度， 使三角形扫过的面积是一个底为5高为4的平行四边形的面积加上三角形的面积，此时，可以向左下平移，也可以向右上平移，存在两种不同的平移方式； 如图，三角形平移时，偏离与垂直的方向一定的角度， 使三角形扫过的面积是一个底为4高为5的平行四边形的面积加上三角形的面积，此时，可以向左上平移，也可以向右下平移，存在两种不同的平移方式，所以一共存在四种不同的平移方式，④正确； 如图，过点A作的垂线交于G，， 所以是三角形中最短的线段， 当三角形沿着与垂直的方向平移时，S的值最小， 设平移后的三角形为，过点D作的垂线交于H，， S的最小值是20.4，不是20，所以②不正确． 综上，正确的为①③④， 故选：B． 11．已知：如图，，．直线AD与BE平行吗？直线AB与DC平行吗？请说明理由（在横线上填空）． 解：直线AD与BE平行，直线AB与DC____________． 理由：因为（已知）， 所以AD________BE（________________________）， 所以（________________________）． 又因为（已知）， 所以________________（等量代换）， 所以AB________DC（________________________）． 【答案】平行；∥；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；∥；同位角相等，两直线平行 【分析】先通过与的位置关系判定与平行，再利用平行线的内错角相等性质得到，结合已知进行等量代换，得到与的位置关系，进而判定与平行． 【详解】解：直线AD与BE平行，直线AB与DC平行 理由：因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）, 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行是解题的关键． 12．如图，网格图中小方格都是边长为1个单位长度的小正方形． (1)请画出将三角形向右平移5个单位长度后的图形．连接各对对应点，并指出相等的线段． (2)请指出图中（包括新画出的）所有互相平行的线段． (3)请指出三角形和其平移后的图形中相等的角． 【答案】(1)画图见解析，和，和，和，、和 (2)和，和，和，、和 (3)和，和，和 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，解题的关键是： （1）先找出A、B、C向右平移5个单位长度后的对应点D、E、F，如何顺次连接即可，再根据平移的性质求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 相等的线段有：和，和，和，、和； （2）解：互相平行的线段：和，和，和，、和； （3）解：三角形和其平移后的图形中相等的角有：和，和，和． 13．如图，已知，直线EF分别交直线AB，CD于点E，F，，． (1)若，求的度数． (2)试说明：FH平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）先通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． 14．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 15．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)总预算5100元不够；理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． （1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍去）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ∵ ， ∴ ∴ ∴ 答：总预算5100元不够． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题02相交线与平行线寒假预习核心讲义(2) 预习目标 掌握平行线的三条性质，能区分平行线的性质与判定，解决简单几何推理题。 ● 理解图形平移的概念和性质，能识别平移现象，画出简单图形平移后的图形。 ● 提升几何直观和逻辑推理能力，为后续几何学习打基础。 预习内容概览 预习必备 1.平行线的性质 2.平行线性质与判定的区别 知识点梳理 3.平移的定义与性质 4.易错点警示 1.平行线性质：同位角相等 2.平行线性质：内错角相等 3.平行线性质：同旁内角互补 4.用平行线性质探究角的关系 5.借助平行线性质求角的度数 6.平行线判定与性质：角度计算 常考题型 7.平行线判定与性质：证明应用 8.生活中的平移现象 精讲精炼 9.图形平移的概念与特征 10.利用平移的性质求解 11.利用平移解决实际问题 强化巩固 题型通关 (15题) 知识点梳理 【知识点01.平行线是性质】 1,平行线的性质（核心）】 前提条件：两条平行线被第三条直线所截 性质序号 性质内容 几何语言 性质1两直线平行，同位角相等 若a∥b,则∠1=∠2 性质2两直线平行，内错角相等 若a∥b,则∠2=∠3 两直线平行，同旁内角互 性质3 若a/b,则∠2+∠4=180 补 【知识点02.平行线性质与判定的区别】 类 条件 结论 用途 定角的关系 线的平行 由角定线，证明两直线平行 试卷第1页，共3页 类别 条件 结论 用途 性质线的平行 角的关系 由线定角，求角的度数或关系 易错点提醒 ()性质的前提必须是“两直线平行”，无此条件不能直接用同位角相等、内 错角相等。 (2)注意区分同位角、内错角、同旁内角的位置关系，避免找错角。 【知识点03.平移的定义与性质】 1.平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平 移。 平移的两大要素：平移方向、平移距离 平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置。 2.平移的性质 (1)平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等： (2)平移后，对应角相等： (3)平移后，连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 2.画平移后图形的步骤 (1)确定：确定原图形的关键点（如顶点、端点) (2)平移：按平移方向和距离，平移每个关键点，得到对应点： (3)连接：按原图形的形状，依次连接各对应点，得到平移后的图形。 【知识点04.易错点警示】 1.平行线的性质 缺前提：无“两直线平行”，不能用同位角/内错角相等、同旁内角互补。 混判定与性质：判定是角→线，性质是线→角，逻辑方向别搞反。 找错角：先定截线和被截线，再按位置辨同位角、内错角、同旁内角。 不会作辅助线：拐角题过拐点作平行线，拆分角度再计算。 2.图形的平移 丢要素：平移必须同时确定方向和距离，二者缺一不可。 试卷第2页，共3页 误解性质：平移不改变图形形状、大小、方向；对应点连线平行（或共线）且 相等。 画错图：必须选关键点（顶点、端点）平移，再连线成图。 辨错变换：平移是直线移动，和轴对称（翻转)、旋转（绕点转）要区分开。 常考题型精讲精练 【题型1.平行线性质：同位角相等】 【典例】如图，若1BCE 则下列判断正确的是() A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ACE C.∠B=∠ACB D.∠A=∠ECD 【跟踪专练1】如图，a1c,b1c.若∠1=70°，则∠2的度数为. 【跟踪专练2】下列说法正确的个数() ①有公共顶点且相等的角是对顶角 ②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 ③两边及一组角分别相等的两个三角形全等 ④直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 ⑤两条直线被第三条直线所截，同位角相等 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【题型2.平行线性质：内错角相等】 【典例】如图，直线a,b被直线c所截，若a∥b,∠1=110°，∠2=30°，则∠3=度. 试卷第3页，共3页 【跟踪专练1】如图，AB∥CD,AD平分∠BAC,∠I=25°，则∠2的度数为() ⊙ D A.15° B.25° C.40° D.50° 【跟踪专练2】如图，在两个景区之间建立一段观光索道，索道支撑架互相平行( AM∥CN),且索道AB,BC均是直的.若∠MAB=65°，∠NCB=55°，则∠ABC=一 B 【题型3.平行线性质：同旁内角互补】 【典例】如图，AB∥CD,AF交CD于点E,∠A=45°，则∠AED的度数为() E B A.35° B.45° C.50° D.135° 【跟踪专练1】如图，已知直线48、CD筱直线，所截，若4+2=180”，5=8 ,则∠4的度数为一· 试卷第4页，共3页 【跟踪专练2】如图，在△BCD中，过点B作AB∥CD,点P是△BCD内一点，连接PC ,过点P作PN∥CD,交BD于点N,已知∠ABC=55°，∠CPN=150°，则∠BCP的度数 为() A D A.20° B.25° C.30° D.35° 【题型4.用平行线性质探究角的关系】 【典例】已知∠，∠B的两条角边分别平行，∠a=50°，则∠B的度数为一 【跟踪专练1】如图，已知AB∥CD∥EF,连接AC、AE得到∠I、∠2、∠3，则下列各式 中正确的是() D F B A A.∠1+∠2+∠3=180° B.∠1+∠2-∠3=90° C.∠1-∠2+∠3=90° D.∠2+∠3-∠1=180° 【跟踪专练2】如图，己知AB∥CD,∠APC=a,点P是直线AB与CD外一点，连接 AP,CP.过点A作∠BAP的角平分线AE,过点C作∠PCD的角平分线CG,过P作 PF∥AE交直线CG于点F,则∠PFC=一· (可用含的式子表示) 试卷第5页，共3页 B D 【题型5.借助平行线性质求角的度数】 【典例】如图，直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠I=64°，则∠2的度数为() b A.116° B.64° C.36 D.32 【跟踪专练1】如图是一款长臂折叠LED护眼灯示意图，EF与桌面MN垂直，当发光的灯 管AB恰好与桌面MN平行时，∠DEF=120°，∠BCD=120°，则∠CDE的度数_°」 //\N 【跟踪专练2】如图，直线AB∥CD,将一个含45°角的三角板如图摆放，∠EFG=90°， ∠FGD=15°，则∠EHK的度数为() G A.75° B.65 C.60° D.55 【题型6.平行线的判定与性质：角度计算】 【典例】如图，点A在直线DE上.当∠BAC的度数为时，DE∥BC 试卷第6页，共3页 D E 789 135° 【跟踪专练1】如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保 持平行.抽象成如图所示的几何图形，AB∥EF,若∠A=100°，∠P=130°，则∠E的度 数为() A.100° B.110° C.120° D.130° AB.CD 【跟踪专练2】如图，直线 被直线BD所截，B 平分∠ABD交CD于点F,DE平 分∠BDC交BF于点E,∠DBF+∠BDE=9O°，则∠BDE+∠BFD的度数为__°. A B 【题型7.平行线的判定与性质：证明应用】 【典例】如图，下列结论中不正确的是() D E A.若AE∥CD,则∠I1+∠3=180 B.若∠1=∠2，则AD∥BC C.若∠2=∠C,则AE∥CD D.若AD∥BC,则∠I=∠B 【跟踪专练1】如图，已知AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠I+∠2=90°.下列结论：① AB∥CD;②∠ABE+∠CDF=90°：③AC∥BD;④若∠I=∠F,则∠2=∠E.其中， 正确的序号是一· 试卷第7页，共3页 【跟踪专练2】甲、乙两人一起研究一道数学题，如图，已知EF⊥AB,CD⊥AB,甲说： “若还知道∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”乙说：“若还知道 ∠AGD=∠ACB,则能得到∠CDG=∠BFE.”则下列说法正确的() B A.甲乙两人说法都不正确 B.甲乙两人说法都正确 C.甲说法正确，乙说法不正确 D.乙说法正确，甲说法不正确 【题型8.生活中的平移现象】 【典例】下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是」 (1)摆动的钟摆；(2)在笔直的公路上行驶的汽车：(3)随风摆动的旗帜；(4)投篮 时运动的篮球；(5)汽车玻璃上雨刷的运动；(6)从楼顶自由落下的球（球不旋转）· 【跟踪专练1】如图所示是北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”的五幅图案，②③④⑤哪一个图 案可以通过平移图案①得到？() ① B ② ③ ⑤ 【跟踪专练2】如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米， “丰”字每一笔的宽度都是0.6厘米，则卡片上剩余部分（空白区域）的面积是一 试卷第8页，共3页 【题型9.图形平移的概念与特征】 【典例】如图，ADEF经过怎样的平移得到△ABC() B A.把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B.把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C.把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D.把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位 【跟踪专练1】如图，将△ABC沿着射线BC方向平移，得到△DEF.若△ABC的周长是 19,四边形ABFD的周长是24，则平移的距离是_· E 【跟踪专练2】如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点 B到点C的方向平移到三角形DEF的位置，AB=12,D0=4,平移距离为6，则阴影部分 面积为() D B F C A.60 B.48 C.36 D.24 试卷第9页，共3页 【题型10.利用平移的性质求解】 【典例】将线段AB平移Icm,得到线段AB,则对应点A与A'的距离为 【跟踪专练1】几何直观如图所示，∠ACB=90°，将直角三角形ABC沿着射线BC的方 向平移5cm,得三角形AB'C,已知BC=3cm,AC=4cm,则阴影部分的面积为() 18cm B.14cm2 C.20cm2 22cm2 A. D 【跟踪专练2】如图，长方形ABCD中，AB=5cm,AD=8cm.若将该长方形沿AD方向 平移一段距离，得到长方形EFGH.当将长方形ABCD平移_Cm时，两长方形的重叠 部分FCDE的面积是35cm2. D H G 【题型11.利用平移解决实际问题】 【典例】如图，从甲地到乙地有三条路线：①甲→A→D一→乙：②甲→B→D一→乙：③甲 →B→C→乙，在这三条路线中，走哪条路线近？() 甲B D A.①最近 B.②最近 C.③最近 D.①②③一样近 【跟踪专练1】如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽 的两条“之”字形路，余下部分绿化，道路的宽为2m,则绿化的面积为一 m 试卷第10页，共3页