第二十八章 锐角三角函数【章末复习】课件2025-2026学年人教版九年级数学下册

该初中数学课件系统梳理了锐角三角函数的定义、特殊角值、解直角三角形及应用，通过分点整合定义、边角关系、实际场景等内容，构建从概念到应用的完整知识网络，帮助学生理清知识点间的逻辑关联。 其亮点在于融合“基础巩固-综合应用-中考衔接”的分层练习，如通过测高问题、方向角计算等实际情境培养数学建模和应用意识，结合计算器操作、变式训练提升运算与推理能力，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习支持。

人教版数学9年级下册培优备课课件 章末复习 第二十八章 锐角三角函数 授课教师： . 班 级： . 时 间：2026年01月07 . 1 (2)∠A 的余弦：cosA =　　　　　 = 　 ； (3)∠A 的正切：tanA = 　　　　　 = 　 . 1. 锐角三角函数的定义 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边． (1)∠A 的正弦： ∠A 的对边 斜边 sin A = ∠A 的邻边 斜边 ∠A 的邻边 ∠A 的对边 sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　； cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　； tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　. 2. 特殊角的三角函数 1 (1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A， ∠B，∠C 的对边． 三边关系：___________； 两锐角关系：________________； 边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___， tanA＝______，tanB＝_____，sin2A + cos2A = . a2＋b2＝c2 ∠A＝90°－∠B　 3. 解直角三角形 1 (2) 直角三角形可解的条件和解法 ◑条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少 有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素. ◑解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求 出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两 边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或 勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另 一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问 题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题． (3) 互余两角的三角函数间的关系 sinα = ， cosα = ____________， tanα · tan(90°－α) =___. cos(90°－α) sin(90°－α) 1 (1) 利用计算器求三角函数值 第二步：输入角度值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果. (不同计算器操作可能不同) 第一步：按计算器上的 键； sin tan cos 4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角 (2) 利用计算器求锐角的度数 还可以利用 键，进一步得到角的度数. 第二步：输入函数值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确). 方法①： °＇″ 2nd F 第一步：按计算器 键； 2nd F sin cos tan 方法②： 第二步：输入锐角函数值； 第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确). 第一步：按计算器 键； °＇″ 2nd F (1) 仰角和俯角 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 5. 三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图： 30° 45° B O A 东 西 北 南 (2) 方向角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α， 则有 i = tan α. 坡度通常写成 1∶m 的形式，如 i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡. 如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比 叫做坡面坡度.记作 i，即 i = . (3) 坡度、坡角 (4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过 程是： ① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形， 转化为解直角三角形的问题）； ② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等 去解直角三角形； ③ 得到数学问题的答案； ④ 得到实际问题的答案． A C M N ①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α； E ②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l； ③量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN = ME + EN = l · tanα + a. α (1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤： 6. 利用三角函数测高 (2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？ ①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α； A C B D M N E α ②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β； β ③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距 离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度. 1．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 2，c = 6，求 sinA，cosA 和 tanA 的值． 解：由勾股定理得 b = = = 4 ， ∴ sinA = = = ，cosA = = = ， tanA = = = . 随堂练习 2．在△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，AC = 4 ，求 BC 的长． 解：由 cosA = ，得∠A = 30°. ∴ tan A = = . ∴ BC = AC = ×4 = 4. 随堂练习 3．求下列各式的值： （1） cos45° - tan45°； （2） sin60° + tan60° - 2cos230°． 解:（1）原式 = × - 1 = 1 - 1 = 0. （2）原式 = × + - 2× = + - = . 随堂练习 4．用计算器求下列各式的值： （1）cos76°39′ + sin17°52′； （2）sin57°18′ - tan22°30′； （3）tan83°6′ - cos4°59′； （4）tan12°30′ - sin15°. 解:（1）原式 ≈ 0.5377.（2）原式 ≈ 0.4273. （3）原式 ≈ 7.2673.（4）原式 ≈ -0.0371. 随堂练习 5．已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 A 的度数： （1）cosA = 0.7651； （2）sinA = 0.9343； （3）tanA = 35.26； （4）tanA = 0.707． 解:（1）∠A ≈ 40.08°. （2）∠A ≈ 69.12°. （3）∠A ≈ 88.38°. （4）∠A ≈ 35.26°. 随堂练习 6．等腰三角形的底角是 30°，腰长为 2 ，求它的周长． 解：由题意知该等腰三角形的底边长为 2×2 ×cos30° = 6，故其周长为 2×2 + 6 = 4 + 6. 随堂练习 7．从一艘船上测得海岸上高为 42 m 的灯塔顶部的仰角为 33° 时，船离海岸多远（结果取整数）？ 解： ≈ 65． 答：船离海岸约 65 m． 随堂练习 8．如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 32.6 m，从 A 点测得 D 点的俯角 α 为 35°12′，测得 C 点的俯角 β 为 43°24′，求这两座建筑物的高度（结果保留小数点后一位）． 解：过 D 作 DE⊥AB 于 E，则四边形 BCDE 为矩形. 则 DE = BC = 32.6，CD = BE，∠ADE = 35°12′，∠ACB = 43°24′. E 随堂练习 在 Rt△ABC 中，AB = BC·tan∠ACB = 32.6×tan43°24′ ≈ 30.8（m）. 在 Rt△ADE 中，AE = DE·tan∠ADE = 32.6×tan35°12′ ≈ 23.0（m）. ∴ CD = BE = AB - AE ≈ 30.8 - 23.0 = 7.8（m）. 答：两座建筑物的高度分别 约为 30.8 m 和 7.8 m． E 随堂练习 9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）. E F 解：如图，在 Rt△ACE 中， AC = = ≈ 7.07 (m). 在 Rt△BDF 中，BD = = ≈ 5.77 (m)， 随堂练习 9．某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算 AC，BD 和 AB 的长度（结果保留小数点后两位）. ∴ BF = BD ≈ 2.89， ∴ AB = BE - AE = EF + BF - AE ≈ 3.40 + 2.89 - 5.00 = 1.29 (m)． 答：AC，BD 和 AB 的长度分别约为 7.07 m，5.77 m，1.29 m． E F 随堂练习 10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子. （1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？ 解：6sin75° ≈ 5.8（m）． 答：使用这架梯子最高可以安全攀上约 5.8 m 高的墙. 随堂练习 10．如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤α≤75°. 现有一架长 6 m 的梯子. （2）当梯子底端离墙面 2.4 m 时，α 等于多少度（结果取整数）？此时人是否能够 安全使用这架梯子？ 解：令 cosα = 2.4÷6 = 0.4，则 α ≈ 66°，满足 50°≤α≤75°． 答：α 约等于 66°，此时人能够安全使用这架梯子. 随堂练习 11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = . （1）△AFB 与△FEC 有什么关系？ 解：△AFB∽△FEC（两个角分别相等的两个三角形相似）. 随堂练习 11．如图，折叠矩形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处. 已知折痕 AE = 5 cm，且 tan∠EFC = . （2）求矩形 ABCD 的周长. 解：在 Rt△EFC 中，tan∠EFC = = . 设 CE = 3a，则 CF = 4a，EF = 5a. 由折叠可知 DE = EF = 5a. ∴ AB = CD = CE + DE = 8a. 由△AFB∽△FEC，得 = ， 随堂练习 即 ，∴ AF = 10a. 在 Rt△AEF 中，AF2 + EF2 = AE2， ∴ (10a)2 + (5a)2 = (5 )2， 解得 a = 1． ∴ AD = AF = 10，AB = 8. ∴ 矩形 ABCD 的周长为 2×(10 + 8) = 36 (m). 随堂练习 12．□ABCD 中，已知 AB，BC 及其夹角∠B (∠B 是锐角)，能求出□ABCD 的面积 S 吗？如果能，用 AB，BC 及其夹角∠B 表示 S. 解：能求出□ABCD 的面积， 如图，作 AE⊥BC 于 E， 则 AE = AB•sinB． ∴ S = BC•AE = BC•AB sinB． 随堂练习 13．已知圆的半径为 R. （1）求这个圆的内接正 n 边形的周长和面积； 解：周长为 2nRsin ，面积为 ． 随堂练习 13．已知圆的半径为 R. （2）利用（1）的结果填写下表： 观察上表，随着圆内接正多边形边数的增加，正多边形的周长（面积）有怎样的变化趋势？与圆的周长（面积）进行比较，你能得出什么结论？ 内接正 n 边形 正六边形 正十二边形 正二十四边形 … 周长 面积 6R 24Rsin15° 48Rsin7.5° R2 3R2 12R2sin15° 随堂练习 答：随着圆内接正多边形边数的增加，其周长和面积也在增大，并分别逐渐接近圆的周长 2πR 和面积 πR2． 随堂练习 14．如图，在锐角△ABC 中，探究 ， ， 之间的关系.（提示：分别作 AB 和 BC 边上的高.） D E 解：作△ABC 的高 AD 和 CE. 在 Rt△ACE 中，CE = AC•sin∠CAE = bsinA． 在 Rt△BCE 中，CE = BC•sin∠B = asinB． ∴ bsinA = asinB．∴ = ． 同理可得 = ，∴ = = ． 随堂练习 返回 D 1. 在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列选项正确的是(　　) 中考考法 37 返回 2. 如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则tan A的值为(　　) A 中考考法 返回 3. 中考考法 返回 4. 中考考法 返回 5. 下列三角函数值是有理数的是(　　) A．sin 45° B．cos 30° C．tan 60° D．tan 45° D 中考考法 返回 6. 点M(－sin 60°，cos 60°)关于原点对称的点的坐标是(　　) B 中考考法 返回 7. D 中考考法 返回 8. (2)tan 30°tan 60°＋cos230°－sin2 45°tan 45°. 中考考法 返回 9. A 中考考法 45 锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数 解直角三角形 简单的实际问题 正弦 锐 角 三 角 函 数 余弦 正切 三边关系 锐角关系 边角关系 仰、俯角问题 方向角问题 坡度、坡角问题 图19.4.5 A．sin A＝ B．cos B＝ C．tan A＝ D．tan B＝ A. B. C. D. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos B＝________. [2025威海中考]如图，点A在反比例函数y＝的图象上，点B在反比例函数y＝－的图象上，连接OA，OB，AB.若AO⊥BO，则tan ∠BAO＝________. A. B. C. D. 在△ABC中，tan A＝，cos B＝，则∠C的度数是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解：原式＝＋3－＝3. 原式＝×＋－×1＝1＋－＝. (8分)[教材P84复习题T3变式]计算： (1)sin 30°＋－2－1； 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高．若AB＝5， BC＝6，sin B＝，则AC的长为(　　) A. B．3 C．5 D．4 $