解二次方程、二次方程根的情况、二次方程根与系数的关系专项训练-2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

解二次方程、二次方程根的情况、二次方程根与系数的关系专项训练 解二次方程、二次方程根的情况、二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 解二次方程 二次方程根的情况 二次方程根与系数的关系 考点一 解二次方程 例1．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ，， 解得：，； 例2．（25-26九年级上·贵州黔东南·月考）选择适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ， 或， 即，． （2）解：， ， ， ， 或， 即，． 例3．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ，，， ， ，． 例4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 变式1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： ， （2）解： ， （3）解： ， （4） ，. 变式2．（25-26九年级上·河南商丘·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)，． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，． （2）解：， 因式分解，得， 或， ，． 变式3．（25-26九年级上·天津静海·月考）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ，． 【详解】（1）解：， 分解因式可得：， 可得：，， 解得：，； （2）解：， 分解因式可得：， 可得：，， 解得：，． 变式4．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 . （2）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 ， ∴ 或 . 考点二 二次方程根的情况 例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）下列一元二次方程中，无实根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故原方程有实数根， B、原方程变形为：，其中，故原方程有实数根， C、原方程变形为：，其中，故原方程有实数根， D、，故原方程无实数根， 故选：D． 例2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 例3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为 ． 【答案】32 【详解】解：方程， 根的判别式为：， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，其中 ，，， ∴， 即， 解得． 又因为一元二次方程要求二次项系数，而， ∴符合题意． 故答案为：． 例5．（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程． (1)当时，请用适当方法解此方程； (2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：把代入方程，得： ， ， ， ， ，； （2）解：∵方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故答案为：3． 例6．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)或 【详解】（1）证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2）方程可因式分解为， 或， 或， 恒成立， 当方程有两个相等的实数根时，满足条件，即，； 当方程有两个不相等的实数根时，方程只有一个根小于时，需另一个解， ． 的取值范围为或． 变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵方程中，，，， ∴判别式， ∴方程有两个不相等的实数根. 故选：A. 变式2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 判别式， ∴ ，即 ． 故实数的取值范围是 ， 故选： B． 变式3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实根 【详解】解：， ∵， ∴，即恒成立， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 变式4．（25-26九年级上·湖北宜昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 且 【详解】解：∵ 关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 且 ， 解得且． ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2017 【详解】（1）解：方程中，，，， ∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程有一个根为1， ∴，即， ∴． 变式6．（25-26九年级上·浙江·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入方程， 则， ， ， ， 解得：； （2）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：． 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 例2．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【详解】解：∵α，β是方程的两个实数根， ∴，且， 即． ∴． 故选：A． 例3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】2026 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是方程的两个根，则 ． 【答案】 【详解】解：∵方程中，，，． ∴由根与系数的关系，得 ，． 因此． 故答案为：． 例5．（25-26九年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程的有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 例6．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由，得，， ， ， ， 解得：，． 变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：∵方程中，， ∴. 故选：B. 变式2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】∵，是方程的根， ∴，， 即，， ∴． 故选：B． 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知是方程的两根，则的值为 ． 【答案】5 【详解】解：是方程的两根， 由根与系数的关系，得， 则． 故答案为 ：5． 变式4．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在方程中， ，，， 由根与系数的关系，得，， 则， 代入得， 故答案为：． 变式5．（25-26九年级上·江西上饶·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； （2）解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． 变式6．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【详解】（1）解：证明：∵，，， ∴， ， ， ， ∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，是原方程的两根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 检验，是分式方程的解， ∴m的值为1． 2 学科网（北京）股份有限公司 $解二次方程、二次方程根的情况、二次方程根与系数的关系专项训练 解二次方程、二次方程根的情况、二次方程根与系数的关系专项训练 考点目录 解二次方程 二次方程根的情况 二次方程根与系数的关系 考点一 解二次方程 例1．（25-26九年级上·陕西汉中·月考）解方程： (1) (2) 例2．（25-26九年级上·贵州黔东南·月考）选择适当的方法解下列方程： (1) (2) 例3．（2025·辽宁抚顺·一模）解方程 (1)（配方法）； (2)（公式法） 例4．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1) ； (2) ． 变式1．（25-26九年级上·江苏连云港·月考）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 变式2．（25-26九年级上·河南商丘·月考）解方程： (1) (2) 变式3．（25-26九年级上·天津静海·月考）解方程 (1)； (2)． 变式4．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）解方程： (1)； (2) 考点二 二次方程根的情况 例1．（25-26九年级上·广东广州·月考）下列一元二次方程中，无实根的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）关于的方程有实数根，那么a的值为（   ） A． B．且 C． D． 例3．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程根的判别式的值为 ． 例4．（25-26九年级上·广东广州·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 例5．（24-25九年级上·广东汕头·月考）已知关于的一元二次方程． (1)当时，请用适当方法解此方程； (2)若方程有两个相等的实数根，则的值为______； 例6．（25-26九年级上·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根． (2)若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 变式2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程的根的情况是 ． 变式4．（25-26九年级上·湖北宜昌·月考）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 变式5．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为1，求的值． 变式6．（25-26九年级上·浙江·月考）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根是，求k的值； (2)若方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围． 考点三 二次方程根与系数的关系 例1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A．6 B．4 C．2 D． 例2．（25-26九年级上·山东德州·期中）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 例3．（25-26九年级上·四川成都·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 例4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）若是方程的两个根，则 ． 例5．（25-26九年级上·广东佛山·月考）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 例6．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）已知关于x的一元二次方程（为常数） (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根为，且满足，求的值． 变式1．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）已知是一元二次方程的两根，则的值为（    ） A．12 B． C．4 D． 变式2．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若，分别是一元二次方程 的两个根，则 的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）已知是方程的两根，则的值为 ． 变式4．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）已知，是方程的两个实数根，则的值为 ． 变式5．（25-26九年级上·江西上饶·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 变式6．（25-26九年级上·山东德州·期中）已知方程（m为常数）． (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是原方程的两根，且，求m的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $